三角形解的个数问题的解法优化
三招破解三角形解的个数问题(打印)
案例二：直角三角形解的个数问题
总结词
直角三角形解的个数问题需要利用勾股定理和三角形的基本性质，通过数形结合和分类 讨论求解。
详细描述
直角三角形有一个角为90度，可以利用勾股定理求出斜边长度。然后利用三角形的性 质，通过数形结合的方式，进行分类讨论求解。同样需要注意排除不符合三角形基本性
质的解。
案例三：等边三角形解的个数问题
三招破解三角形解 的个数问题(打印)
目 录
• 三角形解的个数问题的概述 • 三角形解的个数问题的解题方法 • 三角形解的个数问题的应用场景 • 三角形解的个数问题的案例分析 • 三角形解的个数问题的总结与展望
01
三角形解的个数问题 的概述
三角形解的个数问题的定义
01
三角形解的个数问题是指在给定 一组边长后，判断这组边长能否 构成三角形，以及构成三角形的 可能个数。
具体例子：在求解与正弦、余弦函数有关的代数方程时， 需要考虑方程在不同区间上的解的个数，以及是否满足三 角函数的周期性和图像性质。
代数题
代数题中三角形解的个数问题通常涉及到代数方程的解的个数，需要利用代数方程的性质和求解方法 来判断解的个数。例如，在求解与三角形边长和角度有关的代数方程时，需要考虑不同情况下解的个 数。
的方法。
三角函数法主要涉及三角函数的 周期性和振幅，通过分析三角函 数的图像来确定三角形的解的个
数。
三角函数法需要熟练掌握三角函 数的性质和图像，对于一些特殊 的问题可能需要找到合适的三角
函数表达式。
03
三角形解的个数问题 的应用场景
几何题
三角形解的个数问题在几何题中常常涉及到三角形边长和角 度的关系，需要利用三角形的性质和定理来判断解的个数。 例如，在求解等腰三角形、直角三角形、等边三角形等问题 时，需要考虑不同情况下解的个数。
三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解
题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示
（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方 法解决.
（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也 可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标
4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值
和简单恒等式的证明.
命题趋势探究
1.一般以选择题或填空题的形式进行考查.
2.角的概念考查多结合函数的基础知识.
3.利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点. 知识点精讲 一、基本概念
正角---逆时针旋转而成的角； （1）任意角 负角---顺时针旋转而成的角；
二、任意角的三角函数 1.定义 已 知 角 终 边 上 的 任 一 点 P(x, y) （ 非 原 点 O ）， 则 P 到 原 点 O 的 距 离
r OP x2 y2 0 . sin y , cos x , tan y .
r
r
x
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对 y ，邻 x ，斜 r ， 如图 4-2 所示.
的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.
注：弧度或 rad 可省略 （5）两制互化：一周角= 3600 2 r 2 （弧度），即 1800 .
r
1（弧度）
180
0
57.30
57018
故在进行两制互化时，只需记忆 1800 ，10 两个换算单位即可：如： 180
5 5 1800 1500 ； 360 36 .
C. 0, ，是第一、二象限角
找三角形个数的技巧
找三角形个数的技巧
数学中的三角形个数问题在初中就开始学习了，但其实在高中和大学也经常会涉及到该问题。
在解决这个问题时，可以运用数学原理和一些技巧，使计算变得更加简便。
首先是最简单的方法，即暴力枚举法。
该方法的基本思路是将所有的三点组合都罗列出来，然后再逐一筛选满足条件的三角形。
这种方法的弊端在于计算复杂度高，如果点集较多，那么时间复杂度就显然变得很高。
其次，我们可以进行优化。
较为常见的优化方法是利用所求的三角形的性质，即三角形内角和为180度。
利用该性质，我们可以将点集分为已知三点共线和不共线两类。
对于共线的情况，由于无法构成三角形，可以直接排除。
而对于不共线的情况，我们可以先将所有点两两配对，再遍历点集，计算第三个点是否能够构成三角形。
需要注意的是要排除重复的三角形。
另外一种较为高效的方法是使用扫描线算法。
该方法需要与平面内的直线有关，基本思路是将直线按照垂线投影到X轴上，之后将所有点按照垂线的大小排序，再逐一扫描，记录经过的点，在扫描过程中计算满足条件的三角形个数。
综上所述，要找到三角形个数，可以使用暴力枚举、优化后的方法或扫描线算法。
其中，优化后的方法和扫描线算法效率较高，可以在大规模计算中得到应用。
当然，也要根据具体问题和数据规模来选择合适的计算方法，以达到事半功倍的效果。
杨辉三角形的六种解法
杨辉三角形的六种解法杨辉三角形是形如11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1的三角形，其实质是二项式(a+b)的n次方展开后各项的系数排成的三角形，它的特点是左右两边全是1，从第二行起，中间的每一个数是上一行里相邻两个数之和。
这个题目常用于程序设计的练习。
下面给出六种不同的解法。
解法一#include <stdio.h>main(){ int i,j,n=0,a[17][17]={0};while(n<1 || n>16){ printf("请输入杨辉三角形的行数:");scanf("%d",&n);}for(i=0;i<n;i++)a[i][0]=1; /*第一列全置为一*/for(i=1;i<n;i++)for(j=1;j<=i;j++)a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];/*每个数是上面两数之和*/for(i=0;i<n;i++) /*输出杨辉三角*/{ for(j=0;j<=i;j++)printf("%5d",a[i][j]);printf("\n");}}点评：解法一是一般最容易想到的解法，各部分功能独立，程序浅显易懂。
解法二#include <stdio.h>main(){ int i,j,n=0,a[17][17]={1};while(n<1 || n>16){ printf("请输入杨辉三角形的行数:");scanf("%d",&n);}for(i=1;i<n;i++){ a[i][0]=1; /*第一列全置为一*/for(j=1;j<=i;j++)a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j]; /*每个数是上面两数之和*/}for(i=0;i<n;i++) /*输出杨辉三角*/{ for(j=0;j<=i;j++)printf("%5d",a[i][j]);printf("\n");}}点评：解窢二是在解法一的基础上，把第一列置为1的命令移到下面的双重循环中，减少了一个循环。
三角形解的个数问题
三角形解的个数问题佚名【期刊名称】《《高中数理化》》【年(卷),期】2019(000)006【总页数】1页(P13)【正文语种】中文判断三角形解的个数问题是教学的难点，笔者在课堂上利用微专题的形式对三角形解的个数问题的解题基本策略进行研究，效果甚好,故本文将对求解三角形解的个数问题的基本策略加以阐述.1 利用尺规作图原理判断利用数形结合思想，借助直尺、圆规和量角器作图，判断三角形解的个数，此法简单、直观，便于理解.已知两边a,b和角A,作出A和b，则点C就可确定，以点C为圆心，a为半径画弧，但需要计算点C到对边的距离bsin A,比较bsin A与a，b的大小，才能判断所画弧与A的另一边的交点个数，得出三角形解的个数.画图时需要对A进行分类讨论：若A为锐角，则有下列四种情况，如图1所示.①a<bsin A无解; ②a=bsin A有一解;③bsin A<a<b有两解; ④a≥b有一解.图1教材中利用图示的方法判断三角形解的个数，比较不容易理解和记忆，联想到“数轴”分界的优势，将三角形解的情况总结如下：以a为判断对象，以bsin A与b为分界点，按从左到右即从大到小的顺序，将“数轴”分为五个区域：a<bsin A，a=bsin A，bsin A<a<b，a=b，a>b.三角形解的个数如图2所示，简记为“0 1 2 1 1”，数字分别代表三角形解的个数.图2若A为直角或钝角，则当a≤b时，无解，当a>b时，有一解.三角形解的个数如图3所示，简记为“0 0 1”.图32 利用函数与方程思想在解三角形时，如果已知两边及其一边对角的情况下即可利用余弦定理构造方程，将三角形解的个数问题转化为一元二次方程正根的个数问题.例1 已知△ABC中，满足b=2，B=60°的三角形有两解，求边长a的取值范围. 即c2-ac+a2-4=0.△ABC有两解，则方程有两个不相等的正根，故即所以在△ABC中，已知a，b和角A，由余弦定理构造关于c的一元二次方程c2-2bccos A+b2-a2=0,若该方程只有负根或无根，则该三角形无解；若该方程有一个正数根，则该三角形有一解；若方程有两个不相等的正实数根，则该三角形有两解.3 利用正弦定理例2 在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且则b为何值时，三角形是无解、一解、两解？由正弦定理得即设函数和因此三角形解的个数问题就转化为这两个函数图象的交点个数问题.易知当0<b<2或时，三角形有一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解.判断三角形解的个数，可利用正弦定理，将问题转化为函数图象与直线的交点个数问题.。
“三个理解”视角下的初中数学优化教学设计与思考——以“三角形的边”为例
教学感悟２０２３年１１月下半月㊀㊀㊀三个理解 视角下的初中数学优化教学设计与思考以 三角形的边 为例◉江苏省如皋市实验初中㊀马卫华㊀㊀摘要:以 三角形的边 一课的教学设计为例,提出 三个理解 视角下的初中数学教学,应当站在理解数学㊁理解教学㊁理解学生的视角,以 单元整体教学 为指引,以数学基本活动为途径,以实现数学核心素养培养目标为宗旨展开优化教学设计．关键词:三个理解;三角形的边;数学核心素养㊀㊀章建跃博士指出:高水平的教学设计是建立在 三个理解 上的． 在数学教学中,教师如果能从 理解数学 理解教学 理解学生 的角度着手,挖掘数学知识中所凝结的思维活动方式与价值观资源,基于对数学教学目标㊁方式㊁规律㊁特征等的理解制定教学目标,基于对学生心理特点㊁学习支撑因素等方面的理解设计教学过程,就能让数学教学更好地为学生的学服务,从而让学生更好地理解数学本质,发展数学思维,提升数学素养．现基于 三个理解 的角度对 三角形的边 一课的优化教学设计谈一些自己的思考与观点．１三个理解 视角下 三角形的边 的具体教学设想１．１从理解数学 的角度分析本课的教学内容理解数学是开展教与学的前提,如果不能真正理解数学,数学教学则只能是 无本之木 [１]．理解数学就是深入研究学生的 学 ,就本课而言,需要研究 三角形的边 涉及的数学知识背景,需要厘清 三角形的边 这一部分知识对 三角形 整章知识体系的作用与价值,需要明晰本节课应体现哪些数学方法㊁落实哪些核心素养等．教材中呈现了一个思考栏目和一个探究栏目,即思考如何将三角形按边㊁角元素进行分类,在画三角形的实践活动中猜想并验证三角形的三边关系．研究涉及数学知识发展的背景,对于思考栏目,需要有序分类(从边㊁角元素出发进行归类)三角形知识基础;对于探究栏目,需要先猜想与判定 能否构成三角形 ,再运用数学原理及不等变形说理论证 三边关系 ．在教学 三角形三边关系 时,可从 两边之和 与 第三边 的大小比较中提出构成三角形的问题,此处可以设计分类讨论的教学活动,即创造性地整合教材中的例１,从等腰三角形的特殊性展开分类讨论．教学中,还可以借助具体实例逐渐推广三角形三边关系的一般性,以渗透从特殊到一般的研究方法．在 能否构成三角形 的探究活动中可以水到渠成地培养直观想象素养和抽象素养;在运用已知的数学原理证明三边关系的活动中可以自然而然地培养推理素养．１．２从理解学生 的角度分析本课的具体学情学生是教学活动的主体,因此深入研究学生㊁理解学生是必不可少的环节之一．分析学情并了解学生的认知基础,明确学生学习的困难,从而使后续问题情境的设计更贴合学生的具体实际,且能降低学生学习过程中的困难．此时的学生已经可以灵活辨析三角形的概念,并对三角形的边角元素㊁三角形的分类㊁两点间线段最短㊁不等关系等知识认识深刻,也具备了在实验中发现问题㊁提出问题㊁解决问题的学习经验,但应用已知数学原理论证数学命题却是摆在学生面前最现实的困难．基于以上思考,笔者确立如下教学目标:①在经历三角形三边关系的探索过程中理解性质并学会判断是否能构成三角形;②在体会三角形三边关系的论证过程中,理解并学会自主证明．教学难点:通过 能否构成三角形 的数学体验活动来证明三边关系．㊀１．３从理解教学 的角度分析本课的教学设计理解教学首先需落实教师的主导地位和学生的主体地位,并在分析学情和教学内容的基础上设计教学活动,搭建学生 学 的桥梁,让学生在积极思考㊁深入探索㊁深度合作中习得知识,培养思维,发展素养[２]．基于上述理解,笔者设计了如下教学活动:活动１:整合栏目,思维预热．问题１㊀小学阶段我们已经与三角形有过亲密接触,那你们认识的三角形是什么样的呢?从自己的理６８２０２３年１１月下半月㊀教学感悟㊀㊀㊀㊀解去说一说．问题２㊀从 三角形的角 出发,可以将三角形分成几类?从 三角形的边 出发又能分成几类呢?说明:活动１中的问题让学生在列举三角形种类的基础上,回顾一些本节课所需的基础知识,并调动学生原有知识经验,在经历 有序分类 的过程中体验如何按边㊁角分类．活动２:创设情境,温故知新．问题３㊀试着用自己的话描述 什么是三角形 ,并分别说一说图１所示的①②③是否是三角形?图１说明:针对学生对 三角形 概念理解不完善的情形来设计问题,让学生在观察和辨析中获得对三角形的深刻认识．同时,这一环节的设计也为后续实验活动的展开提供了知识与经验上的支撑．活动３:探索猜想,推理论证．问题４㊀现有３厘米㊁５厘米㊁８厘米㊁９厘米４根小棒,从中选择３根进行拼三角形的实验,并将结果填入表１．观察表１中生成的数据,你能发现什么?其中存在什么数量关系?为什么能构成三角形?表１能拼成三角形不能拼成三角形哪３根小棒?你发现了什么?哪３根小棒?你发现了什么?㊀㊀说明:通过选小棒拼三角形的操作实验,学生获得了切实的实验感悟,并在对数据的分析中发现 能否构成三角形 的奥秘,为后续 三角形三边关系 的提炼提供经验支持．问题５㊀从选择的３根小棒中继续选取２根,对于这２根小棒,从中选取１根并将其剪成两段,再与另外１根小棒一起完成拼三角形的实验,你能拼出三角形吗?追问:若选取的这２根小棒的长度相同,能拼出一个三角形吗问题６㊀通过问题５中的实验,你能发现三角形三边间的数量关系吗你会证明这个关系吗?追问:三角形的两边之差与第三边也同样存在某种数量关系吗?说明:在问题５的剪拼活动中,学生收获了两种不同的实验结果,随之也渗透了分类思想．教师适时的追问引领了 两根小棒之和等于第三根是否可以构成三角形 的探索,让活动探索得以完善．问题６则将教材中的探究栏目推到台前,让学生在深入探索中自然发展演绎推理能力和抽象思维能力．２ 三个理解 视角下的优化教学设计的实施建议２．１以单元整体教学为指引单元整体教学更有利于知识网络的构建,其整体性特征可以让学生整体把握一个知识体系中所涉及的数学概念关系,从而实现较高层次的知识建构．因此, 三个理解 视角下的数学教学设计需以 单元整体教学 为指引全方位解读教材,如此才能在教学中聚焦数学本质．２．２以数学基本活动为途径数学教学中探究活动始终贯穿其中,这样不仅可以激起学生的学习兴趣,还可以让学生经历概念探究的过程,更能渗透思想方法和落实核心素养．在本节课的教学设计中,通过创设情境引导学生进行思考交流,通过 做数学 的活动引领学生在亲身经历中达成对数学知识的理解性建构,更加深对知识本质㊁数学思想等的感悟．２．３以数学核心素养为目标教学目标是实施教学活动的起点与归宿,恰当的教学目标是教与学活动顺利开展的重要前提．在数学教学中,渗透思想方法,落实数学核心素养具有十分重要的意义．本节课中,教师基于 三个理解 的角度,以核心素养的落实为目标,站在学生发展的角度,从几何命题活动和落实素养这两条主线展开教学,用核心素养统领整个教学活动,努力增强学生的课堂学习活力,让学生的直观想象㊁数学抽象㊁逻辑推理等素养得以落实．３结论总之, 三个理解 视角下的初中数学教学,应当站在理解数学㊁理解教学㊁理解学生的视角,以 单元整体教学 为指引,以数学基本活动为途径,以实现数学核心素养培养目标为宗旨[３]．因此,我们需要重新审视数学课堂,增强学生的课堂学习活力,落实课改理念,构建 三个理解 视角下的优质数学课堂．参考文献:[１]凌英渡．理解数学,理解学生钻研教材,优化设计[J]．数学学习与研究,２０１１(６):７．[２]徐淮源．基于教材理解下的高中数学概念教学设计 以 三角函数的周期性 为例[J]．教育研究与评论(中学教育教学),２０１０(２):７３Ｇ７８．[３]夏炳文．强化 三个理解 打造活力课堂 以一节试卷讲评课为例[J]．中国数学教育,２０１６(１０):４２Ｇ４４,５６．Z７８。
第10讲 三角形个数及判断三角形形状问题(解析版)
第10讲 三角形个数及判断三角形形状问题题型一：三角形解的个数问题已知a 、b 、A ，△ABC 解的情况如下图示． (ⅰ)A 为钝角或直角时解的情况如下：(ⅱ)A 为锐角时，解的情况如下：【例1】在ABC 中，30C =︒，b =c x =. 若满足条件的ABC 有且只有一个，则x 的可能取值是（ ）A ．12 B C ．1 D 因为ABC 只有一解，30︒>，则30B ︒<≤显然满足题意，10sin 2B或sin B 2x ≥或22x =；故选：D【例2】在ABC 中，若3b =，c =，45B =，则此三角形解的情况为（ ）A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不能确定为锐角，故满足条件的ABC 只有一个【例3】设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，S 和R 分别为ABC 的面积和外接圆半径．若2,3b c ==，则选项中能使ABC 有两解的是（ ）A ．30B =︒ B ．30C =︒ C ．3S =D ．2R =【例4】在ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．9,4,30=︒==b c C B ．5,4,45=︒==b c B C ．6,60==︒=a b B D ．20,30,30︒===a b A【答案】BC【分析】由正弦定理逐项判断.【题型专练】1．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ） A ．5,4,6a b A π=== B ．4,5,4a b A π===C ．55,4,6a b A π=== D ．4,5,3a b A π===，故三角形ABC 有一解；sin b B =⇒，故三角形ABC 有两解；sin b A B =⇒一定为锐角，故三角形ABC 有一解；sin sin b B A B =⇒=，故故三角形ABC 无解故选：B.2．在ABC 中，已知2,45a b A ===，则满足条件的三角形（ ） A ．有2个 B ．有1个 C ．不存在 D ．无法确定45 3．在ABC 中，已知2,3,30=︒==a b B ，则此三角形（ ） A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．无法判断有几解【详解】在ABC 中，3013=，，有30A B <=，即4．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知6,6a b A π===，则此三角形（ ）A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数不确定故此三角形有两解， 故选：C.5．在解三角形时，往往要判断三角形解的情况，现有∵ABC 满足条件：边20c =，角60B =︒，我想让它有两解，那么边b 的整数值我认为可取______（只填符合条件的一种即可） 2020sin60b ，320b，的整数值为18或19. 18或19.6.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若b =60B =︒，若ABC 仅有一个解，则a 的取值范围是（ ）A ．({}2⋃B ．30,2C ．{}30,22⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D ．2【答案】A【解析】：解法一：因为b =60B =︒，由正弦定理得sin sin a b A B=，所以sin 2sin sin b Aa A B ==， 因为()0,120∈︒A ，2sin =y A 的图象如图所示：因为ABC 仅有一个解，所以y a =与2sin =y A 的图象只有一个交点，所以0a <≤或2a =，故选：A解法二：可知当B a b b a sin 0=≤<或时，ABC 仅有一个解，所以0a <≤2a =，题型二：判断三角行形状 判断三角形形状的思路： 1.转化为三角形的边来判断：(1)∵ABC 为直角三角形⇔a 2=b 2+c 2或b 2=a 2+c 2或c 2=a 2+b 2； (2)∵ABC 为锐角三角形⇔a 2+b 2>c 2且b 2+c 2>a 2且c 2+a 2>b 2； (3)∵ABC 为钝角三角形⇔a 2+b 2<c 2或b 2+c 2<a 2或c 2+a 2<b 2； (4)按等腰或等边三角形的定义判断. 2.转化为角的三角函数(值)来判断：(1)若cosA =0，则A =90°，∵ABC 为直角三角形； (2)若cosA <0，则∵ABC 为钝角三角形；(3)若cosA >0且cosB >0且cosC >0，则∵ABC 为锐角三角形； (4)若sin 2A +sin 2B =sin 2C ，则C =90°，∵ABC 为直角角形； (5)若sinA =sinB 或sin (A -B )=0，则A =B ，∵ABC 为等腰三角形；(6)若sin 2A =sin 2B ，则A =B 或A +B =90°，∵ABC 为等腰三角形或直角三角形.在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定.【例1】在ABC 中，2cos 0a c B -=则此三角形的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理sin 2sin cos 0A C B -=，又因为A B C π++=，所以sin sin()A B C =+．即sin()2sin cos B C C B +=，用两角和的正弦公式展开左边，得：sin cos cos sin 2sin cos B C B C C B +=，整理得sin cos sin cos 0B C C B -=，所以sin()0B C -=，又因为B ∠和C ∠是三角形的内角，所以0,B C B C -==，此三角形为等腰三角形．【例2】（多选）下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形 【答案】ABD【解析】对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.故选：ABD .【例3】（多选题）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列四个命题中正确．．的是（ ） A ．若2220a b c +->，则ABC 一定是锐角三角形 B ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形 C ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形D ．若cos cos a B b A a +=，则ABC 一定是等腰三角形【答案】BD 【解析】A 选项：当423a b c ===，，时，2220a b c +->，ABC 为钝角.错误.B 选项：因为cos cos cos a b cA B C==， 所以tan tan tan A B C ==，且(0,)A B C π∈，，所以A B C ==，ABC 为等边三角形.正确.C 选项：cos cos sin 2sin 2a A b B A B A B =⇒=⇒=或2A B π+=.ABC 不一定是等腰三角形.错误.D 选项：cos cos sin cos sin cos sin a B b A a A B B A A +=⇒+=sin()sin A B A ⇒+=sin sin C A ⇒=又因为(0,)A C π∈，，所以A C =.即ABC 为等腰三角形.正确.【例4】已知在ABC 中，3332sin sin sin sin sin sin sin A B CC A B C+-=+-，且sin 2cos sin C A B =，则该ABC 的形状为（ ）[附：()()3322a b a b a b ab +=++-]A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形∵sin cos cos sin 0A B A B -=，即()sin 0A B -=， ∵A B =．∵ABC 为等边三角形， 故选：D ．【例5】在∵ABC 中，如果 lg lg lg sin a c B -==-，且B 为锐角，试判断此三角形的形状（ ）． A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【例6】ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin :sin :sin 3:4:5A B C =，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据正弦定理的三边比值，然后能得到222+=a b c ，即可得到答案 【详解】由正弦定理可知::sin :sin :sin 3:4:5a b c A B C ==， 设3,4,5,(0)a t b t c t t ===>，所以222225a b t c +==，所以AC BC ⊥，所以ABC 的形状是直角三角形， 故选：B【例7】已知ABC 的三个内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，且sin sin sin 2A C π+=，且ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为56π的等腰三角形 D ．顶角为23π的等腰三角形 又(0,B π∈sin sin A +整理得sin(A ABC ∆ 为顶角为【例8】在ABC 中，角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c ，已知三个向量,cos 2A m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,cos 2B n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,cos 2p c C ⎛⎫= ⎪⎝⎭共线，则ABC 形状为（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【详解】解：向量(,cos m a =，(,cos 2B n b =cossin 22B A=． B 02A π<<所以cos 则sin2A =∴22A B=同理由,cos n b ⎛= ⎝，,cos p c ⎛= ⎝ABC ∴形状为等边三角形．故选：A ．【例9】已知三角形的三边长分别为3，4，x ，若该三角形是钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．()7,7B ．()7,5C ．()()+∞⋃,57,0D ．()()7,57,1⋃【答案】D【详解】由题意，ABC 为钝角三角形，三边长分别为3，4，x ， 可得当4是最大边时，4所对的角是钝角，即此角的余弦值小于零，则2224334x x <+⎧⎨+<⎩，解得1x <<x 是最大边时，x 所对的角是钝角，即此角的余弦值小于零， 则2224334x x<+⎧⎨+<⎩，解得57x <<，综上可得，x 的取值范围是()()7,57,1⋃ 故选：D . 【题型专练】1．在ABC 中，已知tan tan a ba b A B+=+，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形综上所述：ABC 的形状一定是直角三角形，2．在ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222a b c +<，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形【答案】C【分析】由余弦定理确定C 角是钝角．3．ABC 的三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且满足cos cos 2cos a B b A c C +=，且sin sin A B =，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形在ABC 中，由于A B C ==所以ABC 为等边三角形故选：B.4．已知ABC 内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c 面积为S ，若sin sin 2A Ca b A +=，23S BA CA =⋅，则ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角形6333322BA CA AB AC bc ⋅=⋅=cos sin A A =，故tan 3A =综上，ABC 为正三角形. 故选：C5．已知在ABC 中，()33323a b c c a b c +-=+-，且sin 2cos sin CA B=，则该ABC 的形状为（ ）[附：()()3322a b a b a b ab +=++-]A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形；由此可得ABC 形状，20A <<ABC ∴为等边三角形故选：D.6．ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，若222ABC a b c =+-，且()0||||AB ACBC AB AC +⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰非直角三角形 B ．三边均不相等的直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形)0||||AB ACBC AB AC +⋅=，可判断ABCS 可得2cos 2ab C =，由()0||||AB AC BC AB AC +⋅=可得7．在∵ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则∵ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形8．已知角,,A B C 是ABC 的内角，向量()()sin ,sin ,cos ,cos m A B n A B ==且m 与n 共线，则可以判断ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形【答案】A【分析】根据向量共线的坐标运算，可得sin cos sin cos A B B A =，根据角A 、B 的范围，即可得tan tan A B =，即可得答案.【详解】因为m 与n 共线， 所以sin cos sin cos A B B A =， 所以in 0()s A B -=因为,(0,)A B π∈，所以(,)A B ππ-∈-， 所以0A B -=，即A B =，所以 ABC 为等腰三角形， 故选：A9．在ABC ∆中，若222cos cos 2sin A B C +>-，则ABC ∆的形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．无法判断10．已知在ABC 中，22tan tan A a B b =，判断ABC 的形状为（ ）. A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．等腰直角三角形【详解】tan tan A a B b =sin sin A B=，∴sin 2B =B 或2+2A 或+=A B πABC 是等腰或直角三角形故选：C ．【点睛】判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A B C +＝这个结论．11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(cos cos )a b c A B +=⋅+，则ABC ∆的形状是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能判断12．在ABC 中，a ，b 分别是角A ，B 的对边，若cos cos a bB A=成立，那么ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．无法判断【详解】ABC 中，sin 2A B =2B =或2A +所以ABC 是等腰三角形或者直角三角形故选：C.。
重点突破：判断三角形解的个数问题
0
=
b sinB
，即 1 =
2
3
3 3 sinB
∴B=60°或 B=120°． 故选：C . 点睛：本题主要考查正弦定理解三角形，属于简单题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个
主要依据. 解三角形时， 有时可用正弦定理， 有时也可用余弦定理， 应注意用哪一个定理更方便、 简捷一般来说 , 当条件中同时出现 ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运 用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 5．D 【解析】分析：利用正弦定理即可得出. 详解：由正弦定理可得：
5 1 , B 1500 符合两解。选 D. 9 2
bsinA 0 ， A 中 sinB 1, B 90 ， 1 解， 不符。 C 中 sinB 2 1 ， a
【点睛】
在己知两边一对角的题型中，有钝角或直角最多一解，己知角所对边为大边，最多一解，其余情况根据三角形内 角和 180 ，大边对大角来判断。 4．C【解析】分析：利用正弦定理求出 sinB，得出 B，利用内角和定理进行检验． 详解：由正弦定理得 ∴sinB= ．π 2π π源自）B.2π 3
C.
π 3
D.
π 4
2．已知 ABC 中， a A. 0 个 B. 1个
0
2, b 3, A 45 ，则三角形的解的个数（
D. 0 个或 1个
）
）
C. 2 个
3．在 ABC 中，利用正弦定理理解三角形时，其中有两解的选项是（ A. a 3, b 6, A 30 B. a 6, b 5, A 150 D. a
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三角形解的个数问题的解法优化
问题 在ABC ∆中，已知A 、a 、b ，确定此三角形解的个数． 1．教材提供的解决方案
(1)当A 为直角或钝角时，若a b >，则有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表
此方案虽逻辑清晰、思维严谨，但分类较为抽象、繁琐，既不易记忆，又不易正确运用． 2．优化方案
当A 为直角或钝角且a b ≤时无解． 其余情况下，计算sin sin b A
B a =之值，参照下图进行判断即可：
具体来说，是借助于sin B 的值与0、sin A 、1大小关系来确定三角形解的个数．如下表：
3．原理
(1)当A 为直角或钝角时，若0sin sin B A <<则a b >，故有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表：
例1 ABC ∆中，a =b =sin 2
B =，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．0个
解析 先利用正弦定理求出sin A 的值，再依a 与b 的大小，sin A 与sin B 的大小，就可迅捷判断三角形解的个数．
依sin sin a B A b =
=
，
1<< 即sin sin 1B A << 又b a <，知B 为锐角． 故符合条件的三角形，应选B ．
例2 在ABC ∆中，2a =，b x =，60A =，当x 取何值时，ABC ∆无解？有一解？有两解？
解析 先利用正弦定理求出sin B 的值，再通过比较a 与b ，sin A 与sin B 的大小，就可一招制胜，巧妙解题．
依sin sin 4
b A B x a =
=．
若ABC ∆无解，则sin 1B >1x >， 得x >
若ABC ∆有一解，则sin 1B =或0sin sin B A <≤， 1x =或0<≤，
得x =
02x <≤；
若ABC ∆有二解，则sin sin 1A B <<，即
124x <<， 得23
x <<．
综上所述，当x >
ABC ∆无解；当x =02x <≤时，ABC ∆有一解；
当2x <<
时，ABC ∆有两解．
巩固练习
1．已知ABC ∆中，b =2c =，6
C π
=，若三角形有两解，则符合条件的三角
形有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．0个
2．（2015三门峡模拟）已知ABC ∆中，a x =，2b =，45B =，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )
A ．2x >
B ．2x <
C ．2x <<．2x <<可见，利用正弦定理研究三角形解的个数时，若能先利用正弦定理求出某个角的正弦，再利用该正弦值与已知角的正弦值间的大小关系，相应的两边间的大小关系，就可出奇制胜，迅捷判断三角形解的个数．
参考文献：
[1] 张新生. 谈应用正弦定理讨论三角形解的个数[J]. 兵团教育学院学报, 2013,(3).。