三招破解三角形解的个数问题打印

团结 信赖 创造 挑战
新员工培训课程
工作指导原则： 1、我们改变不了别人，我们改变自己 2、把每件事情做到100分 3、今天的事情今天做完 4、把坏事变成好事
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公司对人的要求：
1、有很强的责任心、爱岗、敬业 2、有很好的专业形象 3、有能顶得住压力的能力 4、有不断迎接挑战的决心 5、有很强的团队意识和工作意愿 6、愿意接受和服从公司的管理及价值体系 7、愿意与公司共同发展 8、强调并重视积极工作态度、良好工作方法、学习能力、 发展潜力
．
解 ： 作图：
C
①当 0 a 2 3 时，0 个；
②当 a 2 3 时，1 个；
③当 2 3 a 4 时，2 个； ④当 a 4 时，1 个.
b=4
╭
60°
A
D
a=? B
∴边长 a 的取值范围是{a | a 2 3或a 4}．
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5.在⊿ABC 中，若 AB= 2 2 ，BC=2，且⊿ABC 有两解，则 A 的范围是（
b
2
2
∵ B 45 90 ， b a ，∴ A 60或120 ．
当 A 60时， C 75 ， c bsin C 2 sin 75 6 2 ；
sin B sin 45
2
当 A 120时， C 15 ， c bsin C 2 sin15 6 2 ．
sin B sin 45
2
）
A． (0, )
3
B． ( , )
32
C． (0, ห้องสมุดไป่ตู้)
4
D． ( , )
42
解 1： ∵a＝2，c＝ 2 2 ，∴a＜c，∴A＜C，∴A 为锐角． 要使三角形有两解，则：csinA＜a＜c，即 2 2 sinA＜2＜ 2 2 ， 解得 sinA＜ 2 ．∴角 A 的取值范围为(0°，45°)．故选 C； 2
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5.在⊿ABC 中，若 AB= 2 2 ，BC=2，且⊿ABC 有两解，则 A 的范围是（
）
A． (0, )
3
B． ( , )
32
C． (0, )
4
D． ( , )
42
解
2：∵ cos
A
AC 2
AB2
BC2
x2
4
x
4 x
2，
2AC AB
4 2x 4 2 2
∴ 0 A 45 ，舍去 45 ．
所以 45°<A<135°且∠A≠90°，
∴x>2，且 42x<1. 解得 2<x<2 2.
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例 3．已知△ABC 中，a,b,c 分别为∠A, ∠B, ∠C 的对边，∠B= 60°,
b=2，a=x，如 c 有两组解，则 x 的取值范围是
．
解 ： 当 asinB＜ b＜ a 时 ， 三 角 形 ABC 有 两 组 解 . 又 b=2， B=60°， a=x， 如 果 三 角 形 ABC 有 两 组 解 ，
．
C
b=4
a=?
╭
60°
A
D
B
解 ： 易知 0 sin B 3 或 sin B 1时，只有一解，故{a | a 2 3或a 4}．
2
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流星宇高考仿真卷理三
4.在⊿ABC 中，角 A，B 的对边分别是 a,b,且∠A= 60 ，b =4，那么满足
条件的⊿ABC 只有一个时，边长 a 的取值范围是
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湖南师大附中2014届高考模拟卷（理科数学二）
6．若满足条件 C ， AB 3 ， BC a 的三角形有两个，则 a （
）
3
A． (1, 2)
B． ( 2, 3)
C． ( 3, 2)
D． ( 2, 2)
解：如图：
①由 BC sin 60 BP AB 得 a 2；
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学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼．知道 3 边，2 角 1 边， 2 边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即“边边角”）的 条件下解三角形时，解的个数有几个呢？一解，二解还是无解？《必修 5》在第 8 页到第 9 页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明．即：
142 x2 102 210xcos60 ，
A
B
整理得 x2 10x 96 0，解得 x 16 ．
由正弦定理，得 BC BDsin CDB 16sin 30 8 2 ． sin BCD sin135
点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解， 从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．
角形时，只有当A为锐角且 bsinA a b时，有两解；
其它情况时则只有一解或无解。
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【例 1】在 ABC 中， A 60 ， a 6 ， b 3 ，则 ABC 解的情况（ ）
（A）无解 （B）有一解
（C）有两解
（D）不能确定
C
a b
33 2
>
6
A D
解：在 A 的一边上确定顶点 C ，使 AC b 3 ，作 CAD 60 ， 以顶点 C 为圆心，以 CB a 6 为半径画圆，看该圆与 AD
如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为 0；若有一个交点， 则说明该三角形的解的个数为 1；若有两个交点，则说明该三角形 的解的个数为 2．
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探究：在ABC中，已知a,b,A,讨论三角形解的情况.
分析：由sinB= bsin A ,可求出角B， a
则C=1800 ( A B), 从而c= asin C . sin A
在已知 ABC 中的边长 a ， b 和角 A ，且已知 a ， b 的大小关系， 常利用正弦定理求出 sin B 的值，
①若该值大于 1，与 sin B 1矛盾，则无解； ②若该值小于或等于 1，则要考虑 a ， b 的大小关系及 A 为锐角还是钝角：
若 A 是钝角，且该值小于 1，则有 1 解，若该值等于 1，则无解； 若 A 是锐角，且 b a ，则有 1 解； 若 b a ，且该值小于 1，则有 2 解； b a ，且该值等于 1，则有 1 解．
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2．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 a＝λ，
b＝ 3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
解析：直接根据正弦定理可得sina A＝sinb B，可得
sin B＝bsian A＝
3λsin λ
45°＝
那 么 x 应 满 足 xsin60°＜ 2＜ x， 即 2＜ x＜ 4
3
,
3
故 x 的 取 值 范 围 是 ： (2, 4 3 ) ． 3
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4.在⊿ABC 中，角 A，B 的对边分别是 a,b,且∠A= 60 ，b =4，那么满足
条件的⊿ABC 只有一个时，边长 a 的取值范围是
一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角 B 与角 A 的大 小关系，然后求出 B 的值，根据三角函数的有界性求解．
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【例 1】在 ABC 中，已知 a 3 ，b 2 ， B 45，求 A 、C 及c ．
解：由正弦定理，得sin A asin B 3sin 45 3 ，
26>1,没有意义,
故满足条件的三角形的个数为 0，选 A．
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第三招：画圆法
已知 ABC 中， A 为已知角（ 90 ），先画出 A ，确定顶点 A ， 再在 A 的一边上确定顶点 C ，使 AC 边长为已知长度，最后以顶点 C 为圆心，以 CB 边长为半径画圆，看该圆与 A 的另一边是否有交点，
但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受．即本节能理解， 操作应用起来也很不方便．下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解．
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第一招：大角对大边
在已知 ABC 中的边长 a ， b 和角 A ，且已知 a ， b 的大小关系，
常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，
没有交点，则说明该三角形的解的个数为 0，故选 A．
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2．△ABC 中，已知 a＝x，b＝2，B＝45°.若解此 三角形有两解，则 x 的取值范围是__(_2_，_2__2_) __．
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团结信赖
【解析】sin
A＝sin
425°·x＝
2 4 x.
因三角形有两解．
无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有 一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．
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【例 1】如图，在四边形 ABCD中，已知 AD CD ， AD 10 ， AB 14 ， BDA 60 ， BCD 135，求 BC 的长．
D
C
解：在 ABD 中，设 BD x ，由余弦定理得
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5.在⊿ABC 中，若 AB= 2 2 ，BC=2，且⊿ABC 有两解，则 A 的范围是（
）
A． (0, )
3
B． ( , )
32
C． (0, )
4
D． ( , )
42
解 3：∵ 2 2 2 sin A 2 sin C 2 ，∴ 0 A 45 ．