第5章 均衡纯保费与毛保费

（2）生存年金（在保险期限内的生存期间受益） 连续型生存年金：
a x， m | a x， a x:n |
m|
ax:n |
m|
m|
离散型生存年金（期初支付和期末支付）
&& && && a x， m| a x， a x:n | a x， m| a x， a x:n |
年付h次的生存年金
(h) x (h) x
第三节 完全连续年缴均衡纯保费的厘定
一、全期缴费终身人寿保险
条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单 生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续） 记 P 表示以被保人生存为条件的年缴均衡纯保费，则有 厘定过程：
P ( Ax ) ⋅ a x
(x) 0 1 2
P(Ax )
T(x)=t T(x)
二、全期缴费定期寿险
条件：（x）死亡年末给付1单位的n年定期人寿保险， 被保险人从保单生效起按年期初缴费，年实质利率i。 此时均衡纯保费记为 1 Px:n | 厘定过程：
P
1 x :n |
&& ⋅ a x :n |
(x) 0
Px1:n | Px1:n Px1:n | |
1 2
Px1:n |
K K+1
例5.1.1 P99页
设 k | q x = c ( 0 . 96 ) k + 1 , k = 0 ,1, 2 ,...。其中， c = 0 . 04 / 0 . 96 ， i = 6 % ，试求 P x 和 Var ( L )。
2、限期缴费终身寿险
限期缴费终身寿险，指在规定的年限内， 按年缴费直至被保险人死亡或缴费期限届 满时停止。 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿 保险，保费限期h年缴清，按年期初缴费。 此时，均衡纯保费记为： P
&&x 期缴保费收入精算现值 Px ⋅ a
(x) 0
Ax Px Px Px Px Px
K K+1 T(x)
1
2
保险理赔支出精算现值
T(x)=t K(x)=k
1
全期缴费的终身寿险均衡纯保费厘定过程
&& Px ⋅ a x
(x) 0
Ax Px Px Px Px Px
K K+1 T(x)
1
2
厘定过程：
&& (1) L = v K +1 − Px aK +1 , K = 0,1,2,L
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
年金和寿险关系
•以死亡年末给付的终身寿险和期初给付的 终身生存年金为例
&& ax
1 1 1 1 1
K K+1 T(x)=t
K +1
(x)
Ax
T(x)
1
1 − v K +1 1 − E (v 1) Ax − Ax − 1 &&x = E[aK +1 ] = E && = = 1) a = d E[ zk ] = d d d d
( &&( = d ( h ) a xh ) + Ax h )
二、均衡纯保费
均衡纯保费的含义 若保费的缴付以被保人的生存为条件，在 约定的缴费期内，从投保时刻起每期缴付相 等的金额，直至被保人死亡或约定的缴费期 界满为止。 特点：在生存的缴费期内，每时点缴付金额 相等。
均衡纯保费厘定原则
纯保费厘定原则——平衡原则：
保险人的潜在亏损均值为零，即E（L）=0。 L=给付金现值-纯保费现值 E（纯保费现值）=E（给付金现值）
均衡纯保费与趸缴纯保费的关系 E（均衡纯保费现值） =E（给付金现值） = 趸缴纯保费
对保险人而言： 期缴保费收入精算现值 保费收入精算现值： 趸缴和期缴 (x) 保险金给付精算现值： 保险理赔支出精算现值
k =0 3
P k +1 P 或 Var ( L ) = Var [(1 + )v − ] d d P 2 P 2 2 k +1 = (1 + ) Var (v ) = (1 + ) ( Ax − Ax2 ) d d P 2 1 1 = (1 + ) [ a 4 12.36% − ( a 4 6% ) 2 ] = 0.17788 d 4 16
& 由 1）变形得： 1 = d a&x + A x 2 1 − v K +1 1 Ax − Ax2 && 2) Var[aK +1 ] = Var = d 2 Var[ zk ] = d 2 d
&& 1 = da x + Ax = ia x + (1 + i ) Ax = δa x + Ax
δ
)−
P
δ
] = (1 +
P
δ
) 2 [ 2 Ax − ( Ax ) 2 ]
2 Ax − ( Ax ) 2 δ a x + Ax 2 2 2 = （ ）[ A x − ( A x ) ] = δa x (δ a x ) 2
例5.2.1（P104）
已知利息力为0.05，死亡力为0.04，求
(1) P ( Ax ) (2)Var ( L)
T(x)=t K(x)=k
1
dAx Mx Ax && (2) E ( L) = 0 ⇒ Ax − Px a x = 0 ⇒ Px = = = && a x 1 − Ax Nx
2 Px 2 2 Ax − ( Ax ) 2 (3)Var ( L) = (1 + ) [ Ax − ( Ax ) 2 ] = && d ( da x ) 2
Ax
1
完全连续年缴均衡纯保费的厘定（终身寿险）
P ( Ax ) ⋅ a x
(x) 0 1
P ( Ax ) ⋅ a t |
2
P(Ax )
T(x)=t
at | =
T(x)
1− v t
δ
Ax
1⋅ vt
1
（1） L = l (T ) = v t − P ( A x ) a t Ax ( 2 ) E ( L ) = 0 ⇒ Ax − P ( Ax ) a x = 0 ⇒ P ( Ax ) = ax ( 3 )Var ( L ) = Var [ v t (1 + P
Ax， m | Ax， A
1 x :n |
Ax1:n| m| A1:n| m| x
离散型寿险（死亡受益、死亡年末支付）
Ax， m | Ax， A1:n | x
生存险趸缴纯保费
（1）生存保险（一次性生存受益，期末支付）
Ax:n | = Ax:n |
1 1
m| Ax: n |
1
（2）生存年金：
常见险种的趸缴纯保费
三、常见险种完全离散均衡纯保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 限期h年缴费延期m年 的终身生存年金
h
保费公式
&& Px = Ax a x = M x N x
&& n Px1： = A1： a x： = ( M x − M x + n ) ( N x − N x + n ) n xn
Px
Px
Px
Px
Px
K K+1 T(x) T(x)=t K(x)=k
1
2
保险理赔支出精算现值
1
第二节
完全离散纯均衡纯保费厘定
一、终身寿险 1、全期缴费终身寿险 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险，被保险人 从保单生效起按年期初缴费，年实质利率i。 记均衡纯保费为Px 精算等价原理的图示过程：
练习
设一个0岁生命的整值剩余寿命服从概率 函数为 1
k
q0 =
4
k = 0,1,2,3
在其死亡年末赔付1单位的保单，每年年 初缴付保费P。当保费按平衡原理决定时， 计算保险人亏损现值的期望值与方差 （i=6%）。
练习答案
&& (1) L = v k +1 − Pak +1 = (1 + E ( L) = 0 ⇒ ∑ [(1 +
按保费的构成分：
纯保费：保单受益的精算现值 毛保费：纯保费＋附加费用（与保费相关费用的精算现值）
按保费缴纳的方式分：
趸缴（纯/毛）保费：一次性缴纳 期缴（纯/毛）保费：按相等的时间间隔以被保人的生存为条 件的方式缴纳，如均衡纯保费
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费 连续型寿险（死亡受益、死亡即刻支付）
P k +1 P )v − d d
P k +1 P P P 1 )v − ]k q0 = 0 ⇒ [(1 + )a4 0.06 − 4 ] = 0 d d 4 d d
P = 6.478 ⇒ P = 0.3667 d P k +1 P 2 (2)Var ( L) = E[(1 + )v − ] d d P 2 P P P 2 1 1 = (1 + ) a4 12.36% − 2 (1 + ) a4 6% + ( ) = 0.17788 4 d 4 d d d ⇒
h x
限期缴费终身寿险均衡纯保费的厘定
h
&& Px ⋅ a x:h |
Px h Px (x) 0 1
h h
Px 0 h-1 h
0
K K+1 T(x)
Ax
T(x)=t K(x)=k