高考圆锥曲线大题训练
全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)
全国卷高考数学圆锥曲线大题（带答案）1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若=. 求证：.0=•4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa.（1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα;（2）若2<tanα<3，求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆2222byax+（a＞b＞0）的离心率36=e，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=，且8||||=+b a（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若OB OA OP +=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程．8. 已知抛物线C ：)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）求实数p 的取值范围；（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点，且|CD|＝21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设λ=EC AE ，当4332≤≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围.x10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; 若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，212p +），过Q 作斜率为2p 的直线l ，P Q 中点M 的轨迹为曲线C.（1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线； （3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足22|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7，（1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。
高三数学文科圆锥曲线大题训练(含答案)
高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）1．已知椭圆22:416C xy.（1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线10y kx k 交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212xy的位置关系.1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164xy,所以2222216,4,12从而a b ca b ,因此4,23ac,故椭圆C 的离心率32c ea............4分(II)由221,416y kx xy得22148120kxkx ,由题意可知0. ..............5分设点,E F 的坐标分别为1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为,M M x y ,则1224214Mx x k x k,1221214My y y k......................7分因为BEF 是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,所以BM EF , 因此BM 的斜率1BMk k. ............... ...........................................8分又点B 的坐标为0,2,所以222122381440414M BMMy kkk kx kk,..........10分即238104k kkk ,亦即218k,所以24k,....................12分故EF 的方程为2440x y................ ...........................................13分又圆2212xy的圆心0,0O 到直线EF 的距离为42223218d, 所以直线EF 与圆相离.....................14分2．已知椭圆的中心在坐标原点O ，长轴长为22,离心率22e，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ 的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.2．解：（1）由已知，椭圆方程可设为222210x y a b ab．--------1分∵长轴长为22,离心率22e，∴1,2b c a ．所求椭圆方程为2212xy．----------- 4分（2）因为直线l 过椭圆右焦点1,0F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1yx ．设1122,,,P x y Q x y ，由2222,1,x yyx 得23210yy，解得1211,3y y ．∴1212112223POQ S OFy y y y ．--------------9分（3）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x ，此时POQ 小于90，,OP OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1yk x ．由2222,1,x y yk x 可得2222124220k x k x k．∴22121222422,1212kkx x x x k k．11(1)y k x ，22(1)y k x 212212ky y k因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形0OP OQuu u r uuu r.由221212222201212kkOP OQx x y y k kuu u r uuu r 得22k，2k .所求直线的方程为2(1)yx ．----------------14分3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)xy ab ab的一个顶点为(2,0)A ，离心率为63．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程．3. 解：（1）依题意，椭圆的焦点在x 轴上，因为2a，63c a，所以263c，22243b ac．所以椭圆的方程为223144xy ．…………４分（2）依题意，直线l 的斜率显然存在且不为0，设l 的斜率为k ，则可设直线l 的方程为(2)y k x ，则原点O 到直线l 的距离为2|2|1k dk．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2234y kx xy消y得22(31)4kx．可得2222(,)3131k P kk，2222(,)3131k Q kk．因为以PQ 为直径的圆与直线l 相切，所以1||2PQ d ，即||OP d ．所以22222222|2|()()()31311k k kk k，解得1k ．所以直线l 的方程为20xy或20x y ．………14分4．已知离心率为32的椭圆2222:1(0)xy C a bab与直线2x 相交于,P Q 两点（点P在x 轴上方），且2PQ ．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．4．解：（1）由已知得32e，则12b a，设椭圆方程为22221(0)4xy b bb由题意可知点(2,1)P 在椭圆上，所以224114bb．解得22b．故椭圆C 的标准方程为22182xy．………４分（2）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0．因为APQ BPQ ，所以PAPB k k ．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x （0k）．由2248(12),xyy kx k 得222(14)8(12)161640k xk k x k k ……(1).依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0成立.即222264(12)4(14)161640k k k kk ,化简得216(21)0k ，解得12k.因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214Akkx k．所以2288214Akkx k．当方程（1）根的判别式0时，12k，此时直线PA 与椭圆相切.由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x ．同理，易得22228()8()288214()14Bk k kkx k k．由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ，且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k.设四边形APBQ 面积为S ，则112222APQBPQABS SSPQ x PQx 2222188288221414B A k k k k PQ x x kk21614k k由于12k，故216161144k Skkk.当12k时，144k k，即110144kk ，即04S .(此处另解：设t k ，讨论函数1()4f t t t 在1,2t时的取值范围.222141()4t f t tt，则当12t时，()0f t ，()f t 单调递增.则当12t 时，()(4,)f t ，即S 0,4.)所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是0,4.………14分5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022y x的距离为 3.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线0ykxm k与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当A MA N 时，求m 的取值范围.5．解: （1）依题意可设椭圆方程为2221x ya，………….2分则右焦点F 的坐标为21,0a，由题意得212232a，解得23a，故所求椭圆的标准方程为2213xy.………………………….5分6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12xC y的顶点，直线20x y与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(2,1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP，0BQ BP ，且A ，B ，Q 三点不共线.（1）求椭圆1C 的方程；（2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ 面积的最大值及此时点Q 的坐标.6．（1）解法1：∵双曲线222:12xC y的顶点为1(2,0)F ,2(2,0)F , ……１分∴椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F ,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222by ax 0a b ，∵椭圆1C 过点A (2,1)，∴1224a AF AF ，得2a.……２分∴22222ba.………………………３分∴椭圆1C 的方程为22142xy.………………………４分解法2:∵双曲线222:12xC y的顶点为1(2,0)F ,2(2,0)F , …………………１分∴椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F ,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222by ax 0ab ，∵椭圆1C 过点A (2,1)，∴22211ab . ①………………………２分. ∵222ab,②………………………３分由①②解得24a, 22b .∴椭圆1C 的方程为22142x y.………………………４分（2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (2,1)及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)，∴(2,1)AQxy ，11(2,1)AP x y ，(2,1)BQxy ，11(2,1)BP x y . 由0AQ AP , 得11(2)(2)(1)(1)0xx y y ，……………………５分即11(2)(2)(1)(1)xx y y .①同理, 由0BQ BP , 得11(2)(2)(1)(1)x x y y . ②……………６分①②得222211(2)(2)(1)(1)xxy y.③………………………７分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142xy，得221142xy , 代入③式得2222112(1)(2)(1)(1)yxy y.当2110y时，有2225x y，当2110y ，则点(2,1)P 或(2,1)P ,此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)，其坐标也满足方程2225xy.………………………８分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)，由②得23yx ，解方程组2225,23,x yyx得点Q 的坐标为2,1或2,22.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为2,1或2,22.∴点Q 的轨迹方程为2225xy, 除去四个点2,1,2,22, 2,1,2,22.………………………９分解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A(2,1)及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)，∵0AQ AP，0BQ BP，∴AQ AP，BQ BP.∴1111122y y x x12x ，①……………………５分1111122y y x x 12x . ②……………………６分①②得12222111122y y xx. (*)………………………７分∵点P 在椭圆1C 上,∴2211142x y ，得221122x y,代入(*)式得2212211112122xy xx，即2211122y x,化简得2225xy .若点(2,1)P 或(2,1)P , 此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)，其坐标也满足方程2225xy.………………………８分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)，由②得23yx ，解方程组2225,23,x yyx得点Q 的坐标为2,1或2,22.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为2,1或2,22.∴点Q 的轨迹方程为2225xy, 除去四个点2,1,2,22, 2,1,2,22.………………………９分(3) 解法1：点Q,x y 到直线:AB 20xy 的距离为23x y .△ABQ 的面积为2221(22)(11)23xy S………………………10分2xy22222xyxy .………………………11分而22222(2)()422y yxy x x（当且仅当22y x时等号成立）∴22222222522224522yS xyxyxyxxy522. ……12分当且仅当22y x时, 等号成立.由222,225,y x xy解得2,22,x y或2,22.xy………………………13分∴△ABQ 的面积最大值为522, 此时,点Q 的坐标为2,22或2,22.…14分解法2：由于22221123AB ，故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大．………………………10分设与直线AB 平行的直线为20x y m ，由2220,25,x y m xy消去x ，得22542250y my c ，由223220250mm，解得522m．………………………11分若522m，则2y ，22x ；若522m，则2y ，22x．…12分故当点Q 的坐标为2,22或2,22时，△ABQ 的面积最大，其值为2222221522212SAB．………………………14分7．如图，B A,分别是椭圆C ：)0(12222ba by ax 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．7．【解析】：（1）解：F （1，0），|AF|=a+c ，|BF|=a ﹣c ．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项．∴，解得a=2，c=1，∴b 2=a 2﹣c 2=3．∴椭圆C 的方程为=1．（2）证明：直线l 的方程为：x=﹣2，直线AP 的方程为：y=k （x+2）（k ≠０），联立，化为（3+4k 2）x 2+16k 2x+16k 2﹣12=0，∴，∴x P =，∴y P =k （x P +2）=，∵QF ⊥AP ，∴k PF =﹣．直线QF 的方程为：y=﹣，把x=﹣2代入上述方程可得y Q =，∴Q．∴k PQ ==，k BQ =．∴k PQ =k BQ ，∴B ，P ，Q 三点共线．8．已知椭圆2222:10x y C a b ab的离心率为32，且经过点0,1．圆22221:C xyab. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l:0y kx m k 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM 0是否成立？请说明理由．8．解析：（1）解：∵椭圆2222:1x y C ab过点0,1，∴21b.∵2223,2c ab c a，∴24a．∴椭圆C 的方程为2214xy.……………４分（2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225xy，其圆心为原点O . ……………５分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14ykx m x y（*）有且只有一组解．由（*）得222148440kxkmxm ．…………６分从而2228414440km k m,化简得2214mk ．①………７分228414214Mkm kmx kk，22241414M Mk m m y kx mmkk. ……９分∴点M 的坐标为224,1414km m kk. ……………10分由于0k ，结合①式知0m ，∴OMk k2211414414mk kkmk.…………11分∴OM 与AB 不垂直. ……12分∴点M 不是线段AB 的中点. ………13分∴AMBM0不成立.………14分解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225xy，其圆心为原点O .………５分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14ykx m x y（*）有且只有一组解．由（*）得222148440kxkmxm ．………６分从而2228414440km k m,化简得2214mk ．①………７分228414214Mkm km x kk，………………８分由于0k ，结合①式知0m ，设1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为,N N N x y , 由22,5,y kx m xy消去y ,得2221250kxkmx m.…………９分∴12221N x x km x k . …………10分若N M x x ,得224114km km kk,化简得30,矛盾. ………11分∴点N 与点M 不重合. ………12分∴点M 不是线段AB 的中点. …………13分∴AMBM 0不成立.………14分9．已知抛物线C ：22(0)ypx p 的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN 的最小值．9．【解析】（1）由题可知(,0)2p F ，则该直线方程为：2p yx，………１分代入22(0)ypx p得：22304pxpx，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有123x x p …３分∵8MN，∴128x x p ，即38p p ，解得p 2∴抛物线的方程为：24yx ．………５分（2）设l 方程为yxb ，代入24yx ，得22(24)0xb x b ，因为l 为抛物线C 的切线，∴0，解得1b ，∴:l 1yx ………７分由（1）可知：126x x ，121x x 设(,1)P m m ，则1122(,(1)),(,(1))PMx m y m PN x m y m 所以1212()()[(1)][(1)]PM PNx m x m y m y m 2212121212()(1)()(1)x x m x x my y m y y m 126x x ，121x x ，21212()1616y y x x ，124y y ，2212124()yy x x ，∴12121244x x y y y y 221644(1)(1)PM PN m m m m ………10分222[43]2[(2)7]14mm m 当且仅当2m 时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN 的最小值为14．………12分10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20xy 上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、Q ，APQ 面积的最小值及此时点A 的坐标.10．解析：（1）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得222(2)4x y y +-=+，（2分）化简得24x y =.（2分）（2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，由24x y y kx bì?=?í?=+?消去y 得2440x kx b --=设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x bì+=??í?=-?，且21616k b D =+（2分）以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ￠=，其切线方程为1111()2y y x x x -=-即2111124y x x x=-同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =-设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，12x x 1Q ，解得1212224A A x x x k x x y b ì+??==???í??==-???，即(2,)A k b -则：220k b +-=，即22b k=-（2分）代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>22212||1||41PQ k x x kk b=+-=++(2,)A k b -到直线PQ 的距离为22|22|1k b d k +=+（2分）3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y=上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ￠=，其切线方程为1111()2y y x x x -=-即1112y x x y =-同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =-（2分）设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010101011212y x x y y x x y ì??=-??í??=-???，点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：0012y x x y =-（2分）代入抛物线方程24x y =消去y 可得：200240x x x y -+=00(,)A x y 到直线PQ 的距离为200201|2|2114x y d x -=+（2分）33222200011(48)[(2)4]22x x x =-+=-+所以当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0).（4分）11．已知点)1,2(A 在抛物线:2x ay 上，直线1:l 1y kx （R k ，且0k ）与抛物线E 相交于C B,两点，直线AC AB,分别交直线2:l 1y 于点S ，T ．（1）求a 的值；（2）若25S，求直线1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．11．（1）解：∵点2,1A 在抛物线2:E x ay 上，∴4a . ……１分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24xy.设点,B C 的坐标分别为1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4xy xy ，由21,4,y kx xy 消去y 得2440xkx ，解得221,24412212kk x k k.∴12124,4x x k x x .……………２分直线AB 的斜率2111111124224ABxy x k x x ，故直线AB 的方程为12124x y x.……………３分令1y，得1822xx ，∴点S 的坐标为182,12x . ……………４分同理可得点T 的坐标为282,12x .……………５分∴121212888222222x x STx x x x 121212121288248x x xxx x x x x x kk . ……………６分∵25ST ，∴1225x x k .由221212124x x x x x x ，得22201616kk，解得2k , 或2k ,…………… 7分∴直线1l 的方程为21yx ，或21yx .……………９分（3）设线段ST 的中点坐标为0,1x ，则1212124418822222222x x x x x x x 1212444444222248k k x x x x k k . ……………10分而2ST2221212122221614kx x x x x x k kk，……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为2222114xy ST k 2241kk.展开得22222414414kx x y kkk.……………12分令0x，得214y ，解得1y 或3y.……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点0,1,0,3.……………14分解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24xy.设直线AB 的方程为112y k x ，点B 的坐标为11,x y ，由112,1,y k x y解得122,1.x k y∴点S 的坐标为122,1k . ………２分由1212,4,y k x xy 消去y ，得2114840x k x k ，即12420x x k ，解得2x或142x k .∴1142x k ，22111114414y x k k .∴点B 的坐标为211142,441k k k . ………３分同理，设直线AC 的方程为212y k x ，则点T 的坐标为222,1k ，点C 的坐标为222242,441k kk . …………４分∵点,B C 在直线1:1l y kx 上，∴22222211212121214414414242kk kk kkk k k k k k k 121k k .∴121k k k . ………５分又211144142k k k k 1，得21111214442412k k kk kk k k k ，化简得122k k k .……………６分12121222222k k STk k k k ，…………７分∵25ST ，∴1212225k k k k .∴2212125k k k k .由2221212121212454k k k k k k k k k k ，得225124k kk ，解得2k.……８分∴直线1l 的方程为21yx ，或21yx .…… 9分（3）设点,P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ，………10分得122222110x x y y k k ，…11分整理得，224410x xy k . …12分令0x，得214y ，解得1y 或3y.……13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点0,1,0,3.…14分12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22（1）求椭圆C 的方程；（2）B A,为椭圆C 上满足AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OPtOE ，求实数t 的值.12．【解】(I)设椭圆C 的方程为)0(12222baby ax 由题意可得：2222222b a cecba，解得：1,2c b a 因此：椭圆C 的方程为1222yx(II)（1）当B A,两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为m x，由题意可得：)2,0()0,2(m 将x m 代入椭圆方程1222yx ，得22||2m y 所以：4622||2m m S AOB ，解得：232m 或212m①又)0,()0,2(21)(21mt m t OB OA t OEt OP因为P 为椭圆C 上一点，所以12)(2mt ②由①②得：42t或342t，又知0t，于是2t或332t（2）当B A,两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为h kxy，由hkx y y x 1222得：0124)21(222hkhx xk 设),(),,(2211y x B y x A ，由判别式0可得：2221hk 此时：2212122212212122)(,2122,214kh hx x k y y kh x x kkh x x ，所以222221221221211224)(1||khk kx x x x kAB 因为点O 到直线AB 的距离21||kh d所以：222221||212112221||21kh khkkd AB SAOB46||21212222h khk③令221k n，代入③整理得：016163422h n h n 解得：24h n 或234h n ，即：22421h k 或223421h k ④又)21,212(),(21)(21222121khtk kht y y x x t OB OA t OE t OP 因为P 为椭圆C 上一点，所以1])21()212(21[22222kh kkh t ，即121222tkh⑤将④代入⑤得：42t 或342t，又知0t ，于是2t 或332t，经检验，符合题意综上所述：2t或332t13．已知点2,1P 在抛物线21:20C xpy p上，直线l 过点0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。
(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
高考数学专题综合训练圆锥曲线(分专题,含答案)
20XX 年高考圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C的焦点坐标为(0,2e =由1273e e =得1e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分 由（1）－（2）可得1.3M N Q Nk k∙=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 二、中点弦问题：3、已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点1(0,F -，对应的准线方程为y =.（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭平分，求直线l 的方程.解：（1）由2222.c ac a b c ⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩3,1a b ==即椭圆的方程为221.9y x +=（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ⎛⎫-=+=++ ⎪⎝⎭即设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由223,221.9k y kx y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则2222327(3)4(9)0424k k k k k ⎛⎫∆=+-+⋅+-> ⎪⎝⎭①∴21223.9k k x x k++=-+ ∵MN 的中点为13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴1212 1.2x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭∴223 1.9k k k +-=-+∴2239k k k +=+，解得k=3.代入①中，229927184(99)180424⎛⎫∆=-+⋅+-=> ⎪⎝⎭∴直线l ：y=3x+3符合要求.4、已知椭圆的一个焦点为)22,0(1-F ，对应的准线为429-=y ，离心率e 满足34,,32e 成等比数列． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且线段AB 恰好被直线21-=x 平分？若存在，求出直线l 的倾斜角α的取值范围；若不存在，说明理由．解 ： (Ⅰ)由题意知，9834322=⋅=e ，所以322=e ．设椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ，则由椭圆的第二定义得， 322429)22(22=+++y y x ，化简得1922=+y x ，故所求椭圆方程为1922=+y x ． （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+=2212210210y y y x x x ，可得⎩⎨⎧=+-=+0212121y y y x x ．若直线l 存在，则点M 必在椭圆内，故19)21(202<+-y ，解得0233233000<<-<<y y 或．将),(),,(2211y x B y x A 代入椭圆方程，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(19)1(1922222121y x y x )1()2(-得，09))(())((12121212=+-++-y y y y x x x x ， 故0121212122)1(9)(9y y y x x x x y y k AB -⨯-=++-=--=，所以ABk y 290=，则有029233233290<<-<<ABAB k k 或， 解得33-<>AB AB k k 或，故存在直线l 满足条件，其倾斜角)32,2()2,3(ππππα⋃∈． 三、定义与最值：5、已知动点P 与双曲线22x －32y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若1PF •2PF =3，求⊿PF 1F 2的面积； （Ⅲ）若已知D(0,3)，M 、N 在轨迹C 上且DMDN ，求实数的取值范围．解：①92x +42y =1；②2；③[51,5]四、弦长及面积：6、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 7、已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，． 由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-=． 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离．所以h =122ABC S AB h ==△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=．因为A B ，在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232mx x +=-，212344m x x -=，所以122AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即BC =22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 五、范围问题:8、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。
【2023届新高考必刷】 圆锥曲线大题综合 学生版
【2023届新高考必刷】圆锥曲线大题综合1.(2023春·江苏扬州·高三统考开学考试)已知AB为抛物线G:y2=2px(p>0)的弦，点C在抛物线的准线l上.当AB过抛物线焦点F且长度为8时，AB中点M到y轴的距离为3.(1)求抛物线G的方程；(2)若∠ACB为直角，求证：直线AB过定点.2.(2023·江苏泰州·统考一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P,Q两点.当PQ⊥x轴时，PA=10，△PAQ的面积为3.(1)求C的方程；(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点.3.(2023秋·浙江绍兴·高三期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-2,0),B (2,0)，直线PA 与直线PB 的斜率之积为-14，记动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l :y =kx +m 与曲线C 交于M ，N 两点，直线MA ，NB 与y 轴分别交于E ，F 两点，若EO=3OF ，求证：直线l 过定点．4.(2023秋·浙江·高三期末)已知点A 463,233 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，B 与A 关于原点对称，F 是右焦点，∠AFB =π2．(1)求双曲线的方程；(2)已知圆心在y 轴上的圆C 经过点P (-4,0)，与双曲线的右支交于点M ，N ，且直线MN 经过F ，求圆C 的方程．5.(2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习)已知抛物线E:y2=2px p>0的焦点为F，点F关于直线y=12x+34的对称点恰好在y轴上．(1)求抛物线E的标准方程；(2)直线l:y=k x-2k≥6与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若D6,0，求ABCD的最大值．6.(2023·湖南邵阳·统考二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=10<a10,b的右顶点为A，左焦点F-c,0到其渐近线bx+ay=0的距离为2，斜率为13的直线l1交双曲线C于A，B两点，且AB=8103．(1)求双曲线C的方程；(2)过点T6,0的直线l2与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线x=6相交于M，N 两点，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．7.(2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方程x2a2+y2b2=λ(a>b>0)表示的椭圆Cλ称为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的相似椭圆.(1)如图，已知F1-3,0,F23,0,M为⊙O:x2+y2=4上的动点，延长F1M至点N，使得MN= MF1,F1N的垂直平分线与F2N交于点P，记点P的轨迹为曲线C，求C的方程；(2)在条件(1)下，已知椭圆Cλ是椭圆C的相似椭圆，M1,N1是椭圆Cλ的左､右顶点.点Q是Cλ上异于四个顶点的任意一点，当λ=e2(e为曲线C的离心率)时，设直线QM1与椭圆C交于点A,B，直线QN1与椭圆C交于点D,E，求AB+DE的值.8.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)过坐标原点O 作圆C :(x +2)2+y 2=3的两条切线，设切点为P ,Q ，直线PQ 恰为抛物E :y 2=2px ,(p >0)的准线.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点A ,B ,M ,N 满足：TA =2TM ,TB =2TN ，设AB 中点为D .(i )求直线TD 的斜率；(ii )设△TAB 面积为S ，求S 的最大值.9.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知F 为抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点，O 为坐标原点，M 为C 的准线l 上的一点，直线MF 的斜率为-1,△OFM 的面积为1．(1)求C 的方程；(2)过点F 作一条直线l ，交C 于A ,B 两点，试问在l 上是否存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．10.(2023·山东菏泽·统考一模)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1-3,0,F 23,0 ,A 为椭圆C 上一点，△F 1AF 2的面积最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若B ､D 分别为椭圆C 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于P ､Q (P 在上方，Q 在下方，且均不与B ,D 点重合)两点，直线PB ,QD 的斜率分别为k 1,k 2，且k 2=-3k 1，求△PBQ 面积的最大值.11.(2023·福建泉州·统考三模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆O :x 2+y 2=4交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若|MN |=455，求l 的斜率；(2)记直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2，证明：k 1k 2为定值．12.(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 三个点在椭圆x 22+y 2=1，椭圆外一点P 满足OP =2AO ，BP =2CP，(O 为坐标原点).(1)求x 1x 2+2y 1y 2的值；(2)证明：直线AC 与OB 斜率之积为定值.13.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 ，过焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且AB =AF ⋅BF .(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 4,4 ，直线PA ，PB 分别交准线l 于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点.14.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为23，且经过点P-3,12．(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点F1作直线l与椭圆E相交于A，B两点(点A在x轴上方)，过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求ABMF1的最大值．15.(2023春·江苏常州·高三校联考开学考试)已知点P2,-1在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，C的长轴长为42，直线l:y=kx+m与C交于A,B两点，直线PA,PB的斜率之积为14.(1)求证：k为定值；(2)若直线l与x轴交于点Q，求QA|2+QB|2的值.16.(2023春·江苏苏州·高三统考开学考试)已知抛物线y2=a2x的焦点也是离心率为32的椭圆x2a2+y2 b2=1a>b>0的一个焦点F．(1)求抛物线与椭圆的标准方程；(2)设过F的直线l交抛物线于A、B，交椭圆于C、D，且A在B左侧，C在D左侧，A在C左侧．设a=AC，b=μCD，c=DB．①当μ=2时，是否存在直线l，使得a，b，c成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；②若存在直线l，使得a，b，c成等差数列，求μ的范围．17.(2023秋·江苏无锡·高三统考期末)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点F和抛物线C2:y2=2px p>0的焦点重合，且C1和C2的一个公共点是23,263．(1)求C1和C2的方程；(2)过点F作直线l分别交椭圆于A，B，交抛物线C2于P，Q，是否存在常数λ，使1AB-λPQ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．18.(2023秋·江苏·高三统考期末)如图，已知椭圆x24+y2=1的左､右顶点分别为A,B，点C是椭圆上异于A,B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M,N,AC的中点为点D，直线OD与椭圆交于点P,Q，点P,C,M在x轴的上方.(1)当AC=5时，求cos∠POM；(2)求PQ⋅MN的最大值.19.(2023·浙江·校联考模拟预测)设双曲线C:x2a2-y2b2=1的右焦点为F3,0，F到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)过F的直线交曲线C于A，B两点(其中A在第一象限)，交直线x=53于点M，(i)求|AF|⋅|BM||AM|⋅|BF|的值；(ii)过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：MP=PQ.20.(2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2=1,B 1,0 .(1)设P 是椭圆C 上的一个动点，求PO ⋅PB的取值范围；(2)设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，试问：是否存在满足条件的直线l ，使得△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.21.(2023春·浙江·高三开学考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且经过点M(-2,0)，F 1,F 2为椭圆C 的左右焦点，Q x 0,y 0 为平面内一个动点，其中y 0>0，记直线QF 1与椭圆C 在x 轴上方的交点为A x 1,y 1 ，直线QF 2与椭圆C 在x 轴上方的交点为B x 2,y 2 ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)①若AF 2∥BF 1，证明：1y 1+1y 2=1y 0；②若QF 1 +QF 2 =3，探究y 0,y 1,y 2之间关系．22.(2023春·浙江温州·高三统考开学考试)如图，椭圆x 24+y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P x 0,y 0 是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P ，F 1，F 2的圆与y 轴正半轴交于点A 0,y 1 ，经过点B (3,0)且与x 轴垂直的直线l 与直线AP 交于点Q ．(1)求证：y 0y 1=1．(2)试问：x 轴上是否存在不同于点B 的定点M ，满足当直线MP ，MQ 的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M ，求出点M 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．23.(2023春·广东·高三校联考阶段练习)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点为A 2,0 ，直线l 过点P 4,0 ，当直线l 与双曲线E 有且仅有一个公共点时，点A 到直线l 的距离为255.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若直线l 与双曲线E 交于M ,N 两点，且x 轴上存在一点Q t ,0 ，使得∠MQP =∠NQP 恒成立，求t .24.(2023·广东梅州·统考一模)已知动圆M经过定点F1-3,0，且与圆F2：x-32+y2=16内切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A,B，点P为轨迹C上异于A,B的动点，设PB交直线x=4于点T，连结AT交轨迹C于点Q.直线AP､AQ的斜率分别为k AP､k AQ.(i)求证：k AP⋅k AQ为定值；(ii)证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.25.(2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习)已知双曲线E：x24-y2=1与直线l：y=kx-3相交于A、B两点，M为线段AB的中点．(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．26.(2023·山东·日照一中校考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，斜率为-3的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，点M (4,-22)在双曲线C 上，且MF 1 ⋅MF 2 =24.(1)求△MF 1F 2的面积；(2)若OB +OB=0(O 为坐标原点)，点N 3,1 ，记直线NA ,NB 的斜率分别为k 1,k 2，问：k 1⋅k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.27.(2023秋·山东泰安·高三统考期末)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过A 1,62 ，B 3,22两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)已知Q 4,0 ，过P 1,0 的直线l 与E 交于M ，N 两点，求证：MP NP=MQ NQ．28.(2023·浙江·模拟预测)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10，且经过点M(8,33)．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线x=2上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D(不同于A，B)．(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．29.(2023·湖南·模拟预测)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为B，O为坐标原点，P-a2,0为椭圆C的长轴上的一点，若∠BPO=45°，且△OPB的面积为12．(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN的斜率分别为k AM，k AN，且k AM⋅k AN=-112，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标，求出△AMN面积的最大值．30.(2023春·湖北·高三统考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12.且经过点1,32 ，P ，Q 是椭圆C 上的两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线OP 与OQ 的斜率之积为-34(O 为坐标原点)，点D 为射线OP 上一点，且OP =PD ，若线段DQ 与椭圆C 交于点E ，设QE =λED(λ>0).(i )求λ值；(ii )求四边形OPEQ 的面积.。
圆锥曲线高考真题专练(含答案)
（一）数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.由已知可得，点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB∠=∠.已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1，C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.解：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134a b a b+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t≠，且||2t<，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则121k k+-=-，得2t=，不符合题设.从而可设l：y kx m=+（1m≠）.将y kx m=+代入2214xy+=得222(41)8440k x kmx m+++-=由题设可知22=16(41)0k m∆-+>.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk-+，x1x2=224441mk-+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-） 数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
高考圆锥曲线大题
高考圆锥曲线大题设圆锥曲线方程为$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中$A,B,C,D,E,F$为常数且$B^2 - 4AC < 0$。
1. 若圆锥曲线经过点$P(x_1, y_1)$，则将$P$代入方程得到$Ax_1^2 + Bx_1y_1 + Cy_1^2 + Dx_1 + Ey_1 + F = 0$。
2. 若圆锥曲线的切线斜率为$k$，则曲线上任一点$(x,y)$处的切线斜率可通过$f'(x) = -\left(\frac{Ax+By+D}{2Ay+Bx+E}\right)$求得。
3. 圆锥曲线的离心率可通过公式$e = \sqrt{\frac{A^2 +C^2}{B^2 - 4AC}}$计算。
4. 圆锥曲线的焦点坐标可通过$(x,y) = \left(\frac{B(E-By)-2C(D-Ax)}{B^2-4AC}, \frac{B(D-Ax)-2A(E-By)}{B^2-4AC}\right)$计算。
5. 若圆锥曲线的方程为$x^2 - 2xy - y^2 + 4x + 4y - 4 = 0$，则$A=1, B=-2, C=-1, D=4, E=4, F=-4$。
6. 若圆锥曲线是椭圆，则满足$B^2 - 4AC < 0$以及$A=C$的条件。
7. 若圆锥曲线是抛物线，则满足$B^2 - 4AC = 0$的条件。
8. 若圆锥曲线是双曲线，则满足$B^2 - 4AC < 0$以及$A\neqC$的条件。
9. 圆锥曲线方程的标准形式为$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$或$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$，其中$(h,k)$为中心坐标，$a$和$b$为椭圆的半长轴和半短轴。
10. 若已知圆锥曲线的焦点坐标$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，则圆锥曲线方程可表示为$(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2$。
圆锥曲线大题压轴练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
圆锥曲线大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·广东·统考一模）已知点A ，点B 和点C 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上不同的三个点.当点A ，点B 和点C 为椭圆的顶点时，△ABC 恰好是边长为2的等边三角形.(1)求椭圆C 标准方程；(2)若O 为原点，且满足0OA OB OC ++= ，求ABC 的面积.2．（2023·广东广州·统考一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，以C 的短轴为直径的圆与直线6y ax =+相切.(1)求C 的方程；(2)直线l ：(1)(0)y k x k =-≥与C 相交于A ，B 两点，过C 上的点P 作x 轴的平行线交线段AB 于点Q ，直线OP 的斜率为k '（O 为坐标原点），△APQ 的面积为1S .BPQ V 的面积为2S ，若21||||AP S BP S ⋅=⋅，判断k k '⋅是否为定值？并说明理由.3．（2023·广东湛江·统考一模）已知12,F F 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆E 的离心率为12，过2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，1F AB 的周长为8．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过1F 且与l 垂直的直线l '与椭圆E 交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．4．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知双曲线C 以20x =为渐近线，其上焦点F 坐标为()0,3.(1)求双曲线C 的方程；(2)不平行于坐标轴的直线l 过F 与双曲线C 交于,P Q 两点，PQ 的中垂线交y 轴于点T ，问TF PQ 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.5．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为且经过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆E 的标准方程：(2)过椭圆E 的左焦点1F 作直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），过点A ，B 分别作椭圆的切线，两切线交于点M ，求1ABMF 的最大值．6．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知A ，B 是椭圆22:143x y C +=上关于坐标原点O 对称的两点，点()4,0D ，连结DA 并延长交C 于点M ，连结DB 交C 于点N ．(1)若A 为线段DM 的中点，求点A 的坐标；(2)设DMN ，DAB 的面积分别为12,S S ，若1237S S =，求线段OA 的长．7．（2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点(3,A，且渐近线方程为0x =.(1)求双曲线C 的方程；(2)如图，过点()10B ,的直线l 交双曲线C 于点M 、N .直线MA 、NA 分别交直线1x =于点P 、Q ，求PB BQ的值.8．（2023·江苏·二模）如图，过y 轴左侧的一点P 作两条直线分别与抛物线24y x =交于,A C 和,B D 四点，并且满足3PC PA = ，3PD PB =．(1)设CD 的中点为M ，证明PM 垂直于y 轴.(2)若P 是双曲线2214x y -=左支上的一点，求PAB 面积的最小值．9．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>过点()2,2P ，且P 与E 的两个顶点连线的斜率之和为4．(1)求E 的方程；(2)过点()1,0M 的直线l 与双曲线E 交于A ，B 两点（异于点P ）．设直线BC 与x 轴垂直且交直线AP 于点C ，若线段BC 的中点为N ，证明：直线MN 的斜率为定值，并求该定值．10．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，斜率为3-的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，点(4,M -在双曲线C 上，且1224MF MF ⋅=.(1)求12MF F △的面积；(2)若0'+= OB OB （O 为坐标原点），点()31N ,，记直线,'NA NB 的斜率分别为12,k k ，问：12k k ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.11．（2023·山东潍坊·统考一模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为率为2，直线():1(0)l y k x k =+>与E 交于不同的两点,M N .(1)求E 的方程；(2)设点()1,0P ，直线,PM PN 与E 分别交于点,C D .①判段直线CD 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由：②记直线,CD MN 的倾斜角分别为,αβ，当αβ-取得最大值时，求直线CD 的方程.12．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）在平面直角坐标系中，已知点P 到点F的距离与到直线x =(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点(0,1)且斜率为122k k ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的直线l 与C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点M ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求||||AB MN 的取值范围．13．（2023·湖北·统考模拟预测）已知椭圆22195x y +=的右顶点为A ，左焦点为F ，过点F 作斜率不为零的直线l 交椭圆于,M N 两点，连接AM ，AN 分别交直线92x =-于,P Q 两点，过点F 且垂直于MN 的直线交直线92x =-于点R ．(1)求证：点R 为线段PQ 的中点；(2)记MPR △，MRN △，NRQ △的面积分别为1S ，2S ，3S ，试探究：是否存在实数λ使得213S S S λ=+？若存在，请求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．14．（2023·江苏·统考一模）已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>，直线1l ：2y x =+C 仅有一个公共点.(1)求双曲线C 的方程(2)设双曲线C 的左顶点为A ，直线2l 平行于1l ，且交双曲线C 于M ，N 两点，求证：AMN 的垂心在双曲线C 上.15．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆2221x y aΓ+=：，(1)a >的上、下顶点是1B ，2B ，左，右顶点是1A ，2A ，点D 在椭圆Γ内，点M 在椭圆Γ上，在四边形12MB DB 中，若11MB B D ⊥，22MB B D ⊥，且四边形12MB DB 面积的最大值为52．(1)求a 的值．(2)已知直线1x my =+交椭圆Γ于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，证明：当m 变化时，存在不同于2A 的定点T ，使得2A S ST =．16．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>的离心率为2，椭圆W 上的点与点()0,2P 的距离的最大值为4.(1)求椭圆W 的标准方程；(2)点B 在直线4x =上，点B 关于x 轴的对称点为1B ，直线1,PB PB 分别交椭圆W 于,C D 两点（不同于P 点）.求证：直线CD 过定点.17．（2023·湖南郴州·统考三模）已知椭圆方程为22122:1(0)x y C a b a b+=>>，过椭圆的1C的焦点12,F F 分别做x 轴的垂线与椭圆交于四点，依次连接这四个点所得的四边形恰好为正方形.(1)求该椭圆1C 的离心率.(2)若椭圆1C 的顶点恰好是双曲线2C 焦点，椭圆1C 的焦点恰好是双曲线2C 顶点，设椭圆1C 的焦点12,F F ，双曲线2C 的焦点12,,F F A ''为1C 与2C 的一个公共点，记12F AF ∠α=，12F AF ∠β''=，求cos cos αβ⋅的值.18．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知点()0,2P -，点,A B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右顶点，直线BP 交C 于点,Q ABP 是等腰直角三角形，且32PQ QB = .(1)过椭圆C 的上顶点M 引两条互相垂直的直线12,l l ，记C 上任一点N 到两直线12,l l 的距离分别为12,d d ，求2212d d +的最大值；(2)过点()4,0H 且斜率不为零的直线与椭圆C 相交于,E F 两点试问：是否存在x 轴上的定点G ，使得EGO FGH ∠∠=.若存在，求出定点G 的坐标；若不存在，说明理由.19．（2023·浙江·校联考模拟预测）设双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为()3,0F ，F 到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 的直线交曲线C 于A ，B 两点（其中A 在第一象限），交直线53x =于点M ，（i ）求||||||||AF BM AM BF ⋅⋅的值；（ii ）过M 平行于OA 的直线分别交直线OB 、x 轴于P ，Q ，证明：MP PQ =.20．（2023·浙江·校联考三模）设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为)，右焦点到双曲线的渐近线的距离为1．(1)求双曲线C 的方程；(2)若()()2,1,2,1A B -，点C 在线段AB 上（不含端点），过点C 分别作双曲线两支的切线，切点分别为,P Q ．连接PQ ，并过PQ 的中点F 分别作双曲线两支的切线，切点分别为,D E ，求DEF 面积的最小值．21．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为2．点()4,2P ，直线l ：210x y +-=．(1)证明：直线l 与椭圆C 相交于两点，且每一点与P 的连线都是椭圆的切线；(2)若过点P 的直线与椭圆交于,A B 两点，与直线l 交于点Q ，求证：PA QB PB AQ ⋅=⋅ ．22．（2023·江苏南通·二模）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，焦距为2，过E 的左焦点F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，与直线2x =-相交于点M ．(1)若()2,1M --，求证：MA BF MB AF ⋅=⋅；(2)过点F 作直线l 的垂线m 与E 相交于C 、D 两点，与直线2x =-相交于点N ．求1111MA MB NC ND+++的最大值．23．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知抛物线22y px =()0p >，点1P 为抛物线焦点.过点1P 作一条斜率为正的直线l 从下至上依次交抛物线于点1A 与点1B ，过点1B 作与l 斜率互为相反数的直线分别交x 轴和抛物线于2P 、2A .(1)若直线12A A 斜率为k ，证明抛物线在点1B 处切线斜率为k -；(2)过点t A ()*N ,>1t t ∈作直线分别交x 轴和抛物线于21t P -、t B ，过点t B 作直线分别交x 轴和抛物线于2t P 、1t A +，且*N t ∀∈，直线t t A B 斜率与直线1t t A B +斜率互为相反数.证明数列{}1n n P P + 为等差数列.24．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）椭圆()222210x y a b a b+=>>的上、下顶点分别为A ，B .在椭圆上任取两点C ，D ，直线CD 斜率存在且不过A ，B .BC 交AD 于1P ，AC 交BD 于2P ，直线CD 交y 轴于R ，直线AC 交x 轴于1Q ，直线BD 交x 轴于2Q .(1)若a ，b 为已知量，求1OR OP ⋅ ；(2)分别作1P E ，12Q F P B ⊥于E ，F ，求112112PE Q Q Q F PP ⋅⋅ .25．（2023·福建漳州·统考三模）已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，对称轴为x 轴、y 轴，且点和点)2在椭圆C 上，椭圆的左顶点与抛物线()2:20y px p Γ=>的焦点F 的距离为4.(1)求椭圆C 和抛物线Γ的方程；(2)直线():0l y kx m k =+≠与抛物线Γ变于,P Q 两点，与椭圆C 交于,M N 两点.（ⅰ）若m k =，抛物线Γ在点,P Q 处的切线交于点S ，求证：22PF SQ QF SP ⋅=⋅；（ⅱ）若2m k =-，是否存在定点()0,0T x ，使得直线,MT NT 的倾斜角互补?若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由.26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知曲线22:163x y E +=，直线:l y x m =+与曲线E 交于y 轴右侧不同的两点,A B ．(1)求m 的取值范围；(2)已知点P 的坐标为()2,1，试问：APB △的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．27．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设点A 为双曲线22:13y C x -=的左顶点,直线l 经过点(1,2)-,与C 交于不与点A 重合的两点P ,Q ．(1)求直线,AP AQ 的斜率之和;(2)设在射线AQ 上的点R 满足APQ ARP ∠=∠,求直线PR 的斜率的最大值．28．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，O 为坐标原点，,02a P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为椭圆C 的长轴上的一点，若45BPO ∠=︒，且△OPB 的面积为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与椭圆C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率分别为AM k ，AN k ，且112AM AN k k ⋅=-，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标，求出△AMN 面积的最大值．29．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为()2,0,F O 为坐标原点，过点F 作直线l 与一条渐近线垂直，垂足为A ，与另一条渐近线相交于点B ，且,A B 都在y 轴右侧，OA OB +=(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线1l 与双曲线C 的右支相切，切点为1,P l 与直线23:2l x =交于点Q ，试探究以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点.30．（2023·浙江温州·统考二模）已知点12,F F 分别是双曲线2212:C x y -=的左右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于,P A 两点，点P 在第一象限．(1)求点P 横坐标的取值范围；(2)线段1PF 交圆222:(2)8C x y ++=于点B ，记2211,,PF B AF F PAF 的面积分别为12,,S S S ，求12S S S S +的最小值．。
高考圆锥曲线经典大题
圆锥曲线经典大题1.过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：*2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC→＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值围．2.如图，(10)F ，，直线:1l x =-，点P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．〔Ⅰ〕求动点P 的轨迹C 的方程。
〔Ⅱ〕过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ． 〔1〕1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值； 〔2〕求MA MB ⋅的最小值． 3.设点F 是抛物线G :*2=4y 的焦点.〔1〕过点P 〔0，-4〕作抛物线G 的切线，求切线的方程；〔2〕设A ，B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,分别延长AF ，BF 交抛物线G 于C ,D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.4.设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．〔Ⅰ〕求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；〔Ⅱ〕当M 点的坐标为(22)p -，时，AB = 5.设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，假设112OF AF +=0〔其中O 为坐标原点〕． 〔1〕求椭圆M 的方程；〔2〕设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径〔E 、F 为直径的两个端点〕，求PF PE ⋅的最大值．6.双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，离心率2e =，顶点到渐近线的距离为5。
（I ） 求双曲线C 的方程；(II)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，假设1,[,2]3AP PB λλ=∈，求AOB ∆面积的取值围。
圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编
圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C ：x 2+y 2=16(y >0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y )，由题意，根据中点的坐标表示可得P (x ,2y )，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y )，则P (x ,y 0),P (x ,0)，因为M 为PP 的中点，所以y 0=2y ，即P (x ,2y )，又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上，所以x 2+4y 2=16(y >0)，即x 216+y 24=1(y >0)，即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选：A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ，点P -6,4 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ，则F 1F 2 =2c =8，PF 1 =62+4+4 2=10，PF 2 =62+4-4 2=6，则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4，则e =2c 2a =84=2.故选：C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF 2 =m ，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，∠F 1PF 2=90°，设PF 2 =m ，∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2，由k PF 2=tan θ1=2，求得sin θ1=25，因为∠F 1PF 2=90°，所以k PF 1⋅k PF 2=-1，求得k PF 1=-12，即tan θ2=12，sin θ2=15，由正弦定理可得：PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5，则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ，由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22，则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10，由双曲线第一定义可得：PF 1 -PF 2 =2a =22，a =2,b =c 2-a 2=8，所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选：C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4，则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点P x,y，则x>-2且x-22+y2×x-a=4，因为曲线过坐标原点，故0-22+02×0-a=4，解得a=-2，故A正确.对于B：又曲线方程为x-22+y2×x+2=4，而x>-2，故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时，22-22×22+2=8-4=4，故22,0在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0，故此时y2>1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点x0,y0在曲线上时，由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22，故-4x0+2≤y0≤4x0+2，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则()A.l与⊙A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据PB=2先算出P的坐标，然后验证k PA k AB=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，PB=PF，于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和⊙A相切，A选项正确；B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标y P=4，由y2P=4x P，得到x P=4，故P(4,4)，此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15，B选项正确；C选项，当PB=2时，xP=1，此时y2P=4x P=4，故P(1,2)或P(1,-2)，当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-20-1=-2，k AB=4-20-(-1)=2，不满足k PA k AB=-1；当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-(-2)0-1=-6，k AB=4-(-2)0-(-1)=6，不满足k PA k AB=-1；于是PA⊥AB不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB=PF，这里F(1,0)，于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题，A(0,4),F(1,0)，AF中点12,2，AF中垂线的斜率为-1kAF =14，于是AF的中垂线方程为：y=2x+158，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，Δ=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得PA=PF，D选项正确.方法二：(设点直接求解)设Pt24,t，由PB⊥l可得B-1,t，又A(0,4)，又PA=PB，根据两点间的距离公式，t416+(t-4)2=t24+1，整理得t2-16t+30=0，Δ=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选：ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF2，结合双曲线第一定义求出AF1，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ，即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，故AB =2b 2a =10，AF 2 =b 2a=5，又AF 1 -AF 2 =2a ，得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13，解得a =4，代入b 2a=5得b 2=20，故c 2=a 2+b 2=36,，即c =6，所以e =c a =64=32.故答案为：327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ，则焦点坐标为．【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ，所以其焦点坐标为4,0 .故答案为：4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1，则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1，解得y =±52，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ，联立x 24-y 2=1y =k x -3 ，化简并整理得：1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0，由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0，解得k =±12或无解，即k =±12，经检验，符合题意.故答案为：±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ，故p2=1即p =2，由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0，故x =4或x =-6(舍)，故A 4,±4 ，故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0，故原点到直线AF 的距离为d =45=45，故答案为：4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1，设点P x 0,y 0 ，由题意得x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程y 2=4x ，得y 20=32，解得y 0=±42，则点P 到x 轴的距离为42．故答案为：42．11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程，解出即可；(2)方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设B x 0,y 0 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线y =kx +3，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设PB :y -32=k (x -3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12，所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一：k AP=3-320-3=-12，则直线AP的方程为y=-12x+3，即x+2y-6=0，AP=0-32+3-3 22=352，由(1)知C:x212+y29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B 23cos θ,3sin θ ，其中θ∈0,2π ，则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255，联立cos 2θ+sin 2θ=1，解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1，即B 0,-3 或-3,-32，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B 0,-3 ，S △PAB =12×6×3=9，符合题意，此时k l =32，直线l 的方程为y =32x -3，即3x -2y -6=0，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0，且k ≠-12，则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2，则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9，解的k =12或k =32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3，y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9，故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时，过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32，与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5，所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ，该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ，从而x 2=3，y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ，与x 2-y 2=9联立，得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0，由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点，故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理，另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2，相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW =c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，点M 1,32 在C 上，且MF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ ⊥y 轴．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线方程和椭圆方程，用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ，结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0，故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ，由题设有c =1且b 2a =32，故a 2-1a =32，故a =2，故b =3，故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在，设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0，故-12<k <12，又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2，而N 52,0 ，故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ，故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5，所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0，故y 1=y Q ，即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ，B ，C 0,1 ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2，进一步得a ，由此即可得解；(2)说明直线AB 斜率存在，设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立椭圆方程，由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，令x =0，即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)显然直线AB 斜率存在，否则B ,D 重合，直线BD 斜率不存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t ，化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC=12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t-3≤t ≤32 ，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2，过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时，求b 的值．(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若A 1R ⋅A 2P=1，求b 的取值范围．【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2，则c =2，b =22-1=3．(2)当b =263时，双曲线Γ:x 2-y 283=1，其中M -2,0 ，A 21,0 ，因为△MA 2P 为等腰三角形，则①当以MA 2为底时，显然点P 在直线x =-12上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以A 2P 为底时，MP =MA 2 =3，设P x ,y ，则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ，矛盾，舍去)；③当以MP 为底时，A 2P =MA 2 =3，设P x 0,y 0 ，其中x 0>0,y 0>0，则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1，解得x 0=2y 0=22，即P 2,22 ．综上所述：P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 ， 当直线l 的斜率为0时，此时A 1R ⋅A 2P=0，不合题意，则k l ≠0，则设直线l :x =my -2，设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 ， 联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0，显然二次项系数b 2m 2-1≠0，其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0，y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①，y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②，A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ，则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1，因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上，则x 1=my 1-2，x 2=my 2-2，即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1，即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0，将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0，即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0，解得b 2≤103，又因为b >0，则0<b 2≤103，综上知，b 2∈0,3 ∪3,103 ，∴b ∈0,3 ∪3,303．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设l :x =my -2，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22，则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数a ，再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴，则离心率e =a 2-3a =22，得a 2=6，此时焦距2c =26-3=23，若椭圆的焦点在y 轴，则离心率e =3-a 23=22，得a 2=32，此时焦距2c =23-32=6，所以该椭圆的焦距为23或6.故选：D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)，圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4，O 2:x 2+(y -1)2=1，所以两圆方程相减可得y =2x ，由题意知C 的一条渐近线为y =2x ，即ba =2，双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5．故选：C ．3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ，则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1，2D.102,10【答案】A【详解】依题意，双曲线E :3mx 2-my 2=3化为：y 2-3m -x 2-1m=1，则-3m +-1m =22，解得m =-1，双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选：A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ，N ，则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y )，根据线段MN 的中点为P ，则CP ⊥MN ，即CP ⊥AP ，所以CP ⋅AP =0，又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4)，所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0，即x 2+y 2=25，所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C 内的一部分，故选：D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ，点B -1,0 ，动点M 满足直线AM ，BM 的斜率之积为4，则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ，B -1,0 ，根据直线AM 与BM 的斜率之积为4．整理得y x +1⋅y x -1=4，化简得：x 2-y 24=1(x ≠±1)．故选：D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2，点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点，则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ，使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4，可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4，整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，由x 用-x 代换，方程没变，可知曲线C 关于y 轴对称，由y 用-y 代换，方程没变，可知曲线C 关于x 轴对称，由x 用-x 代换，y 用-y 同时代换，方程没变，可知曲线C 关于原点对称，图象如图所示：所以①不正确，②正确；③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x，可得x 4=0，即x =0，所以y =0，所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0)，所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程，即原点O 在曲线C 上，则OF 1 =OF 2 ，即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时，满足PF 1 =PF 2 ，所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R ，S 两点，则下列命题正确的是()A.存在直线l ，使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时，|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ，使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ，则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解：对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y =kx +t ，与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1，得：b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0，其中b 2-a 2k 2≠0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，由根与系数关系得：x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2，所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，将直线l :y =kx +t ，与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak，将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ，所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合．所以，对任意的直线l ，都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |，故B 项不正确；对于C 项：因为|OB |为定值，当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时，S △ORB 趋向于无穷，所以S △ORB 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线y =bax ，解得Sa 22b +a ,ab2b +a，联立直线l 与渐近线y =-b a x ，解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知，BR =3BS ，3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ，解得b =2a ，所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3，故D 项正确．故选：D ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a ,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点，焦距为82，点P 在双曲线C 上，OP =OF 2 ，且△POF 2的面积为8，则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8，所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ，所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ，PF 2 =n ，所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2，所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2，所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16，又b >0，所以b =4.焦距为2c =82，所以c =42，则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16，所以a =4，则离心率e =424=2.故选：C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限，点O 为坐标原点，且S △AOF =2S △BOF ，则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图：设直线倾斜角为α，抛物线的准线l ：x =-1作AM ⊥l 于M ，根据抛物线的定义，AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α，所以|AF |=21-cos α，类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |，得cos α=13，故k =tan α=22.故选：A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点，若点P (1,2)在C 上，则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意，2=a ×12，解得a =2，所以C :x 2=y 2的准线为y =-18，所以|PF |=2+18=178，故选:D ．11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过抛物线上点P 作准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示：设 M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且PF =PQ ，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°，因为FM ⎳PQ ，所以∠QFM =30°，而在Rt△QMF中，QF=FMcos30°=232=433，所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选：A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0，B2,0，C1,0，动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4，动点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A，设M x,y，因为A-2,0，B2,0，所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34，化简得x24+y23=1x≠±2，故A错误；对于选项B，因为x24+y23=1x≠±2，则a=2，b=3，则c=a2-b2=1，所以C1,0为椭圆的右焦点，则MCmin=a-c=2-1=1，故B正确；对于选项C，设PQ的方程 x=my+1，代入椭圆方程，得3m2+4y2+6my-9=0，设P x1,y1,Q x2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，Δ=36m2+363m2+4>0，所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4，令m2+1=t≥1，则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t，令g t =3t+1tt≥1，则S△OPQ=6g t，t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0，g t 在1,+∞为增函数，g t ≥g1 =4，g t min=4，所以S△OPQmax=64=32，当且仅当t=1时即m=0等号成立，故C正确；对于选项D，因为Rx1+x22,y1+y22，x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4，y1+y22=-3m3m2+4，所以R43m2+4,-3m3m2+4，则x R=43m2+4，设D x D ,0 ，则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1，则x D =13m 2+4，所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后，分别经过点C 和D ，其中AF 2 ,BF 2共线，则()A.若直线AB 的斜率k 存在，则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时，△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时，cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示，过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2，则l 1,l 2的斜率分别为62和-62，对于A 中，由图可知，当点A ,B 均在E 的右支时，k <-62或k >62，所以A 正确；对于B 中，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6，所以B 正确；对于C 中，由AB ⋅AD =AB 2，得AB ⋅AD -AB =0，即AB ⋅BD=0，所以AB ⊥BD ，设BF 1 =n ，则BF 2 =n -2a =n -4，因为∠ABD =π2，所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40，整理得n 2-4n -12=0，解得n =6或n =-2(舍去)，所以BF 1 =6，BF 2 =2，所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6，所以C 错误；对于D 项，在直角△F 1BF 2中，cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010，所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010，所以D 正确．故选：ABD ．14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点，且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1)，则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1，由条件，点P 应在双曲线C 的右支上，设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M ､N ､A ，则由题A 3,0 ，且PM =PN ,F 1M =F 1A ，F 2N =F 2A ，又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3，A 选项正确；由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ，连接IF 1、IF 2、IA ，则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18，所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663，B 选项错误；同理，tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43，∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125，∴⇒tan∠F 1PF 22=32，所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323，又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2，故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643，∴△PF 1F 2的周长为643，C 选项正确；由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213，由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512，D 选项正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(t ,1)时，|PF |=2，直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，下列结论正确的是()A.抛物线的方程为：x 2=8yB.抛物线的准线方程为：y =-1。
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2015、2016高考圆锥曲线大题训练
【2015福建】
18．已知椭圆E ：过点，且离心率为． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)设直线交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
22221(a 0)x y b a b
+=>
>
21
x my m R =-?，()9(4
-,0)
（21）（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分）
如题（21）图，椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥
（I ）若1222PF PF ==求椭圆的标准方程
（II ）若1,PF PQ =求椭圆的离心率
.e
20．（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （I ）求椭圆的离心率；
（II ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两
点，求椭圆的方程．
:E 22
221x y a b
+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12
c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E
19、已知椭圆
2
21
2
x
y
+=上两个不同的点A,B关于直线y=mx+
1
2
对称．
（I）求实数m的取值范围；
（II）求V AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b
+=＞＞ 3，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点。
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M.
（i ）求证：点M 在定直线上;
（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为1S ，△PDM 的面积为2S ，求12
S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.
20. （本小题满分12分）
设圆22
2150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.
（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系xoy中，曲线C：y=
2
4
x
与直线y kx a
=+(a＞0)交与M,N两点，
（Ⅰ）当1
a=-时，求k的取值范围；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。