二维图形的几何变换 空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值
二维图形变换
图形变换
图形变换是计算机图形学基础内容之一。 内容： 几何变换； 视图变换； 投影变换。 作用： 把用户坐标系与设备坐标系联系起来； 可由简单图形生成复杂图形； 可用二维图形表示三维形体； 动态显示。
图形变换的基本原理是： （1）图形的拓扑关系不变； （2）图形的几何关系可以改变。 所谓图形拓扑关系不变是指图形的连边规则不变， 即原来是相邻的点变换后依然相邻，原来不相交的 线变换后依然不相交。
0 0 1
x
△x
错切变换（1）
y
O
x
y
O
x
y
O
x
（d）沿+y方向错切 （e）沿-y方向错切
（f）沿+x和+y方向错 切
（2）沿 y 轴方向关于 x 轴错切
将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成Ψ角的倾斜线， 而保持x坐标不变。
几何关系
y
x' x
y' y y
△y
令 b ctg y xctg bx
)
r
cos
sin
＋r
sin
cos
将式（5-11）代入式（5-12）得：
x' x cos y sin
y'
x
sinLeabharlann ycos矩阵形式
x
y x
y
cos sin
sin
cos
（5-12） （5-13） （5-14）
5.2.3 齐次坐标（homogeneous coordinates）技术
(x1, x2 ,...,xn ,)
(x1 , x2 ,..., xn , )
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子
几何变换的认识与运算
几何变换的认识与运算几何变换是指在二维或三维的空间中，通过对图形进行平移、旋转、缩放和翻转等操作，改变图形的位置、方向、形状和大小。
它是几何学中的重要概念，被广泛应用于计算机图形学、建筑设计、工程制图等领域。
本文将介绍几种常见的几何变换，并探讨其运算规则。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着平行于某个方向的矢量移动一段距离，使图形保持原有的形状和大小不变。
平移变换可以用一个向量来表示，该向量的大小和方向决定了平移的距离和方向。
例如，对于一个平面上的图形，如一个矩形，我们可以将它沿着x轴正方向平移10个单位，沿着y轴正方向平移5个单位。
这个平移变换可以表示为(10, 5)，其中10表示x方向的平移距离，5表示y方向的平移距离。
二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕一个点或者一个轴进行旋转，使图形相对于旋转中心点产生旋转。
旋转变换可以用一个角度来表示，该角度决定了旋转的方向和幅度。
例如，对于一个平面上的图形，如一个正方形，我们可以将它围绕原点逆时针旋转45度。
这个旋转变换可以表示为45°，其中45°表示逆时针旋转的角度。
三、缩放变换缩放变换是指改变图形的大小，使图形的各个部分相对于原始大小进行伸缩。
缩放变换可以用一个比例因子来表示，该比例因子决定了缩放的程度。
例如，对于一个平面上的图形，如一个圆形，我们可以将它在x方向上缩小为原来的一半，在y方向上缩放为原来的两倍。
这个缩放变换可以表示为(0.5, 2)，其中0.5表示x方向上的缩放比例，2表示y方向上的缩放比例。
四、翻转变换翻转变换是指将图形沿着一条轴进行对称映射，使图形相对于轴发生左右或上下的镜像翻转。
翻转变换可以用一个方向来表示，该方向决定了翻转的轴线。
例如，对于一个平面上的图形，如一个三角形，我们可以将它沿着x轴进行上下翻转。
这个翻转变换可以表示为x轴，其中x轴表示沿着x轴进行翻转。
几何变换的运算规则可以通过矩阵相乘的方式来表示。
二维空间里的简单矩形变换（平移、按比例缩放、旋转、对称、错切）
point change(point p, int a[3][3]) {
int b[3] = { 0, 0, 0 }; for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 3; j++) b[i] += p.a[j] * a[j][i];
return; }
void Rotation(point p1, point p2, point p3, point p4) {
double d; printf("Please enter the angel of rotation:(格式:60度就输入60):"); scanf("%lf", &d); getchar(); d = d / 180 * 1.0 * PI; double a[3][3] = { cos(d), -sin(d), 0, sin(d), cos(d), 0, 0, 0, 1 }; DrawChange2(p1, p2, p3, p4, a);
(4)对称:
以X轴对称：
，有
*
=
；
以Y轴对称：
，有
*
=
；
以原点O对称：
，有
*
=
；
以Y=X对称：
，有
*
=
；
以Y=-X对称：
，有
*
=
；
(5)错切：
，有
*
=
；
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二维形的转换学习平移旋转和翻转操作
二维形的转换学习平移旋转和翻转操作二维形的转换是计算机图形学中的重要概念之一。
通过平移、旋转和翻转操作，可以对二维图像进行各种变换和调整。
本文将针对二维形的转换学习平移、旋转和翻转操作进行详细讨论。
一、平移操作平移操作是指将二维图形在平面上按照指定的向量进行移动的过程。
平移操作不改变图形的形状和大小，只是改变了它在平面上的位置。
在二维平面坐标系中，平移操作可以用向量来表示。
设平移向量为(t_x, t_y)，即将图形中的每个点的坐标分别加上t_x和t_y，得到平移后的新坐标。
二、旋转操作旋转操作是将二维图形绕指定的旋转中心点按照指定的角度进行旋转的过程。
旋转操作可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
在二维平面坐标系中，旋转操作可以用数学公式来表示。
设旋转中心点为(x_0, y_0)，旋转角度为θ，对于二维图形中的每个点(x, y)，经过旋转操作后的新坐标可以通过以下公式计算得出：x' = (x - x_0) * cosθ - (y - y_0) * sinθ + x_0y' = (x - x_0) * sinθ + (y - y_0) * cosθ + y_0三、翻转操作翻转操作是将二维图形围绕指定的轴进行翻转的过程。
翻转操作可以分为水平翻转和垂直翻转两种。
在二维平面坐标系中，水平翻转操作可以通过交换图形中的每个点的y坐标得到，垂直翻转操作可以通过交换图形中的每个点的x坐标得到。
四、实际应用二维形的转换在计算机图形学、计算机动画以及电子游戏开发等领域有着广泛的应用。
通过平移、旋转和翻转操作，可以实现图形的移动、变形和调整。
例如，平移操作可以用于实现游戏中的角色移动，旋转操作可以用于实现游戏中的物体旋转效果，翻转操作可以用于实现图像的镜像效果等。
此外，二维形的转换还可以应用于计算机辅助设计、虚拟现实技术等领域。
总结：通过本文的讨论，我们了解了二维形的转换学习平移、旋转和翻转操作的基本原理和实际应用。
基本几何变换知识点总结
基本几何变换知识点总结几何变换是几何学中常见的概念之一，广泛应用于图形处理、计算机视觉、计算机图形学等领域。
本文将对常见的几何变换知识点进行总结，包括平移、旋转、缩放和翻转等。
一、平移平移是指将一个图形在平面上沿着一个方向移动一定的距离，新的位置与原来的位置保持平行。
平移可以用一个向量表示，向量的坐标即为平移的距离。
在二维空间中，平移的公式为：x' = x + dxy' = y + dy其中(x, y)为原始点的坐标，(x', y')为平移后点的坐标，(dx, dy)为平移的距离。
二、旋转旋转是指将一个图形绕着某一固定点按照一定的角度进行旋转，使得图形的形状和大小保持不变。
旋转可以用一个角度值表示，正值表示逆时针旋转，负值表示顺时针旋转。
在二维空间中，旋转的公式为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中(x, y)为原始点的坐标，(x', y')为旋转后点的坐标，θ为旋转的角度。
三、缩放缩放是指按照一定的比例对图形进行放大或缩小，图形的形状会发生改变。
缩放可以用一个比例因子表示，小于1的比例因子表示缩小，大于1的比例因子表示放大。
在二维空间中，缩放的公式为：x' = x * sxy' = y * sy其中(x, y)为原始点的坐标，(x', y')为缩放后点的坐标，sx和sy分别为x轴和y轴的缩放因子。
四、翻转翻转是指将图形按照一条轴线进行对称操作，使得图形相对于轴线对称。
常见的翻转有水平翻转和垂直翻转。
水平翻转的公式为：x' = -xy' = y垂直翻转的公式为：x' = xy' = -y其中(x, y)为原始点的坐标，(x', y')为翻转后点的坐标。
综上所述，几何变换是指对图形进行平移、旋转、缩放和翻转等操作的过程。
二维图形几何变换
⼆维图形⼏何变换⼀、基本变换1. 平移定义：将物体沿直线路径从⼀个坐标位置移到另⼀个坐标位置的重定位。
不产⽣变形⽽移动物体的刚体变换。
原始坐标位置：(x ,y )，平移距离t x 、t y ，新位置(x ′,y ′)，则x ′=x +t x ,y ′=y +t y 表⽰为矩阵形式，令：→P =x y→P ′=x ′y ′→T =t x t y⼆位平移⽅程：→P ′=→P +→T2. 旋转当参考点为(0,0)定义：以某个参考点为圆⼼，将对象上的各点(x ,y )围绕圆⼼转动⼀个逆时针⾓度θ，变成新的坐标(x ′,y ′)的变换。
x ′=rcos (φ+θ)=rcos φcos θ−rsin φsin θy ′=rsin (φ+θ)=rsin φcos θ+rcos φsin θ∵x =rcos φ,y =rsin φ∴x ′=xcos θ−ysin θy ′=xsin θ+ycos θ令：→R =cos θ−sin θ−sin θcos θ写成矩阵形式：→P ′=→R ⋅→P绕任意指定的旋转位置(x r ,y r )旋转的变换⽅程1. 将坐标系原点平移到(x r ,y r )2. 在新的坐标系下做旋转变换3. 将坐标原点平移回原坐标系x ′=x r +(x −x r )cos θ−(y −y r )sin θy ′=y r +(x −x r )sin θ+(y −y r )cos θ3. 变化（缩放）Scaling定义：使对象按⽐例因⼦Sx 和Sy 放⼤或缩⼩的变换。
x ′=x ⋅S xy ′=y ⋅S y令→S =S x 00S y矩阵形式：→P ′=→S ⋅→PS x 、S y 均⼩于1，缩⼩物体尺⼨，S x 、S y 均⼤于1，放⼤物体。
S x =S y ，则保持物体相对⽐例缩放⼀致。
特殊情况当Sy =−1、Sx =1，按x 轴反射当Sy =1、Sx =−1，按y 轴反射()()()()()当Sy =−1、Sx =−1，按原点(0,0)反射⼆、变换矩阵每个基本变换均可表⽰为普通矩阵形式：→P ′=→M 1→P +→M 2平移将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，将⼆维⼏何变换的乘法和平移项组合成单⼀矩阵表⽰平移。
二维形的平移和缩放
二维形的平移和缩放二维形的平移和缩放是在二维平面上对图形进行位置移动和尺度变化的操作。
在计算机图形学、几何学以及许多其他领域中，这两种操作是常用且重要的。
一、二维形的平移平移是指将图形沿着平行方向移动一段距离。
在二维平面上，我们可以通过修改图形的每个顶点的坐标来实现平移。
假设有一个二维图形，由一系列的顶点坐标组成。
对于每个顶点 (x, y)，要进行平移，只需要将其坐标分别加上平移的向量 (tx, ty) 即可。
比如，假设要将一个矩形图形向右平移 2 个单位，向上平移 3 个单位。
矩形的四个顶点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，(x4, y4)。
进行平移后，新的顶点坐标为：(x1+2, y1+3)，(x2+2, y2+3)，(x3+2,y3+3)，(x4+2, y4+3)。
通过以上的计算，可以实现对二维图形的平移。
平移操作仅仅是对图形进行移动，并不改变其形状和大小。
二、二维形的缩放缩放操作是指对图形进行尺度的变化，可以使图形变大或者变小。
在二维平面上，缩放操作可以通过修改图形的顶点坐标和比例因子来实现。
对于每个顶点 (x, y)，要进行缩放，需要将其坐标乘以缩放因子，得到新的坐标 (sx * x, sy * y)。
其中，sx 表示在 x 轴方向上的缩放比例，sy 表示在 y 轴方向上的缩放比例。
例如，假设要将一个矩形图形在 x 轴方向上缩小为原来的一半，在y 轴方向上放大 2 倍。
矩形的四个顶点坐标为 (x1, y1)，(x2, y2)，(x3,y3)，(x4, y4)。
进行缩放后，新的顶点坐标为：(0.5 * x1, 2 * y1)，(0.5 * x2, 2 * y2)，(0.5 * x3, 2 * y3)，(0.5 * x4, 2 * y4)。
通过以上的计算，可以实现对二维图形的缩放。
缩放操作可以改变图形的形状和大小，但不改变其位置。
应用：二维形的平移和缩放在许多领域中都有广泛的应用。
二维图形几何变换
矩阵表示法的具体形式和计算方法
矩阵表示法在二维图形几何变换中的应用和实现
定义：矩阵的加法运算是指将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。
性质：矩阵的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
பைடு நூலகம்
运算规则：两个矩阵相加时，必须保证它们的维度相同，即行数和列数分别相等。
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矩阵变换的基本概念：介绍矩阵和几何变换的基本概念，以及它们之间的关系。
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矩阵变换的种类：列举常见的二维图形几何变换，如平移、旋转、缩放、错切等，并解释如何通过矩阵运算实现这些变换。
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矩阵变换的步骤：详细介绍如何通过矩阵运算实现二维图形的平移、旋转、缩放和错切等几何变换的步骤，包括变换前后的矩阵表示和计算过程。
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二维图形几何变换是指对二维图形进行旋转、平移、缩放等操作，使其在几何上发生变化的过程。
通过二维图形几何变换，可以实现图形的重新排列、调整和优化，从而满足不同的设计需求。
二维图形几何变换的基本要素包括原点、方向、角度和比例等，这些要素决定了变换的具体效果。
性质：逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵
应用：在二维图形几何变换中，矩阵的逆运算可用于还原图形的原始位置和形状
图像处理：平移变换常用于图像处理中的缩放、旋转等操作，以提高图像质量和分辨率。
动画制作：在动画制作中，平移变换可以用来实现角色或物体的移动、缩放等效果，增强视觉效果和表现力。