北师大版八年级上册数学平方根及算数平方根经典讲义
北师大版八年级数学上册《2-2 平方根(第2课时)》课堂教学课件PPT初中公开课
北师大版 数学 八年级 上册1.什么叫做算术平方根？2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根.100； 1； 36121; 0; -0.0025; (-3)2 ; -25；如果一个正数x 的平方等于a ,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.（1）32= ，（－3）2= ；（2） −232= ， 23 2= ；（3）0.82=，（－0.8）2= .90.640.643. 填空9 讨论反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？4949素养目标3.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根.2.能正确区分平方根与算术平方根的意义.1.了解平方根的概念；掌握平方根的特征.问题 9的算术平方根是3，也就是说3的平方是9，还有其他数， 它的平方等于9吗？3和-3有什么特征？由于（-3）2=9 ，所以还有，这个数是-3.因此平方等于9的数有两个，3和-3.3和-3互为相反数，会不会是巧合呢?知识点 1(1) 0.8的平方等于0.64，那么0.64的算术平方根就是_____(2) 25的平方等于425，那么425的算术平方根就是____(3) 展厅地面为正方形，其面积是49 m 2，则其边长为___m .0.87做一做，想一想问题 平方等于0.64，425，49的数还有吗？25写出左圈和右圈中的“？”表示的数：-11110.60没有x 2x8-8-4-0.6 641210.360填一填，想一想34 -34 916根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.我们抽象出下述概念：一般地，如果有一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫作二次方根）.例如：(±1)2=1，1的平方根为±1. 1. 121的平方根是什么？2. 0的平方根是什么？4. -9有没有平方根？为什么？0没有，因为一个数的平方不可能是负数.3. 1649的平方根是什么？±11±47通过这些题目的解答，你能发现什么?问题 （1）正数有几个平方根？（2）0有几个平方根？（3）负数呢？有没有一个数的平方是负数？因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.归纳总结平方根的性质：1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.2.0的平方根还是0.3.负数没有平方根.根号被开方数根指数可以省略知识点 2平方根的读法和表示非负数a 的平方根表示为：正数a 有两个平方根，一个是a 的算术平方根a ，另一个是-a .它们互为相反数.这两个平方根合起来记作±a ，读作“正、负根号a ”.±2a例如5的平方根表示为：4的平方根表示为：2536的平方根表示为：0的平方根表示为:规定:0的平方根为0.+0=0.-0=0±0±2536，±2536=±56±5，±4，±4=±2求下列各数的平方根:(3) 0.0004(5) 11(4)(1)64(2)49121素养考点 1例（-25）249712111±（2）因为 ，所以 的平方根是即 .12149117±2749=11121±（）（3）因为(±0.02)2=0.0004 ，所以0.0004的平方根是±0.02,即0.0004=0.02±解: （1） 因为（±8）2=64 ，64的平方根为±8, 即 .648=±（4）因为(±25)2=（-25）2，所以（-25）2的平方根是±25,即 .2-2525±（）（5）11的平方根是 .11求下列各数的平方根：（1）81； （2） ； （3）0.49;解：（1）因为 (±9)2=81，（3）因为(±0.7)2=0.49，所以0.49的平方根为±0.7． 所以81的平方根为±9．巩固练习即 .819=±（2）因为 , 2416525⎛⎫±=⎪⎝⎭所以 的平方根是 ，162554±即 .164255=±即 .0.490.7=±1625变式训练+1-1+2-2+3-3149平方已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.知识点 2+1 -1 +2 -2 +3-3149运算反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？求一个数的平方根的运算叫作开平方.开平方与平方是什么关系？a 的平方根底数幂被开方数ax ±= 互为逆运算ax =2指数根号已知底数和指数求幂已知幂和指数求底数开平方运算平方运算与正数与零任何数2a2幂平方根开方平方运算符号适用范围运算结果名称性质正数有个平方根,它们是 ,零的平方根是 ,负数 .正数的平方是数; 零的平方是 ; 负数的平方是数.正正02互为相反数0没有平方根1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.平方根与算术平方根的联系与区别： 2.只有非负数才有平方根和算术平方根.3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根. 联系：2.表示法不同：平方根表示为：而算术平方根表示为 .，a a例 求下列各式的值：素养考点1解：（1） ；366= （2） ；0.810.9=- （3） .49793±=±49360819-±；；．.（1）（2）（3）巩固练习变式训练_____;)3(2=-±2268___-+=169100=_____13103±10-求下列各式的值.()2(0)aa a =≥647.2a49121想一想()272. 2.等于多少？()264249121⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭1. 等于多少？ 等于多少？()2a 3.对于正数a , 等于多少？做一做，想一想____(____,___,___,)655.0322222====2222(____,(____5(2)(3)0.5))6==-=-=--2______a=230.5230.55656a小结==a a2a-a (a >0)(a =0)(a <0)不一定相等，只有当a ≥0时，它们才相等.当a <0 时， 没有意义.2()a 22()aa 之间有什么关系？一定相等吗？与2.化简 的结果是（ ）A ．-4 B ．4 C ．±4D ．21. 若一个数的平方等于5，则这个数等于______．B 连接中考5421.下列说法正确的是_________① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36的平方根是-6;④平方根等于0的数是0; ⑤64的算术平方根是8.①B 2.下列说法不正确的是______A.0的平方根是0 B.-22的平方根是2C.非负数的平方根互为相反数D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数基础巩固题课堂检测④⑤3. 判断下列说法是否正确.正确.（4）(-4)2的平方根是-4.（1） 是 的一个平方根；572549（2） 是6的算术平方根；6（3） ±4；16正确.不正确，是4.不正确，是±4.课堂检测基础巩固题4.求下列各式的值：289（1）0.0625-（2）（3）12164±课堂检测解:（1）28917= （2）0.0625-0.25= （3）12111648=±基础巩固题1.a 的一个平方根是3，则另一个平方根是 ，a= .2.81的平方根是____， 的算术平方根是____ .3.3a -2和2a -3是一个正数的两个平方根，则这两个平方根是___和___，这个数是___.81-399 31-11能力提升题一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4， 求这个数．解：由于一个正数的两个平方根是2a ＋1和a －4， 则有2a ＋1＋a －4＝0，即3a －3＝0，解得a ＝1.所以这个数为(2a ＋1)2＝(2＋1)2＝9.拓广探索题平方根平方根的概念开平方及相关运算平方根的性质课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看 Thank You。
大东区二中八年级数学上册第二章实数2.2平方根第1课时算术平方根教学课件新版北师大版
x
乙 =__1_5_____
______7_5_____≈_____
样本数据的方差分别是 :
s2
甲=____74___75__2_
74
752
…
15
72___75__2 ___73___7_5_2___≈__3___
s2 乙 =_7_5___75__2___7_3__7_5__2 _…_ 71 752 _7_5__7_5__2 __≈_8____ 15
非负数
a 0 (a≥0)
算术平方根具有双重非负性
例2 假设|m-1| + n =03,求m+n的值.
解: 因为|m-1| ≥0 ,
≥0n, 又 3|m-1| +
=0,
所以 |m-1| =0 ,
=0 n, 所 以3 m=1,n=-3,
所以m+n=1+(-3)=-2.
n3
归纳 几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数 有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.
乙 6.11 6.08 5.83 5.92 5.84 5.81 6.18 6.17 5.85 6.21
你认为应该选择哪名运动员参赛 ？为什么 ？
解：我认为应该选择甲运动员参赛。
理由是： 甲、乙运动员10次测验成绩的平均数分别为：
x甲 =
5.85
5.93 … 6.00
10
6.19Biblioteka 6.016.11 6.08 …5.85 6.21
(2)因为12＝1 , 所以1的算术平方根是1 , 即 ;
1 1
(3)因为 ( 7 )2 , 所49以
8
64
(4)14的4算9 术平7方根是
北师版八年级数学上册平方根说课稿
平方根说课稿（二）一、说教材本节课是在前面学习了乘方运算的基础上安排的，是下节学习算术平方根的前提，是学习实数的准备知识，有助于了解n次方根的概念，为学习二次根式作出了铺垫，提供了知识积累。
这节课在内容安排上是先用实际例子引入了平方根及其概念，后半部分又在对平方与开平方进行比较的基础上找出了求一个数的平方根的方法，并通过2个例题巩固所学的概念，其中所选用的数字都比较简单，求解过程详细，可见其设计目的，并不着眼于计算，而在于巩固概念.因此，本课的重难点都是平方根的概念，而突破难点的关键是抓住平方根概念的本质特征，逐层深入，多角度展示。
新课标明确提出，义务教育阶段的数学课程，要从数学本身的特点出发，从学生学习数学的心理规律和学生已有的知识经验出发，让学生经历一个实践、思考、探索、交流、解释、应用的学习过程，在获得对数学理解的同时，在思维能力，情感态度与价值观等多方面都得到进步与发展，因此，这节课教学三维目标就是：1、知识与能力目标：能让学生理解平方根和开平方的概念，能正确地读写有关平方根的式子.2、过程与方法目标：让学生经历从实际例子归纳出平方根概念的过程，理解概念的本质.3、情感态度与价值观目标：就是让学生体验数学与生活息息相关，从生活中来，到生活中去体验数学的作用与价值，使人人学到有用的数学.二、说教法以前学生虽然学过乘方运算，但由于间隔时间太长，他们会有不同程度的遗忘，甚至有些概念已没了印象，同时也为了实现新旧教学方式和学习方式的接轨，结合本课特点，我采取了以下教学方法：（1）情境教学法：目的就是使学生尽快“走进课堂”，激发学生的兴趣，引发学生思考.（2）对比教学法：即把新旧知识，把二次方与平方根的概念，计算过程等对比起来进行教学.即使他们掌握了概念的本质，又完善了学生的知识结构，从而降低了学生的学习难度.（3）经验交流法：即使学生在独立练习、思考的基础上，学会与人交流，与人合作，经验共享.三、说学法说到学法，有一份资料上说：一位美国教师在教学生画苹果时，提着一袋子苹果分给学生，让他们通过看，摸甚至咬上一口再画，学生们就画出了各种各样的生活中的苹果，自己的苹果，而不是老师的苹果，可见，学生才是学习的主人，我们应该把过程还给学生，让过程与结果并重。
统编北师大版八年级数学上册优质课件 第1课时 算术平方根
课后作业
布置作业：教材P27 习题2.3 1、2、3题。 完成练习册中本课时的习题。
1. 求下列各数的算术平方根：
36, 9 ,17, 0.81,104. 16
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=5.求AB的长.
一、填空题.
1.若一个数的算术平方根是 5 ，则这个数是 .
4
2. 9 的算方为 144 ，1 7 算术平方根为
.
25 9
x2= ，y2= ， z2= ，w2= 。
x、y、z、w中哪些是有理数？
哪些是无理数？
因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，
5，所以x、y、z不是有理数，而是无理数， 即 x 2， y 3， w 5 . 因为22=4.所以z=2，是有理数.
结论
若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这
个正数x就叫做a的算术平方根.记为“ a ”，
4. (-1.44)2的算术平方根为
.
二、求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：
（1）（7.4）2；（2）（- 3.9）2；（3）3.25；（4）2 1 . 4
三、自由下落的物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的 关系为h=4.9t2有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，
到达地面需要多长时间？
读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.
特别地，规定0的算术平方根是0， 0 =0.
例1 求下列各数的算术平方根： （1）900；（2）1；（3）49 ；（4）14.
64
在求算术平方根时是借助于平方来求的.在例题中的步骤 采取语言叙述和符号表示相互补充的做法，目的是让大 家在计算中进一步体会一个正数的平方与求算术平方根 是互为逆运算，在以后的步骤中可以简化.
2022八年级数学上册第二章实数2.2平方根1算术平方根授课课件新版北师大版
2.2
平方根
第1课时 算术平方根
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
算术平方根的定义 求算术平方根
算术平方根的非负性（ ≥a 0， a≥0）
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
(1)根据图填空： x2=___2____, y2=___x_2+_1__,
复习提问z2=___y_2+_1__, 引出问题w2=__z_2_+_1 __,
现 a , a 时，a只有为0才有意义．
课堂小结
无理数
1. a 表示的是a的算术平方根，由算术平方根的定 义知它具有“双重”非负性：a≥0， a ≥0，即算术平
方根及它的被开方数都为非负数． 2.对于所有的算术平方根，被开方数越大，对 应的算术平方根也越大；反之亦然．
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月23日星期三2022/3/232022/3/232022/3/23 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/232022/3/232022/3/233/23/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/232022/3/23March 23, 2022
由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为 0，由此可求出x和y的值，进而求得答案． 解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0. 所以x＝1，y＝2. 所以x－y＝1－2＝－1.
感悟新知
总结
知3－讲
(1)算术平方根和数的平方、绝对值一样，都是
课件北师大版八年级上册二次根式ppt课件
(3) 2 . 5
5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用.
问题：化简
，其中a=3，b=2.
判断下列代数式中哪些是二次根式解. ：(1) 6
2
62
4 2;
16的平方根是什么? 算术平方根是什么？
3
3
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
如图所示，已知正方形的面积为b-3，则
正方形的边长是 b . 3
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2 500
S π
b3
表示一些正数的算术平方根;
一般地，形如 a （a≥0)的式子叫做二次根式;
a叫做被开方数.
核心归纳
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式. 1. 表示a的算术平方根； 2. a可以是数,也可以是式； 3. 形式上含有二次根号 ；
解法一：（3） ( 24 1 ) 3 24 3 1 3
6
6
24 3
1 3 6
8
1
63
42
2 66
2 2 1 2 11 2 .
6
6
你还有其他解 法吗？
(3)( 24 1 ) 3. 6
解法二： 原式= 4 6
1 6
6 6
1 3
2
6
6 6
3 3
11 6 3 63
想一想
1.试回顾如何计算3a2·2a3= 6a5 . 还记得单项式
乘以单项式的
2. 3 5 2 2 如何计算呢？
法则吗？
解：3 5 2 2=（3 2）（ 5 2）=6 10.
归纳总结 二次根式的乘法扩充法则
八年级数学上册2.2平方根第1课时算术平方根教案 新版北师大版
八年级数学上册2.2平方根第1课时算术平方根教案新版北师大版一. 教材分析平方根是八年级数学上册第2.2节的内容，主要介绍平方根的定义、性质和运算方法。
本节课的内容是学生进一步学习数学的基础，对于培养学生的逻辑思维和运算能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘方和二次根式，对于根式的概念和性质有一定的了解。
但平方根的概念和性质较为抽象，需要学生通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.理解平方根的定义和性质；2.掌握求一个数的平方根的方法；3.能够运用平方根的概念解决实际问题。
四. 教学重难点1.平方根的定义和性质；2.求一个数的平方根的方法。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过引导学生自主探究和合作交流，让学生在实际问题中感受平方根的概念和性质，提高学生的数学思维和解决问题的能力。
六. 教学准备3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实例，如测量身高、计算面积等，引导学生思考这些实例中是否涉及到平方根的概念。
通过讨论和回答问题，引出平方根的概念。
2.呈现（10分钟）讲解平方根的定义和性质，通过PPT展示相关的例题和解释，让学生理解和掌握平方根的概念。
3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，互相提问，巩固对平方根的理解。
教师可以提出一些问题，引导学生深入思考。
5.拓展（10分钟）讲解求一个数的平方根的方法，并通过PPT展示相关的例题和解释，让学生掌握求平方根的技巧。
6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，教师进行补充和讲解。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关平方根的练习题，让学生回家巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书本节课的重点内容，方便学生复习和记忆。
教学过程每个环节所用的时间如上所示，供您参考。
希望这份教案能够帮助您更好地进行教学。
平方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.1 平方根（知识讲解）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】【知识点一】算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根”，叫做被开方数.特别说明：0，≥0. 【知识点二】平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【知识点四】平方根的性质【知识点五】平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥向左移动1位..【典型例题】类型一、求一个数的平方根1．求下列各数的算术平方根． (1)169； (2)481； (3)0.09； (4)(﹣3)2． 【答案】(1)13； (2)29； (3)0.3； (4)3 【分析】根据算术平方根的定义解答 解：(1)∵132＝169，∵169的算术平方根是13， 13； (2)∵（29）2＝481， ∵481的算术平方根是29，29； (3)∵0.32＝0.09，∵0.09的算术平方根是0.3， ＝0.3； (4)∵32＝9＝（﹣3）2，∵（﹣3）2的算术平方根是3， 3．【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 【变式】 求下列各数的算术平方根： (1) 0.64 (2) 4981【答案】(1) 0.8； (2)79【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 解：（1）因为0．82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8． （2）因为2749()981=，250=25= 2.5=0.25=所以4981的算术平方根是7979． 【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．类型二、利用算术平方根非负性求解2．已知223y x x =-+--，求(x +y )2022的值 【答案】1【分析】根据二次根式的性质得到2x =，计算出1x y +=-，从而计算出最终的答案．解：∵3y =∵2020x x -≥⎧⎨-≥⎩得22x x ≥⎧⎨≤⎩∵2x =∵33y ==- ∵202220222022()(23)(1)1x y +=-=-= ∵2022()1x y +=．【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．举一反三：【变式】 已知实数a 、b 、c |1|a +=(1) 求证：b c =；(2) 求a b c -++的平方根． 【答案】(1)见分析 (2)3±【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得,,a b c 的值，进而求得a b c -++的平方根．(1)证明：0≥0，0,0b c c b -≥-≥，b c ∴=；(2)解：|1|a +=b c =，10a -=，1,4a b ∴=-=， 4c b ∴==，1449a b c ∴-++=++=，9的平方根是3±．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分3．已知21a-＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整数部分，求a+b+2c 的平方根．【答案】±5【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．解：＝3，∵2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∵15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵1011，∵c＝10，∵a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∵a+b+2c的平方根为±5．【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．举一反三：【变式】已知a b－1是400【答案】6a的值，进而利用算术平方根的定义得出b 的值，即可得出答案．解：∵a∵a＝15，∵b－1是400的算术平方根，∵b－1＝20，解得：b＝21，6．【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a 的值是解题关键．类型四、算术平方根相关规律问题4.先填写表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x ＝ ，y ＝ ；(2)从表格中探究a∵ ；∵8.973＝89.73，用含m 的代数式表示b ，则b ＝ ；(3)a 的大小．【答案】(1)0.1，10(2)∵31.6；∵100b m =(3)当0a =a =；当1a =a =；当01a <<a ；当1a >a 【分析】（1）根据算术平方根的性质，即可求解；（2）根据题意可得当a 扩大10010倍，∵≈3.16，即可求解；∵8.973＝89.73，即可求解；（3）分四种情况：当0a =时，当1a =时，当01a <<时，当1a >时，即可求解．(1)解：根据题意得：0.1,10x y ====；(2)解：根据题意得：当a 扩大10010倍，，31.6；8.973＝89.73， ∵100b m =；(3)当0a =0=a =；当1a =1=a =；当01a <<时，根据a a >；当1a >时，根据a a ；综上所述，当0a =a =；当1a =a ；当01a <<a >；当1a >时，a <．【点拨】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 举一反三：【变式】 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：221+=； 221+=；221+=；⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）请用含n （n 为正整数）的等式表示上述交化规律：______；（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；（3的长度；（4）若S 表示三角形面积，121OP P S S =△，232OP P S S =△，343OP P S S =△⋅⋅⋅，计算出222212310S S S S +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）221+=；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见分析；（4）554． 【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得； （2）根据等式和图形即可得；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，可得6OP 出点7P ，连接7OP 即为所求；（4）先分别求出123,,S S S 的值，再归纳总结出一般规律得出n S 的值，从而可得10S 的值，然后代入求和即可．解：（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为221+=故答案为：221+=；（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，即可得6OP 作点7P ，连接7OP ，则7OP 即为所求，如图所示：（4）121111122OP P S S==⨯⨯==2321122OP P S S ==⨯343112OP P S S==⨯归纳类推得：1112n n n OP P S S +==⨯当10n =时，101110112OP P S S==⨯=则222222221231010()2S S S S +++⋅⋅⋅+=++++ 123104444=++++123104++++=554=． 【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．类型五、算术平方根的实际应用5.如图，用两个边长为18cm 的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为230cm 请说明理由．【答案】不能，理由见分析【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1，计算长方形的长与宽进行验证即可．解：不能，∵2+2=36（cm 2）， ∵大正方形的边长为6cm ，设截出的长方形的长为2b cm ，宽为b cm ， ∵2b 2=30，∵b∵2b =6=，∵不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm 2的长方形纸片．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 举一反三：【变式】 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为1S 、2S ）．(1)如图1，121,1S S ==，拼成的大正方形1111D C B A 边长为___________； 如图2，121,4S S ==，拼成的大正方形2222A B C D 边长为___________； 如图3，121,16S S ==，拼成的大正方形3323A B C D 边长为___________．(2)若将（1）中的图3沿正方形3333A B C D 边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∵3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；【答案】(2)不能用正方形3333A B C D 纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见分析 【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．(1)解：如图1，当S 1=1，S 2=1，拼成的大正方形A 1B 1C 1D 1的面积为1+1=2，因此其边如图2，当S 1=1，S 2=4，拼成的大正方形A 2B 2C 2D 2的面积为1+4=5如图3，当S 1=1，S 2=16，拼成的大正方形A 3B 3C 3D 3的面积为1+16=17，(2)解：不能，理由如下：设长方形的长为4x ，宽为3x ，则有4x •3x =14.52， 所以x 2=1.21， 即x =1.1（x ＞0），因此长方形的长为4x =4.4，宽为3x =3.3， 因为（4.4）2=19.36＞17，所以不能用正方形A 3B 3C 3D 3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形． 【点拨】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．类型六、平方根概念的理解6.已知10﹣3a 的平方根是±1，a ﹣b +2的算术平方根是2，求3a +b 的值． 【答案】10【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a 与b 的值，然后代入3a +b 即可． 解：∵10﹣3a 的平方根是±1，∵()21031a -=±， 解得，a ＝3，∵a ﹣b +2的算术平方根是 2， ∵222a b -+=， 解得，b ＝1，∵333110a b +=⨯+=．【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键． 举一反三：【变式】 已知一个正数的两个不相等的平方根是6a +与29a -． （1）求a 的值及这个正数；（2）求关于x 的方程()2280ax --=的解． 【答案】（1）a =1，这个正数是49；（2）8x =± 【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到6a ++29a -=0，求解即可得到答案；（2）将a =1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可． 解：（1）由题意得6a ++29a -=0，解得a =1，∵这个正数是2(6)49a +=；（2）将a =1代入方程()2280ax --=，得2x -64=0， 解得8x =±．【点拨】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．类型七、求一个数的平方根7.先用平方根符号表示下列各数，再求值： (1)9(2)1625【答案】(1)记为3±(2)±记为45± 【分析】（1）根据平方根的概念与性质，计算即可； （2）根据平方根的概念与性质，计算即可．(1)解：原式=3=±(2)解：原式45=±【点拨】本题考查平方根的概念与性质，一个数a 的正的平方根，用符号表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负平方根用“表示，根指数是2时，通常略去不写．如“根号a ”，“正、负根号a ”，掌握平方根的概念与性质是解题的关键．举一反三：【变式】 求下列各数的平方根： (1)100； (2)64； (3)4964；(4)1.21．【答案】(1)±10(2)±8(3)78±(4)±1.1【分析】（1）根据2100±=（10）计算即可． （2）根据264±=（8）计算即可．（3）根据2749864±=（）计算即可． （4）根据2 1.21±=（ 1.1）计算即可．解：(1)∵2100±=（10），∵100的平方根是±10．(2)∵264±=（8），∵64的平方根是±8． (3)∵2749864±=（） ∵4964的平方根是78±． (4)∵2 1.21±=（ 1.1），∵1．21的平方根是±1．1．【点拨】本题考查了平方根即如果2x a =（a 是非负数），则称x 是a 的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．类型八、求代数式的平方根8.若2x +的算术平方根是3，求34+x 的平方根．【答案】5±【分析】根据2x +的算术平方根是3，求出x 的值后，代入34+x 中，再求34+x 的平方根．解：∵2x +的算术平方根是3，∵29x +=，∵7x =，∵3425x +=，∵34+x 的平方根为5±．【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算数平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．举一反三：【变式】k 是64的平方根，求m -n+k 的平方根．【答案】【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n -0，解得m=-1，n=2；由k 是64的方根，得出k=±8，再代入m 、n 、k 的值求得m -n+k 的值，求其平方根即可．解：0，又，∵m+1=0，2-n-0，∵m=-1，n=2，∵k是64的平方根，∵k=±8；当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；综合上述可得：m-n+k的平方根为【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．类型九、已知一个数的平方根，求这个数9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？【答案】25【分析】直接利用平方根的性质求解．解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，∵a＝﹣1，∵3a﹣2＝﹣5，∵x＝25．【点拨】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．【答案】a和x的值分别为﹣1，25【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∵4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∵x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．类型十、利用平方根解方程10.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x－1）2＝4解：∵（x－1）2＝4（1）∵x－1＝2（2）∵x＝3（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号）原因是____________________________________.请写出正确的解答过程.【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数，见分析【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解．解：上述过程中有错误，错在步骤（2），原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确的解答过程为：解：∵（x－1）2＝4∵x－1＝±2∵x＝3或x＝－1故答案为：（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，【点拨】本题考查了根据平方根解方程，掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】求下列式子中的x：(1)25(x﹣35)2＝49；(2)12(x+1)2＝32．【答案】(1)x1＝2，x2＝45(2)x1＝7，x2＝﹣9【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．(1)解：25（x﹣35）2＝49，（x﹣35）2＝4925，x﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75， 解得：x 1＝2，x 2＝45-； (2)12（x +1）2＝32，（x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64，x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键． 类型十一、平方根的应用11.如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．(1)图∵中阴影部分的正方形的边长等于______________(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法一：________________________________________________方法二：________________________________________________(3)根据（2）直接写出22(),(),m n m n mn -+这三个代数式之间的等量关系．(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x 和y ，若9,18x y xy +==，求x y -的值．【答案】(1)m n -(2)2()m n -，2()4m n mn +-(3)22()()4m n m n mn -=+-(4)3±【分析】（1）利用小长方形的长减去宽即可得；（2）方法一：根据（1）的结论，直接利用正方形的面积公式即可得；方法二：利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；（3）根据（2）中方法一与方法二求出的面积相等即可得；（4）先利用（3）中的等式求出2()x y -的值，再根据平方根的性质即可得．(1)解：由题意得：小长方形的长为m ，宽为n ，则图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，故答案为：m n -．(2)解：方法一：图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，则其面积为2()m n -；方法二：图∵中大正方形的边长为m n +，四个小长方形的长均为m ，宽均为n ，则图∵中阴影部分的面积为2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-．(3)解：因为（2）中方法一与方法二求出的面积相等，所以22()()4m n m n mn -=+-．(4)解：9,18x y xy +==，222()()494189x y x y xy ∴-=+-=-⨯=，3x y ∴-=±．【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用，结合图形，正确发现图∵中阴影面积的两种求解方法是解题关键．举一反三：【变式】 已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵20220a -≥，∵2022a ≥．∵20200a -<，∵原式化简为2020a a -+=，2020=，∵220222020a -=，故220202022a -=．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键．。
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第二讲 平方根及算数平方根【考纲要求】掌握平方根及算数平方根的概念及运算 【教学重难点】1.平方根、算术平方根的概念，体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，掌握它的表示方法；2.平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. 【重难点命题方向】（一）什么是平方根？【例1】问题1 要剪出一块面积为25 cm 2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？问题2 已知圆的面积是16πcm 2，求圆的半径长．★ 反思与小结：以上两个具体例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题： 已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x 2＝a ，求x 的值．概括 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（也叫a 的二次方根）， 【举一反三】： 的平方=49,所以49的平方根是 的平方=1.21,所以1.21的平方根是 的平方=2536,所以2536的平方根是建议:同学们把1—20的平方数记熟，以便求它们的平方根.211= , 212= ,213= ,214= ,215= ,216= , 217= ,218= ,219= ,220= ,（二）平方根有什么性质呢?【例2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它们的平方根：①100；②0.64；③0；④-1归纳平方根的性质：一个正数有 个平方根，它们 ；0有 个平方根，它是 ；负数 平方根． 【举一反三】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．(1)－64；(2)0；(3)(－4)2．★反思与小结：学习平方根，必须考虑两个问题：一个数有没有平方根？有几个？同学们常在这两个问题上犯错误，其一错在：求一个正数的平方根时，只计算出了正的平方根；其二错在：误认为负数有平方根且是一个负数。
（三）一个非负数a 的平方根的表示法．一个非负数a 的平方根的表示法．记作“2a ±”．这里，符号“2”，读作“二次根号”，“2a ”读作“二次根号a ”．当根指数是2时，通常将这个2省略不写，如2a 记作a ，读作“根号a ”；2a ±记作a ±，读作“正负根号a ”．一般地，如果x 2＝a (a ≥0)，那么a 的平方根可以表示为x =a ±．例如，9的平方根记作9±，读作正负根号9．（四）求一个数的平方根——开平方运算求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根． 【例3】列式求下列各数的平方根：0.0001； 179； （–16）2，， 144121， 15， 0.64， 410-， 0)65(．解答：★反思与小结：求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征．另外，需注意（1）求带分数的平方根时，要将带分数先化成假分数．（2）注意区分(–a )2与–a 2（a ≠0），(–a )2的平方根是±a ，而–a 2是一个负数，它没有平方根．【例4】针对训练：（1）4的平方根是（ ）A ． 2B ．16C ．2±D ．±16（2）若3＋a 是25的平方根，則a 是（ ）的平方根．(A) 4 (B) 8 (C) 4或64 (D) 8或64反思与小结：因为过去学到的运算其结果都是惟一的，所以刚开始接触平方根时，大家对于一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，不大习惯．而本例的解决过程中连续两次用到平方根的意义，稍不注意便会出错，多数会错在仅得到a 的一个值，致使误选成A ．（五）什么是算术平方根？正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．记作a ，读作“a 的算术平方根”．那么0的算术平方根是 ；负数的算术平方根【例5】下列说法正确的是（ ）．（A ）91-的算术平方根是31 （B ）91-的平方根是31-（C ）91的算术平方根是31- （D ）91的平方根是31±★反思与小结：对于平方根和算术平方根的理解误区有两个，其一是认为任何数都有平方根；其二是将平方根和算术平方根混淆，实际上平方根与算术平方根是既有区别又有联系的两个概念，区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有1个；联系在于正数的负平方根是它算术平方根的相反数．【举一反三】求下列各数的算术平方根：(1) 36 ； (2) 2.89 ； (3) 971．（4）81 (六)针对练习:【例6】(1)求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：(2)一个自然数算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）A ．1a +B ．21a +C ．21a +D ．1a +（3）化简：16＝ ． （4）（2017黔西南州）的平方根是 ．★反思与小结：弄清上面各式的意义： a （a >0）表示a 的算术平方根，而–a （a >0）表示a 的负的平方根，±a 则为正数a 的两个平方根。
【例7】若将三个数11,7,3-表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________________．【例8】（1）满足2-＜x ＜5的整数x 是 ；【点拨】先对2-和5估算．（2）估算31－2的值（ ）A ．在1和2之间B ．在2和3之间C ．在3和4之间D ．在4和5之间 （3）（2017湖北宜昌）在﹣2，0，3，这四个数中，最大的数是（ ）54321-1-2A ． ﹣2B ． 0C ． 3D ．【例9】（2017年济宁市)若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为A ．1B ．－1C ．7D ．－7【点拨】两个非负数的和为0，可以得到什么结论？（2）若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ． （3）（2017巴中）若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．【反思与小结】绝对值、平方数、算术平方根是初中阶段最常用的几个非负数．它们的共同点是非负性。
【例10】（1）（2017聊城）如右图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数是3和-1，则点C 所对应的实数是（ ）A. 1+3B. 2+3C. 23-1D. 23+1反思与小结：根据实数与数轴上的点“一一对应”及点对称的性质即可解决问题.注意容易分析失误而选A 情形.（2）（2017黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ） A ． 5B ．C ．D ． 5或以下题目视学生能力选作 【例11】1．已知ａ、ｂ满足()0111=---+b b a ，求ａ2011－ｂ2012的值．2．已知x 、y 是实数， 096432=+-++y y x ，若y x axy =-3，则a= ．3．方程0185=++-+y y x 的解是 ．【积累小结】正确地理解平方根的概念是求平方根的关键; 求一个数的平方根或算术平方根时,•常常根据平方运算及开平方运算的互逆关系,利用平方运算求出这个数的平方根.突出了数学知识的逆向思维的训练以及思维严谨的训练，即渗透了分类的数学思想。
另外，估算的思想方法同样是很重要的，要熟练掌握它．【基础限时训练】1．121的平方根是＿＿＿＿，算术平方根＿＿＿＿＿． 2． 4.9×103的算术平方根是＿＿＿＿＿＿．3．（－2）2的平方根是＿＿＿＿＿，算术平方根是＿＿＿＿． 4．－3是＿＿＿＿的平方根． 5．若4ｘ2－25＝0，则ｘ＝＿＿＿＿＿．6．下列说法正确的是（ ）A ．－5是（－5）2的算术平方根 B ．16的平方根是±4 C ．2是－4的算术平方根 D ．－4-＝2 7．下列语句正确的是（ ）A ．一个数的平方根一定有两个B ．一个正数的平方根一定是它的算术平方根C ．算术平方根是它本身的数只有0D ．一个非负数的非负平方根一定是它的算术平方根 8.以下列语句及写成的式子正确的是（ ）A ．8是64的平方根，64＝8B ．8是（－8）2的算术平方根，即()28-＝8C ．±8是64的平方根，即864=±D ．±8是64的平方根，即±=648【拔高限时训练】1．下列命题中，①9的平方根是3；②－3是9的平方根；③36的平方根是±6；④（－2）2的平方根是－2；⑤一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数是0．其中正确的个数有（ ）A ， 1B ， 2C ， 3D ， 4 2．若一个正数的算术平方根是ａ，则比这个数大3的正数的平方根是（ ）A ，32+a B ， －32+a C ， ±32+a D ， ±3+a3．已知：3-+b a ＝0，则ab 的平方根是（ ）A ， 0B ， 1C ， 2D ， 3 4．已知a -有意义，则a 一定是（ ）A ，负数B ，正数C ，非负数D ，非正数5．已知两个正方形的面积之和为468，面积之差为180，求这两个正方形的边长． 6．比较327-与31的大小．【课后作业】 （以本节重点知识复习为主，10-15题最好，下节课一开始对答案。
） 116__________．2．如图，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点有_____个． 3．比较65__________． 4.若()22340a b c ---=，则=+-c b a ． 5.以下列语句及写成的式子正确的是（ ）A ．8是64的平方根，64＝8B ．8是（－8）2的算术平方根，即()28-＝8C ．±8是64的平方根，即864=±D ．±8是64的平方根，即±=6486.若将三个数11,7,3-表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________________．543210-1-2。