八年级上册数学勾股定理
北师版八年级数学上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理
式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角
三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入
一个辅助量，建立方程来求未知的边 .
2.运用勾股定理时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能情况，以免漏解或错解 .
知1－练
例1 [母题 教材P4习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，∠C＝90° . (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝5，求b.
a2=c2－b2； b2=c2－a2
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
勾股定理把“形”与 “数”有机地结合
基本思想
起来，即把直角三角形这个“形”与三 边关系这一“数”结合起来，它是数形
结合思想的典范
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的
对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系
特别提醒
知2－讲
通过拼图验证定理的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不
会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式性质变换验证结论成立.
即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变
形→推导结论.
续表 方法
伽菲尔德 总统拼图
图形
知2－讲
知1－练
感悟新知
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C知1－练 的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75， 求 a， b. 解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)． 所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
数学八年级上册勾股定理
数学八年级上册勾股定理一、勾股定理的内容1. 定理表述- 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。
- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，根据勾股定理，斜边c满足3^2+4^2=c^2，即9 + 16=c^2，c^2=25，所以c = 5。
2. 定理的证明- 赵爽弦图证明法- 赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形。
- 设直角三角形的两条直角边分别为a、b（b>a），斜边为c。
大正方形的面积可以表示为c^2，同时它又等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积。
- 四个直角三角形的面积为4×(1)/(2)ab = 2ab，中间小正方形的边长为b - a，其面积为(b - a)^2=b^2-2ab+a^2。
- 所以c^2=a^2+b^2。
- 毕达哥拉斯证法（拼图法）- 用四个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）拼成一个以a + b为边长的正方形。
- 这个大正方形的面积为(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，同时它又等于四个直角三角形的面积加上中间边长为c的正方形的面积，即4×(1)/(2)ab+c^2=2ab +c^2。
- 所以a^2+b^2=c^2。
二、勾股定理的应用1. 已知直角三角形的两边求第三边- 当已知两条直角边求斜边时，直接使用c=√(a^2)+b^{2}。
例如，直角边a = 6，b = 8，则c=√(6^2)+8^{2}=√(36 + 64)=√(100)=10。
- 当已知一条直角边和斜边求另一条直角边时，使用a=√(c^2)-b^{2}（设c为斜边，b为已知直角边）。
例如，斜边c = 13，一条直角边b = 5，则a=√(13^2)-5^{2}=√(169 - 25)=√(144)=12。
2. 解决实际问题中的直角三角形问题- 例如，在一个长方形中，已知长为8米，宽为6米，求对角线的长度。
冀教版八年级数学上册17.勾股定理课件
形三边之间的关系称为勾股定理 .
B
弦
如果直角三角形两条直角边分别为a，b，
斜边为c，那么2 + 2 = 2
A
勾
C
股
知识讲授
几何语言：
B
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
c
a
C
a2 + b2 = c 2
你根据此图，利用它们之间的面积关系推
导出:
a2 b 2 c2
证明： ∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
1
2
2
c 4 ab b a a 2 b2 .
2
a
c
b
b-a
赵爽弦图
知识讲授
右图是四个全等的直角三角形拼成的.请你根据此图，
2
平方厘米.
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
问题3
如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°
（1）以AC为边长的正方形的面积为
（2）以BC为边长的正方形的面积为
（3）以AB为边长的正方形的面积为
2
2
2
猜测一下：上面三个正方形的面积之间有
什么关系？
利用它们之间的面积关系推导出: a 2 b 2 c 2
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
1
=4× ab+c2
八年级勾股定理的知识点
八年级勾股定理的知识点作为初中数学的重要知识点之一，勾股定理在八年级学生的学习中扮演着重要的角色。
勾股定理的概念和应用可以帮助学生理解和求解同类问题，并为进一步学习更高级别的数学知识奠定基础。
以下是勾股定理在初中八年级阶段的知识点。
一、勾股定理的定义勾股定理是指直角三角形中长边平方等于两短边平方和的关系。
即在一个直角三角形中，长边的平方等于其他两边平方和。
勾股定理的公式为：a² + b² = c²其中，a、b 代表短边，c 代表长边。
这个公式是勾股定理的基本表达形式。
二、三角形中的勾股定理应用勾股定理不仅仅是为了了解概念，同样也是一种有用的工具来解决各种三角形问题。
在三角形中，有两种使用勾股定理的方式：已知两个边长求第三个边长和已知三角形的三个角度和一个边长，求任意一边长。
2.1 已知两边长求第三边长当我们知道任意两边长的长度时，我们可以使用勾股定理来求解第三边长的长度。
我们可以先将已知的两边长的平方和计算得出，然后再对这个结果求平方根来得到第三边长的长度。
例如，当我们知道一个三角形的两边分别为 3 和 4，需求出第三边长，我们可以使用勾股定理进行计算：(3)² + (4)² = c²9 + 16 = c²25 = c²c = √25 = 52.2 已知三个角度和一个边长，求任意一边长在已知三个角度和一个边长的情况下，我们可以使用正弦、余弦、正切等三角函数结合勾股定理来求解三角形任意一边长。
例如，假设我们知道一个三角形的三个角分别为 60 度、30 度和 90 度，此三角形的一个边长为 5，需求出另外两边长的长度。
我们可以利用下列公式进行计算：sin(60°) = 对边 / 斜边 = c / 5c = 5 sin(60°) = 4.33(约)cos(60°) = 邻边 / 斜边 = b / 5b = 5 cos(60°) = 2.5(约)根据勾股定理，我们可以求出第三条边的长度：a² + b² = c²a² + (2.5)² = (4.33)²a² = (4.33)² - (2.5)²a² = 9 - 6.25a = √2.75 = 1.66(约)通过这种方式，我们可以使用勾股定理解决许多有关三角形的问题。
八年级上册数学公式法
八年级上册数学公式法
1.勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
公式：$a^2 + b^2 = c^2$
其中，$a$ 和 $b$ 是直角三角形的两条直角边，$c$ 是斜边。
2.平方差公式：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
用于计算两个数的平方差。
3.完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和$(a-b)^2 = a^2 -
2ab + b^2$
用于计算一个数的平方，加上或减去两倍的该数与另一数的乘积，再加或减另一数的平方。
4.二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (其中$a
\geq 0, b \geq 0$)
用于计算两个非负数的平方根的乘积。
5.二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (其
中 $a \geq 0, b > 0$)
用于计算一个非负数的平方根除以另一个非负数的平方根。
6.分式的乘法法则：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
用于计算两个分式的乘积。
7.分式的除法法则：$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times
\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$
用于计算一个分式除以另一个分式。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
八年级数学上册《勾股定理》教案、教学设计
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对勾股定理的证明和应用进行讨论。鼓励学生发表自己的观点，分享解题思路。
2.交流展示：每个小组选派代表进行成果展示，其他小组成员认真倾听，互相学习，共同进步。
-通过实际操作，如拼图、构造三角形等，让学生直观感受逆定理的应用。
-设计开放性问题，如“如何确定一个三角形是直角三角形？”鼓励学生多角度思考问题。
5.情感态度与价值观的培养：在教学过程中，注重渗透数学文化，介绍勾股定理的历史背景和我国古代数学家的贡献。
-增强学生的民族自豪感，激发学生对数学文化的兴趣。
5.能够运用勾股定理推导出相似直角三角形的边长比例关系。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师将采用以下方法引导学生学习：
1.通过实际问题引入勾股定理，激发学生的学习兴趣，培养学生的观察力和思考能力。
2.采用探究式教学方法，引导学生通过观察、实验、归纳等方法发现勾股定理，并理解其内涵。
3.运用数形结合的方法，将勾股定理与图形相结合，培养学生的空间想象能力和几何直观。
（五）总结归纳
1.学生总结：让学生回顾本节课所学内容，分享自己的收获和感悟。
2.教师总结：强调勾股定理的重要性，概括本节课的重点和难点，提醒学生课后巩固。
3.情感态度与价值观的渗透：引导学生认识到勾股定理在几何学中的重要地位，激发学生对数学的热爱和探索精神。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用，以及培养学生的独立思考和解决问题的能力，特布置以下作业：
-培养学生严谨、踏实的科学态度，认识到数学知识在实际生活中的广泛应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图,图中所有四边形都是正方形， 正方形Ⅰ的边长为7你能求出正方形A、B、
C、D的面积之和吗？
C B Ⅲ
a c b
D
A
Ⅱ
答案：49
Ⅰ
7
想 一 想
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？ 我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
2 2
2
‹# ›
小结
说说这节课你有什么收获？
探索直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 利用勾股定理解决实际问题。
‹# ›
作业
习题5.2 A组 T1、2、3
CD= 10尺 ;CF= 5尺 .Rt OBF中设OB为x尺，你能解答这个题 吗？ 解：如图1,设OA为静止时秋千绳索的
O
F
A
C
图1
一、判断题 1. ΔABC的两条边a=6,b=8,则c=10 。 （ ×） 12 13 2.若直角三角形的两边长为3和4，则 第三边为5。 （ × ） 3.若a、b、c为直角△ABC的三边,则 a2+b2=c2。 （ ×） 二、填空题 A 1、如右图，阴影部分是一个正方形， 25 则此正方形的面积为（ ）。 8米 2、如图，从电线杆的顶端A点，扯一 根钢丝绳固定在地面上的B点，这 根钢丝绳的长度是（ 10米 ） 。 O 6米 B
合作探究
图一
图二
小直角三角形的长直角边等于a,短直角边等于b，斜边等于c.
1、将四个三角形摆放在第一个正方形内，如图一所示，则正方形Ⅰ的面积SⅠ 2 2 = a ，正方形Ⅱ的面积SⅡ = b 。
2、将四个三角形摆放在第二个正方形内，如图二所示，则正方形Ⅲ的面积SⅢ 2 c = 。 3、正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积有什么关系？ SⅠ+ SⅡ= SⅢ 2 2 2 即 a +b =c 。 为什么？ 因为大正方形的面积相等，而SⅠ+ SⅡ和SⅢ的面积都 。
即c= 即a=
a2 + b2
c - b
2
2
= (c + b)(c - b)
= (c + a)(c -பைடு நூலகம்a)
b2=c2-a2
即b=
c2 - a2
学以致用
如果知道了直角三角形任意两边的长度， 就可以利用勾股定理求第三边的长。
凡是可以构成一个直角 三角形三边的一组正整 数，称之为勾股数。
x
3 ┓ 4
8 x
10
像3，4，5； 6、8，10；
5，12，13等都是勾 股数。
X=5
x=6
如图5—2，从电线杆OA的顶端A点，扯 一根钢丝绳固定在地面上的B点，这根钢 丝绳的长度是多少？（AO=8米 BO=6米） OB,OB与OA垂直,得直角三角形，在此直 分析： 连接 角三角形中，已知两直角边求斜边，应该用勾 例1
例2
现代汉语的意思是：有一架秋千，当静止时其踏板离地 1尺； 将它向前推两步（一步指“双步”，即左右脚各迈一步，一步 为5尺）并使秋千的绳索拉直，其踏板离地5尺.求绳索的长.
分析：画出如图的图形，由题意可知AC= 1尺；
长，则 AC=1，CF=5, BF=CD=10. AF=CFB AC=5-1=4.设 绳索长为OA=OB=x尺。 则 OF=OA-AF=(x-4)尺 在Rt△OBF中，由勾股定理， E 得： D OB2=BF2+OF2,即 x2=102+(x-4)2 解得：x=14.5尺 ∴绳索长为14.5尺。
。
等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积。
。
归纳总结
勾股定理
直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方。 如果直角三角形两直角边分别为a、b, B 斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
c a
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
A
b
C
精讲点拨 y=0
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系
c2=a2+b2 a2=c2-b2
解
股定理.
如图,在Rt△AOB中，∠O=90°, AO=8米 ,BO=6米, 由勾股定理，得 AB2=AO2+BO2 =82+62=100 于是 AB= 100 =10 B 所以，钢丝绳的长度为10米.
A
O
明朝程大位的著作《算法統宗》裏有一道“蕩秋千” 的趣題，是用詩歌的形式： 平地秋千未起，踏板一尺離地； 送行二步與人齊，五尺人高曾記。 仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉； 良工高士好奇，算出索長有幾？ 索長有幾
第5章
实数
学习目标 y=0
一、知识与技能： 能记住勾股定理，会运用勾股定理解决一些与 直角三角形有关的实际问题。 二、过程与方法：
经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思 想，尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决 问题策略的多样性。 三、情感、态度与价值观：
通过对勾股定理历史的了解，增强同学们的民 族自信心与自豪感，激发学习兴趣。