2019高考圆锥曲线大题例题练习题
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2019年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2019年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM的斜率的最大值为2/3.（答案：C）2.（2019年天津高考）已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1.（答案：D）3.（2019年全国I高考）已知方程x^2/n^2 - y^2/m^2 = 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(-1,3)。
（答案：A）4.（2019年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。
已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为4.（答案：B）5.（2019年全国II高考）圆(x-1)^2 + (y-4)^2 = 13的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=-2/3.（答案：A）6.（2019年全国II高考）已知F1,F2是双曲线E:x^2/4 -y^2/2 = 1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=1/3，则E的离心率为2/3.（答案：A）7.（2019年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。
P为C上一点，且PF⊥x轴。
过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。
若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1/3.（答案：A）8.（2019年浙江高考）已知椭圆 + y^2/(m^2-1) = 1(m>1)与双曲线- y^2/(n^2-1) = 1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为m，n，则e1+e2=3.（答案：C）解析】Ⅰ）由题意可知，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据离心率的定义可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中$c$为椭圆的焦距之一，即$2c$为椭圆的长轴长度，$a$为椭圆的半长轴长度，$b$为椭圆的半短轴长度，则有：$$\frac{2c}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 即：$$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 又因为焦点$F$在椭圆的一个顶点上，所以该顶点的坐标为$(a,0)$，即$2c=2a$，代入上式可得：$$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$$ 又因为椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$可得：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$$ 即：$$x^2+4y^2=a^2$$ （Ⅱ）（i）设椭圆C的另一个顶点为$V$，则$OV$为椭圆的长轴，$OF$为椭圆的短轴，且$OV=2a$，$OF=\sqrt{3}a$。
高考圆锥曲线大题
高考圆锥曲线大题设圆锥曲线方程为$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中$A,B,C,D,E,F$为常数且$B^2 - 4AC < 0$。
1. 若圆锥曲线经过点$P(x_1, y_1)$，则将$P$代入方程得到$Ax_1^2 + Bx_1y_1 + Cy_1^2 + Dx_1 + Ey_1 + F = 0$。
2. 若圆锥曲线的切线斜率为$k$，则曲线上任一点$(x,y)$处的切线斜率可通过$f'(x) = -\left(\frac{Ax+By+D}{2Ay+Bx+E}\right)$求得。
3. 圆锥曲线的离心率可通过公式$e = \sqrt{\frac{A^2 +C^2}{B^2 - 4AC}}$计算。
4. 圆锥曲线的焦点坐标可通过$(x,y) = \left(\frac{B(E-By)-2C(D-Ax)}{B^2-4AC}, \frac{B(D-Ax)-2A(E-By)}{B^2-4AC}\right)$计算。
5. 若圆锥曲线的方程为$x^2 - 2xy - y^2 + 4x + 4y - 4 = 0$，则$A=1, B=-2, C=-1, D=4, E=4, F=-4$。
6. 若圆锥曲线是椭圆，则满足$B^2 - 4AC < 0$以及$A=C$的条件。
7. 若圆锥曲线是抛物线，则满足$B^2 - 4AC = 0$的条件。
8. 若圆锥曲线是双曲线，则满足$B^2 - 4AC < 0$以及$A\neqC$的条件。
9. 圆锥曲线方程的标准形式为$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$或$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$，其中$(h,k)$为中心坐标，$a$和$b$为椭圆的半长轴和半短轴。
10. 若已知圆锥曲线的焦点坐标$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，则圆锥曲线方程可表示为$(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2$。
高中数学高考17第一部分 板块二 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)
设M(x1，y1)，M′(x2，y2)， 设 MF1 的方程为 x＝my－ 3，
x＝my－ 3，
由x42＋y2＝1
得(m2＋4)y2－2 3my－1＝0，
故yy11＋y2＝y2＝－mm2 221＋＋3m44.，
设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，
则 S＝12(|F1M|＋|F2N|)d＝12(|F1M′|＋|F1M|)d＝12|MM′|d＝ S△MF2M′,
2
PART TWO
真题体验 押题预测
真题体验 (2018·全国Ⅰ，文，20)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与 C交于M，N两点. (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
解 当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2， 可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2). 所以直线 BM 的方程为 y＝12x＋1 或 y＝－12x－1. 即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.
所以 y1＋y2＝2k，y1y2＝－4.
直线 BM，BN 的斜率之和 kBM＋kBN＝x1y＋1 2＋x2y＋2 2＝x2y1＋x1x＋1y22＋x22＋y12＋ y2.
①
将 x1＝yk1＋2，x2＝yk2＋2 及 y1＋y2，y1y2 的表达式代入①式分子，
可得 x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4kky1＋y2＝－8k＋8＝0.
当且仅当 t2＝92，即 t＝±322时取等号.
故△BPQ
的面积的最大值为
2 2.
热点二 范围问题
圆锥曲线的范围问题的常见解法 (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形 性质来解决； (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知 参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的范围.
2019-2020年高考数学专题练习——圆锥曲线
该双曲线的离心率为（ ）24.已知抛物线 y 2 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 M ，N 两 uuur 点, 若 PF uuuur 3MF，则 MN（）16 A ． 3B ．8C ．16D ．83 35.知双曲线 2x2 a 2b y 2 1(ab0,b 0) ， A 1、A 2 是实轴顶点， F 是右焦点，B （0,b ） 是虚轴端点，若在线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点 P i i 1,2 ，使得 P i A 1A 2 i 1,2 构成 以 A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）2019-2020 年高考数学专题练习圆锥曲线（一）、选择题 2 x 1.设双曲线 C: 2 a 2 y 2 1 a 0,b b 10 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过点 F 1 且斜率为3的直线与双曲线的两渐近线分别交于点 A ，B ，并且 F 2A F 2B ,则双曲线的离心率为A ． 52B ． 2 D ．2 x 2.设 F 1，F 2 分别为双曲线 C ： 2 a 2 b y 2 1(ab 0,b 0） 的左、右焦点， A 为双曲线的左顶点，以 F 1F 2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、N 两点，且满足：MAN 120o ，则 7A ．3B ． 19 321 C ．3D ． 7333.双曲线 2x2a 2y2 1 a 0,bb0 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 作倾斜角为 60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于 A ， B 两点，若点 A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是 A ． 3B ． 2+ 3 C. 2 D ． 2 1B ．( 2, 52 1) 51D ． ( 52 126.已知过抛 物线 y 2 2px(p 0)的 焦点 F 的 直线与 抛物线 交于 A ，B 两点，且 uuur uuurAF 3FB ，抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 C ， AA 1 l 于点 A 1，若四边形 AA 1CF 的面积 为12 3 ，则准线 l 的方程为A ． x2 B ． x 2 2 C ． x 2 D ． x 17.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90 °的正角 .已知双曲线22 E： a x 2 b y 21(a ab0,b 0) ，当其离心率e [ 2,2] 时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为( )A ．[0, 6]B ． [ , ]63C ．[ 4, 3]D ．[3, 2]8.已知直角坐标原点22xy O 为椭圆 C ： 2 2ab 1(a b 0) 的中心，F 1，F 2 为左、右焦点，在区间 (0,2)任取一个数 e ，则事件 “以 e 为离心率的椭圆 C 与圆 O ： x 2 y 2 a 2 b 2 没有 交点 ”的概率为( )A ．2442 B ． 4C ．2 2 D ．22 29.已知直线 y 1x 与双曲线 ax 2 by 21(a 0， b 0 )的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为3， a则()2b23 A ．3 B ．C ． 93D ． 2327223210.过双曲线 x 22 y1的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A ，B 两3点，则AB)A．4 33B．2 3 C．6 D．4 311.已知抛物线C：4x的焦点为F，过F的直线交C于A，B 两点，点A在第一象限，P（0,6），O 为坐标原点，则四边形OPAB面积的最小值为（7 A．4 13B．4C．3D．412.若双曲线2x3m1的一条渐近线方程为2x 3y 0 ，则m 的值为（）233C．2213.已知双曲线a x2 b y2 1 的左右焦点分别为F1，F2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线的右支上的点，PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I 与x 轴相切于点A，过F2作直线PI 的垂线，垂足为B，若 e 为双曲线的离心率，则（）A．|OB | e|OA| C．|OB| |OA| B．|OA| e|OB|D．|OA|与|OB |关系不确定14.已知 F 是椭圆C：2y1 的左焦点，5P为C上一点，A（1,4），则|PA| |PF |的3最小值为（）10 A．3 11B．3C．4 D．13315.已知F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1PF2 3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A．4 3 B．2 3C．3 D．22216.双曲线x2y21（a a2b2A（. 1，2）b 0）离心率的范围是（）B（. 1，）C（. 2，）D（. 1，22）17.如图，过抛物线 y 2px（p 0）的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A ，B ，交其准线于点8 C ． 3为（ ）2x 2 2 py 的焦点，点 F 2为抛物线 C 的对称轴与其准线的交点，过 F 2 作抛物线 C 的切线，切点为 A ，若点 A 恰好在以 F 1，F 2 为焦点的双曲线上，则双曲线 的离心率为（ ▲ ）两点， MN 中点的横坐标为 1，则此椭圆的方程是（ ）2A ． y32 B． 2 x32 2y1 522yx C. 1 36 92 xD ． 362y1 921. 已知双曲线 C ：2 x 2 ay 2 b 21a 0,b 0 的虚轴长为 8 ，右顶点 （a ，0）到双曲线的一16D ．318.已知过椭圆 2x 2a2y2 1(a b 0)b 2的左焦点且斜率为 a 的直线 l 与椭圆交于 A ，B 两点 .若椭圆上存在一点 P ，满足 OA OB OP 0 （其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率A ． 22B ．C. 321D ．219.已知点 F 1 是抛物线 C ：A ．6 22B ． 2 1C ． 2 1D ．6 2220.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为 F(0 ，3 3) ，直线 4x3y 13 0 与其相交于 M 、N34，则 p 为（条渐近线的距离为 12，则双曲线 C 的方程为（2 x A ． 9 2 y 216 x 2C. 25 y 2 16 22. 已知圆C ： x 2 y 2 2x 2 3y 线相切，则双曲线的离心率为（ ） A ． 2 6 3 B ．23323.设双曲线2 x 2 a 2 y b 2 1(a 0， b 0) 2x 2y2 16 92 2xy 216 2522yx2ab 243 F ， 过点 B． D．1(a C ． 的右焦点为0,b 0） 的一条渐近D ． 7 作与 x 轴垂直的直线 l 交 且与双曲线在第一象限的交点为P ， 设 O 为坐标原点，若 uu ur OP uur OA uuur OB( , R)， A ． 23B ． 3 5 35 两渐近线于 A ，B 两点， 2 x 2 y3 16 ，则双曲线的离心率为（ C.3 2 2 9 D ． 8 2 24.设 F 为双曲线 C ： ab 21（a 0,b 0） 的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x y a 交于 P ，Q 两点.若 PQ OF ，则 C 的离心率为（ A ． 2 B ． 3．C 2）25.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 22C ： x 2 y 21 |x| y 就是其中之一 （如图） .给出下列三个结论： ① 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ； ③ 曲线 C 所围成的 “心形 ”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ①②D.①②③、填空题26.过点Mx20,1 的直线l交椭圆x81于A，B两点，F为椭圆的右焦点，当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为27.已知F1，F2 分别为双曲线2C:x242 y12 1的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I 分别为F1PF2的重心、内心，若GI∥x 轴，则F1PF2 的外接圆半径R=2 28.已知点P在离心率为2 的双曲线x2 a2y2 1(a 0,b 0) 上，F1，F2为双曲线的两个buuur 焦点，且PF1uuuurPF20 ，则PF1F2的内切圆半径r 与外接圆半径R之比为29.已知双曲线2C:x2a2yb2 1 a 0,b 0 的实轴长为16，左焦点为F，M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点，且OM MF ，O为坐标原点，若S OMF 16 ，则双曲线C的离心率2 x 30.设点M 是椭圆2 a 2 yb2 1(a b 0) 上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F，圆M 与y 轴相交于不同的两点P、Q，若PMQ 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为2 31. 平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2 a2by2 1( a b 0 )的离心率e23，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为a，过点A2 作圆A1的切线，切点为P，在x 轴的上方交椭圆于点Q.则P P A Q232.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为椭圆的右顶点和上顶点，当FB515 1，此类椭圆被称为“黄金椭圆”2算出“黄金双曲线 ”的离心率 e 等于 .22C: x 2 y 21(a b 0)33.已知椭圆 a b，A ，B 是 C 的长轴的两个端点，点 M 是 C 上的一点，满足 MAB 30 , MBA 45 ，设椭圆 C 的离心率为 e ，则 e 2 ________________________ .234.已知抛物线 y 2 2px(p 0)的焦点为 F ，O 为坐标原点，点 M ，N 为抛物线准线上相 异的两点，且 M ，N 两点的纵坐标之积为 - 4，直线 OM ， ON 分别交抛物线于 A ， B 两点，若A ， F ，B 三点共线，则 p ______________ .235.已知抛物线 y 2 8x 上有一条长为 9 的动弦 AB ，则 AB 中点到36.如图：以等边三角形两顶点为焦点且过另两腰中点的椭圆的离心率 e= .等腰三角形，则 M 的坐标为 __________22x 2y 2 139.已知椭圆 9 5 的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是 ________ .240. 设抛物线 y 2px(p 0)的焦点为 F,已知 A ， B 为抛物线上的两个动点，且满足| MN |AFB60,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 |AB| 的最大值为41. 已知 F 为抛物线 C: y 2 4x 的焦点， E 为其标准线与 x 轴的交点，过 F 的直线交抛物线37.已知双曲线 C ：2x2 a的两条渐近线分别交于2y21(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 的直线与 C buuur uuur uuur uuuurA ，B 两点．若 F 1A AB ， F 1B F 2B 0，则C 的离心率为38.设 F 1，F 2 为椭圆1的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限 .若△MF 1F2为C:36 20C 于 A ，B 两点， M 为线段 AB 的中点，且 |ME | 20，则|AB|参考答案0,易知F (1,0)，设直线AB : x my 1x my 1 2由 2y 2 4my 4 0, 所以 y 1 y 2 4 y 2y 2 4x易知 f (x) 在 0,1 上为减函数，所以当12. A22双曲线 x y1的一条渐近线方程为 2x 3y 0 ，可得3 m m 1(3 m)(m 1) 0 ，解得 m ( 1,3)，因为 m 1x 3 m y3 解得 m ，故选A.13，内切圆与 x 轴的切点是A ，∵ ，由圆切线长定理有 ， 设内切圆的圆心横坐标为x ，则，即3y 12 4 1 2y 12( y 1 0) y1f (x) 3 x2 1 2 3x3 x 2 24 ( x 1)(3x 24x 4)2 x 2 2x 22x 2设A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)且x 1,y 1S OPABS OPASOFA SOFB32 1 2f ( x) x x (x 0)4 2 x4y 1y 1 1时， ( S OPAB )min 13,故选4B0 是双曲线的渐近线方程，所以∴ ，即 A 为右顶点，在中，由条件有，在中，有∴.设椭圆的右焦点为，由，则，根据椭圆的定义可得，所以22e2 ，由焦点三角形面积公式得b12 3b22，即设椭圆离心率e1 ，双曲线离心率a12 3a22 4c2，即1232e12 e22 4 ，设1 12 2 m ,n 即m 3n 4 ，e1 e2由柯西不等式得m n最大值为43 3设的中点，由题意知两式相减得，而，所以所以直线的方程为，联立，解得又因为，所以所以点代入椭圆的方程，得，所以，故选 A.，易得：∴此椭圆的方程是 故选： C∵ |PQ| |OF | c ，∴ POQ 90o , 又|OP| |OQ | a ，∴a 2 a 2 c 2 解得 c 2，即 e 2.a由题意，得 ，设过 的抛物线 的切线方程为 ，联立，令，解得 ， 即 ，不妨设 ，由双曲线的定义得.故选 C.，则该双曲线的离心率为设椭圆方程为联立方程： ，整理得：， ，则，即 ，化简得：1,0),(-1,1)六个整点,结论① 正确.22由x2y21 x y 得,x2y2, 1x y,解得x2点的距离都不超过2 . 结论② 正确.如图所示,易知A 0, 1 ,B 1,0 ,C 1,1, ,D心形”区域的面积大于3,说法③ 错误.由x2y21 x y得,y2x y 1 x2, |x|y234x2 ,1423x2 2 4厔0,x243所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线C:x2y21 x y 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-4 1026.3628.229. 526230.2 , 所以曲线C 上任意一点到原0,1 ,四边形ABCD 的面积S ABCD 11 123,很明显2心形”区域的面积大于2 S ABCD ,即231.37如图所示，设，，椭圆方程为圆的方程为，直线与圆相切，则：，直线是斜率为，直线方程为：联立直线方程与椭圆方程：整理可得：即，由弦长公式可得：，在中，，故5132.2“黄金椭圆”的性质是，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．如图，设“黄金双曲线”的方程为，22则，，∵， ∴， ∴， ∴，解得 或 （舍去），∴黄金双曲线 ”的离心率 e 等于1333. 35 35.2易知抛物线 的准线方程为 ，设 ，且 的中点为 ，分别 过点 作直线 的垂线，垂足分别为 ，则 ，由抛物线定义，得 （当且仅当 三点共线时取等号），即 中点 到 轴的最短距离为 .36. 3 1OA 为中位线且 OA BF 1 ，所以 OB OF 1 ，因此 F 1OA BOA ，又根据两渐近线对uuur uuur uuur uuuur由F 1A AB, F 1B F 2B 0知 A 是 BF 1的中点， uuu r F Buuuur F 2B ，又 O 是 F 1, F 2的中点，所称， F 1OA F 2OB ，所以 F 2OB 60 ， e1 (b )21 tan2 60 2.39. 15方法 1：由题意可知 |OF|=|OM |= c = 2，由中位线定理可得 PF 1 2|OM | 4，设 P(x,y)可得 (x 2)2 y 2 16，2联立方程 xy 2519 可解得 x32,x 21 2 (舍)，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，1515求得 P3, ，所以 k P F 2152 2F 138. (3, 15)22已知椭圆 C ：x y36 20 1可知， a 6，c 4，由 M 为 C 上一点且在第一象限，故等腰三角形 MF 1F 2中 MF 1 F 1F 2 8，MF 2 2a MF 1 4 , sin F 1F 2M4 , y MMF 2 sin F 1F 2 M 15 ，22代入C ：3x6 2y0 1可得 x M3.故 M 的坐标为 (3, 15 ) .82方法 2：焦半径公式应用解析 1：由题意可知 |OF |=|OM |= c= 2 ， 由中位线定理可得 PF 1 2|OM | 4 ，即 aex p 4 x p15求得 P 3, 15 ，所以 k PF215 . 2 2 PF 12F （1，0）为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，E （-1，0）为其准线与 x 轴的交点， 设过F 的直线为 y=k （x-1）， 代入抛物线方程 y 2=4x ，可得 k 2x 2-（ 2k 2+4） x+k 2=0，设 A （ x 1， y 1）， B （x 2，y 2），解得k 2=1，则 x 1+x 2=6，由抛物线的定义可得 |AB|=x 1+x 2+2=8.。
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
一、选择题：（60分）
1．椭圆 的离心率是（）
A. B. C. D.
2.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在 轴上，并且长轴长为12，离心率为 ，则该椭圆的方程为（）
A. B. C. D.
3.方程 所表示的曲线是（）
A.双曲线B.椭圆C.线段D.圆
4.已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率曲线的实轴长和虚轴长。
（2）若 ,点 是双曲线上的任意一点，求 的最小值。
20.已知双曲线 。
（1）求与双曲线 有相同的焦点，且过点 的双曲线 的标准方程。
(2)直线 分别交双曲线的两条渐近线与A,B两点，当 时，求实数 的值。
（A）(B)(C)(D)
5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则三角形ABC的周长是（）
（A）2（B）6（C）4（D）12
6．已知双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为 , ,则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
7.曲线 与曲线 的（）
A. B. C. D.
二、填空题：（30分）
11.双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则 。
12.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为 ,且长轴长是短轴长的2倍，则求该椭圆的标准方程为。
13.已知椭圆 的焦点为 ,点P在椭圆上。若 ,则 的大小为
14.已知点 ，椭圆 与直线 交于点A,B,则 的周长为（）
15.已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，且 的右焦点为 ，则 ( ), （）。
(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同
8.已知F是双曲线 的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上一点，则 的大小不可能是（）
2019届高考数学专题十九 圆锥曲线综合总结 练习题及答案
专题十九 圆锥曲线综合1．直线过定点例1：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C的离心率为2，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q两点，且PQ =（1）求C 的方程；（2）若直线l 是圆228x y +=上的点()2,2处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，设切线的斜率都存在．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析，()2,1．【解析】（1）由已知，设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，因为PQ =(P c -，代入椭圆方程得22221c a b+=，又因为c e a ==，所以21212b+=，b c =，所以24b =，2228a b ==， 所以C 的方程为22184x y +=．（2）依题设，得直线l 的方程为()22y x -=--，即40x y +-=， 设()00,M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由切线MA 的斜率存在，设其方程为()11y y k x x -=-，联立()1122184y y k x x x y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩得，()()()2221111214280k x k y kx x y kx ++-+--=， 由相切得()()()222211111682140Δk y kx k y kx ⎡⎤=--+--=⎣⎦， 化简得()221184y kx k -=+，即()22211118240x k x y k y --+-=， 因为方程只有一解，所以1111122111822x y x y xk x y y ===---，所以切线MA 的方程为()11112x y y x x y -=--，即1128x x y y +=，同理，切线MB 的方程为2228x x y y +=， 又因为两切线都经过点()00,M x y ，所以101020202828x x y y x x y y +=+=⎧⎨⎩，所以直线AB 的方程为0028x x y y +=，又004x y +=，所以直线AB 的方程可化为()00248x x x y +-=， 即()02880x x y y -+-=，令20880x y y -=-=⎧⎨⎩，得21x y ==⎧⎨⎩，所以直线AB 恒过定点()2,1．2．面积问题例2：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:b l y x c=与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 在椭圆上．斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围．【答案】（1）22184x y +=；（2）3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【解析】（1）由椭圆焦距为4，设()12,0F -，()22,0F ，连结1EF ，设12EF F α∠=，则tan b cα=，又222a b c =+，得sin b aα=，cos c aα=，()12122sin9012||sin sin 90F F c a c e b c a EF EF b c aa aαα︒∴======++︒-++， 解得222a bc c b c =+⇒==，28a =，所以椭圆方程为22184x y +=．（2）设直线2l 方程：+y x m =-，()11,C x y 、()22,D x y ，由22184x y y x m +==-+⎧⎪⎨⎪⎩，得2234280x mx m -+-=，所以1221243283x x m m x x +=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由（1）知直线1l ：y x =，代入椭圆得A ⎛⎝，B，得AB =2l 与线段AB 相交于点P，得m ⎛∈ ⎝，12CD x =-=而21lk =-与11l k =，知21l l ⊥，12ACBD S AB CD ∴=⨯=由m ⎛∈⎝，得232,03m ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦3232,93⎛⎤⎥⎝⎦，∴四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤⎥⎝⎦．3．参数的值与范围例3：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，点()1,2A 在抛物线C 上，过焦点F 的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点． （1）求抛物线C 的方程以及AF的值；（2）记抛物线C 的准线与x 轴交于点B ，若MF FN λ=，2240BM BN +=，求λ的值．【答案】（1）24y x =，2AF =；（2）2λ=．【解析】（1）抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，12p∴=，则24p =，抛物线方程为24y x =； 点()1,2A 在抛物线C 上，122pAF∴=+=． （2）依题意，()1,0F ，设:1l x my =+，设()11,M x y 、()22,N x y ，联立方程241y xx my ==+⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my -=-．所以121244y y m y y +==-⎧⎨⎩ ①，且112211x my x my =+=+⎧⎨⎩，又MF FN λ=，则()()11221,1,x y x y λ--=-，即12y y λ=-，代入①得()222414y y mλλ⎧-=--=⎪⎨⎪⎩，消去2y 得2142m λλ=+-，()1,0B -，则()111,BM x y =+，()221,BN x y =+，则()()222222221122||11BM BN BMBN x y x y +=+=+++++()222212121222x x x x y y =++++++()2222121212(1)(1)222my my my my y y =+++++++++ ()()()2221212148m y y m y y =+++++()()22421168448164016m m m m m m =+++⋅+=++，当4216401640m m ++=，解得212m =，故2λ=．4．弦长类问题例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左右顶点是双曲线222:13x C y -=的顶点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C ．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线l 与1C 相交于1M ，2M 两点，与2C 相交于1Q ，2Q 两点，且125OQ OQ ⋅=-，求12M M 的取值范围．【答案】（1）2213x y +=；（2）(． 【解析】（1）由题意可知：23a =，又椭圆1C 的上顶点为()0,b ，双曲线2C 的渐近线为：0y x x =⇔=，1b =⇒=，∴椭圆方程2213x y +=． （2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为y kx m =+，代入2213x y -=，消去y 并整理得：()222136330k xkmx m ----=，要与2C 相交于两点，则应有：()()22222222130130 3641333013k k k m k m m k -≠⎧-≠⎪⇒⎨----->+>⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩， 设()111,Q x y ，()222,Q x y ， 则有：122613km x x k+=-，21223313m x x k--⋅=-． 又()()()()22121212121212121OQ OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++． 又：125OQ OQ ⋅=-，所以有：()()()22222221133613513k m k m m k k⎡⎤+--++-=-⎣⎦-， 2219m k ⇒=-，②将y kx m =+，代入2213x y +=，消去y 并整理得：()222136330k x kmx m +++-=，要有两交点，则()()2222223641333031Δk m k m k m =-+->⇒+>．③ 由①②③有2109k <≤．设()133,M x y 、()244,M x y ．有342613km x x k-+=+，23423313m x x k -⋅=+，12M M==将2219mk=-代入有1212M M M M ==12M M ⇒=2t k =，10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 令()()()()()2311'1313t t tf t f t t t +-=⇒=++，10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 所以()'0f t >在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内恒成立，故函数()f t 在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内单调递增，故()(1250,72f t M M ⎛⎤∈⇒∈ ⎥⎝⎦．5．存在性问题 例5：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）不存在，见解析．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则1c =，∵A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，∴122a AF AF =+==∴a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）假设这样的直线存在，设直线l 的方程为2y x t =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，353,P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()44,Q x y ，MN 的中点为()00,D x y ，由22222y x t x y =++=⎧⎨⎩，消去x ，得229280y ty t -+-=，∴1229t y y +=，且()2243680Δt t =-->，故12029y y ty +==且33t -<<， 由PM NQ =，知四边形PMQN 为平行四边形， 而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点，∴405329y t y +==，得42159t y -=，又33t -<<，可得4713y -<<-，∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l ．一、解答题1．已知动圆P 过点()22,0F 并且与圆()221:24F x y ++=相外切，动圆圆心P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点()22,0F 的直线1l 与轨迹C 交于A 、B 两点，设直线1:2l x =，设点()1,0D -，直线AD 交l 于M ，求证：直线BM 经过定点．【答案】（1）()22103y x x -=>；（2）见解析．【解析】（1）由已知12| | 2PF PF =+，12| | 2PF PF -=，P 轨迹C 为双曲线的右支，22a =，1a =，12| 24F F c ==，2c =∴曲线C 标准方程()22103y x x -=>．（2）由对称性可知，直线BM 必过x 轴的定点，当直线1l 的斜率不存在时，()2,3A ，()2,3B -，13,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，知直线BM 经过点()1,0P ，当直线1l 的斜率存在时，不妨设直线()1:2l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 直线()11:11y AD y x x =++，当12x =时，()11321My y x =+，()1131,221y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭， ()22233y k x x y =--=⎧⎪⎨⎪⎩得()()222234430k x k x k -+-+=，212243k x x k -+=-，2122433k x x k +=-，下面证明直线BM 经过点()1,0P ，即证PM PB k k =，即1212311y yx x -=+-， 即12112233y x y x y y -+=+，由112y kx k =-，222y kx k =-，整理得，()12124540x x x x -++=，即()22222243434450333k k k k k k -+⋅-⋅+=---即证BM 经过点()1,0P ，直线BM 过定点()1,0．2．已知点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上，设A ，B 分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点O 到直线AB（1）求椭圆E 的方程；（2）设P 为椭圆E 在第一象限内一点，直线PA ，PB 分别交y 轴、x 轴于D ，C 两点，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）22143x y +=；（2）．【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，有229141a b +=， 由等面积法，可得原点O 到直线AB=，联立两方程解得2a =，b =E 的方程为22:143x y E +=．（2）设点()()00000,,0P x y x y >>，则2200143x y +=，即22003412x y +=．直线()00:22y PA y x x =++，令0x =，得0022D yy x =+．从而有00022y BDx =+=+AC =．所以四边形的面积为01122AC BD ⋅=221122====．所以四边形ABCD的面积为3．已知点C 为圆()2218x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点()1,0A 和AP 上的点M ，满足0MQ AP ⋅=，2AP AM =． （1）当点P 在圆上运动时，判断Q 点的轨迹是什么？并求出其方程； （2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，且3445OF OF ≤⋅≤（其中O 是坐标原点），求k的取值范围．【答案】（1）是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为2212x y +=；（2）32,22⎡⎡-⎢⎢⎣⎦⎣⎦．【解析】（1）由题意MQ 是线段AP 的垂直平分线， 所以2CPQC QP QCQA CA =+=+==，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为∴a =，1c =，1b ==，故点Q 的轨迹方程是2212x y +=．（2）设直线l ：y kx b =+，()11,F x y ，()22,H x y ， 直线l 与圆221x y +=1=，即221b k =+，联立2212x y y kx b +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 得：()222124220k x kbx b +++-=，()()()2222222164122182180Δk b k b k b k =-+-=-+=>，得0k ≠，122412kbx x k +=-+，21222212b x x k -=+，∴()()()()()222221212121222122411212k b kb OF OH x x y y k x x kb x x bkbb kk+--⋅=+=++++=++++()()222222222124111121212k k k k k k k k k +++=-++=+++，所以223144125k k +≤≤+，得21132k ≤≤，2k ≤≤，解得2k ≤≤2k ≤≤，故所求范围为32,22⎡⎡⎢⎢⎣⎦⎣⎦． 4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为2c ，离心率为12，圆222:O x y c +=，1A ，2A 是椭圆的左右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，1A AB △面积的最大值为2．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆E 交于两点P ，Q ，求PQ 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=，221x y +=；（2）⎡⎢⎣⎦．【解析】（1）设B 点到x 轴距离为h ，则1111222A AB A OB S S AO h a h ==⋅⋅⋅=⋅△△，易知当线段AB 在y 轴时，max h BO c ==，12A AB S a c ∴=⋅=△，12c e a ==，2a c ∴=，2a ∴=，1c =，b =， 所以椭圆方程为22143x y +=，圆的方程为221x y +=．（2）当直线L 的斜率不存在时，直线L 的方程为1x =±，此时223b PQ a==；设直线L 方程为：y kx m =+，直线为圆的切线，1d ∴==，221m k ∴=+，直线与椭圆联立，22143y kx mx y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=， 判别式()248320Δk =+>，由韦达定理得：122212284341243km x x k m x x k -+=+-⋅=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以弦长12PQ x =-=2433t k =+≥，所以PQ ⎛= ⎝⎦；综上，PQ ⎡∈⎢⎣⎦， 5．如图，己知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>的左、右焦点，直线():1l y k x =+经过左焦点1F ，且与椭圆G 交A ，B 两点，2ABF △的周长为（1）求椭圆G 的标准方程；（2）是否存在直线I ，使得2ABF △为等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22132xy+=；（2）不存在，见解析． 【解析】（1）设椭圆G 的半焦距为c ，因为直线l 与x 轴的交点为()1,0-，故1c =． 又2ABF △的周长为224AB AF BF a ++==a =222312b a c =-=-=．因此，椭圆G 的标准方程为22132x y +=．（2）不存在．理由如下：先用反证法证明AB 不可能为底边，即22AF BF ≠．由题意知()21,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，假设22AF BF =，则又2211132x y +=，2222132x y +=，代入上式，消去21y ，22y 得：()()121260x x x x -+-=． 因为直线l 斜率存在，所以直线l 不垂直于x 轴，所以12x x ≠，故126x x +=．(与1x≤，2x ≤126x x +≤<矛盾）联立方程()221321x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩，得：()2222326360k x k x k +++-=，所以21226632k x x k +=-=+矛盾． 故22AF BF ≠．再证明AB 不可能为等腰直角三角形的直角腰． 假设2ABF △为等腰直角三角形，不妨设A 为直角顶点． 设1AF m =，则2AF m =，在12AF F△中，由勾股定理得：()224m m+=，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．。
圆锥曲线专题(理科)之2019高考真题分专题
2019圆锥曲线专题(理)1.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ． D ．2.设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D3．渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是（ ）A B ．1C D ．24.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）25.若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．86．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 7.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，则（ ）A ．22.2a b =B ．2 2.34a b=C ．2a b =D ．34a b =8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C :x 2+y 2=1+x y 就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线C ③ 曲线C 所围城的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．②C ．①②D ．①②③9．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.10.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .11.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r，则C 的离心率为____________．12.设12F F ，为椭圆C :22+13620x y=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.13.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点， 则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .14．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若4AF BF +=，求l 的方程；（2）若3AP PB =uu u r uu r，求AB ．15.已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交32于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．17.已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程；(II)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点.17.已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；12（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：是直角三角形； （ii ）求面积的最大值.18.如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.19.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点PQG △PQG△N在y轴的负半轴上.若||||⊥，求直线PB的斜率.ON OF=（O为原点），且OP MN。
2019年高三理科数学高考大题精练：圆锥曲线：范围(最值)问题(附解析)
2019年高三理科数学高考大题精练：圆锥曲线：范围（最值）问题（附解析）精练例题[2019·江南十校]已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，B 为其短轴的一个端点，1F ，2F 分别为其左右两个焦点，已知三角形12BF F 121cos 3F BF ∠=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线22:0,3l y kx m m k ⎛⎫=+≠≠ ⎪⎝⎭与椭圆C 交于()11,P x y ，()22,Q x y ，M 为线段PQ 的中点，且22123x x +=，求OM PQ ⋅的最大值． 【答案】（1）22132x y +=；（2）52．【解析】（1）由2222212222411cos 3233a c c F BF a c a a -∠==⇒=⇒=，222bc =，12121cos sin 3F BF F BF ∠=⇒∠=，结合1222132F BF S a a ===△，22b ⇒=， 故椭圆C 的方程为22132x y +=．另解：依题意：12122F BF S cb bc =⨯==△221212212cos 2cos1233F BF b F BF a ∠∠=-=⇒=， 解得23a =，22b =，故椭圆C 的方程为22132x y +=．（2）联立()()2222222223263602432032236y kx mk x kmx m Δk m k m x y =+⇒+++-⎧⎨⎩=⇒=+->⇒+>+=．且122632kmx x k -+=+，21223632m x x k -=+；依题意()()()()2222212121222262632333232m km x x x x x x k k--+=⇒+-=⇒-=++，化简得：22322k m +=（∵232k ≠）；设()00,M x y ，由()()22112222012121222120222362233236x y x y y x x y y k x x y x y ⎧⎪⎨+=-⇒-=--⇒==--+=⎪⎩， 又00y kx m =+，解得31,2k M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭22222943142k m OM m m +-⇒==， ()()()()()2222222221222222243222111251132432k m m PQ kx x kOM PQ m m m k+-+⎛⎫⎛⎫=+-=+=⇒⋅=-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+，52OM PQ ⋅≤．当且仅当221132m m -=+，即m =时，OM PQ ⋅的最大值为52．模拟精炼1．[2019·柳州模拟]已知点()1,0F-，直线:4l x=-，P为平面内的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点M，且1122PF PM PF PM⎛⎫⎛⎫-⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作直线1l（与x轴不重合）交C轨迹于A，B两点，求三角形面积OAB的取值范围．（O为坐标原点）2．[2019·雷州期末]如图，已知抛物线2:2C y px =和()22:41M x y -+=，过抛线C 上一点()()000,1H x y y ≥作两条直线与M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线于E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为174． （1）求抛物线C 的方程；（2）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率； （3）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．3．[2019·周口调研]已知直线2py x =-与抛物线()2:20C y px p =>交于B ，D 两点，线段BD 的中点为A ，点F 为C 的焦点，且OAF △（O 为坐标原点）的面积为1． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()2,2G 作斜率为()2k k ≥的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线OM ，ON 分别交直线2y x =+于P ，Q 两点，求PQ 的最大值．答案与解析1．【答案】（1）22143x y +=；（2）30,2⎛⎤⎥⎝⎦．【解析】（1）设动点(),P x y ，则()4,M y -，由11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2214PF PM ∴=，即2214PF PM ∴=，()2221144x y x ∴++=+，化简得22143x y +=．（2）由（1）知轨迹C 的方程为22143x y +=，当直线1l 斜率不存在时31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1322OAB S AB OF ∴=⋅=△， 当直线1l 斜率存在时，设直线l 方程为()10x my m =-≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143x my x y ⎧⎪⎨-+=⎪⎩=，得()2234690m y my +--=． 则21441440Δm =+>，122634m y y m +=+，122934y y m -=+，1211122OABS OF y y =⋅-=⨯△=令()211m t t +=>，则OAB S ==△，令()196f t t t =++，则()219f t t'=-，当1t >时，()0f t '>，()196f t t t∴=++在()1,+∞上单调递增，()()116f t f∴>=，32OAB S ∴<△，综上所述，三角形OAB 面积的取值范围是30,2⎛⎤⎥⎝⎦．2．【答案】（1）2y x =；（2）14-；（3）11-．【解析】（1）∵点M 到抛物线准线的距离为17424p +=，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =． （2）∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点()4,2H ，∴HE HF k k =-， 设()11,E x y ，()22,F x y ，∴1212H H H H y y y y x x x x --=---，∴12222212H H H H y y y y y y y y --=---， ∴1224H y y y +=-=-．212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+． （3）设点()()2,1H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为()()22242715x m y m m m -+-=-+，……①M 方程：()2241x y -+=．……②①-②得：直线AB 的方程为()()()22422442714x m m y m m m m -----=-+． 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距()1541t m m m=-≥， ∵t 关于m 的函数在[)1,+∞单调递增，∴min 11t =-． 3．【答案】（1）24y x =；（2） 【解析】（1）设()11,B x y ，()22,D x y ，则12121y y x x -=-． 由2112y px =，2222y px =两式相减，得()()121212()2y y y y p x x -+=-． ∴12121222x x y y p p y y -+=⋅=-，所以点A 的纵坐标为122y y p +=， ∴OAF △的面积1122pS p =⨯⨯=，解得2p =．故所求抛物线的标准方程为24y x =．（2）直线l 的方程为()22y k x -=-．由方程组()2224y k x y x-=-=⎧⎪⎨⎪⎩，得24880ky y k --+=． 设233,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则344y y k +=，3488y y k =-．直线OM 的方程为34y x y =，代入2y x =+，解得3324y x y =-，所以33328,44y P y y ⎛⎫⎪--⎝⎭．同理得44428,44y Q y y ⎛⎫⎪--⎝⎭．所以484PQ y =-==-== 因为2k ≥，所以1102k <≤，所以当112k =，即2k =时，PQ 取得最大值。
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1.【2018全国二卷19】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
3.【2018全国三卷20】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：
，，成等差数列，并求该数列的公差．
【定点问题】已知()()()0,10,1,10.A B M --，，
动点P 为曲线C 上任意一点，直线,PA PB 的120,0,y ，
)0a b 的两个焦点均在以坐标原点的短半轴长为半径的圆上，且该圆被直线20x y +-=截得的弦长为问：,AB BD 是否【18浙江改编】已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b +=的离心率为12
，过右顶点与上顶点的直（1）求C 的标准方程；
（2）若圆O ：223x y +=上一点处的切线l 与椭圆C 交于不同的两点,,A B 求OAB ∆面积的最大值.
24C y x =：F F (0)k k >l C A B ||8AB =l A B C k l 22
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x y C +=：A B AB ()()10M m m >，12
k <-F C P C FP FA FB ++=0FA FP FB
5.【2018天津卷19】设椭圆22
221x x a b
+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离
A 的坐标为(,0)b ，且F
B AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；
（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .
若
4AQ AOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值.。