2019高考数学一轮复习课时规范练49双曲线理新人教A版
人教A版理科数学课时试题及解析(49)双曲线
高考数学 课时作业(四十九) [第49讲 双曲线][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1． 与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 2． 如图K49－1，已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若IF 1F 2成立，则λ的值为( )A.58B.45C.43D.343． 设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋124． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0 能力提升5． 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 6． 已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 7． 已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程式为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．1＋ 2 C. 3 D ．1＋ 39．点P 在双曲线上x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A ．2B ．3C ．4D ．510．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．11．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为__________．12． 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________.13． 已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．14．(10分) 如图K49－2，已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．(1)求k 的取值范围，并求x 2－x 1的最小值； (2)记直线P 1A 1的斜率为k 1，直线k 1k 2是定值吗？证明你的结论．图K49－215．(13分)已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，满足条件|PF 2|－|PF 1|＝2的点P 的轨迹是曲线E ，直线y ＝kx －1与曲线E 交于A ，B 两点．如果|AB |＝63，且曲线E 上存在点C ，使OA →＋OB →＝mOC →，求m 的值和△ABC 的面积S .难点突破16．(12分) 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，直线x ＝a 2c(c＝a 2＋b 2)与x 轴交于点B ，且与一条渐近线交于点C ，点O 为坐标原点，又OA →＝2OB →，OA →·OC →＝2，过点F 的直线与双曲线右支交于点M 、N ，点P 为点M 关于x 轴的对称点．(1)求双曲线的方程；(2)证明：B 、P 、N 三点共线； (3)求△BMN 面积的最小值．课时作业(四十九)【基础热身】1．B [解析] 椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．因为点P (2,1)在双曲线上，所以4a 2－1b2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求的双曲线方程是x 22－y 2＝1.2．B [解析] 根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，即|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝λ2c ，即λ＝a c ＝45.3．D [解析] 设F 为左焦点，结合图形可知k FB ＝bc，而对应与之垂直的渐近线的斜率为k ＝－b a ，则有b c ⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，即b 2＝ac ＝c 2－a 2，整理得c 2－ac －a 2＝0，两边都除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52，由于e >1，故e ＝1＋52.4．B [解析] F (2,0)，即c ＝2，设P (x 0，y 0)，根据抛物线的定义x 0＋2＝5，得x 0＝3，代入抛物线方程得y 20＝24，代入双曲线方程得9a 2－24b 2＝1，结合4＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝3，故双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0.【能力提升】5．B [解析] 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)．因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．6．B [解析] ∵抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，则在双曲线中有a 2＋b 2＝(－6)2＝36①，又∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝3x ，∴ba ＝3②，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.7．B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵AB 过F ，N ，∴斜率k AB ＝1.∵x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，∴两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴4b 2＝5a 2，又∵a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5.8．B [解析] 设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，则p2＝c ，即p ＝2c ，抛物线方程为y 2＝4cx ，根据题意c 2a 2－y 2b 2＝1，y 2＝4c ·c ，消掉y 得c 2a 2－4c2b2＝1，即c 2(b 2－4a 2)＝a 2b 2，即c 2(c 2－5a 2)＝a 2(c 2－a 2)，即c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝6＋322＝3＋22，故e ＝1＋ 2.9．D [解析] 不妨设|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列，则4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，由2|PF 2|＝2c ＋|PF 1|，且|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 1|＝2c －4a ，|PF 2|＝2c －2a ，代入4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，得4c 2＝(2c －2a )2＋(2c －4a )2，化简整理得c 2－6ac ＋5a 2＝0，解得c ＝a (舍去)或者c ＝5a ，故e ＝ca＝5.10．y ＝±2x [解析] 根据已知|PF 1|＝2b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝2.11．4a ＋2m [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a ，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m .则△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .12．6 [解析] 根据角平分线的性质，||AF 2||AF 1＝||MF 2||MF 1＝12.又||AF 1－||AF 2＝6，故||AF 2＝6.13．2 [解析] 方法一：点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上，则4a 2－9b2＝1.又由于2c ＝4，所以a 2＋b 2＝4.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝4 得a ＝1或a ＝4.由于a <c ，故a ＝1.所以离心率为e＝ca＝2. 方法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝ca＝2.14．[解答] (1)∵l 与圆相切，∴1＝|m |1＋k 2，∴m 2＝1＋k 2，① 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4m 2k 2＋4(1－k 2)(m 2＋1)＝4(m 2＋1－k 2)＝8>0，x 1x 2＝m 2＋1k 2－1<0，∴k 2<1，∴－1<k <1，故k 的取值范围为(－1,1)．由于x 1＋x 2＝2mk1－k 2，∴x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝221－k 2， ∵0≤k 2<1∴当k 2＝0时，x 2－x 1取最小值为2 2. (2)由已知可得A 1，A 2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，∴k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1，∴k 1k 2＝y 1y 2(x 1＋1)(x 2－1)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )(x 1＋1)(x 2－1)＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＋(x 2－x 1)－1＝k 2·m 2＋1k 2－1－mk ·2mk k 2－1＋m 2m 2＋1k 2－1－22k 2－1－1＝m 2k 2＋k 2－2m 2k 2＋m 2k 2－m 2m 2＋1－22－k 2＋1＝k 2－m 2m 2－k 2＋2－22，由①，得m 2－k 2＝1，∴k 1k 2＝－13－22＝－(3＋22)为定值．15．[解答] 由双曲线的定义可知，曲线E 是以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的双曲线的左支，且c ＝2，a ＝1，易知b ＝1，故曲线E 的方程为x 2－y 2＝1(x <0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝(2k )2＋8(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝－2k 1－k2<0，x 1x 2＝－21－k 2>0，解得－2<k <－1.又∵|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22－4×－21－k 2＝2(1＋k 2)(2－k 2)(1－k 2)2，依题意得2(1＋k 2)(2－k 2)(1－k 2)2＝63，整理后得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又－2<k <－1，∴k ＝－52，故直线AB 的方程为52x ＋y ＋1＝0.设C (x c ，y c )，由已知OA →＋OB →＝mOC →， 得(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(mx c ，my c )，∴(x c ，y c )＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2m ，y 1＋y 2m (m ≠0)．又x 1＋x 2＝2k k 2－1＝－45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝2k 2k 2－1－2＝2k 2－1＝8，∴点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45m ，8m ，将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得80m 2－64m 2＝1，得m ＝±4， 但当m ＝－4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴m ＝4，C 点的坐标为(－5，2)，C 到AB 的距离为⎪⎪⎪⎪52×(－5)＋2＋1⎝⎛⎭⎫522＋12＝13，∴△ABC 的面积S ＝12×63×13＝ 3.【难点突破】16．[解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a 2c ，a 3＝2c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，c 2＝16，∴b 2＝c 2－a 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.(2)证明：由(1)可知得点B (1,0)，设直线l 的方程为：x ＝ty ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24－y 212＝1，x ＝ty ＋4，可得(3t 2－1)y 2＋24ty ＋36＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则P (x 1，－y 1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－24t3t 2－1，y 1y 2＝363t 2－1，所以BP →＝(x 1－1，－y 1)，BN →＝(x 2－1，y 2)，因为(x 1－1)y 2＋y 1(x 2－1)＝x 1y 2＋y 1x 2－y 1－y 2 ＝2ty 1y 2＋3(y 1＋y 2)＝2t 363t 2－1＋3－24t 3t 2－1＝0，所以向量BP →，BN →共线．所以B ，P ，N 三点共线． (3)因为直线l 与双曲线右支相交于M ，N ，所以x 1x 2＝(ty 1＋4)(ty 2＋4)>0，所以t 2<13，S △BMN ＝12|BF ||y 1－y 2|＝181＋t 2|3t 2－1|＝633＋3t 21－3t 2，令u ＝1－3t 2，u ∈(0,1]，S △BMN ＝634－u u ＝634u 2－1u＝634⎝⎛⎭⎫1u －182－116，由u ∈(0,1]，所以1u∈[1，＋∞)，当1u ＝1，即t ＝0时，△BMN 面积的最小值为18.。
2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)目录
课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。
高考数学总复习第八章解析几何课时作业49双曲线文(含解析)新人教A版
高考数学总复习第八章解析几何课时作业49双曲线文（含解析）新人教A 版课时作业49 双曲线1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( A )A. 3 B ．3 C.3mD ．3m解析：由题意知，双曲线的标准方程为x 23m －y 23＝1，其中a 2＝3m ，b 2＝3， 故c ＝a 2＋b 2＝3m ＋3，不妨取F (3m ＋3，0)，一条渐近线为y ＝1mx ，化成一般式即为x －my ＝0， 由点到直线的距离公式可得d ＝|3·m ＋1|1＋－m2＝3，故选A.2．(2019·河南洛阳尖子生联考)设F 1、F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( D )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，故选D. 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：方法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k ＞0)，即x 24k －y 25k＝1， ∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1， 故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.方法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ， ∴b a ＝52②. 联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.4．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( B )A ．32B ．16C ．84D ．4解析：由题意知F 2(c,0)， 不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上， 由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ， 所以|OM |＝c 2－b 2＝a . 由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52， 所以a ＝8，b ＝4，c ＝45， 所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( B )A ．3B ．2C ．－3D ．－2解析：由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2. 又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知 cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B.6．(2019·山东泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( A )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，233B.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点， 得|ab |a 2＋b 2＜12a ，即c ＞2b ，即c 2＞4b 2， 又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2＞4(c 2－a 2)， 即c 2＜43a 2，所以e ＝c a ＜233，又知e ＞1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.7．(2019·河南安阳一模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是(0,2)．解析：对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx－ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．8．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 因为4|OF |＝|AF |＋|BF |， 所以4×p 2＝y 1＋p 2＋y 2＋p2，即y 1＋y 2＝p .①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x 2a 2－y2b2＝1消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 所以y 1＋y 2＝2pb2a2.②由①②可得b a ＝22， 故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 9．(2019·河北名校名师俱乐部模拟)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于4.解析：由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|. 由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|， ∴|BA |＝|BF 1|，∴△BAF 1为等腰三角形， ∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△BAF 1为等腰直角三角形． ∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2. ∴S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.10．(2019·河南天一大联考)已知F 1(－c,0)、F 2(c,0)为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的左、右焦点，过双曲线C 的左焦点的直线与双曲线C 的左支交于Q ，R 两点(Q 在第二象限内)，连接RO (O 为坐标原点)并延长交C 的右支于点P ，若|F 1P |＝|F 1Q |，∠F 1PF 2＝23π，则双曲线C 的离心率为576. 解析：设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝x －2a ， 作Q 关于原点对称的点S ，连接PS ，RS ，SF 1. 因为双曲线关于原点中心对称， 所以|PO |＝|OR |，S 在双曲线上， 所以四边形PSRQ 是平行四边形，根据对称性知，F 2在线段PS 上，|F 2S |＝|QF 1|＝x ， 则∠F 1PS ＝2π3，根据双曲线的定义，有|F 1S |＝x ＋2a ，所以在△PF 1S 中，由余弦定理得(x ＋2a )2＝x 2＋(2x －2a )2－2·x (2x －2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得x ＝73a ，所以|PF 2|＝13a ，所以在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×73a ×13a ，整理可得e ＝c a ＝576.11．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 解：(1)若双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k 2＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|＞|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1＞x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又因为－2＜k ＜2，且k ≠±1， 所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2. 12．(2019·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2， 将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2， 即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.13．焦点在x 轴上的双曲线C 1的离心率为e 1，焦点在y 轴上的双曲线C 2的离心率为e 2，已知C 1与C 2具有相同的渐近线，当e 21＋4e 22取最小值时，e 1的值为( C )A ．1 B.62C. 3D ．2解析：设双曲线的方程分别为C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1，C 2：y 2a 22－x 2b 22＝1，由题设b 1a 1＝a 2b 2，则e 1＝1＋b 21a 21，e 2＝1＋b 22a 22，由此可得(e 21－1)(e 22－1)＝1，即e 21e 22＝e 21＋e 22，故e 22＝e 21e 21－1，所以e 21＋4e 22＝e 21＋4e 21e 21－1＝5＋e 21－1＋4e 21－1≥9(当且仅当e 21－1＝4e 21－1时取等号)，e 21－1＝2⇒e 1＝3时取等号．14．(2019·山西太原五中月考)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( B )A ．1 B.12 C.13D.23解析：如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.设|BF 2|＝m ，由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|. 又知∠BAF 2＝π3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ， 所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2， 所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12，故选B.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为53.解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .当P ，F 1，F 2三点不共线时， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，即e 2＝179－89cos ∠F 1PF 2.∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53.当P ，F 1，F 2三点共线时，∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴e ＝c a ＝53，综上，e 的最大值为53.16．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝ 1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2＞0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1. 所以当l 与双曲线左支有两个交点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)得x A ＋x B ＝62k1－3k 2，所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k2.所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k1－3k 2，21－3k 2.设直线l 0的方程为y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.因为33＜k ＜1，所以－2＜1－3k 2＜0.所以m ＜－2 2. 所以m 的取值范围为(－∞，－22)．。
2019届人教A版理科数学课时试题及解析(49)双曲线
课时作业(四十九) [第49讲 双曲线][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1． 与椭圆＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )x 24A.－y 2＝1 B.－y 2＝1x 24x 22C.－＝1 D ．x 2－＝1x 23y 23y 222． 如图K49－1，已知点P 为双曲线－＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的x 216y 29左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若△IF 1F 2成立，则λ的值为( )A. B. 5845C. D.43343． 设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. B.23C. D.3＋125＋124． 已知双曲线－＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线x 2a 2y 2b2的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±y ＝0 B.x ±y ＝033C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0能力提升5． 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线x 2a 2右支上的任意一点，则·的取值范围为( )OP → FP →A ．[3－2，＋∞)B ．[3＋2，＋∞)33C. D.[－74，＋∞)[74，＋∞)6． 已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝x ，它的一个焦点在抛x 2a 2y 2b23物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1x 236y 2108x 29y 227C.－＝1 D.－＝1x 2108y 236x 227y 297． 已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程式为( )A.－＝1B.－＝1x 23y 26x 24y 25C.－＝1D.－＝1x 26y 23x 25y 248．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 为双曲线－＝1(a >0，b >0)的一个焦点，经过x 2a 2y 2b 2两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. B ．1＋22C. D ．1＋339．点P 在双曲线上－＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝x 2a 2y 2b290°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A ．2B ．3C ．4D ．510．已知双曲线－＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双x 2a 2y 2b 2曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝，则双曲线的渐近线方程为________．π611．双曲线－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的x 2a 2y 2b2左支于A ，B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为__________．12． 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：－＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标x 29y 227为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________.13． 已知点(2,3)在双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率x 2a 2y 2b2为________．14．(10分) 如图K49－2，已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．(1)求k 的取值范围，并求x 2－x 1的最小值；(2)记直线P 1A 1的斜率为k 1，直线k 1k 2是定值吗？证明你的结论．15．(13分)已知两定点F 1(－，0)，F 2(，0)，满足条件|PF 2|－|PF 1|＝2的点P 的22轨迹是曲线E ，直线y ＝kx －1与曲线E 交于A ，B 两点．如果|AB |＝6，且曲线E 上存在3点C ，使＋＝m ，求m 的值和△ABC 的面积S .OA → OB → OC →难点突破16．(12分) 已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，直线x ＝(c ＝x 2a 2y 2b 2a 2c )与x 轴交于点B ，且与一条渐近线交于点C ，点O 为坐标原点，又＝2，·a 2＋b 2OA → OB → OA → ＝2，过点F 的直线与双曲线右支交于点M 、N ，点P 为点M 关于x 轴的对称点．OC →(1)求双曲线的方程；(2)证明：B 、P 、N 三点共线；(3)求△BMN 面积的最小值．课时作业(四十九)【基础热身】1．B [解析] 椭圆＋y 2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为－＝1(a >0，x 243x 2a 2y 2b 2b >0)．因为点P (2,1)在双曲线上，所以－＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求4a 21b 2的双曲线方程是－y 2＝1.x 222．B [解析] 根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，即|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝λ2c ，即λ＝＝.a c 453．D [解析] 设F 为左焦点，结合图形可知k FB ＝，而对应与之垂直的渐近线的斜率b c 为k ＝－，则有＝－1，即b 2＝ac ＝c 2－a 2，整理得c 2－ac －a 2＝0，两边都除以a 2可b a b c (－b a)得e 2－e －1＝0，解得e ＝，由于e >1，故e ＝.1±521＋524．B [解析] F (2,0)，即c ＝2，设P (x 0，y 0)，根据抛物线的定义x 0＋2＝5，得x 0＝3，代入抛物线方程得y ＝24，代入双曲线方程得－＝1，结合4＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝，209a 224b23故双曲线的渐近线方程是x ±y ＝0.3【能力提升】5．B [解析] 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有－y ＝1(x 0≥)，解得y ＝－1(x 0≥)．因x 23x 20320320x 2033为＝(x 0＋2，y 0)，＝(x 0，y 0)，所以·＝x 0(x 0＋2)＋y ＝x 0(x 0＋2)＋－1＝＋2x 0－FP → OP → OP → FP → 20x 2034x 2031，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－，因为x 0≥，所以当x 0＝时，·3433OP → 取得最小值×3＋2－1＝3＋2，故·的取值范围是[3＋2，＋∞)．FP → 4333OP → FP → 36．B [解析] ∵抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，则在双曲线中有a 2＋b 2＝(－6)2＝36①，又∵双曲线－＝1的渐近线为y ＝x ，∴＝②，联立①②解得Error!所以双x 2a 2y 2b 23b a 3曲线的方程为－＝1.x 29y 2277．B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，双曲线方程为－＝1.∵AB 过F ，N ，∴斜率k AB ＝1.x 2a 2y 2b 2∵－＝1，－＝1，∴两式相减，得－＝0，∴4b 2＝x 21a 2y 21b 2x 2a 2y 2b 2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b25a 2，又∵a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5.8．B [解析] 设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，则＝c ，即p ＝2c ，抛物线方程为y 2＝4cx ，p 2根据题意－＝1，y 2＝4c ·c ，消掉y 得－＝1，即c 2(b 2－4a 2)＝a 2b 2，即c 2(c 2－5a 2)＝a 2(c 2c 2a 2y 2b 2c 2a 24c 2b 2－a 2)，即c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝＝3＋2，故e ＝1＋.6＋322229．D [解析] 不妨设|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列，则4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，由2|PF 2|＝2c ＋|PF 1|，且|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 1|＝2c －4a ，|PF 2|＝2c －2a ，代入4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，得4c 2＝(2c －2a )2＋(2c －4a )2，化简整理得c 2－6ac ＋5a 2＝0，解得c ＝a (舍去)或者c ＝5a ，故e ＝＝5.c a10．y ＝±x [解析] 根据已知|PF 1|＝且|PF 2|＝，故－＝2a ，所以＝2，＝22b 2a b 2a 2b 2a b 2a b 2a 2b a .211．4a ＋2m [解析] 由Error!⇒|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a ，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m .则△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .12．6 [解析] 根据角平分线的性质，＝＝.又－＝6，故＝6.|AF 2||AF 1||MF 2||MF 1|12|AF 1||AF 2||AF 2|13．2 [解析] 方法一：点(2,3)在双曲线C ：－＝1上，则－＝1.又由于2c ＝4，x 2a 2y 2b 24a 29b 2所以a 2＋b 2＝4.解方程组Error! 得a ＝1或a ＝4.由于a <c ，故a ＝1.所以离心率为e ＝＝2.c a方法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝＝2.c a 14．[解答] (1)∵l 与圆相切，∴1＝，|m |1＋k 2∴m 2＝1＋k 2，①由Error!得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0，∴Error!∴k 2<1，∴－1<k <1，故k 的取值范围为(－1,1)．由于x 1＋x 2＝，2mk 1－k 2∴x 2－x 1＝＝＝，(x 1＋x 2)2－4x 1x 222|1－k 2|221－k 2∵0≤k 2<1∴当k 2＝0时，x 2－x 1取最小值为2.2(2)由已知可得A 1，A 2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，∴k 1＝，k 2＝，y 1x 1＋1y 2x 2－1∴k 1k 2＝＝y 1y 2(x 1＋1)(x 2－1)(kx 1＋m )(kx 2＋m )(x 1＋1)(x 2－1)＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＋(x 2－x 1)－1＝k 2·m 2＋1k 2－1－mk ·2mk k 2－1＋m 2m 2＋1k 2－1－22k 2－1－1＝＝，m 2k 2＋k 2－2m 2k 2＋m 2k 2－m 2m 2＋1－22－k 2＋1k 2－m 2m 2－k 2＋2－22由①，得m 2－k 2＝1，∴k 1k 2＝＝－(3＋2)为定值．－13－22215．[解答] 由双曲线的定义可知，曲线E 是以F 1(－，0)，F 2(，0)为焦点的双曲22线的左支，且c ＝，a ＝1，易知b ＝1，2故曲线E 的方程为x 2－y 2＝1(x <0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意建立方程组Error!消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有Error!解得－<k <－1.2又∵|AB |＝·|x 1－x 2|1＋k 2＝·1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝·1＋k 2(－2k 1－k 2)2－4×－21－k 2＝2，(1＋k 2)(2－k 2)(1－k 2)2依题意得2＝6，整理后得(1＋k 2)(2－k 2)(1－k 2)2328k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝或k 2＝，又－<k <－1，∴k ＝－，5754252故直线AB 的方程为x ＋y ＋1＝0.52设C (x c ，y c )，由已知＋＝m ，OA → OB → OC → 得(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(mx c ，my c )，∴(x c ，y c )＝(m ≠0)．(x 1＋x 2m ，y 1＋y 2m)又x 1＋x 2＝＝－4，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝－2＝＝8，2k k 2－152k 2k 2－12k 2－1∴点C ，将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得－＝1，得m ＝±4，(－45m ，8m)80m 264m 2但当m ＝－4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴m ＝4，C 点的坐标为(－，2)，C 到AB 的距离为＝，5|52×(－5)＋2＋1|(52)2＋1213∴△ABC 的面积S ＝×6×＝.123133【难点突破】16．[解答] (1)由题意得Error!解得Error!∴b 2＝c 2－a 2＝12，∴双曲线方程为－＝1.x 24y 212(2)证明：由(1)可知得点B (1,0)，设直线l 的方程为：x ＝ty ＋4，由Error!可得(3t 2－1)y 2＋24ty ＋36＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则P (x 1，－y 1)，所以Error!所以＝(x 1－1，－y 1)，＝(x 2－1，y 2)，BP → BN →因为(x 1－1)y 2＋y 1(x 2－1)＝x 1y 2＋y 1x 2－y 1－y 2＝2ty 1y 2＋3(y 1＋y 2)＝2t ＋3363t 2－1－24t 3t 2－1＝0，所以向量，共线．所以B ，P ，N 三点共线．BP → BN →(3)因为直线l 与双曲线右支相交于M ，N ，所以x 1x 2＝(ty 1＋4)(ty 2＋4)>0，所以t 2<，13S △BMN ＝|BF ||y 1－y 2|＝＝，12181＋t 2|3t 2－1|633＋3t 21－3t 2令u ＝1－3t 2，u ∈(0,1]，S △BMN ＝6＝634－u u 34u 2－1u＝6，34(1u －18)2－116由u ∈(0,1]，所以∈[1，＋∞)，1u 当＝1，即t ＝0时，△BMN 面积的最小值为18.1u。
高考数学一轮规范练《双曲线》(人教版)
课时规范练51双曲线课时规范练第77页一、选择题1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线左边一支C.双曲线右边一支D.一条射线答案:C解析:∵|PM|-|PN|=3<4,由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支.又∵|PM|>|PN|,故点P的轨迹为双曲线的右支.2.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.-y2=1B.-y2=1C.=1D.x2-=1答案: B解析:椭圆+y2=1的焦点为(±,0).因为双曲线与椭圆共焦点,所以排除A,C.又双曲线-y2=1经过点(2,1),所以选B.3.如图,正六边形ABCDEF的两个顶点A,D为双曲线的两个焦点,其余4个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率是()A.+1B.-1C. D.答案:A解析:令正六边形的边长为m,则有AD=2m,AB=m,BD=m,该双曲线的离心率等于+1.4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个顶点与抛物线y2=20x的焦点重合,该双曲线的离心率为,则该双曲线的渐近线斜率为()A.±2B.±C.±D.±答案:C解析:由抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),可得双曲线=1的一个顶点坐标为(5,0),即得a=5.又由e=,可解得c=,则b2=c2-a2=,即b=.由此可得双曲线的渐近线的斜率为k=±=±.5.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,当△F1PF2的面积为2时,的值为()A.2B.3C.4D.6答案:B解析:设点P(x0,y0),依题意得,|F1F2|=2=4,|F1F2||y0|=2|y0|=2,∴|y0|=1.又∵=1,∴=3(+1)=6,·=(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=-4=3.6.(2013山东高考)抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=()A. B. C. D.答案:D解析:设M,y'='=,故在M点处的切线的斜率为,故M.由题意又可知抛物线的焦点为,双曲线右焦点为(2,0),且,(2,0)三点共线,可求得p=,故选D.二、填空题7.(2013江苏高考)双曲线=1的两条渐近线的方程为.答案:y=±x解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y=±x.8.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为.答案:-2解析:由题可知A1(-1,0),F2(2,0).设P(x,y)(x≥1),则=(-1-x,-y),=(2-x,-y),·=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5.∵x≥1,函数f(x)=4x2-x-5的图象的对称轴为x=,∴当x=1时,·取得最小值-2.9.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A1,A2,M是双曲线上任意一点,若直线MA1,MA2的斜率之积等于2,则该双曲线的离心率是.答案:解析:设点M(x0,y0),A1(-a,0),A2(a,0),则直线MA1的斜率是,直线MA2的斜率是,直线MA1,MA2的斜率之积是·,故=2,故该双曲线的离心率e=.三、解答题10.已知双曲线C1:=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,求抛物线C2的方程.解:由于e==2,∴c=2a,即c2=4a2.又有c2=a2+b2,∴b2=3a2,即b=a.∴双曲线的渐近线方程y=±x即为y=±x,即±x+y=0.又抛物线的焦点坐标为F,F到渐近线的距离为2,即=2,解得p=8.∴抛物线C2的方程为x2=16y.11.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:=0;(3)求△F1MF2的面积.解：(1)解因为e=,所以可设双曲线方程为x2-y2=λ.因为双曲线过点(4,-),所以16-10=λ,即λ=6.所以双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明:由(1)可知a=b=,所以c=2.所以F1(-2,0),F2(2,0).所以=-.因为点(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,即m2=3.故·=-1,所以MF1⊥MF2.所以·=0.(3)解△F1MF2的底边长|F1F2|=4,△F1MF2的高h=|m|=,所以=6.12.直线l:y=(x-2)和双曲线C:=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且|AB|=,又l关于直线l1:y=x对称的直线l2与x轴平行.(1)求双曲线C的离心率;(2)求双曲线C的方程.解:(1)设双曲线C:=1过一、三象限的渐近线l1:=0的倾斜角为α.因为l和l2关于l1对称,记它们的交点为P.而l2与x轴平行,记l2与y轴交点为Q点.依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α.又l:y=(x-2)的倾斜角为60°,则2α=60°,所以tan30°=.于是e2==1+=1+,所以e=.(2)由,可设双曲线方程为=1,即x2-3y2=3k2.将y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中得x2-3·3(x-2)2=3k2.化简得8x2-36x+36+3k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=2=2=,求得k2=1.故所求双曲线C的方程为-y2=1.。
2019年人教版A版高三数学(理)高考一轮复习8.6 双曲线教学设计及答案
第六节双曲线1．双曲线的标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．双曲线的几何性质知道双曲线的简单几何性质．知识点一双曲线的定义易误提醒双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a ＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|则轨迹不存在．[自测练习]1．已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P、Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．解析：由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16，由左焦点F(－5,0)且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P、Q都在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4³3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.答案：44知识点二双曲线的标准方程和几何性质易误提醒 (1)双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0<a <b ，则双曲线的离心率e > 2.(2)注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±b a ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.[自测练习]2．“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)²(m －10)>0，解得m <8或m >10，故“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D4．已知F 是双曲线x 23a 2－y 2a2＝1(a >0)的右焦点，O 为坐标原点，设P 是双曲线C 上一点，则∠POF 的大小不可能是( )A ．15°B ．25°C ．60°D ．165°解析：∵两条渐近线y ＝±33x 的倾斜角分别为30°，150°，∴0≤∠POF <30°或150°<∠POF ≤180°，故选C. 答案：C考点一 双曲线的定义及标准方程|1．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝43|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2， 又|PF 1|＝43|PF 2|，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，△PF 1F 2为直角三角形．△PF 1F 2的面积S ＝12³6³8＝24.答案：C2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：依题意，A (a ，b )，以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，∴c ＝4， 4－a 2＋b 2＝4，∴a ＝2，b 2＝12.故双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.答案：A3．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 5解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 答案：C求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常，且该常必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转应用．(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．考点二 渐近线与离心率问题|双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点．归纳起常见的命题探究角度有：1．已知离心率求渐近线方程． 2．已知渐近线求离心率．3．由离心率或渐近线确定双曲线方程．4．利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围．探究一 已知离心率求渐近线方程1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，所以b a ＝12，所以y ＝±12x .答案：C探究二 已知渐近线求离心率2．(2016²海淀模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线为y ＝2x ，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知b a ＝2，得b ＝2a ，c ＝5a ，所以e ＝ca＝ 5.答案： 5探究三 由离心率或渐近线求双曲线方程3．(2016²宜春一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A ．5x 2－4y25＝1B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y24＝1解析：∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴c ＝1.又c a ＝5，∴a ＝15，∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝45. 故所求方程为5x 2－5y24＝1，故选D.答案：D探究四 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得ba >2，∴e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝ 5. 答案：C解决有关渐近线与离心率关系问题的方法(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a或|m |＝ab讨论． (2)注意形结合思想在处渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．考点三 直线与双曲线的位置关系|(2016²汕头模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，A (－1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率为e ＝2.设过右焦点F 2的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，其中点P 位于第一象限内．(1)求双曲线的方程；(2)若直线AP ，AQ 分别与直线x ＝12交于M ，N 两点，求证：MF 2⊥NF 2.[解] (1)由题可知a ＝1.∵e ＝c a＝2.∴c ＝2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴b ＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，x ＝ty ＋2，得(3t 2－1)y 2＋12ty ＋9＝0，则y 1＋y 2＝－12t 3t 2－1，y 1y 2＝93t 2－1.又直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 12 x 1＋1 . 同，直线AQ 的方程为y ＝y 2x 2＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 22 x 2＋1 .∴MF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3y 12 x 1＋1 ， NF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3y 22 x 2＋1 . ∴MF 2→²NF 2→＝94＋9y 1y 24 x 1＋1 x 2＋1＝94＋9y 1y 24 ty 1＋3 ty 2＋3 ＝94＋9y 1y 24[t 2y 1y 2＋3t y 1＋y 2 ＋9]＝94＋9³93t 2－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2³93t 2－1＋3t ³－12t3t 2－1＋9＝94－94＝0，∴MF 2⊥NF 2.解决直线与双曲线位置关系的两种方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．注意：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系判断直线与双曲线的位置关系．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝t OD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t＝4，点D 的坐标为(43，3).20.忽视直线与双曲线的位置关系中“判别式”致误【典例】 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[易错点析] 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．[解] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意． 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k2. 由题意，得k 1－k2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[方法点评] (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．[跟踪练习] (2015²厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l 与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点且都在左支上D ．有两个交点分别在左、右两支上解析：直线l 的方程为y ＝33(x ＋13)，代入C ：x 24－y 29＝1整，得23x 2－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4³23³160>0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上．答案：DA 组 考点能力演练1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0<m <3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2解析：c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 答案：B2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，渐近线方程为y ＝3x ，y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等， d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案：A3．P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其左、右焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1⊥PF 2，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|²|PF 2|＝9，得c 2－9＝a 2.又c a ＝54，∴a ＝4，c ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝7.答案：D4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12解析：依题意，a 2－b 2＝m 2＋n 2＝c 2，c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，得a＝4m ，c ＝2m ，∴e ＝c a ＝12.答案：D5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3]解析：因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，所以|PF 1|2|PF 2|＝|PF 2|＋4a 2|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|²4a 2|PF 2|＋4a ＝8a ，当且仅当|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a 时，等号成立，可得2a ＋4a ≥2c ，解得e ≤3，又因为双曲线离心率大于1，故选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线，与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．解析：易知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，又∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝b 2a 2c ，即33＝c 2－a 22ac ，即3e 2－2e －3＝0，∴e ＝3，∴b 2a 2＝c 2a 2－1＝2.∴b a＝2，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x7．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .又点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2＋a 2＝(2c )2，c 2a 2＝52，∴e ＝102.答案：1028．已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线为y ＝3x ，点A 在双曲线C 上，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.解析：双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ， 则b ＝3a ，c ＝2a .在△AF 2F 1中， 由|F 1A |＝2|F 2A |，|F 1A |－|F 2A |＝2a ， 得|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠AF 2F 1＝14.答案：149．直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x轴平行．(1)求双曲线C 的离心率； (2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°， 所以tan 30°＝b a ＝33. 于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3³3(x －2)2＝3k 2. 简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2 x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝2362－4³8³ 36＋3k 2 8＝ 9－6k 2＝3，求得k 2＝1. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.10.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x 2＋y 2－4y －4＝0，双曲线的左、右顶点A ，B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．(1)试求双曲线的标准方程；(2)记双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，试在“8”字形曲线上求一点P ，使得∠F 1PF 2是直角．解：(1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，在已知圆的方程中，令y ＝0，得x 2－4＝0，即x ＝±2，则双曲线左、右顶点为A (－2,0)，B (2,0)，于是a ＝2.令y ＝2，可得x 2－8＝0，解得x ＝±22， 即双曲线过点(±22，2)，则822－4b 2＝1，∴b ＝2.所以所求双曲线方程为x 24－y 24＝1.(2)由(1)得双曲线的两个焦点F 1(－22，0)，F 2(22，0)．当∠F 1PF 2＝90°时，设点P (x ，y )， ①若点P 在双曲线上，得x 2－y 2＝4，由F 1P →²F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2－8＋y 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，x 2－8＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±6，y ＝±2，所以P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)．②若点P 在上半圆上，则x 2＋y 2－4y －4＝0(y ≥2)，由F 1P →²F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2＋y 2－8＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y －4＝0，x 2＋y 2－8＝0，无解．同，点P 在下半圆也没有符合题意的点．综上，满足条件的点有4个，分别为P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)．B 组 高考题型专练1．(2015²高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.答案：D2．(2015²高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2解析：由题意，得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，F (c,0)，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ，不妨设B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ²－b 2a c －a ＝－1，整得ba＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.答案：C3．(2015²高考四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：由双曲线的标准方程x 2－y 23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2,23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.答案：D4．(2015²高考北京卷)已知(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.解析：因为(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝4，则b ＝ 3.答案： 35．(2015²高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，抛物线的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2.不妨设点A 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pba，y ＝2pb 2a 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a，2pb 2a 2.所以k AF ＝2pb 2a 2－p 22pb a＝4b 2－a 24ab . 由已知F 为△OAB 的垂心，所以直线AF 与另一条渐近线垂直，故k AF ²⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，即4b 2－a 24ab ³⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，整得b 2＝54a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝94a 2，故c ＝32a ，即e ＝c a ＝32.答案：32。
人教版高三理科数学课后习题(含答案)课时规范练49双曲线
课时规范练49双曲线基础巩固组1.(2019山东临沂三模,4)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=20x的核心重合,且其渐近线方程为y=±x,则该双曲线的方程为( )A.x29−y216=1 B.x216−y29=1C.x264−y236=1 D.x236−y264=12.(2019山西晋城三模,4)设双曲线C:=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线C交于M,N两点,其中M在左支上,N在右支上.若∠F2MN=∠F2NM,则|MN|=( )A.8√2B.8C.4√2D.43.(2019全国3,理10)双曲线C:=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )A.3√24B.3√22C.2√D.3√4.已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点为M,且|F1M|=3,则双曲线C的实轴长为()A.32B.3 C.3√32D.3√35.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个核心.若<0,则y0的取值范围是( )A.-√33,√33B.-√36,√36C.-2√23,2√23D.-2√33,2√336.(2019河北衡水联考,6)已知双曲线C:=1(b>0)的一条渐近线方程为y=x,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P为双曲线C上的一点,|PF1|∶|PF2|=3∶1,则||的值是( )A.4B.2√6C.2√10D.6√1057.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )A.x24−y212=1 B.x212−y24=1C.x23-y2=1 D.x2-y23=18.已知点F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为( )A.(1,+∞)B.√102,+∞C.1,√102D.1,529.(2019重庆二诊,14)已知双曲线=1(a>0)的一条渐近线方程为x-y=0,左焦点为F,当点M 在双曲线右支上,点N 在圆x2+(y-3)2=4上运动时,则|MN|+|MF|的最小值为 . 10.已知方程=1表现双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 .11.(2019四川成都模仿,14)已知F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l 与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B,若|AF1|=2a,∠F1AF2=,则= .综合提升组12.已知直线l 与双曲线x 24-y 2=1相切于点P ,l 与双曲线两条渐近线交于M ,N 两点,则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.3 B.4C.5D.与P 的位置有关13.(2019湖南常德模仿,10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F 为圆心,半实轴长为半径的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P,Q,若=3(其中O 为原点),则双曲线C 的离心率为( ) A.√7B.√C.√52D.√7214.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x23-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于两点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.15.(2019安徽安庆联考,16)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是.创新应用组16.(2019湖南长沙模仿,11)已知直线l1,l2是双曲线C:-y2=1的两条渐近线,P是双曲线C上一点,若点P到渐近线l1的间隔的取值范畴是,则点P到渐近线l2的距离的取值范围是( )A.[45,85] B.[43,83]C.[43,85] D.[45,83]参考答案课时规范练49双曲线1.B因为抛物线y2=20x的焦点为(5,0),所以双曲线C的右焦点也为(5,0),则有c=5.因为双曲线的渐近线方程为y=±3x ,所以可设其方程为x 216t −y 29t =1,因为c=5,则16t+9t=25,解得t=1,则双曲线的方程为x 216−y 29=1,故选B .2.A 由∠F2MN=∠F2NM 可知,|F2M|=|F2N|.由双曲线界说可知,|MF2|-|MF1|=4,|NF1|-|NF2|=4,两式相加得|NF1|-|MF1|=|MN|=8故选A.3.A 由已知可得a=2,b=√2,则c=√a 2+b 2=√6,∴F (√6,0).∵|PO|=|PF|,∴x P =√62.又P 在C 的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=x 上,∴yP=∴S △PFO =12|OF|·|y P |=12×√6×√32=3√24.故选A .4.B 设F 2M 的中点为N ,坐标原点为O ,则ON=12|F 1M|=32,∵点F 2到渐近线的距离为b ,∴(32)2+b 2=c 2,∴c 2-b 2=94,∴a 2=94,∴a=32,∴2a=3.故双曲线的实轴长为3,故选B . 5.A 由条件知F 1(-√3,0),F 2(√3,0),∵M (x 0,y 0), ∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3-x 0,-y 0),MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3-x 0,-y 0),∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+y 02-3<0.①又x 022−y 02=1,∴x 02=2y 02+2.代入①得y 02<13,∴-√33<y 0<√33.6.C ∵双曲线C :x 24−y 2b2=1(b>0)的一条渐近线方程为y=√62x ,∴b=√6,∴c=√10. ∵|PF 1|∶|PF 2|=3∶1,∴|PF 1|=6,|PF 2|=2, ∴cos ∠F 1PF 2=36+4-402×6×2=0, ∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=36+4=40, ∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√10,故选C .7.D ∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A 在双曲线的渐近线上,且△OAF 是边长为2的等边三角形,不妨设点A 在渐近线y=x 上,∴{c =2,b a=tan60°,a 2+b 2=c 2,解得{a =1,b =√3.∴双曲线的方程为x 2-y 23=1.故选D .8.C 由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.又|PF 1|≥3|PF 2|,所以|PF 2|≤a , 所以(|PF 2|+2a )2+|PF 2|2=4c 2, 化为(|PF 2|+a )2=2c 2-a 2, 即有2c 2-a 2≤4a 2,可得c ≤√102a , 由e=ca >1可得1<e ≤√102, 故选C .9.7 由渐近线方程可知,故可得b2=3a2=12,所以a2=4,所以c=4,设双曲线右焦点为F'(4,0),由双曲线定义可知|MF|-|MF'|=2a=4.则|MN|+|MF|=|MN|+|MF'|+4,则只需求|MN|+|MF'|的最小值即可得到|MN|+|MF|的最小值,设圆x 2+(y-3)2=4的圆心为C (0,3),半径r=2,则(|MN|+|MF'|)min =|F'C|-r=5-2=3,∴(|MN|+|MF|)min =3+4=7.10.(-1,3) 因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m 2+n+3m 2-n=4,解得m 2=1.又由方程表示双曲线得(1+n )(3-n )>0,解得-1<n<3.11 如图,凭据双曲线的界说,可得|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,∵|AF 1|=2a ,∠F 1AF 2=2π3, ∴|AF 2|=4a ,|AB|=|BF 2|=4a , 则S △AF 1F2S △ABF2=|AF 1||AB |=12.12.A 取点P (2,0),则M (2,1),N (2,-1),∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4-1=3. 取点P (-2,0),则M (-2,1),N (-2,-1),∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4-1=3.故选A . 13.D 设双曲线的一条渐近线方程为y=ba x ,H 为PQ 的中点,可得FH ⊥PQ ,由F (c ,0)到渐近线的距离为FH=d=√a 2+b =b ,∴PH=2-b 2.又OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OH=√c 2-b 2=2√a 2-b 2, 即7a 2=4c 2,∴e=√72,故选D .14.2√3 该双曲线的右准线方程为x=3√10=3√1010,两条渐近线方程为y=±√33x ,得P3√1010,√3010,Q3√1010,-√3010,又c=√10,所以F 1(-√10,0),F 2(√10,0),四边形F 1PF 2Q 的面积S=2√10×√3010=2√3.15.(1,53] 设P (x ,y ),则(x+c )2+y 2=4[(x-c )2+y 2],化简得(x -53c)2+y 2=169c 2,所以点P 在以M 为圆心,c 为半径的圆上.又因为点P 在双曲线的渐近线bx±ay=0上,所以渐近线与圆M 有公共点, 所以53bc √b +a 2≤43c ,解得5b ≤4c ,即c a ≤53,所以双曲线离心率的取值范围是(1,53].16.A 设点P (x 0,y 0),由题可设渐近线l 1:x-2y=0,渐近线l 2:x+2y=0,由点P 到直线l 1的距离d 1=|x 0-2y 0|5,点P 到直线l 2的距离d 2=|x 00|5,有d 1d 2=|x 0-2y 0|5·|x 00|5=|x 02-4y 02|5. 又x 024−y 02=1,即x 02-4y 02=4,则d 1d 2=45,则d 2=45d 1,由d 2与d 1成反比,且d 1∈[12,1],所以d 2∈[45,85],故选A .。
高考数学一轮总复习课时规范练50双曲线新人教A版
课时规范练50 双曲线基础巩固组1.(2022江西吉安期末)若双曲线C:=10<θ<的离心率为,则θ=()A B C D2.(2021全国甲,理5)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为()A B C D3.(2021北京,5)双曲线C:=1过点(),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为()A.x2=1 B y2=1C.x2=1 D y2=14.已知双曲线=1(m>0)的渐近线方程为x±y=0,则m=()A B 1C D.25.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2AD,AB>CD,若双曲线E以A,B为焦点,且过C,D两点,则双曲线E的离心率的取值范围为()A.1,B.,+∞C.1,D.,+∞6.(2022北京,12)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m= .综合提升组7.(2022河南焦作二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则其两条渐近线所成的锐角的余弦值为()A B C D8.设F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为H,若|HF1|=3|HF2|,则双曲线的离心率为()A B C D9.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C的右支上,AF1与C交于点B,若=0,且||=||,则C的离心率为()A B C D10.(2022全国甲,文15)记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C 无公共点”的e的一个值.创新应用组11.(2021浙江,9)已知a,b∈R,ab>0,函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(st),f(s),f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是()A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线答案：课时规范练50双曲线1.C设双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距分别为a,b,c,则由题意,得a=cosθ,b=sinθ,c==1.又离心率为,则,cosθ=又0<θ<,所以θ=故选C.2.A不妨设|PF2|=1,|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=7,所以2c=|F1F2|=,所以c=,2a=|PF1||PF2|=2,a=1,所以离心率e=3.A∵e2=1+=4,则b2=3a2,则双曲线的方程为=1,由双曲线过点(),得=1,解得a2=1,则所求双曲线的方程为x2=1.故选A.4.A由双曲线=1(m>0)的渐近线方程为x±y=0,得,解得m=5.B设|AB|=2m(m>0),∠BAD=θ,θ∈0,,则|AD|=m,在△ABD中,由余弦定理知,|BD|2=|AB|2+|AD|22|AB||AD|cos∠BAD=5m24m2cosθ,∴|BD|=,由双曲线的定义知|BD||AD|=2a,∴2a=m,∴离心率e=,又θ∈0,,∴cosθ∈(0,1),1∈(0,1),∴e∈,+∞.故选B.6.3由题意知a2=1,b2=m,其中m<0,所以双曲线的渐近线方程为y=±=±x,解得m=3.7.A因为C的离心率为,所以它的渐近线的斜率为±=±=±2,则可取两条渐近线上的向量a=(1,2),b=(1,2),渐近线所成的锐角即这两个向量的夹角,cos<a,b>=8.D由题设知双曲线C的一条渐近线方程为y=x,即bxay=0,由题意,|HF2|==b,∴|OH|=a,由cy H=ab,得y H=,∴H,∴|HF1|==3|HF2|=3b,两边平方化简并结合c2=a2+b2,得a4a2b2=2b4,∴22+21=0,解得,∴e2=1+,e=,故选D.9.B由=0,且||=||,得△ABF2为等腰直角三角形,∠AF2B=,∠BAF2=,即|AB|=|F2A|=|F2B|,∴|AB|=4a,故|F2A|=|F2B|=2a,则||=2(+1)a,而在△AF1F2中,|F1F2|2=|F2A|2+|F1A|22|F2A||F1A|cos∠BAF2,∴4c2=8a2+4(3+2)a28(+1)a2,则c2=3a2,故e2=3,e=故选B.10.2(答案不唯一,只要1<e即可)由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±x,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需2即可.由2,得4,所以e2≤5,故1<e11.C由题意得f(st)f(s+t)=[f(s)]2,即[a(st)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2,整理得2a2s2t2+a2t4+2abt2=0,所以2as2+at2+2b=0或t=0,其中=1为双曲线,t=0为直线.故选C.。
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课时规范练49 双曲线
一、基础巩固组
1.已知双曲线=1(a>0)的离心率为2,则a=()
A.2
B.
C.
D.1
2.(2017山西实验中学3月模拟,理4)过双曲线x2-=1(b>0)的右焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为E,O为坐标原点,若∠OFE=2∠EOF,则b=()
A. B. C.2 D.
3.(2017河南濮阳一模,理11)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的
垂线交双曲线于A,B两点,若∠AF2B<,则双曲线离心率的取值范围是()
A.(1,)
B.(1,)
C.(1,2)
D.(,3)
4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()
A.=1
B.=1
C.-y2=1
D.x2-=1
5.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若<0,则y0的取值范围是()
A. B.
C. D.
6.(2017石家庄二中模拟,理7)已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点,直线l经过点F,若点A(a,0),B(0,b)关于直线l对称,则双曲线C的离心率为()
A. B. C.+1 D.+1
7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()
A.=1
B.=1
C.-y2=1
D.x2-=1
8.(2017安徽淮南一模)已知点F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为()
A.(1,+∞)
B.
C. D.〚导学号21500574〛
9.过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点,则双曲线的离心率为.
10.已知方程=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是.
11.(2017江苏无锡一模,8)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线
=1的右焦点,则双曲线的离心率为.
二、综合提升组
12.(2017河南郑州一中质检一,理11)已知直线l与双曲线-y2=1相切于点P,l与双曲线两条渐近线交于M,N两点,则的值为()
A.3
B.4
C.5
D.与P的位置有关
13.(2017河南南阳一模,理10)已知F2,F1是双曲线=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为()
A.3
B.
C.2
D.〚导学号21500575〛
14.(2017江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.
15.(2017山东,理14)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.
三、创新应用组
16.(2017河北石家庄二中模拟,理11)已知直线l1与双曲线C:=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且AB中点M的横坐标为b,过点M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.〚导学号21500576〛
课时规范练49双曲线
1.D由已知得=2,且a>0,解得a=1,故选D.
2.D由题意,∠OFE=2∠EOF=60°,
∴双曲线的一条渐近线的斜率为,∴b=,故选D.
3.A由题意,将x=-c代入双曲线的方程,得y2=b2,
∴|AB|=
∵过焦点F1且垂直于x轴的弦为AB,∠AF2B<,
∴tan∠AF2F1=,e=>1.
e-
解得e∈(1,),故选A.
4.D由题意知,双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.
因为该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,
所以,
解得b2=3a2.
又因为c2=a2+b2=4,
所以a2=1,b2=3.
故所求双曲线的方程为x2-=1.
5.A由条件知F1(-,0),F2(,0),
=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),
-3<0.①
又=1,=2+2.
代入①得,∴-<y0<
6.C由题意k AB=-,
∴直线l的方程为y=(x+c),AB的中点坐标为
,化简整理得b2=a2+2ac,
即c2-2ac-2a2=0,e2-2e-2=0,
解得e=1+,e=1-(舍去),故选C.
7.D∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,
解得
∴双曲线的方程为x2-=1.
故选D.
8.C由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.
又|PF1|≥3|PF2|,所以|PF2|≤a,
所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,
化为(|PF2|+a)2=2c2-a2,
即有2c2-a2≤4a2,可得c a,
由e=>1可得1<e,
故选C.
9由题意,所给直线应与双曲线的一条渐近线y=x平行,=1,即=1.
解得e2=2,故答案为
10.(-1,3)因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.
又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-1<n<3,故选A.
11.2抛物线y2=8x的焦点为(2,0),则双曲线=1的右焦点为(2,0),
即有c==2,解得|a|=1,
所以双曲线的离心率为e==2.
故答案为2.
12.A取点P(2,0),则M(2,1),N(2,-1),=4-1=3.
取点P(-2,0),则M(-2,1),N(-2,-1),=4-1=3.
故选A.
13.C由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近线方程为y=x,则点F2到渐近线的距离为=b.
设点F2关于渐近线的对称点为点M,F2M与渐近线交于点A,
∴|MF2|=2b,A为F2M的中点.
又O是F1F2的中点,
∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角.
∴△MF1F2为直角三角形.
∴由勾股定理得4c2=c2+4b2.
∴3c2=4(c2-a2),∴c2=4a2.
∴c=2a,∴e=2.故选C.
14.2该双曲线的右准线方程为x=,两条渐近线方程为y=±x,得
P,Q
,
又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2=2
15.y=±x 抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AF|+|BF|=y1++y2+
=y1+y2+p=4|OF|
=4=2p.
所以y1+y2=p.
联立双曲线与抛物线方程得
消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.
所以y1+y2==p,
所以
所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.
16.B解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(b,y M),
由
得-
=0,
又
代入上式得a2=bc,
即a4=(c2-a2)c2,有e4-e2-1=0,得e=
解法二:设M(b,d),则k OM=,则由双曲线中点弦的斜率公式k AB·k OM=,得k AB=, ∵过点M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点,
=k MF=,k AB=-1,
即=-1,化简得bc=a2.
c=a2,e4-e2-1=0,e=。