三招破解三角形解的个数问题打印
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工作指导原则： 1、我们改变不了别人，我们改变自己 2、把每件事情做到100分 3、今天的事情今天做完 4、把坏事变成好事
团结 信赖 创造 挑战
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公司对人的要求：
1、有很强的责任心、爱岗、敬业 2、有很好的专业形象 3、有能顶得住压力的能力 4、有不断迎接挑战的决心 5、有很强的团队意识和工作意愿 6、愿意接受和服从公司的管理及价值体系 7、愿意与公司共同发展 8、强调并重视积极工作态度、良好工作方法、学习能力、 发展潜力
．
解 ： 作图：
C
①当 0 a 2 3 时，0 个；
②当 a 2 3 时，1 个；
③当 2 3 a 4 时，2 个； ④当 a 4 时，1 个.
b=4
╭
60°
A
D
a=? B
∴边长 a 的取值范围是{a | a 2 3或a 4}．
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5.在⊿ABC 中，若 AB= 2 2 ，BC=2，且⊿ABC 有两解，则 A 的范围是（
b
2
2
∵ B 45 90 ， b a ，∴ A 60或120 ．
当 A 60时， C 75 ， c bsin C 2 sin 75 6 2 ；
sin B sin 45
2
当 A 120时， C 15 ， c bsin C 2 sin15 6 2 ．
sin B sin 45
2
）
A． (0, )
3
B． ( , )
32
C． (0, ห้องสมุดไป่ตู้)
4
D． ( , )
42
解 1： ∵a＝2，c＝ 2 2 ，∴a＜c，∴A＜C，∴A 为锐角． 要使三角形有两解，则：csinA＜a＜c，即 2 2 sinA＜2＜ 2 2 ， 解得 sinA＜ 2 ．∴角 A 的取值范围为(0°，45°)．故选 C； 2
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5.在⊿ABC 中，若 AB= 2 2 ，BC=2，且⊿ABC 有两解，则 A 的范围是（
）
A． (0, )
3
B． ( , )
32
C． (0, )
4
D． ( , )
42
解
2：∵ cos
A
AC 2
AB2
BC2
x2
4
x
4 x
2，
2AC AB
4 2x 4 2 2
∴ 0 A 45 ，舍去 45 ．
所以 45°<A<135°且∠A≠90°，
∴x>2，且 42x<1. 解得 2<x<2 2.
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例 3．已知△ABC 中，a,b,c 分别为∠A, ∠B, ∠C 的对边，∠B= 60°,
b=2，a=x，如 c 有两组解，则 x 的取值范围是
．
解 ： 当 asinB＜ b＜ a 时 ， 三 角 形 ABC 有 两 组 解 . 又 b=2， B=60°， a=x， 如 果 三 角 形 ABC 有 两 组 解 ，
．
C
b=4
a=?
╭
60°
A
D
B
解 ： 易知 0 sin B 3 或 sin B 1时，只有一解，故{a | a 2 3或a 4}．
2
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流星宇高考仿真卷理三
4.在⊿ABC 中，角 A，B 的对边分别是 a,b,且∠A= 60 ，b =4，那么满足
条件的⊿ABC 只有一个时，边长 a 的取值范围是
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湖南师大附中2014届高考模拟卷（理科数学二）
6．若满足条件 C ， AB 3 ， BC a 的三角形有两个，则 a （
）
3
A． (1, 2)
B． ( 2, 3)
C． ( 3, 2)
D． ( 2, 2)
解：如图：
①由 BC sin 60 BP AB 得 a 2；
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团结 信赖 创造 挑战
学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼．知道 3 边，2 角 1 边， 2 边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即“边边角”）的 条件下解三角形时，解的个数有几个呢？一解，二解还是无解？《必修 5》在第 8 页到第 9 页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明．即：
142 x2 102 210xcos60 ，
A
B
整理得 x2 10x 96 0，解得 x 16 ．
由正弦定理，得 BC BDsin CDB 16sin 30 8 2 ． sin BCD sin135
点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解， 从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．
角形时，只有当A为锐角且 bsinA a b时，有两解；
其它情况时则只有一解或无解。
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【例 1】在 ABC 中， A 60 ， a 6 ， b 3 ，则 ABC 解的情况（ ）
（A）无解 （B）有一解
（C）有两解
（D）不能确定
C
a b
33 2
>
6
A D
解：在 A 的一边上确定顶点 C ，使 AC b 3 ，作 CAD 60 ， 以顶点 C 为圆心，以 CB a 6 为半径画圆，看该圆与 AD
如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为 0；若有一个交点， 则说明该三角形的解的个数为 1；若有两个交点，则说明该三角形 的解的个数为 2．
团结 信赖 创造 挑战
探究：在ABC中，已知a,b,A,讨论三角形解的情况.
分析：由sinB= bsin A ,可求出角B， a
则C=1800 ( A B), 从而c= asin C . sin A
在已知 ABC 中的边长 a ， b 和角 A ，且已知 a ， b 的大小关系， 常利用正弦定理求出 sin B 的值，
①若该值大于 1，与 sin B 1矛盾，则无解； ②若该值小于或等于 1，则要考虑 a ， b 的大小关系及 A 为锐角还是钝角：
若 A 是钝角，且该值小于 1，则有 1 解，若该值等于 1，则无解； 若 A 是锐角，且 b a ，则有 1 解； 若 b a ，且该值小于 1，则有 2 解； b a ，且该值等于 1，则有 1 解．
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2．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 a＝λ，
b＝ 3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
解析：直接根据正弦定理可得sina A＝sinb B，可得
sin B＝bsian A＝
3λsin λ
45°＝
那 么 x 应 满 足 xsin60°＜ 2＜ x， 即 2＜ x＜ 4
3
,
3
故 x 的 取 值 范 围 是 ： (2, 4 3 ) ． 3
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流星宇高考仿真卷理三
4.在⊿ABC 中，角 A，B 的对边分别是 a,b,且∠A= 60 ，b =4，那么满足
条件的⊿ABC 只有一个时，边长 a 的取值范围是
一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角 B 与角 A 的大 小关系，然后求出 B 的值，根据三角函数的有界性求解．
团结 信赖 创造 挑战
【例 1】在 ABC 中，已知 a 3 ，b 2 ， B 45，求 A 、C 及c ．
解：由正弦定理，得sin A asin B 3sin 45 3 ，
26>1,没有意义,
故满足条件的三角形的个数为 0，选 A．
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第三招：画圆法
已知 ABC 中， A 为已知角（ 90 ），先画出 A ，确定顶点 A ， 再在 A 的一边上确定顶点 C ，使 AC 边长为已知长度，最后以顶点 C 为圆心，以 CB 边长为半径画圆，看该圆与 A 的另一边是否有交点，
但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受．即本节能理解， 操作应用起来也很不方便．下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解．
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第一招：大角对大边
在已知 ABC 中的边长 a ， b 和角 A ，且已知 a ， b 的大小关系，
常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，
没有交点，则说明该三角形的解的个数为 0，故选 A．
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2．△ABC 中，已知 a＝x，b＝2，B＝45°.若解此 三角形有两解，则 x 的取值范围是__(_2_，_2__2_) __．
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团结信赖
【解析】sin
A＝sin
425°·x＝
2 4 x.
因三角形有两解．
无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有 一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．
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【例 1】如图，在四边形 ABCD中，已知 AD CD ， AD 10 ， AB 14 ， BDA 60 ， BCD 135，求 BC 的长．
D
C
解：在 ABD 中，设 BD x ，由余弦定理得
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5.在⊿ABC 中，若 AB= 2 2 ，BC=2，且⊿ABC 有两解，则 A 的范围是（
）
A． (0, )
3
B． ( , )
32
C． (0, )
4
D． ( , )
42
解 3：∵ 2 2 2 sin A 2 sin C 2 ，∴ 0 A 45 ．
浅议三角形解的个数
浅议三角形解的个数学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角（锐角）时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学依旧茫然。
下面通过自己的教学经验，从几何和代数两个方面来阐述下三角形解的个数问题，希望能帮助同学们顺利破解。
几何法：为了学生更好的掌握这个题型：在△ABC 中，已知A （锐角），b,c ，问三角形解的个数。
特强调了，角的对高，对边，邻边三个名词。
如图（角A ）对高：CD (bsinA )，对边：BC （a ），邻边：AC （b ）。
以C 点为圆心，a 为半径（a 的值从小到大）画弧，分别与线段AB 出现无交点，一个交点，两个交点，一个交点的情况。
无解：bsinA>a 一解：bsinA =a两解：bsinA <a<b 一解：a ≥b例1：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解：bsinA= 3λsin45°=62λ>λ=a,(λ>0)，无解。
答案：A练习1：在△ABC 中, 已知a=20, b=40,A=60°, 则此三角形的解为 ( )A. 有一解B. 有两解C. 无解D.解的个数不确定代数法：1.在正弦定理中用三角函数值的有界性和大角对大边在已知△ABC 中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理求解，先利用三角函数的有界性来判断，再结合“大边对大角”来△判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值。
上例：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个 另解：直接根据正弦定理可得a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝bsin A a ＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0. 答案：A例2：在△ABC 中，已知3a =，2b =，B=45°，求A 、C 及c 。
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案例二：直角三角形解的个数问题
总结词
直角三角形解的个数问题需要利用勾股定理和三角形的基本性质，通过数形结合和分类 讨论求解。
详细描述
直角三角形有一个角为90度，可以利用勾股定理求出斜边长度。然后利用三角形的性 质，通过数形结合的方式，进行分类讨论求解。同样需要注意排除不符合三角形基本性
质的解。
案例三：等边三角形解的个数问题
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目 录
• 三角形解的个数问题的概述 • 三角形解的个数问题的解题方法 • 三角形解的个数问题的应用场景 • 三角形解的个数问题的案例分析 • 三角形解的个数问题的总结与展望
01
三角形解的个数问题 的概述
三角形解的个数问题的定义
01
三角形解的个数问题是指在给定 一组边长后，判断这组边长能否 构成三角形，以及构成三角形的 可能个数。
具体例子：在求解与正弦、余弦函数有关的代数方程时， 需要考虑方程在不同区间上的解的个数，以及是否满足三 角函数的周期性和图像性质。
代数题
代数题中三角形解的个数问题通常涉及到代数方程的解的个数，需要利用代数方程的性质和求解方法 来判断解的个数。例如，在求解与三角形边长和角度有关的代数方程时，需要考虑不同情况下解的个 数。
的方法。
三角函数法主要涉及三角函数的 周期性和振幅，通过分析三角函 数的图像来确定三角形的解的个
数。
三角函数法需要熟练掌握三角函 数的性质和图像，对于一些特殊 的问题可能需要找到合适的三角
函数表达式。
03
三角形解的个数问题 的应用场景
几何题
三角形解的个数问题在几何题中常常涉及到三角形边长和角 度的关系，需要利用三角形的性质和定理来判断解的个数。 例如，在求解等腰三角形、直角三角形、等边三角形等问题 时，需要考虑不同情况下解的个数。
找三角形个数的技巧
找三角形个数的技巧
数学中的三角形个数问题在初中就开始学习了，但其实在高中和大学也经常会涉及到该问题。
在解决这个问题时，可以运用数学原理和一些技巧，使计算变得更加简便。
首先是最简单的方法，即暴力枚举法。
该方法的基本思路是将所有的三点组合都罗列出来，然后再逐一筛选满足条件的三角形。
这种方法的弊端在于计算复杂度高，如果点集较多，那么时间复杂度就显然变得很高。
其次，我们可以进行优化。
较为常见的优化方法是利用所求的三角形的性质，即三角形内角和为180度。
利用该性质，我们可以将点集分为已知三点共线和不共线两类。
对于共线的情况，由于无法构成三角形，可以直接排除。
而对于不共线的情况，我们可以先将所有点两两配对，再遍历点集，计算第三个点是否能够构成三角形。
需要注意的是要排除重复的三角形。
另外一种较为高效的方法是使用扫描线算法。
该方法需要与平面内的直线有关，基本思路是将直线按照垂线投影到X轴上，之后将所有点按照垂线的大小排序，再逐一扫描，记录经过的点，在扫描过程中计算满足条件的三角形个数。
综上所述，要找到三角形个数，可以使用暴力枚举、优化后的方法或扫描线算法。
其中，优化后的方法和扫描线算法效率较高，可以在大规模计算中得到应用。
当然，也要根据具体问题和数据规模来选择合适的计算方法，以达到事半功倍的效果。
三角形解的个数问题
三角形解的个数问题佚名【期刊名称】《《高中数理化》》【年(卷),期】2019(000)006【总页数】1页(P13)【正文语种】中文判断三角形解的个数问题是教学的难点，笔者在课堂上利用微专题的形式对三角形解的个数问题的解题基本策略进行研究，效果甚好,故本文将对求解三角形解的个数问题的基本策略加以阐述.1 利用尺规作图原理判断利用数形结合思想，借助直尺、圆规和量角器作图，判断三角形解的个数，此法简单、直观，便于理解.已知两边a,b和角A,作出A和b，则点C就可确定，以点C为圆心，a为半径画弧，但需要计算点C到对边的距离bsin A,比较bsin A与a，b的大小，才能判断所画弧与A的另一边的交点个数，得出三角形解的个数.画图时需要对A进行分类讨论：若A为锐角，则有下列四种情况，如图1所示.①a<bsin A无解; ②a=bsin A有一解;③bsin A<a<b有两解; ④a≥b有一解.图1教材中利用图示的方法判断三角形解的个数，比较不容易理解和记忆，联想到“数轴”分界的优势，将三角形解的情况总结如下：以a为判断对象，以bsin A与b为分界点，按从左到右即从大到小的顺序，将“数轴”分为五个区域：a<bsin A，a=bsin A，bsin A<a<b，a=b，a>b.三角形解的个数如图2所示，简记为“0 1 2 1 1”，数字分别代表三角形解的个数.图2若A为直角或钝角，则当a≤b时，无解，当a>b时，有一解.三角形解的个数如图3所示，简记为“0 0 1”.图32 利用函数与方程思想在解三角形时，如果已知两边及其一边对角的情况下即可利用余弦定理构造方程，将三角形解的个数问题转化为一元二次方程正根的个数问题.例1 已知△ABC中，满足b=2，B=60°的三角形有两解，求边长a的取值范围. 即c2-ac+a2-4=0.△ABC有两解，则方程有两个不相等的正根，故即所以在△ABC中，已知a，b和角A，由余弦定理构造关于c的一元二次方程c2-2bccos A+b2-a2=0,若该方程只有负根或无根，则该三角形无解；若该方程有一个正数根，则该三角形有一解；若方程有两个不相等的正实数根，则该三角形有两解.3 利用正弦定理例2 在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且则b为何值时，三角形是无解、一解、两解？由正弦定理得即设函数和因此三角形解的个数问题就转化为这两个函数图象的交点个数问题.易知当0<b<2或时，三角形有一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解.判断三角形解的个数，可利用正弦定理，将问题转化为函数图象与直线的交点个数问题.。
巧破三角阵
思路点 睛
条边上三个数的和都相等，所以 19＋42＋★＝82，★代 表的数是 82－19－42＝21。三角形右面这条边上，28＋ ▲＋★＝82，因为已经算出★代表的数是 21，所以 28＋ ▲＋21＝82，▲代表的数是 82－28－21＝33。
方法二：因为每条边上三个圆圈里的各数之和相 等，并且每两条边交叉处圆圈里的数是公共的，所以这 两条边上另外两个圆圈里的各数之和也相等，即 35＋ 28＝42＋★，19＋42＝28＋▲，★代表的数是 35＋28－ 42＝21，▲代表的数是 19＋42－28＝33。
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基础训练
巧破三角阵
吴国和 （江苏省海门市德胜小学）
例题 三角形每条边上三个圆圈里的各数之 和都相等，请你把▲和★所代表的数算出来。
28
35
▲
19
42
★
Hale Waihona Puke 方法一：图中三角形左面这条边上三个数都是已知 的，可以算出这三个数的和是 28＋35＋19＝82。因为每
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解三角形中的多解问题
解三角形中的多解问题解三角形中的多解问题是几何学中一个重要的概念。
在传统的平面几何中，一个三角形的三个角度和三条边是唯一确定的，也即三个已知量可以唯一确定一个三角形。
然而，在某些情况下，给定的条件并不能唯一确定一个三角形，而是存在多个可能的解，这就是多解问题。
多解问题主要存在于两种情况下：一是给定的条件不足以唯一确定一个三角形，二是在解三角形时引入了非唯一解的假设或方法。
这两种情况下，都需要我们进一步分析和探讨，以便获得准确的解答。
首先，让我们探讨第一种情况，即给定的条件不足以唯一确定一个三角形的情况。
一个明显的例子是只给出了三个角度，而未给出任何边长的情况。
根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和始终为180度。
因此，如果我们知道三个角度分别是60度、60度和60度，我们可以确定这是一个等边三角形。
然而，如果我们只知道三个角度分别是60度、60度和120度，由于存在多个三角形可以满足这三个角度，我们就无法唯一确定一个三角形。
在第二种情况下，我们会引入非唯一解的假设或方法来解三角形。
一个典型的例子是使用正弦定理来解直角三角形。
正弦定理表明，在一个任意的三角形ABC中，边长a、b、c和其相对应的角A、B、C之间满足以下关系：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)在一个直角三角形中，我们可以使用正弦定理来解决未知的边长或角度。
然而，在这种情况下，我们通常会得到两个可能的解。
例如，如果我们知道一个直角三角形的两个边长分别为3和4，我们可以使用正弦定理求解第三个边长。
根据正弦定理，我们有：3/sin(A) = 4/sin(90°) = 5/sin(B)通过求解这个方程，我们得到两个可能的解：角A可以是30度或150度，角B可以是60度或120度。
这就是多解问题在解直角三角形时的一个常见情况。
除了上述两种情况，多解问题还可以出现在其他几何学问题中，例如解二次曲线与直线的交点或解三维几何体的重心等。
重点突破：判断三角形解的个数问题
0
=
b sinB
，即 1 =
2
3
3 3 sinB
∴B=60°或 B=120°． 故选：C . 点睛：本题主要考查正弦定理解三角形，属于简单题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个
主要依据. 解三角形时， 有时可用正弦定理， 有时也可用余弦定理， 应注意用哪一个定理更方便、 简捷一般来说 , 当条件中同时出现 ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运 用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 5．D 【解析】分析：利用正弦定理即可得出. 详解：由正弦定理可得：
5 1 , B 1500 符合两解。选 D. 9 2
bsinA 0 ， A 中 sinB 1, B 90 ， 1 解， 不符。 C 中 sinB 2 1 ， a
【点睛】
在己知两边一对角的题型中，有钝角或直角最多一解，己知角所对边为大边，最多一解，其余情况根据三角形内 角和 180 ，大边对大角来判断。 4．C【解析】分析：利用正弦定理求出 sinB，得出 B，利用内角和定理进行检验． 详解：由正弦定理得 ∴sinB= ．π 2π π源自）B.2π 3
C.
π 3
D.
π 4
2．已知 ABC 中， a A. 0 个 B. 1个
0
2, b 3, A 45 ，则三角形的解的个数（
D. 0 个或 1个
）
）
C. 2 个
3．在 ABC 中，利用正弦定理理解三角形时，其中有两解的选项是（ A. a 3, b 6, A 30 B. a 6, b 5, A 150 D. a
三角形解的个数问题专题
解三角形专题2 【2 】三角形解的个数问题A 为锐角 A 为钝角或直角 图形关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数 无解 一解 两解 一解 无解1 已知下列三角形中的双方及个中一边的对角,断定三角形是否有解,并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠= (2) 102080a ,b ,A ==∠=(3) 105660b ,c ,C ==∠=(4) 23630a ,b ,A ==∠=答案:(1) 90A ∠>而a b <,故无解(2) 90A ,a b sin A b ∠<<<,故有无解(3) c b >,故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<,故有两组解2在△ABC 中,A =45°,AB =3,则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要前提B ．必要不充分前提C ．充要前提D ．既为充分也不必要前提另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,且已知a ,b 的大小关系,常运用正弦定理联合“大边对大角”来断定三角形解的个数,一般的做法如下,起首运用大边对大角,断定出角B 与角A 的大小关系,然后求出B 的值,依据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中,已知a =b =45B =︒,求A .C 及c ．解：由正弦定理,得sin sin a B A b ===,∵4590B =︒<︒,b a <,∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时,75C =︒,sin 75sin sin 45b C c B ︒===︒;当120A =︒时,15C =︒,sin sin sin 452b C c B ︒===︒． 点评：在三角形中,sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含前提,在运用时我们要留意发掘． 法2：二次方程的正根个数一般地,在ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,常常可对角A 运用余弦定理,并将其整顿为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=,若该方程无解或只有负数解,则该三角形无解;若方程有一个正数解,则该三角形有一解;若方程有两个不等的正数解,则该三角形有两解． 【例2】如图,在四边形ABCD 中,已知AD CD ⊥,10AD =,14AB =, 60BDA ∠=︒,135BCD ∠=︒,求BC 的长．解：在ABD ∆中,设BD x =,由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒, 整顿得210960x x --=,解得16x =．由正弦定理,得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒ A BCD点评：已知三角形双方和个中一边的对角,我们可以采用正弦定理或余弦定理求解,从上述例子可以看出,运用余弦定理联合二次方程来断定显得加倍简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中,A 为已知角（90≠︒）,先画出A ,肯定极点A ,再在A 的一边上肯定极点C ,使AC边长为已知长度,最后以极点C 为圆心,以CB 边长为半径画圆,看该圆与A 的另一边是否有交点,假如没有交点,则解释该三角形的解的个数为0;如有一个交点,则解释该三角形的解的个数为1;如有两个交点,则解释该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中,60A ∠=︒,a =3b =,则ABC ∆解的情形（）（A ）无解（B ）有一解（C ）有两解（D ）不能肯定解：在A 的一边上肯定极点C ,使3AC b ==,作60CAD ∠=︒, 以极点C 为圆心,认为CB a ==,看该圆与AD 没有交点,则解释该三角形的解的个数为0,故选A ． A b C a D。
三角形解的个数问题
05
三角形解的个数问题的扩 展和深化
三角形解的个数问题的推广
要点一
推广到多边形
要点二
推广到组合优化
将三角形解的个数问题推广到多边形，研究多边形的可解 性、解的个数和最优解等问题。
将三角形解的个数问题看作是组合优化问题的一种，研究 其他组合优化问题的解法，如旅行商问题、排班问题等。
三角形解的个数问题的变种
详细描述
在几何问题中，三角形解的个数问题通常涉及到三角形边长和角度的条件约束。根据三角形的性质， 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。同时，角度的条件也会影响三角形解的个数。 通过分析这些条件，可以判断三角形解的个数。
三角函数中的三角形解的个数问题
总结词
三角函数中的三角形解的个数问题主要 涉及到三角函数的性质和图象，通过分 析三角函数的性质和图象，判断三角形 解的个数。
考虑三角形边的长度
在三角形解的个数问题中，可以考虑 三角形的边长限制，研究不同边长条 件下三角形的可解性。
考虑三角形角度
在三角形解的个数问题中，可以考虑 三角形的角度限制，研究不同角度条 件下三角形的可解性。
三角形解的个数问题与其他数学知识的结合
与几何学结合
将三角形解的个数问题与几何学知识相结合，研究几 何图形中的可解性问题，如多边形、曲面等。
与图论结合
将三角形解的个数问题与图论知识相结合，研究图论 中的可解性问题，如子图、路径、连通性等。
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三角形解的个数问题
目 录
• 三角形解的个数问题的定义和分类 • 三角形解的个数问题的基本定理和公式 • 三角形解的个数问题的应用实例 • 三角形解的个数问题的解题技巧和方法 • 三角形解的个数问题的扩展和深化
4种方法突破解三角形两解问题
4种方法突破解三角形两解问题需要电子稿和后面练习答案的请在文章后留言，写下电子邮箱，我发给你。
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三角形有：三个角，三条边这六个元素。
一般三个条件，就能确定三角形（初中学过的全等三角形的判定就是如此）。
比如：•三条边唯一确定三角形•确定了两个角，和任意一条边。
（知道了两个角等于知道了三个角）唯一确定三角形•确定了两条边和这两条边的夹角也能唯一确定三角形但有一个问题例外：知道了两边和一边的对角的三角形有可能有2种情况。
【上图：已知角B,边b,边c时，则三角形ABC与三角形ABC'具有同样的角B边b和边c。
其中角C和C'互补】所以三角形两解问题核心是：已知三角形两边和一边的对角的情况下：•如何判断三角形是只有1种情况还是2种？•已知两边和一边的对角的三角形在什么情况下三角形必然有两解？我们用以下四种方法来解决该问题。
方法1：用大边对大角，小边对小角快速判断只有一解操作：若三角形中角的正弦已用定理求出，但此角所对的边不是最大边，那么此三角形不可能是钝角三角形，只有一解。
说明：因为在三角形中，角越大，边越大，角的正弦越大，反之亦然。
而钝角所对之边应该是最长边，若不是则必然非钝角三角形。
方法2：用内角是否超过180度判断三角形是否有2解操作：若一用正弦定理算出另一角的正弦，且是特殊三角函数值，先写出对应的2个角度（一个锐角，一个与之互补的钝角），锐角必然保留。
钝角的话，如果两角相加超过180度，则舍去，三角形只有一种情况；如果两角相加不足180度，则满足三角形内角和180度公理，则钝角保留。
说明：因为三角形的内角和为180度。
方法3：画圆弧法，找到三角形两解的等价条件操作：若已知角所对边的范围在：另一边与已知角正弦的积到另一边长度之间，则此三角形有2解。
说明：方法4：用余弦定理构造二次方程判断三角形是否有两解操作：用余弦定理构造第三边的二次方程，若此二次方程有2个正根，那么三角形有2解；若此二次方程有一正一负两根，或两个相等的正根，则此三角形只有1解；若此二次方程两根皆是负数，或没有根，则此三角形无解。