初中数学专题-图形的平移和旋转练习(含答案)
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在△PBA′中，PB＋PA′＞BA′，即PB＋PA＞CB＋CA．∴PA＋PB＋AB＞CA＋CB＋AB，即CA＋CB＋AB最小，∴点C即为所求．
15．解：(1)全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等．
以证△CBD≌△CA1F为例．
证明：∵∠ACB1＋∠A1CF＝∠ACB1＋∠BCD＝90°，∴∠A1CF＝∠BCD．
图16－8
(1)求证：△BCG≌△DCE
(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊的四边形?证明你的结论．
13．在如图16－9所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题：
图16－9
(1)图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC通过哪些变换方法得到的?
初中数学专题-图形的平移和旋转练习
一、选择题
1．如图16－1，△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1，若将△ABC绕顶点A旋转180°，点C落在C′处，则CC′的长为( )．
图16－1
A． B．4
C． D．
2．如图16－2，将一张长与宽的比为2∶1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是( )．
③若BB1＝BD，则∠BDB1＝∠BB1D，即 ，＝30°．
由①、②、③可知，当△BB1D为等腰三角形时，＝30°．
8．在平面直角坐标系中，若以A(3，0)、B、C(1.5，2)、O(0，0)为顶点的四边形是平行四边形，且点B在第二象限，则点B的坐标是______．
9．如图16－5，若直线EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，则阴影部分的面积与矩形面积之比为______．
图16－5
10．如图16－6，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC＝2，则正方形移动的距离AA′是______．
图16－6
11．如图16－7，在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在B′处，那么点B′与点B原来的位置相距______cm．
图16－7
三、解答题
12．如图16－8，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连结BG并延长交DE于F．
12．(1)略；
(2)四边形E′BGD是平行四边形．提示：由AE′＝CE＝CG和BG＝DE＝DE′可证．
13．(1)方法不唯一，如：先向右平移5小格，使点C移到点C′，再以C′为中心，顺时针方向旋转90°得到△A′B′C′．
(2)D(0，－2)，E(－4，－4)，F(2，－3)．
如答图16－1所示，S△DEF＝S梯形GEFH－S△DGE－S△DHF＝4．
图16－2
3．下列说法正确的个数是( )．
①因为把一个正方形绕它的对角线交点旋转90°后就与原图形重合了，所以正方形不是中心对称图形
②一个图形无论经过平移变换还是经过中心对称变换，对应线段一定平行
③图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转了同样长的路程
④中心对称图形的对称中心只有一个，而轴对称图形的对称轴可能不止一条
⑤若正n边形是中心对称图形，则n为大于2的偶数
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．两直线l1、l2互相垂直于O点，P为两直线外的任一点，设P点关于直线l1对称的点为Q，关于直线l2对称的点为R，则△PQR为( )．
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
5．如图16－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线BD交AC于D，如果把直角三角形BCD沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上，且△ABD是等腰三角形，那么∠A等于( )．
(2)如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－3，4)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．
14．(1)如图16－10，已知点A、B为直线l外两点，请在直线l上确定一点C，使得点C到点A、点B的距离之和最小(不写作法，保留作图痕迹)；
图16－10
(2)如图16－11，分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝8cm，则△PMN的周长为______cm．
图16－13
(1)在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明
(△ABC与△A1B1C全等除外)；
(2)当△BB1D是等腰三角形时，求．
参考答案
图形的平移和旋转
1．B．2．A．3．B．4．B．5．C．6．A．7． ，－ ，－1，1．
8．(－1.5，2)．9．1∶4．10． 11．
答图16－1
14．(1)如答图16－2中点C为所求；
答图16－2
(2)8；
(3)如答图16－3所示，作点A关于直线n的对称点A′，连结BA′，它与直线n的交点即为所求的点C．理由如下：如答图16－4，在直线n上任取异于点C的点P，连结CA、PA、PA′、PB、AB，则有PA＝PA′，CA＝CA′．
答图16－3答图16－4
图16－11
(3)如图16－12，某住宅小区拟在一块休闲场地的三条道路上分别修建三个凉亭A、B、C，且凉亭用长廊两两相通．如果凉亭A、B的位置已经选定，那么凉亭C应该建在什么位置，才能使所修的长廊长度最短?请作出图形(不写作法，保留作图痕迹)，并简要说明理由．
图16－12
15．如图16－13，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角(0°＜＜90°)得到△A1B1C，连结BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．
图16－3
A．60°B．45°C．30°D．22.5°
6．如图16－4，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于( )．
图16－4
A．50°B．55°C．60°D．65°
二、填空题
7．若坐标系中两点A(2m＋n，2)，B(Baidu Nhomakorabea，n－m)关于原点对称，则m＝______，n＝______；若它们关于y轴对称，则m＝______，n＝______．
∵A1C＝BC，∴∠A1＝∠CBD＝45°，∴△CBD≌△CA1F．
(2)在△CBB1中，∵CB＝CB1，∴∠CBB1＝∠CB1B＝ ．
∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．
①若B1B＝B1D，则∠B1DB＝∠B1BD，∵∠B1DB＝45°＋，
．∴＝0(舍去)．
②∵∠BB1C＝∠B1BC＞∠B1BD，∴BD＞B1D，即BD≠B1D．
15．解：(1)全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等．
以证△CBD≌△CA1F为例．
证明：∵∠ACB1＋∠A1CF＝∠ACB1＋∠BCD＝90°，∴∠A1CF＝∠BCD．
图16－8
(1)求证：△BCG≌△DCE
(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊的四边形?证明你的结论．
13．在如图16－9所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题：
图16－9
(1)图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC通过哪些变换方法得到的?
初中数学专题-图形的平移和旋转练习
一、选择题
1．如图16－1，△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1，若将△ABC绕顶点A旋转180°，点C落在C′处，则CC′的长为( )．
图16－1
A． B．4
C． D．
2．如图16－2，将一张长与宽的比为2∶1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是( )．
③若BB1＝BD，则∠BDB1＝∠BB1D，即 ，＝30°．
由①、②、③可知，当△BB1D为等腰三角形时，＝30°．
8．在平面直角坐标系中，若以A(3，0)、B、C(1.5，2)、O(0，0)为顶点的四边形是平行四边形，且点B在第二象限，则点B的坐标是______．
9．如图16－5，若直线EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，则阴影部分的面积与矩形面积之比为______．
图16－5
10．如图16－6，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC＝2，则正方形移动的距离AA′是______．
图16－6
11．如图16－7，在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在B′处，那么点B′与点B原来的位置相距______cm．
图16－7
三、解答题
12．如图16－8，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连结BG并延长交DE于F．
12．(1)略；
(2)四边形E′BGD是平行四边形．提示：由AE′＝CE＝CG和BG＝DE＝DE′可证．
13．(1)方法不唯一，如：先向右平移5小格，使点C移到点C′，再以C′为中心，顺时针方向旋转90°得到△A′B′C′．
(2)D(0，－2)，E(－4，－4)，F(2，－3)．
如答图16－1所示，S△DEF＝S梯形GEFH－S△DGE－S△DHF＝4．
图16－2
3．下列说法正确的个数是( )．
①因为把一个正方形绕它的对角线交点旋转90°后就与原图形重合了，所以正方形不是中心对称图形
②一个图形无论经过平移变换还是经过中心对称变换，对应线段一定平行
③图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转了同样长的路程
④中心对称图形的对称中心只有一个，而轴对称图形的对称轴可能不止一条
⑤若正n边形是中心对称图形，则n为大于2的偶数
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．两直线l1、l2互相垂直于O点，P为两直线外的任一点，设P点关于直线l1对称的点为Q，关于直线l2对称的点为R，则△PQR为( )．
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
5．如图16－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线BD交AC于D，如果把直角三角形BCD沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上，且△ABD是等腰三角形，那么∠A等于( )．
(2)如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－3，4)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．
14．(1)如图16－10，已知点A、B为直线l外两点，请在直线l上确定一点C，使得点C到点A、点B的距离之和最小(不写作法，保留作图痕迹)；
图16－10
(2)如图16－11，分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝8cm，则△PMN的周长为______cm．
图16－13
(1)在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明
(△ABC与△A1B1C全等除外)；
(2)当△BB1D是等腰三角形时，求．
参考答案
图形的平移和旋转
1．B．2．A．3．B．4．B．5．C．6．A．7． ，－ ，－1，1．
8．(－1.5，2)．9．1∶4．10． 11．
答图16－1
14．(1)如答图16－2中点C为所求；
答图16－2
(2)8；
(3)如答图16－3所示，作点A关于直线n的对称点A′，连结BA′，它与直线n的交点即为所求的点C．理由如下：如答图16－4，在直线n上任取异于点C的点P，连结CA、PA、PA′、PB、AB，则有PA＝PA′，CA＝CA′．
答图16－3答图16－4
图16－11
(3)如图16－12，某住宅小区拟在一块休闲场地的三条道路上分别修建三个凉亭A、B、C，且凉亭用长廊两两相通．如果凉亭A、B的位置已经选定，那么凉亭C应该建在什么位置，才能使所修的长廊长度最短?请作出图形(不写作法，保留作图痕迹)，并简要说明理由．
图16－12
15．如图16－13，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角(0°＜＜90°)得到△A1B1C，连结BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．
图16－3
A．60°B．45°C．30°D．22.5°
6．如图16－4，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于( )．
图16－4
A．50°B．55°C．60°D．65°
二、填空题
7．若坐标系中两点A(2m＋n，2)，B(Baidu Nhomakorabea，n－m)关于原点对称，则m＝______，n＝______；若它们关于y轴对称，则m＝______，n＝______．
∵A1C＝BC，∴∠A1＝∠CBD＝45°，∴△CBD≌△CA1F．
(2)在△CBB1中，∵CB＝CB1，∴∠CBB1＝∠CB1B＝ ．
∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．
①若B1B＝B1D，则∠B1DB＝∠B1BD，∵∠B1DB＝45°＋，
．∴＝0(舍去)．
②∵∠BB1C＝∠B1BC＞∠B1BD，∴BD＞B1D，即BD≠B1D．