(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一).doc
2019-2020 年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一)
x 2 y2 2 的直线与
12
1.设 F , F为椭圆的左、右焦点,动点P 的坐标为 ( -1,m),过点 F
4 3
椭圆交于 A, B 两点 .
(1)求 F1,F 2的坐标;
(2)若直线 PA, PF 2, PB 的斜率之和为 0,求 m 的所有
整数值 .
x2 2
2.已知椭圆y 1,P是椭圆的上顶点.过P作斜率为
4
k(k≠0)的直线l 交椭圆于另一点A,设点 A 关于原点的
对称点为 B.
(1)求△PAB 面积的最大值;
(2)设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N,若点 N 在椭圆内
部,求斜率 k 的取值范围 .
2 2 5
x y
= 1 a > b > 0 ) 的离心率为,定点 M ( 2,0 ) ,椭圆短轴的端点是
3.已知椭圆 C : 2 + 2
a b ( 3
B1, B2,且MB1 MB 2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点M且斜率不为0 的直线交椭圆C于 A, B 两点,试问 x 轴上是否存在定点P ,使 PM 平分∠APB ?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由.
x2 y2
4.已知椭圆C
的标准方程为
1
,点 E(0,1) .
16 12
(1 )经过点 E 且倾斜角为3π
的直线 l 与椭圆 C 交于A、B两点,求 | AB | .4
(2 )问是否存在直线p
与椭圆交于两点M 、 N 且 | ME | | NE | ,若存在,求出直线p 斜率
的取值范围;若不存在说明理由.
5.椭圆 C1与 C2的中心在原点,焦点分别在x 轴与y轴上,它们有相同的离心率e= 2 ,并
2
且 C2的短轴为 C1的长轴, C1与 C2的四个焦点构成的四边形面积是2 2 .
(1)求椭圆 C1与 C2的方程;
(2) 设P是椭圆 C2上非顶点的动点,P 与椭圆C1长轴两个顶点 A , B 的连线 PA , PB 分别与椭圆 C1交于E,F点 .
(i)求证:直线 PA , PB 斜率之积为常数;
(ii) 直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数?若是,求出该值;若不是,说明理由.
2
6.椭圆 C 一个焦点为F (1,0)
e
,离心率
2 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程式.
(Ⅱ )定点 M (0,2) , P 为椭圆 C 上的动点,求 | MP | 的最大值;并求出取最大值时P 点的坐标求.
(Ⅲ)定直线 l : x 2 , P 为椭圆 C 上的动点,证明点P 到 F (1,0) 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数,并求出此常数值.
7.如图,已知椭圆C :x
2
y2 1(a b 0) 的右准线l的方程为 x
4 3
,焦距为 2 3 .
a 2 b2 3
(1)求椭圆C的方程;
(2)过定点B(1,0)作直线l与椭圆C交于点P,Q (异于椭圆 C 的左、右顶点A1 , A2)两点,设直线PA1与直线 QA2相交于点M.
①若 M (4,2) ,试求点 P,Q 的坐标;
②求证:点 M 始终在一条直线上.
8. 设椭圆x
2
y2 1 (a 3 )的右焦点为F,右顶点为A,已知a 2 3
1 1 3e ,其中 O 为原点,e为椭圆的离心率.
|OF | | OA | | FA |
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B ( B 不在x轴上),垂直于l 的直线与 l 交于点M ,与 y 轴交于点 H ,若 BF HF ,且MOA MAO ,求直线l 的斜率的取值范围.
x2 y2
4) 满足9.已知椭圆 C : 1 的右焦点为 F ,右顶点为 A ,离心离为 e,点 P(m,0)( m
16 12
条件 | FA | e .
| AP |
(Ⅰ)求 m 的值.
(Ⅱ)设过点 F 的直线l与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点,记△ PMF 和△PNF的面积分别为
S1、 S2,求证:S
1 | PM | .S
2 | PN |
10.已知常数 m 0
r r
(m,0) 经过点 A(m,0) ,以
r r
,向量 a (0,1) , b a b 为方向向量的直线
与经过点 B( m,0)
r r
P ,其中R .,以 b 4a 为方向向量的直线交于点
( 1 )求点 P 的轨迹方程,并指出轨迹 E .
( 2 )若点 C (1,0) ,当 m 2 2 时, M 为轨迹 E 上任意一点,求| MC | 的最小值.
11.已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个
端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点 F 与x
轴不垂直的直线交椭圆于P ,
Q
两点.
(Ⅰ )求椭圆的方程.
(Ⅱ)当直线 l 的斜率为1时,求△ POQ 的面积.
(Ⅲ )在线段 OF 上是否存在点M (m,0) ,使得经MP, MQ 为领边的平行四边形是菱形?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.
3
12.已知椭圆C
的中心在原点,焦点在
x 轴上,离心率等于 2 ,它的一个顶点恰好在抛物
线 x28y 的准线上.
Ⅰ求椭圆 C 的标准方程.
Ⅱ点 P(2, 3) , Q(2,3) 在椭圆上, A , B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.
(i )若直线AB 的斜率为 3 ,求四边形APBQ面积的最大值.
6
(i i )当A,B运动时,满足∠ APQ ∠ BPQ ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
y
P
B
O
A
Q
x
2
2
3 .
13.已知椭圆 M :
x
2 +
y
2 1(a b 0) 过点 A(0, 1) ,且离心率 e
a b
2
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程.
(Ⅱ)若椭圆 M 上存在点 B 、 C 关于直线 y kx 1 对称,求 k 的所有取值构成的集合 S ,
并证明对于
k S , BC 的中点恒在一条定直线上.
x 2
y 2
1
3
14.已知椭圆
C:
+
1(a b 0)
1,
a 2 b
2
的离心率为 2 ,且过点
2 .若点
M ( x 0
, y 0 )
在椭圆 C
N
x 0 , y 0
上,则点
a b 称为点 M 的一个 “椭点 ”.
( 1 )求椭圆 C 的标准方程.
( 2 )若直线 l : y kx + m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点,且 A , B 两点的 “椭点 ”分别为 P ,
Q ,以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,试判断
△AOB 的面积是否为定值?若为定值,求出
定值;若不为定值,说明理由.
x
2 2
2
y
2 1(a b 0)
15.已知椭圆 C 的标准方程为
a
2
e
b ,离心率
2
,且椭圆经过点
(0,1)
.过右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点.
(Ⅰ )求椭圆 C 的方程.
(Ⅱ )若 | AB |
4 2
,求直线 l 的方程.
3
(Ⅲ )在线段 OF 上是否存在点 M (m,0) ,使得以 MA , MB 为邻边的四边形 MATB 是菱 形,且点 T 在椭圆上.若存在,求出
m 的值,若不存在,请说明理由.
16.已知一个动圆与两个定圆 (x
2)2 y
2
1
和
(x
2 )2 y
2
49
均相切
,其圆心的
4
4
轨迹为曲线 C.
(1) 求曲线 C 的方程;
(2) 过点 F ( 2,0 )做两条可相垂直的直线
l 1, l 2,设 l 1 与曲线 C 交于 A,B 两点 , l 2 与曲线 C
交于 C,D 两点,线段 AC , BD 分别与直线 x 2 交于 M ,N 两点。求证 |MF |:|NF |为定值 .
17.已知椭圆 C :
x 2
y 2
1(a b 0) 的离心率为
1
,且过点 (2 3,
3) , A ,B 是椭圆
a 2
b 2
2
C 上异于长轴端点的两点.(1)求椭圆 C 的方程;
(2)已知直线 l :
x 8 ,且
l
A
BB 1
l
B
D (3,0)
AA1
,垂足为 ,垂足为
,且
1, 1,若
△A B D 的面积是 △ABD 面积的 5 倍,求 △ABD 面积的最大值.
1 1
试卷答案1.解:(Ⅰ)F1( 1,0),F2(1,0)
(Ⅱ )( i)当直线AB 的斜率不存在时,由对称性可知(ii )当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的斜率为
m=0.
k,A(x1, y1), B( x2, y2) .
由题意得 x1 1, x2 1.
直线 PA 的斜率为y
1
m kx1 (k
m)
;直线PF2的斜率为m ;x1 1 x1 1 2
直线 PB 的斜率为y
2
m kx2 (k m) . x2 1 x2 1
由题意得kx
1 (k m) ( m) kx
2 (k m) 0.
x1 1 2 x2 1
化简整理得 (4 k m) x1 x2 3m( x1 x2 ) (4k 5m) 0.(*)
将直线 AB 的方程y k ( x 1) 代入椭圆方程,化简整理得
(4 k2 3)x2 8k 2 x 4k2 12 0 .
由韦达定理得x1 x2 8k2 , x1x2 4k2 12 .
4k 2 3 4k 2 3
代入 (*) 并化简整理得 16k 2m 20k m 0 .从而 m 20 k .
16 k2 1
当 k 0时, m 0 ;当 k 0 时, | m | 20 | k | 20 | k | 5 .
16k 2 1 2 16k 2 2
故m 的所有整数值是- 2,-1,0,1,2.
2.解:(Ⅰ)由题意得椭圆的上顶点P 0,1 ,设点A为 x0 , y0 .因为B是A关于原点O 的对称点,所以点 B 为x0, y0.
设PAB 的面积为S,则 S S
PAO S PB0 2S PAO 2
1
PO x0 x0.
2
因为 2 x0 2 ,所以当 x0 2 时,S有最大值 2.
(Ⅱ )由(Ⅰ)知 P 0,1 , B x , y ( x 0,且y0 1) .
0 0 0
1 y0
,线段 PB 的中点为x0 1 y0
,
所以,直线 PB 的斜率为
2 ,
2
x0
于是 PB 的中垂线方程为
y
1 y 0
x 0
x
x 0
2
y 0 1
.
2
令 x 0 ,得 N 的纵坐标 y N
1 x 0
2
y 0 2
2 y 0 1 .
又直线 l 的方程为 y
kx 1,将方程代入 x 2 y 2 1 并化简得 (1 4k 2 )x 2 8kx 0 .
4
由题意, x 0
8 2 , y 0 1 4 2
1 k 1 k
2 ,
4k 4k
2
1 (
8k 2 )2 (1 4k 2 )2
12 2
1
4
k
1 4
k
所以, y N
1 4 2
k
1 4
2
.
2 1 k
1
k
( 4 2 )
k
因为点 N 在椭圆内部,所以
1
12k 2 1 .
1 4k
2
解得
2
k
2 .
4
4
又由已知 k
0 ,所以斜率 k 的取值范围是 (
2
, 0) U (0, 2
) .
4
4
3.(1) 由 5
2 2
2
, b
= 2 ,
= e 2 = a - 2 b = 1 - b 2 9 a a a 3 依题意, △ MB 1B 2 是等腰直角三角形,
从而 b = 2 ,故 a = 3 ,
2
2
所以椭圆 C 的方程是
x
+
y
=1 .
9 4
(2) 设 A (x 1, y 1 ) , B (x 2 , y 2 )
,直线 AB 的方程为 x = my + 2 , 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立,消去 x 得:
2
2
- 16m
- 20
(4m + 9)y
+16my - 20 = 0 , y 1 + y 2 = 4m 2 +9 , y
1
?y 2
4m 2
+ 9 ,
若 PM 平分 ∠APB ,则直线 PA , PB 的倾斜角互补,所以 K PA + K PB = 0 , 设 P (n,0)
,则有
y 1
+
y 2
= 0 ,
x 2 - n
x 1 - n
将 x 1 = my 1 + 2 , x 2 = my 2 + 2 代入得, 2my 1 y 2 + (2 - n
)( y 1
+ y 2
) = 0 ,
整理得 (2 n - 9) m = 0 ,
由于上式对任意实数 m 都成立,所以 n = 9
.
2
骣9
综上,存在定点
P 琪 ,0
,使 PM 平分 ∠APB .
琪
桫2
4.解:( Ⅰ) l 经过点 E (0,1) 且倾斜角为 3π,
4 所以直线 l 的方程为 y
x 1 ,
y x 1
x
2
x
22
7
联立
x 2 y 2
,解得 或 ,
y
3
16 12
1
y
15
7
2
2
2
2
∴
| AB |
22 2 15
3
36
36 36 2 .
7 7
7 7 7
(Ⅱ )设直线 p : y kx m , M ( x 1 , y 1) , N (x 2 , y 2 ) , 将直线 p : y
kx m 与椭圆联立可得:
y kx m
x 2 y 2
,消去 y 得 (3 4 k 2
)x 2
8kmx 4m 2 48 0 ,
16 12 1
∴
64k 2 m 2 4(3 4k 2 )(4 m 2 48) 0 ,
∴ 16k 2
12 m 2
,
8km
2 , x 1 x 2
2
∴ x 1 x 2
4m 48 ,
3
4k
3 4k 2
设 MN 中点 F ( x 0 , y 0 ) ,
∴ x 0
x 1 x 2
3 4km , y 0 kx 0 m
3m ,
2 4k 2
3 4k 2
∵ | ME | | NE | , ∴ EF
MN ,
3m
2
1
∴ k EF k 1 , ∴ 3 4 k
k
1 ,
4km
3 2
4k
∴ m
(4 k 2
3) 代入 ① 可得: 16k 2 12 (4k 2 3)2 , 4
2
3 0 ,解得
1 1
∴
16k
8k
k
.
2
2 故直线 p 斜率的取值范围是
1 1
.
,
2
2
2
2
2 2
5.(1) 依题意 e =
2
,设 C 1 :
x
2 +
y
2
= 1 , C 2 : x
2 + y 2 = 1 ,由对称性,四个焦点构成的四
2
2b
b 2b 4b
边形为菱形,且面积 S = 1
创2b 2 2b = 2 2 ,解得: b 2
=1 . 2
2
2
2
所以椭圆 C 1 :
x
+ y 2
x
+
y
= 1 .
2 =1 , C 2 :
4
2
(2)(i) 设 P (x 0 , y 0 )
,则 x 02 + y 02
= 1 , A (- 2,0)
, B (
2,0 )
.
2 4
y 0 , k PB = y 0 .
k PA = 2 x 0 - 2
x 0 + 所以: k PA ?k PB
x
2
y 02
= 4 - 2 x 02
= - 2 .
- 2
x 2
- 2
直线 PA , PB 斜率之积为常数 - 2 .
2
(ii) 设 E (x 1 , y 1 ) ,则 x 1
2 =1 .
+ y 1
2
y 1
, k EB = y 1 ,
k EA =
2 x 1 -
x 1 + 2
1
2
2
1-
x 1
1
1 所以: k EA ?k EB
2 y 1
= 2
= - ,同理: k FA ?k FB -
2
2 ,
x 1
- 2 x 0 - 2
2 所以:
k FA 鬃k FB k FA k FB =
1
,由 k EA = k PA , k FB = k PB ,结合 (i) 有
4
k EA ?k FB
1
- .
8
6. Ⅰ )根据题意得 c 1 , e
c 2 ,
解:( a 2
∴ a
2 , c 1 , b 1 ,
故椭圆 C 的方程为
x 2
y 2 1 .
2
2
(Ⅱ )设 P 点坐标为 (x 1, y 0 )
,则 x 0
y 02
1 ,
2
| MP | x 02 ( y 0 2) 2
2 2 y 02 ( y 0 2) 2
y 02 4 y 0 6( y 0 2) 2 10 ,
∵ 1≤ y 0 ≤ 1,
∴当 y 0
1 时, MP 取得最大值 3.
∴ | MP |最大值为 3 ,此时 P 点坐标为 (0, 1) .
(Ⅲ )设 P 点 ( x, y) ,则
x 2
y 2
1 ,
2
P 点到 F (1,0) 的距离为:
( x 1) 2
y 2
2
x 2 1
2
2 x 2
1 2
4 x 4) ,
(x 1) 1
2
x
(x
2
2
1 (
2 x)2 2 (2 x) ,
2 2
P 到直线 x
2 的距离为 2 x ,
2
(2 x)
2 ,
∵ 2
2 x
2
故 P 到 F (1,0) 的距离与到定直线的距离之比为常数
2 .
2
a 2
4 3
c 3
a 2 x 2
y 2
7.解 : ⑴由 2c 2 3得
1.
b
所以椭圆 C 的方程为
a
2
b
2
c
2
1
4
⑵① 因为 A 1
2,0 , A 2 2,0
, M
4,2 ,所以 MA 1
1
( x 2) ,代入
的方程为 y
3
x 2 4y 2 4 ,
x
2
4 + 4[ 1
( x 2)]
2
0 ,即 (x + 2)[( x 2) + 4
( x + 2)] 0 ,
3
9
因为 x A 1
2 ,所以 x P
10
,则 y P
12 ,所以点 P 的坐标为 ( 10 , 12
) .
13 13
13 13 同理可得点 Q 的坐标为 6 4
( ,
) .
5
5
②设点 M x 0 , y 0 ,由题意, x 0
2 .因为 A 1 2,0 , A 2 2,0 , 所以直线 MA 1 的方程为
y
y 0 ( x 2) ,代入 x 2 4y 2 4 ,得 x 2
4 + 4[ y 0 ( x
2)] 2 0 ,
x 0 2
x 0 2
即
4y 02
( x + 2)[( x
2) +
( x 0
2)2
(x + 2)]
0 ,因为 x A 1 2 ,
2
8 y 02
4(x 0 2) y 0
所以
x P (x 0 2) 2
4( x 0 + 2) 2
2 ,则 y P
,故点 P 的坐标为
4 y 02
( x 0 + 2)2 + 4 y 02
( x 0 2)2 4 y 02
1 +
(x 0 2) 2
4( x + 2) 2
4( x 2) y
( 0 2 2
2 , 0 2 0
2 )
.
( x 0 2) (x 0 + 2) + 4 y 0
4 y 0
同理可得点 Q 的坐标为
4( x 0 - 2)2
4( x 0 2) y 0 ( ( x 0 - 2)2
+ 4 y 0
2
2 ,
( x 0 2)2 4 y 0 2 ) . 因为 P , Q , B 三点共线,所以
k
PB
k QB , y P
y Q
.
x P
1 x Q
1
4( x 0 2) y 0 4( x 0 2) y 0
( x 0 2) y 0
(x 0 2) y 0
所以
( x 0 2) 2 4 y 02
(x 0 2) 2 4y 02
,即 2 2
,
(x 0
2)
3( x 0
2)
2
4 y 0
2
4 x 0 + 2 2
4( x 0
2) 2
12y 0
2 1
2 2
2 1
2
2
(x 0
2)
x 0 + 2 + 4y 0
4 y 0
由题意, y 0
0 ,所以
x 0
2
x 0 2
2
.
(x 0
2) 2
2
3( x 0
2
4 y 0
12y 0 2)
即 3(x 0 2)( x 0 2) 2 4( x 0 2) y 0 2 ( x 0 2)(x 0 2)2 12(x 0 2) y 0 2 .
所以 (x 0
4)(
x 0
2
y 0
2
1) 0 ,则 x 0 4
0 或
x
2
y 0 2 1 .若
x 0
2
y 0
2
1 ,则点 M 在椭
4
4
4
圆上, P , Q , M 为同一点,不合题意.故 x 0 4 ,即点 M 始终在定直线 x 4 上. 16
分
8.( Ⅰ )解:设
1 1 3e
1 1
3c ,可得 a 2
-
F(c , 0) ,由
| OA | | FA |
,即
a
a(a
| OF | c
c)
c 2=3c 2,又 a 2- c 2=b 2=3 ,所以 c 2=1,因此 a 2=4. 所以,椭圆的方程为
x 2
y 2
4
1 .
3
( Ⅱ ) 解 : 设 直 线 l 的 斜 率 为 k ( k
0 ) , 则 直 线 l 的 方 程 为 y k( x 2) . 设
x 2
y 2
1
y
B( x B , y B ) , 由 方 程 组
4 3
, 消 去
, 整 理 得
y k (x
2)
( 4k 2 3)x 2
16k 2 x 16k 2 12 0 .
解得 x
2 ,或 x 8k
2
6 ,由题意得 x B
8k
2
6
,从而
y
B
12k .
4k 2
3 4k 2
3
4k 2 3
由( Ⅰ )知, F (1,0) ,设 H ( 0, y H ) ,有 FH
( 1, y H ) , BF 9 4k 2 12 k
) . 由 ( 2 , 2
4k 3 4k 3 BF
HF ,得 BF HF
9 4k 2 12ky H 0 ,解得 y H 9 4k 2
0 ,所以
3
4k 2 3 12 k .因此直线
4k 2
1 x
9 4k 2
MH 的方程为 y
12k .
k
y
1
9 4k 2
20k 2
9
设 M ( x M , y M ) ,由方程组
x
消去 y ,解得 x M .在 MAO
k
12k 12(k
2 y
2) 1)
k( x
中,
MOA MAO
| MA | | MO |,即 (x M
2)2 y M 2 x M 2 y M 2 ,化简得 x M
1 ,
即
20k 2
9 1,解得 k
6 或 k
6 .
12(k 2
1)
4
4
所以,直线 l 的斜率的取值范围为
(
,
6 ] [ 6 , ) .
4 4
9.解:( Ⅰ) ∵ 椭圆 C 的方程为
x 2
y 2 1 ,
16
12
∴ a 4 , b 2 3 , c 2 ,
∴ e
c 1
, | FA | 2 , | AP | m 4 ,
a 2
∵ | FA | 2 4 1 , | AP | m 2
∴ m 8 .
( Ⅱ )若直线 l 的斜率不存在,则有 S 1 S 2 , | PM | | PN |,符合题意,
若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y k (x 2) , M (x 1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,
x 2 y 2
1
,得 (4 k 2 3) x 2 16k 2 x 16k 2
由
16
12 48
0 ,
y k(x
2)
0 恒成立,且 x 1
x 2
16k
2
16k 2
48
可知
2
, x 1x 2
2
3 ,
4k
3 4k
∵ k PM k PN
y 1 y 2 k (x 1 2) k( x 2
2)
x 1 8 x 2 8 x 1
8
x 2
8
k( x 1 2)( x 2
8) k (x 2
2)( x 1 8)
(x 1 8)( x 2 8)
2kx1x2 10k ( x1 x2 ) 32k ( x1 8)( x2 8)
2k 16k 2 48 10k 16k 2
3 32k
4 k2 3 4k2 0 ,
( x1 8)( x2 8)
∴ ∠ MPF ∠ NPF ,
∵ △ PMF 和△PNF的面积分别为:
S1 1
| PF || PM | sin∠ MPF , S2
1
2
| PF || PN | sin∠ NPF ,
2
∴
S1 | PM |
S2 .
| PN |
r r
10.解:( 1 )∵ a b (m, ) ,
∴直线 AP 的方程为: y (x m) ①式,
m
rr
又 b 4a ( m, 4) ,
∴直线 BP 的方程为:y 4
m) ② 式,( x
m
由① 式,②式消去入得y 2
4
(x 2 2 ) ,即
x2 y2
2 m 2 1 ,m m 4
故点 P 的轨迹方程为
x2 y2
1 .m
2 4
当 m 2 时,轨迹 E 是以 (0,0) 为圆心,以 2 为半径的圆,
当 m 2 时,轨迹 E 是以原点为中心,以( m2 4,0) 为焦点的椭圆,
当 0 m 2 时,轨迹 E 是以原点为中心,以(0, 4 m2 ) 为焦点的椭圆.( 2 )当 m 2 2时, x2 y2 1 ,
8 4
∵M 为轨迹 E 是任意一点,
∴设 M (2 2 cos ,2sin ) ,
∴ | MC | (2 2cos 1)2 (2sin ) 2
2 2
4cos2 4 2 cos 5 4 cos 3
2
∵ cos [ 1,1] ,
∴当 cos
2
时, | MC | 取得最小值
3 .
2
2
2
11. (Ⅰ )由已知,椭圆方程可设为
x
y
1(a b 0) ,
a 2
b 2
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点,且短轴长为 2 ,
∴ b c 1 , a
2 ,
故所求椭圆方程为 x 2
y 2
1 .
2
(Ⅱ )右焦点 F (1,0) ,直线 l 的方程为 y x 1 ,设 P(x 1 , y 1 ) , Q( x 2 , y 2 ) ,
由
x 2 2 y 2 2 2
2 y
1 0 ,解得 y 1
1 , y 2
1
y
x 1 得, 3y
,
3
∴ S △ DOQ
1 | OF | | y 1 y
2 | 1 | y 1 y 2 | 2 .
2 2 3
(Ⅲ )假设在线段 OF 上存在点 M (m,0)(0 m 1) ,
使得以 MP , MQ 为邻边的平行四边形建菱形,
因为直线与 x 轴不垂直,所以设直线 l 的方程为 y k( x 1)(k 0) , 由
x 2
2 y 2 2
2k 2
2
4k 2
x 2k 2
2
0 ,
y
可得: (1 ) x
kx 1
2
2
∴ x 1 x 2 1 4k , x 1 x 2 2k 2 ,
2k 2 1 2k 2
uuur
uuuur uuur
MP ( x 1 m, y 1 ) , MQ (x 2 m, y 2 ) , PQ ( x 2 x 1 , y 2 y 1 ) ,
其中 x 2 x 1 0 ,以 MP 、 MQ 为邻边的平行四边形是菱形
uuur uuuur uuur
(MP MQ ) ⊥ PQ ,
uuur uuuur uuur 0 ,即 (x 1 x 2 2m)(x 2
x 1 ) ( y 1 y 2 )( y 2 y 1 ) 0 , ∴ (MP MQ ) PQ ∴ (x 1 x 2 2m) k( y 1 y 2 )
0 ,
∴
4k 2 2 2m
k 2
4k 2 2 2 0 ,化简得 2k 2
(2 4k 2 )m 0 ,
1 2k
1 2k
k 2
∴
m
2 (k
0) ,
1 2k
1 ∴ 0 m
. 2
C
x 2 y 2
12.解: Ⅰ设椭圆 的标准方程为 a
b 1(a b 0) ,
∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线 x 2 8y 的准线 y
2 上,
∴ b 2 ,即 b
2 ,
又∵
c
3 , a 2 b 2 c 2 ,
a
2
∴ a 4 , c 2 3
,
故椭圆 C 的标准方程为
x 2
y 2
1 .
16
4
Ⅱ( i )设
1 1
2
2
) ,直线 AB 的方程为 y
3 t ,
A( x , y ) , B(x , y x
6
y 3
x
t
联立 6
,得 x 2
3tx
3t 2
12 0 ,
x 2
4y 2 16
由
0 ,计算得出
4 3 t
4 3 ,
3
3 ∴ x 1 x 2
3t , x 1 x 2 3t 2
12 ,
∴
| x 1
x 2 |
( x 1
x 2 )2 4x 1 x 2
48 9t 2 ,
∴四边形 APBQ 的面积 S
1 2 3 | x 1 x 2 |
3
48 9t 2 ,
2
当 t 0 时, S max 12 .
(ii ) ∵ ∠ APQ ∠ BPQ ,则 PA , PB 的斜率互为相反数,可设直线 PA 的斜率为 k ,
则 PB 的斜率为 k ,直线 PA 的方程为: y
3 k (x 2) ,
y 3 k( x 2)
4k 2 )x 2
8k( 3 2k) x 4( 3
2k)2
16 0 ,
联立
x
2
4 y 2
16 ,得 (1
∴ x 1
2 8k(2 k 2 3) ,
1 4k
同理可得: x 2
2
8k( 2 k 2 3)
8k (2 k 2 3) ,
1 4k
1 4k
∴ x 1 x 2
16k 2 2
4
, x 1 x 2 16 3k
2
,
1 4k
1 4k
k AB
y 1 y 2
k( x 1
x 2 ) 4k
3 ,
x 1 x 2
x 1
x 2 6
∴直线 AB 的斜率为定值
3 .
6
13.( 1) ∵ 椭圆 M 过点 A(0, 1) , ∴ b 1.
∵ e=
c
3 , a 2 b 2 + c 2 , ∴ a 2 .
a
2
∴椭圆 M 的方程为
x 2
+ y 2 1 .
4
( 2 )依题意得 k 0 ,因为椭圆 M 上存在点 B , C 关于直线 y
kx 1对称,
所以直线 BC 与直线 y kx 1 垂直,且线段 BC 的中点在直线 y kx 1 上,
设直线 BC 的方程为 y
1
x +t , B( x 1, y 1 ) , C( x 2 , y 2 ) .
k
由 y 1
x+ t 2 + 4) x 2 8ktx + 4k 2 t 2
4k 2 0 .
k ,得 ( k
2
2
4
x + 4 y
由
64k 2 t 2
4(k 2 + 4)(4k 2 t 2 4k 2 ) 16k 2 (4 k 2 t 2 + k 2 ) 0 ,得 k 2 t 2 k 2
4 0 .
∵
x 1 + x 2
8kt ,
k 2 + 4
∴
BC 的中点坐标为
4kt
k 2t
.
k 2 + 4 , k 2
+ 4
2 4kt
又线段 BC 的中点在直线 y
kx 1 上, ∴
k t k
k 2
+ 4
1
,
k 2 + 4
∴ 3
2
2
2
或 k
2 . k t 1 ,代入 k 2 t 2
k 2
4 0 ,得 k
k + 4
2
2
∴ S
k k
2
或 k
2 .
2
2
∵ k 2k 2t 1 ,
+ 4 3
∴对于 k S ,线段 BC 的中点的纵坐标恒为
1
,即线段 BC 的中点总在直线 y 1 上.
3
3
14.( 1 )由 e 1 ,得 a 2c ,
2
又 a 2 b 2 c 2 , ∴ b
3c ,
∴椭圆 C : x 2 y 2 . 4c 2 3c 2 1
3
在 c 上, ∴ 1
9
1 ,得 c
1,
∵点 1,
4
2
4c 2 3c 2
∴ a 2 , b
3 ,
∴椭圆 C 的方程为
x 2
y 2 1 .
4
3
( 2 )设 A(x 1, y 1) , B(x 2 , y 2 ) ,则 P x 1 , y 1 , Q x 2 , y 2 ,
2 3 2 3
由以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,得 uuur uuur 0
OP OQ ,
即 x 1 x 2
y 1 y 2 0 ①,
4
3
y kx m
2 y 2
,消去 y 整理得 (3 4k 2
) x 2
8mk 4( m 2
3) 0 ,
由 x
4
3
1
由
64k 2 m 2 16(3 4 k 2 )(m 2 3) 0 ,得 3 4k 2 m 2
0 .
而 x 1 x 2
8mk
2 , x 1x 2
4( m 2 23) , ②
3 4k
3 4k
所以 y 1 y 2 (kx 1 m)(kx 2
m) k 2 x 1x 2
mk( x 1
x 2 ) m 2
3(m 2 4k 2 ) ③ ,
3 4k 2
4( m 2 3) 3(m 2 4k 2
) 0
,即 2m 2 4k 2 3 . 将②③ 代入 ① 得 4k 2 ) 4(3 4k 2 ) 4(3
又∵
| AB | 1 k 2 (x x )2 4x x 2 1 k
2 48(4 k 2 m 2 3) , 1 2 1
3 4k 2
原点 O 到直线 l : y
kx
m 的距离
d
| m |
,
1 k 2
∴ S △ AOB
1
| AB | d 1 1 k
2
48(4 k 2
m 2 3)
| m |
,
2
2
2 2
3 4k 1
4k
把 2m 2
4k
2
3 代入上式得
S
△ AOB
3 ,
故 △ AOB 的面积为定值 3 .
b 1
15.( 1 )由题意可得
c 2 2 , b c 1 ,
a
,解得 a
2
a 2
b 2 +
c 2
∴椭圆 C 的方程为
x 2
+ y 2 1 .
( 2 )设直线 l
的方程为 y 1
1
B( x , y )
,则 k(x 1) , A(x , y ) , 22
y k( x 1)
x 2
+ y 2
,消去 y 得 (2 k 2
+1)x 2
1
2
4k
2
2 2
x 1 + x 2
, x 1x 2
2k
.
2
2 +1
2k +1
2k
∵ AB
4 2
,
3
4k 2 2
2 k 2 2 ∴ (1+ k 2 )
4
2k 2 +1 2k 2 +1
4k 2 x + 2k 2 2 0 ,
4 2 ,
3
化简得 7 k 4 2k 2 5 0 即 ( k 2
1)(7k 2 + 5) 0 ,
解得 k
1 .
故直线 l 的方程为 y x 1 或 y x 1.
( 3)由( 2 )可知 A(0,
1) , B 4 1
, ,假设存在点 M (m,0) ,设 T (x 0 , y 0 ) ,则
3 3 x 02 + y 0
2
1
2
4 m) + 4 0
,解得 m 2 6
( x 0
y 0
2 (0,1) , 3
3
x 0 + m 1 y 0
2 2
故不存在点 M ( m,0) ,使得以 MA , MB 为邻边的四边形 MATB 是菱形.
16.( 1)设动圆圆心为 ,半径为
∵两个定圆为
和
∴其圆心分别为
, ,半径分别为 ,
∵
∴两个定圆相内含
∵动圆 与两个圆均相切
∴
,
∴
高考数学圆锥曲线大题集大全
高考二轮复习专项:圆锥曲线 1. 如图,直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率 23=e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ;双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x -5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P ,连结AP 交椭圆C1于点M ,连结PB 并延长交椭圆C1于点N ,若=. 求证:.0=? B A D M B N l2 l1
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A ,B 两点.设AB 中点为M ,直线AB 与OM 的夹角为αa. (1)用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; (2)若2 2020高考虽然延期,但是每天练习一定要跟上,加油! 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2, -1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. (4 1 ,-1) B. (4 1,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a <2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.(江西卷7)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A .(0,1) B .1 (0,]2 C .(0, 2 D .,1)2 6.(辽宁卷10)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) A B .3 C D .92 7.(全国二9)设1a >,则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是( B ) A . B . C .(25), D .(2 8.(山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ,焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 圆锥曲线大题专题训练 1.如图,曲线G 的方程为22(0)y x y =≥.以原点为圆心.以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B .直线AB 与x 轴相交于点C . (Ⅰ)求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 (Ⅱ)设曲线G 上点D 的横坐标为2a +, 求证:直线CD 的斜率为定值. 1.解: (Ⅰ)由题意知,(A a . 因为OA t =,所以2 2 2a a t +=.由于0t > 由点(0)(0)B t C c ,,,的坐标知,直线BC 的方程为 1c t +=. 又因点A 在直线BC 上,故有 1a c +=,将(1)代入上式,得1a c =, 解得2c a =+ (Ⅱ)因为(2D a +,所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-. 所以直线CD 的斜率为定值. 2.设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点. (I )过点(04)P -,作抛物线G 的切线,求切线方程; (II )设A B ,为抛物线G 上异于原点的两点,且满足0FA FB =u u u r u u u r g ,延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ,,求 四边形ABCD 面积的最小值. 2.解:(I )设切点2 004x Q x ?? ???,.由2x y '=,知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ,故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-. 即2 04 24x x y x =-. 因为点(0)P -4,在切线上. 所以2 044 x -=-,2 016x =,04x =±.所求切线方程为24y x =±-. (II )设11()A x y ,,22()C x y ,. 由题意知,直线AC 的斜率k 存在,由对称性,不妨设0k >. 1.【2018全国二卷19】设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,. (1)求的方程; (2)求过点,且与的准线相切的圆的方程. 3.【2018全国三卷20】已知斜率为的直线与椭圆交于,两点,线段的中点为. (1)证明:; (2)设为的右焦点,为上一点,且.证明: ,,成等差数列,并求该数列的公差. 【定点问题】已知()()()0,10,1,10.A B M --,, 动点P 为曲线C 上任意一点,直线,PA PB 的120,0,y , )0a b 的两个焦点均在以坐标原点的短半轴长为半径的圆上,且该圆被直线20x y +-=截得的弦长为问:,AB BD 是否【18浙江改编】已知椭圆C :()22 2210x y a b a b +=的离心率为12 ,过右顶点与上顶点的直(1)求C 的标准方程; (2)若圆O :223x y +=上一点处的切线l 与椭圆C 交于不同的两点,,A B 求OAB ?面积的最大值. 24C y x =:F F (0)k k >l C A B ||8AB =l A B C k l 22 143 x y C +=:A B AB ()()10M m m >,12 k <-F C P C FP FA FB ++=0FA FP FB 5.【2018天津卷19】设椭圆22 221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B . 已知椭圆的离 A 的坐标为(,0)b ,且F B AB ?=(I )求椭圆的方程; (II )设直线l :(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q . 若 4AQ AOQ PQ =∠(O 为原点) ,求k 的值. 【高考数学中最具震撼力的一个解答题!】注:【求解完第一问以后,】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型:(1)弦长问题(2)中点问题(3)垂直问题(4)斜率问题(5)对称问题(6)向量问题(7)切线问题(8)面积问题(9)最值问题(10)焦点三角形问题。中的2-----4类;分门别类按套路求解; 1.高考最重要考:直线与椭圆,抛物线的位置关系。第一问最高频考(总与三个问题有关):(1)———————;(2)——————————;(3)—————————; 2.圆锥曲线题,直线代入圆锥曲线的“固定3步走”:---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————; 3.圆锥曲线题固定步骤前9步:-------------------;---------------------------------------------;————————————;—————————;——————————;—————————————————;———————————;——————————————; 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长:(1)圆的弦长问题;(2)中点弦长问题(3)焦点弦长问题;→(1)圆的弦长问题:(2法)首选方法:垂径定理+勾 股定理:图示:--------------------------------;公式为:-------------------------;其中求“点线距”的方法:———————;次选:弦长公式;→(2) 中点弦长问题:(2法)首选方法:“点差法” 椭圆:(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;副产品:两直线永远不可能垂直!原因:___________;【两直线夹角的求法:(夹角公式)___________;】双曲线(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;抛物线:形式一:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;形式2:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;附:“点差法”步骤:椭圆:“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式:(公式一)-------------------;(公式二)---------------------;附:“点差法”步骤:抛物线;形式一___________;:“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式:(公式一)---------------------;(公式二)--------------------;附:“点差法”步骤: 圆锥曲线 一、填空题 1、(2015年江苏高考)在平面直角坐标系xoy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点,若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、(2013年江苏高考)双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、(2013年江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆 C 的离心率为 。 4、( 南京、盐城市高三二模)在平面直角坐标系xoy 中,已知抛物线C : y x 42=的焦点为F ,定点)0, 22(A ,若射线FA 及抛物线C 相交于点M ,及抛物线C 的准线相交于点N ,则FM :MN= 5、(苏锡常镇四市 高三教学情况调研(二))已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2,它的焦点到渐近线的距离等于1,则该双曲线的方程为 ▲ 6、(泰州市 高三第二次模拟考试)已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ,则m = ▲ 7、(盐城市 高三第三次模拟考试)若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合,则n 的值为 ▲ 8、( 江苏南京高三9月调研)已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的渐近 线方程 为y =±3x ,则该双曲线的离心率为 ▲ 9、( 江苏苏州高三9月调研)已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、(南京市、盐城市 高三)若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合,则a = ▲ . 11、(南通市 高三)在平面直角坐标系xOy 中,以直线2y x =±为渐近线,且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、(苏州市 高三上期末)以抛物线24y x =的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为2的双曲线标准方程为 13、(泰州市 高三上期末)双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半,则双曲线的离心率e = ▲ 14、(苏锡常镇四市2014届高三5月调研(二))在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为(5,0),则实数 m = ▲ 15、(南京、盐城市2014届高三第二次模拟(淮安三模))在平面直角坐 标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线及抛物线y 2=4x Y 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0; 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1,C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义:点集:{M ||OM |=r },其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 圆的方程: (1)标准方程 圆心在c(a,b),半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F >0时,一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,圆心为(-2D ,-2 E ),半径是 2 4F -E D 22+.配方,将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时,方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F <0时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0),则 |MC |<r ?点M 在圆C 内,|MC |=r ?点M 在圆C 上,|MC |>r ?点M 在圆C 内, 其中|MC |=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 2018年04月10日wan****.121的高中数学组卷 评卷人得分 一.解答题(共21小题) 1.如图,已知抛物线x2=y,点A(﹣,),B(,),抛物线上的点P(x,y)(﹣<x<),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q. (Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围; (Ⅱ)求|PA|?|PQ|的最大值. 2.如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1, (Ⅰ)求p的值; (Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围. 3.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y﹣1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(Ⅰ)求点A,B的坐标; (Ⅱ)求△PAB的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点. 4.已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称. (1)求实数m的取值范围; (2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点). 5.如图,设椭圆C:(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点 P,且点P在第一象限. (Ⅰ)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标; (Ⅱ)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b. 6.如图,点P(0,﹣1)是椭圆C1:+=1(a>b>0)的一个顶点,C1的 长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A、B两点,l2交椭圆C1于另一点D. (1)求椭圆C1的方程; (2)求△ABD面积的最大值时直线l1的方程. 7.已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1) (Ⅰ)求抛物线C的方程; (Ⅱ)过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线l:y=x﹣2于M、N两点,求|MN|的最小值. 8.如图,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1) 的距离为,不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)求△APB面积取最大值时直线l的方程. 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l 1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率 23 = e ,已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B;双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x-5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若AM=. 求证:.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为αa. (1)用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; (2)若2 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( C ) (A (B )2 (C (D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直 线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是( ) A B .2 C .13 D .12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“ 点” D .直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) ) 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1,给出下面四个命题: ①由线C 不可能表示椭圆; ②当1<k <4时,曲线C 表示椭圆; ③若曲线C 表示双曲线,则k <1或k >4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆,则1<k <2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. ? 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ,点P 在椭圆上,且满 足021=?PF PF ,2tan 21=∠F PF ,则该椭圆的离心率为 3.若0>m ,点?? ? ??25,m P 在双曲线15422=-y x 上,则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 . 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,点A 的坐标是 (4,a ),则当||a >4时,||||PA PM +的最小值是 . 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==- .若以A ,B 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = . 7.已知ABC ?的顶点B ()-3,0、C ()3,0,E 、F 分别为AB 、AC 的中点,AB 和AC 边上的中线交于G ,且5|GF |+|GE |=,则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ,一条准线为x =3的椭圆的标准方程是 . 9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =(4,-3)平移后所得抛物线的焦点坐标为 . ^ 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5<a <10=的两个焦点,B 是短轴的一个端 点,则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点,F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点,A 是抛物线上的一点, 与x 轴正向的夹角为60°,则||为 . 14.在ABC △中,AB BC =,7 cos 18 B =-.若以A B ,为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率e = . 二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1 2 -. . (Ⅰ)试求动点P 的轨迹方程C. (Ⅱ)设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点,当|MN |=3 2 4时,求直线l 的方程. 高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 时间:2021.03.02 创作:欧阳数 2.如图,直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直 线,交点是A,点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M是该平面上的一个动点,M 在l1上的射影点是N,且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M的轨迹C的方程.(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C 于E、F两点;另外平面上的点G、H满足: 求点G的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在轴上,离心率 ,已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆的一条准线方程是 其左、右顶点分别 是A、B;双曲线的一条渐近线方程为3x-5y=0. A D M B N l2 l1 (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若. 求证: 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1)用半焦距c表示椭圆的方程及tan; (2)若2 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用; 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义:懂得一元二 次方程的图像是直线; 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系(方向向量、法向量); 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点; 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程; 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题; 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线(与椭圆相交的直线)BD与椭圆交于C、D两点 (1)确定直线BD斜率的取值范围 (2)若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO ,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l :22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B ,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 (1)求证:直线AB 的斜率为定值 (2)当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - (1)求点P (x, y )的轨迹C 的方程 (2)直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D (0,-1)为圆 心的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += (1)求点M (x, y )的轨迹方程 (2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由 高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线, 交点是A ,点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧),且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点, M 在l i 上的射影点 是 N ,且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系,求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 2,已知 点P(0,3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R); G E G F 2G H ; G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 , 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率; (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证:MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 1.已知动直线l 与椭圆C: 22 132 x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点,且△OPQ 的面积OPQ S ?= 6 2 ,其中O 为坐标原点. (Ⅰ)证明2212x x +和22 12y y +均为定值; (Ⅱ)设线段PQ 的中点为M ,求||||OM PQ ?的最大值; (Ⅲ)椭圆C 上是否存在点D,E,G ,使得6 2 ODE ODG OEG S S S ???===?若存在,判断△DEG 的形状;若不存在,请说明理由. 2.如图,已知椭圆C1的中心在原点O ,长轴左、右端点M ,N 在x 轴上,椭圆C2的短轴为MN ,且C1,C2的离心率都为e ,直线l ⊥MN ,l 与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D. (I )设1 2 e = ,求BC 与AD 的比值; (II )当e 变化时,是否存在直线l ,使得BO ∥AN ,并说明理由 3.设λ>0,点A 的坐标为(1,1),点B 在抛物线y x 2 =上运动,点Q 满足QA BQ λ=,经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ,点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程。 4.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(0,-1),B 点在直线y = -3上,M 点满足MB//OA , MA ?AB = MB ?BA ,M 点的轨迹为曲线C 。 (Ⅰ)求C 的方程; (Ⅱ)P 为C 上的动点,l 为C 在P 点处得切线,求O 点到l 距离的最小值。 5.在平面直角坐标系xOy 中,点(,)P a b (0)a b >>为动点,12,F F 分别为椭圆22 221 x y a b +=的左右焦点.已知△12F PF 为等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆的离心率e ; (Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点,M 是直线2PF 上的点,满足2AM BM ?=-,求点M 的轨迹方程. 6.已知抛物线1C :2 x y =,圆2C :2 2 (4)1x y +-=的圆心为点M (Ⅰ)求点M 到抛物线1c 的准线的距离; (Ⅱ)已知点P 是抛物线1c 上一点(异于原点),过点P 作圆2c 的两条切线,交抛物线1c 于A ,B 两点,若过M ,P 两点的直线l 垂直于AB ,求直线 l 的方程 7.如图7,椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的离心率为23,x 轴被曲线 b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长. ()I 求1C ,2C 的方程; ()II 设2C 与y 轴的交点为M ,过坐标原点O 的直线 l 与2C 相交于点A ,B ,直线MA ,MB 分别与1 C 相交于点 D , E . (ⅰ)证明: ME MD ⊥; (ⅱ)记MAB ?,MDE ?的面积分别为21,S S ,问:是否存在直线l ,使得32 17 21=S S ?请说明理由. 高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l 1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率23 = e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B;双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x-5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若MP AM=. 求证:.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为αa. (1)用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; (2)若2 高考数学试题圆锥曲线 一. 选择题: 1.又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点, 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. ( 41 ,-1) B. (4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A .(0,1) B .1 (0,]2 C . D . 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) 数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的离心率e= 3 2,a+b=3. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值. ★★如图,椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)经过点P(1, 3 2),离心率e= 1 2,直 线l的方程为x=4. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3若存在,求λ的值;若不存在,说明理由. ★★椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2,离心率为 3 2,过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围; (Ⅲ)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只 有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明 1 kk1+ 1 kk2 为定值,并求出这个定值. - 2 - 二、圆锥曲线中的最值问题 +y2 b2=1( a>b>0)的离心率为 (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且A D⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值; (ii)求△OMN面积的最大值. - 3 -2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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