高中数学必修五第一章解三角形学习知识点学习总结计划及学习复习总结计划练练习习题.doc
高中数学第一章《解三角形》小结与复习新人教版必修5
第一章《解三角形》全章复习【问题导学】阅读课本P 23后回答下列问题：2、三角形的面积公式：_____________________________________________________________ ）4、在△ABC5、在△ABC 中，0045,30,2===C A a ，则△ABC 的面积S =__________。
【课内探究】例1、在△ABC 中，若B c a C b cos )2(cos -=：(1) 求B 的大小；(2) 若4,7=+=c a b ，求△ABC 的面积S 。
例2、在△ABC 中，若)cos(2cos ,2C B A a +==，2=∙，求角A 及b 、c 的大小。
例3：如右图所示，在坡度一定的坡上的一点A顶端C 对于山坡的斜度为 15，向山顶前进100米后到达B 点，又建筑顶端C 对于山坡的斜度为 45 ，已知建筑物高CD=50水平面倾斜角θ的余弦值。
【总结提升】【课后作业】1、△ABC 中，C c B b sin sin =，且C B A 222sin sin sin +=，则它是( ) 三角形A 、 等腰B 、直角C 、等腰直角D 、等腰或者直角2、△ABC 中，6c =，00120,30==B A ，则△ABC 的面积S=( )A 、9B 、18C 、39D 、3183、△ABC 中，8,5a b ==,ABC ∆的面积S=12，则=C 2cos ________。
4、锐角△ABC 中，A c a sin 23=：(1) 求角C 的大小； (2) 若7=c ，△ABC 的面积为，求b a +的值。
5、如图，某观测站C 在港口A 的南偏西20°方向上，在港口A 南偏东40°方向上的B 处有一艘船正向港口A 驶去，行驶了20 km 后，到达D 处，在观察站C 测得C ，B 间的距离为31 km ，C ，D 间的距离为21 km ：(1)求观察站C 与港口A 之间的距离；(2)这艘船到达港口A 还需行驶多少km?A C D 200400。
最新人教版高中数学必修5第一章《解三角形》本章小结
知识建构一、知识网络二、基本知识、方法归纳整理1.解三角形常见类型及解法已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形,解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理.(1)利用正弦定理讨论:若已知a 、b 、A,由正弦定理A a sin =B b sin ,得sinB=aA b sin . 若sinB>1,无解;若sinB=1,一解;若sinB<1,两解.(2)利用余弦定理讨论:已知a 、b 、A,由余弦定理a 2=c 2+b 2-2cbcosA,即c 2-(2bcosA)c+b 2-a 2=0,这是关于c 的一元二次方程.若方程无解或无正数解,则三角形无解;若方程有唯一正数解,则三角形有一解;若方程有两个同正数解,则三角形有两解.3.三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如:a=2RsinA,a 2+b 2-c 2=2abcosC 等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.如sinA=sinB ⇔A=B;sin(A-B)=0⇔A=B;sin2A=sin2B ⇔A=B 或A+B=2π,等等;二是利用正弦定理、余弦定理,化角为边,如:sinA=R a 2,cosA=bca cb 2222-+等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.4.解斜三角形应用题的步骤(1)准确理解题意,分清已知与所求,准确理解应用题中的有关名称、术语.(2)根据题意画出图形.(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理有关知识建立数学模型,然后求解.实践探究1.就三角形的面积计算问题作一探索,你现在已经学习了哪些计算公式,还可发现和证明一些新的计算公式吗?解:已学过的三角形面积公式有(1)已知一边和边上的高:S=21ah a ,S=21bh b ,S=21ch c . (2)已知两边及其夹角:S=21absinC,S=21bcsinA,S=21casinB. 还可以得到如下面积公式:(p=a+b+c)(3)S △ABC =r·p=R·r(sinA+sinB+sinC).(4)S △ABC =))()((c p b p a p p ---. (5)S △ABC =Rabc 4. (6)S △ABC =)sin(2sin sin 2C B C B a +∙∙=)sin(2sin sin 2C A C A b +∙=)sin(2sin sin 2B A B A c +∙. 证明:(3)如图所示.S △ABC =S △OAB+S △OBC+S △OAC =21c·OE+21a·OF+21b·OD =21cr+21ar+21br =21r(a+b+c) =rp.由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴S △ABC =21r(a+b+c)=21r(2RsinA+2RsinB+2RsinC)=R·r(sinA+sinB+sinC). (4)由余弦定理知cosC=abc b a 2222-+,∴S △ABC =21ab·sinC=21ab·C 2cos 1- =21ab·2222)2(1abc b a -+- =4122222)()2(c b a ab -+- =41])([(])[(2222b a c c b a --∙-+ =2222c b a c b a c b a c b a ++-∙+-∙-+∙++ =))()((a p b p c p p --- =))()((c p b p a p p ---.(5)由正弦定理知A a sin =B b sin =Cc sin =2R, ∴S △ABC =21absinC=21ab·R c 2=Rabc 4. (6)由正弦定理知A a sin =B b sin =Cc sin =2R, ∴S △ABC =21absinC=21·a·2R·sinB·sinC =21·a·A a sin ·sinB·sinC=A C B a sin 2sin sin 2∙=)sin(2sin sin 2C B C B a +∙∙. 同理,S △ABC =)sin(2sin sin 2C A C A b +∙=)sin(2sin sin 2B A B A c +∙. 2.设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边,其外接圆半径为1,且(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC,b 、c 是方程x 2-3x+4cosA=0的两根(b>c).(1)求角A 的度数及a 、b 、c 的值;(2)判定△ABC 的形状,并求其内切圆的半径.解:(1)由韦达定理b+c=3,b·c=4cosA,由正弦定理b=2RsinB=2sinB,c=2sinC.∴2(sinB+sinC)=3,sinB·sinC=cosA.∵（sinB+sinC+sinA ）(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC,利用平方差公式展开为（sinB+sinC ）2-sin 2A=3sinBsinC,把sinB ＋sinC ＝23,sinB·sinC=cosA 代入上式可得49-sin 2A=3cosA.整理得4cos 2A-12cosA+5=0,即(2cosA-5)(2cosA-1)=0,∴cosA=21,cosA=25(舍去).∴∠A=60°.∴⎩⎨⎧=∙=+.2,3c b c b∵b>c,∴b=2,c=1.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA=22+12-2×2×1×21=3,∴a=3.(2)∵b 2=a 2+c 2(由勾股定理).∴△ABC 是直角三角形.如图所示,设内切圆半径是r,则∠OAB=30°,在△OAD 中,AD=rcot30°=3r,∴3r+r=1.∴内切圆半径r=213-.3.在△ABC 中,设=a,=b,=c.(1)当△ABC 为正三角形时,求证:a·b=b·c=c·a;(2)若a·b=b·c=c·a,问△ABC 是否是正三角形?(1)证明:不妨设|BC |=|CA |=||=1,则·=||||cos60°=21,同理可得·=21,·=21,∴b·(-a)=(-b)·c=(-c)·a.∴a·b=b·c=c·a.(2)解:若a·b=b·c=c·a,则·=·=·, ∴·=·=·,即|a||b|cosC=|b||c|cosA=|a||c|cosB,各除以|a||b||c|,得||cos c C =||cos a A =||cos b B,①由正弦定理可得C c sin ||=A a sin ||=Bb sin ||, ② 由①②得C tan 1=A tan 1=B tan 1. ∵A 、B 、C ∈(0,π),∴A=B=C,即△ABC 为正三角形.4.如图所示,有两条相交成60°角的直线xx′、yy′,交点是O,甲、乙分别在Ox 、Oy 上,起初甲离O 点3 km,乙离O 点1 km,后来两人同时以每小时4 km 的速度,甲沿xx′方向,乙沿y′y 方向步行(设甲、乙初始位置分别为A 、B).(1)甲、乙两人之间的初始距离是多少?(2)什么时间两人的距离最短?解:(1)△AOB 中,OA=3,OB=1,∠AOB=60°.∴AB 2=OA 2+OB 2-2×OA×OB×cos60°=7.∴AB=7,即甲、乙两人最初相距7 km.(2)设t 小时后甲由A 到P,乙由B 到Q.①当3-4t≥0,即t≤34时,则△POQ 中,OQ=1+4t,OP=3-4t,∠POQ=60°, ∴PQ 2=(1+4t)2+(3-4t)2-2×(1+4t)×(3-4t)×cos60°. ②当3-4t<0,即t>34时,△POQ 中,OQ=1+4t,OP=4t-3,∠POQ=120°. ∴PQ 2=(1+4t)2+(4t-3)2-2×(1+4t)×(4t-3)×cos120°.综合①②知,当t≥0时,PQ 2=(4t+1)2+(4t-3)2+2×(4t+1)(4t-3)×21=(4t+1)2+(4t-3)2+(4t+1)(4t-3)=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4. ∴当t=41时,PQ min =2, 即41小时后,甲、乙两人的距离最短.。
必修5解三角形知识点归纳总结
第一章解三角形一.正弦定理: 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 —=—=—=2R （其中R 是三角形外接圆的半径） sin A sin B sinC a + b + c a b c = = = . sin A + sin B + sin Csin A sin B sin C 2）化边为角： a : b : c = sin A : sin B : sin C . a sin A b sin B a sin Ab sin B ，c sin C ，csin C 3）化边为角：a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin Csin A a sin B b sin A a • —— •sin B b ' sin C c ' sin C c 'abc sin A =——, sin B =——, sin C =—— 2 R 2 R 2 R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理a =空A ;-=把B b sin B c sin C a sin A = ------- ;求出b 与c c sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理a =竺4求出角B,由A+B+C=180o 求出角C,再使用正 b sin B弦定理a = sn A 求出c 边 c sin C 4.△ABC 中，已知锐角A,边b,则①a < b sin A 时，B 无解;②a = b sin A 或a > b 时，B 有—个解③b sin A < a < b 时，B 有两个解。
2.变形：1） 4）化角为边: 5）化角为边:如：①已知A :60。
高中数学必修5 第一章 解三角形复习知识点总结与练习-9-16
高中数学必修5 第一章解三角形复习知识点总结与练习-9-16高中数学必修5第一章解三角形是高中数学的一个重要章节，本章主要介绍了三角形的基本概念、解三角形的方法和定理以及相关的性质。
下面我将对本章的知识点进行总结，并给出一些练习题进行巩固。
一、基本概念1. 三角形的定义：三边的连接所形成的图形叫做三角形。
2. 三角形的分类：按边长分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形；按角度分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
二、解三角形的方法和定理1. 正弦定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c该定理为解各种不同类型三角形的关键方法之一。
2. 余弦定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：c² = a² + b² - 2ab cosC该定理可以用于解决已知三边求角、已知两边一夹角求第三边等问题。
3. 正切定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：tanA/a = tanB/b = tanC/c该定理可以用于解决已知角求边、已知两边的夹角求第三边等问题。
4. 两角定理：若在三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
5. 直角三角形中的性质：直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦、正切值互为倒数关系。
三、练习题1. 已知三角形ABC，AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 6cm，求三个内角的大小。
解：根据余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cosC将已知数据代入得：6² = 5² + 8² - 2×5×8 cosC化简得：36 = 25 + 64 - 80cosC化简得：75cosC = 53解得：cosC = 53/75从而得：C ≈ 46.6°同理，可以得出A ≈ 41.4°，B ≈ 92°2. 已知三角形ABC，AB = 7cm，BC = 9cm，A = 30°，求角B和边AC的长度。
高中数学必修五第一章-解三角形知识点及其练习
第一章 解三角形知识点、重难点拨三角形中：①任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.②等边对等角:a b A B =⇔=; 大边对大角:a b A B >⇔>.③A+B+C=1800 即 sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=- 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C=== （R 为三角形外接圆半径）。
公式变形：①2sin a R A =；2sin b R B =； 2sin c R C =②sin 2a A R =； sin 2b B R =； sin 2c C R= 有正弦定理可知：::sin :sin :sin a b c A B C = 面积公式111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆=== 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-；cos A ⇒=2222cos b a c ac B =+-；cos B ⇒=2222cos c a b ab C =+-；cos C ⇒= 一、选择题1．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )．A ．10 kmB ．103kmC ．105kmD ．107km2．三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则c 边的对角等于( )．A ．15°B ．45°C ．60°D ．120°3．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )．A ．3∶2∶1B ．2∶3∶1C ．1∶2∶3D ．1∶3∶24．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 为( )．A ．30°或150°B ．60°C ．60°或120°D ．30°5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( )．A ．223B ．233C ．23D ．336．根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )．A ．①只有一解，②也只有一解．B ．①有两解，②也有两解．C ．①有两解，②只有一解．D ．①只有一解，②有两解．二、填空题7．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ．13．已知a ，b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度 ．14．△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值 ．15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为4393，则△ABC 的周长为________________． 三、解答题1．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ，b 分别为∠A ，∠B 的对边，且a ＝4＝33b ，解此三角形．。
最新必修5-解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。
如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
高中数学--人教B版必修5第一章知识小结
高中数学--人教B版必修5第一章知识小结高中数学--人教B版必修5第一章知识小结必修5第一章：解三角形1、正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对的正弦的比相等。
即，asinAbsinBcsinC=2R（R为三角形外接圆半径）2、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即c2ab2abcosC2222bac2accosBa2222bc2bccosA由三角形的三边长，可以求出三角形的三个内角，即cosAbca2bc222，cosBacb2ac222，cosCabc2ab2223、三角形的面积公式：（1）S△abc＝122absinC＝sinBsinC12bcsinA＝212acsinB；＝c2（2）S△abc＝a＝bsinCsinAsinAsinB；2sin(BC)2sin(CA)2sin(AB)（3）S△abc＝2R2sinAsinBsinC。
（R为外接圆半径）（4）海伦公式：假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积可由以下公式求得：设P=abc2S△abc=P(P-a)(P-b)(P-c)PS：1、角平分线定理2、两角和与差、倍角、半角公式两角和与差公式:sin(A+B)=sinAcosB+sinBcossin(A-B)=sinAcosB-SinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=tanAtanB1-tanAtanBtan(A-B)=tanAtanB1tanAtanB倍角公式:sin2α=2cosαsinαcos2cos2sin212sin22cos211tan1tan22tan22tan1tan2半角公式:sin21cos2cos21cos2tan21cos1cos必修5第二章：数列1、等差数列：从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，这样的数列为等差数列。
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必修五：解三角形知识点一：正弦定理和余弦定理1.正弦定理a b c:si nAsin B si nC J'或变形：a: b:c s iri A:sin B:sin CcosAb 2 2 c2a2bc2 222a2 2b c2bccos AcosB ac b2acb 22 2 a c2accosBcosCb 2 2 a 2 c2 c 2 2 b a 2 •余弦定理：2bacosC 或2ab3. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角•2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式运算 女口. sin(A B) sinC,cos(A B)A B C ABC AB C sincos ,cossin ,ta n cot — 2 2 22 225 •解题中利用 ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的cosC, tan(A B) tanC,1.若ABC 的三个内角满足si nA:si nB:si nC 5:11:13，贝U ABC 是( )A. 锐角三角形B•钝角三角形C.直角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形•2 .在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a2b=2,sinB+cosB= 、 2 ,则角A的大小为( )A - B. _ C - D.—2 3 463.在厶ABC中，a 7,b 4、.3,c.13 ,则最小角为A—B、一 C 、— D 、364124.已知ABC中，AB 4, AC 3, BAC60，则BC ()A. 13B. 13C.5D.10 5•在锐角ABC中，若C 2B，则c的范围（）bA. 2, 3 B . 3,2 C . 0,2 D. 2,26.在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a2b2c2-、°ab，则C （）23A. 2B.4C.3D.47.在厶ABC中，A60o,b16,面积S220 .. 3，则cA 10、6 B、75C、55D、4 98.在厶ABC中，（a c)(a c) b(b c), 则AA 30o B、60o C、120o D、150o9.已知ABC中，AB 4,BAC45AC 3.2则ABC的面积为cosB b10.在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosC 2a c ,则角B的大小为11.已知锐角三角形的边长分别是23 x，则x的取值范围是A、1 X 5 B 、、5 x ^13 C 、0 x .5 D 、13x512 . ABC中，AB 1,BC 2则角C的取值范围是__________________知识点二：判断三角形的形状问题C1.在ABC 中，若cos A cos B sin2—，则ABC 是（）2A.等边三角形B •等腰三角形C .锐角三角形D.直角三角形A、一定是直角三角形C、可能是锐角三角形tan A3. 已知在△ABC中，tan B a b4. 在ABC 中，若cosA cosBA .等腰直角三角形5. 在△ ABC 中，若2cosBsinA = sinC,y^ ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6. △ ABC 中，B 60°, b2 ac,则厶ABC - -定是( )A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形7. 若(a+b+c)(b+c —a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么△ ABC 是()A .直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形 D . 等腰直角三角形8.在厶ABC中，已知2ab c2sin A sin BsinC，试判断厶ABC的形状。
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第一章解三角形1、正弦定理：在 C 中， a 、b、 c 分别为角、、 C 的对边， R 为 C 的外接圆的半径，则有：a b c2R ．sin sin sin C2、正弦定理的变形公式：①a 2Rsin ， b 2Rsin ， c 2Rsin C ；② sina b c， sin ， sin C ；2R 2R 2R③a : b : c sin :sin :sin C ；④a b c a b csin sin sin C sin sin ．sin C注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。
（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知 a、b、 A（ A为锐角）求 B。
具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把 a 扰着 C 点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：C当无交点则 B 无解、当有一个交点则 B 有一解、 ba当有两个交点则 B 有两个解。
bsinAAD法二：是算出CD=bsinA, 看 a 的情况：当a<bsinA ，则 B 无解当bsinA<a ≤ b, 则 B有两解当a=bsinA 或 a>b 时， B 有一解注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：S C 1 1 1bc sin ab sin C ac sin ．2 2 24、余弦定理：在 C 中，有a2 b2 c2 2bc cos ，b2 a2 c2 2ac cos ，c2a2b22ab cosC ．5、余弦定理的推论：cos b2 c2 a22bc，cos a2 c2 b22ac，cosC a2 b2 c22ab．( 余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。
2、已知三边求角 )6、如何判断三角形的形状：设 a 、b、 c 是 C 的角、、 C 的对边，则：①若a2 b2 c2，则 C 90o；②若 a2 b2 c2，则 C 90o；③若 a2 b2 c2，则 C 90o． BA7、正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取相距 3 千米的C、D两点，O O O C D并测得∠ ACB=75, ∠ BCD=45, ∠ADC=30,O∠ADB=45(A 、B、 C、 D在同一平面内)，求两目标A、 B 之间的距离。
附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.练习题一、选择题1、在△ ABC中，a＝10， B=60° ,C=45 °, 则c等于（B）A．103B．10 3 1C． 3 1D．10 32、三角形的两边分别为 5 和 3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为A． 52 B．C． 16 D． 43、在△ ABC中，若(a c)( a c) b(b c) ，则 A （ C ）A 900B 600C 1200D 15004 、在△ ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ D ）A．b = 10 ， A = 45 °， B = 70 ° B ． a = 60， c = 48 ，B = 100 °C．a = 7 ，b = 5 ，A = 80 ° D ． a = 14， b = 16，A = 45°5、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶2，则A∶B∶C等于( A ) A．1∶2∶3B．2∶3∶1C． 1 ： 3： 2 D ． 3： 1： 26、若△ ABC的周长等于 20，面积是10 3 ，A＝60°，则BC边的长是（ C ）A． 5 B ． 6 C． 7 D． 8二、填空题（每题 5 分 , 共 25 分）7、在ABC中，已知sin A : sin B : sinC 6 : 5 : 4 ，则cosA ___________8、在△ABC中，A=60°,b=1, 面积为 3 ，则 a b c =sin A sin B sin C9、在△ ABC中，已知 AB=4，AC=7， BC边的中线7AD ，那么 BC=210、在中，已知角、、所对的边分别是、、，边，且C 60 ，又的面积为，则 a b ________________ 三．解答题（ 2 小题，共 40 分）13、在 ABC中， , sinB=.（I）求sinA的值；(II)设AC=，求ABC的面积.知识点巩固练习（一）一、选择题1．在△ ABC中，若C 90 0 , a 6, B 30 0，则c b 等于（）A．1 B ． 1 C ．2 3 D ． 2 32．若A为△ ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．sin A B ． cos A C ． tan A D ．1 tan A3．在△ ABC中，角A, B均为锐角，且cos A sin B,则△ ABC的形状是（）A．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是 3 ，这条高与底边的夹角为60 0，则底边长为（）A．2 B3C ．3D ． 2 3 ．25．在△ABC中，若b 2a sin B ，则 A 等于（）A．300或600 B ． 45 0或 60 0 C ．1200或600 D ．300或15006．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．900B ． 1200C ．1350D ．1500二、填空题1．在Rt△ ABC中，C 900，则sin Asin B的最大值是_______________。
2．在△ ABC中，若a2 b2 bc c2 ,则 A _________。
3．在△ ABC中，若b 2, B 30 0 , C 1350 ,则 a _________。
4．在△ ABC中，若sin A∶sin B∶sin C 7 ∶ 8 ∶13 ，则 C _____________。
三、解答题1．在△ ABC中，若a cos A b cos B c cosC , 则△ABC的形状是什么？2．在△ ABC中，求证：ab c( cosB cos A) b a b a3．在锐角△ ABC中，求证：sin A sin B sin C cos A cos B cosC 。
知识点巩固练习（二）一、选择题1．在△ ABC中，A : B : C1: 2:3 ，则 a : b: c 等于（）A．1: 2:3B．3: 2:1 C ．1: 3 : 2 D ．2 : 3 :12．在△ ABC中，若角B 为钝角，则 sin B sin A 的值（）A．大于零B．小于零C．等于零 D ．不能确定3．在△ ABC 中，若A2B ，则 a 等于（）A ． 2bsin AB ． 2bcos AC ． 2bsin BD ． 2b cosB4．在△ ABC 中，若 lg sin A lg cos B lg sin C lg 2 ，则△ ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．不能确定D ．等腰三角形5．在△ ABC 中，若 (ab c)(bc a)3bc, 则 A ()A ． 90 0B ． 600C ． 1350D ． 15006．在△ ABC 中，若 a7,b 8, cosC 13，则最大角的余弦是（）141 1A ．1 BC ．15 ．D ．867二、填空题1．若在△ ABC 中，A 600 , b 1, S ABC3, 则a b c =_______。
sin A sin B sin C2．若 A, B 是锐角三角形的两内角，则 tan A tanB _____1（填 >或<）。
3．在△ ABC 中，若 sin A2 cos B cosC, 则 tan B tan C_________ 。
4．在△ ABC 中，若 a 9,b 10, c 12, 则△ ABC 的形状是 _________ 。
5．在△ ABC 中，若 a3, b2, c62, 则 A _________。
2三、解答题1． 在△ ABC 中， A1200 , c b, a21, S V ABC 3 ，求 b,c 。
2． 在锐角△ ABC 中，求证：tan A tan B tanC 1。
A B C 3．在△ABC中，求证： sin A sin B sin C 4 cos cos cos 。
2 2 24．在△ ABC中，若A B 1200，则求证：a b1。
b c a c5．在△ ABC中，若a cos2Cc cos2A3b ，则求证： a c 2b 2 2 2知识点巩固练习（三）一、选择题1． A 为△ ABC 的内角，则 sin A cos A 的取值范围是（）A ． (2,2) B ． ( 2, 2 )C ． ( 1, 2]D ． [2,2]2．在△ ABC 中，若 C 90 0, 则三边的比a b等于（）cA ． 2 cosAB B ． 2 cosAB C ． 2 sinAB D ． 2 sin AB22223．在△ ABC 中，若 a 7,b3,c 8 ，则其面积等于（）A ． 12B ．21C ． 28D ． 6 324．在中，C 90 0 0 A 45 0）△ABC， 0 ，则下列各式中正确的是（A ． sin A cosAB ． sin B cos AC ． sin A cosBD ． sin B cosB5．在△ ABC 中，若 (a c)( a c)b(b c) ，则 A（ ）A ． 90 0B ． 600C ． 1200D ． 15006．在△ ABC 中，若tan Aa 2tan Bb 2 ，则△ ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形二、填空题1．在△ ABC 中，若 sin Asin B, 则 A 一定大于 B ，对吗？填 _________（对或错）2．在△ ABC 中，若 cos 2 A cos 2 B cos 2 C 1, 则△ ABC 的形状是______________。
3．在△ ABC 中，∠ C 是钝角，设 xsin C , y sin A sin B, z cos A cos B,则 x, y, z 的大小关系是 ___________________________ 。
4．在△ ABC 中，若 a c2b ，则 cos A cosC cos A cosC1sin Asin C ______。
35．在△ ABC 中，若 2 lg tan B lg tan A lg tan C , 则 B 的取值范围是 _______________。