高中数学知识点总结与题库

合集下载

高中数学必修二第七章复数知识点题库(带答案)

高中数学必修二第七章复数知识点题库单选题1、3+i1−3i=（）A．1B．−1C．i D．−i答案：C解析：根据复数运算将分之分母同乘以1+3i，化简即可得出答案.解：3+i1−3i =(3+i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=3+3i2+10i10=3−3+10i10=i.故选：C.小提示：复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．2、复数z=1a−1+(a2−1)i是实数，则实数a的值为（）A．1或-1B．1C．-1D．0或-1答案：C分析：利用复数是实数的充要条件，列式计算作答.因复数z=1a−1+(a2−1)i是实数，则{a−1≠0a2−1=0，解得a=−1，所以实数a的值为-1.故选：C3、已知i是虚数单位，若z=i+a1+i为纯虚数，则实数a=（）A．1B．−1C．2D．−2答案：B分析：由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的定义求解．因为z=i+a1+i =(a+i)(1−i)(1+i)(1−i)=a−a i+i−i22=a+12+1−a2i为纯虚数，所以{a+12=01−a2≠0，a =−1．故选：B ．4、在复平面内，把复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( ) A ．2√3B ．−2√3i C ．√3−3i D ．3+√3i 答案：B分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3， ∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i )(12−√3i2)=32−3√3i2−√3i 2+3i 22=−2√3i ．故选：B ．5、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（） A ．6B ．5C ．4D ．3 答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可.因为(−1+2i)x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1 ，解得{x =−3y =4，所以|x −yi|=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5. 故选：B.6、已知复数z 1=21+i 与z 2在复平面内对应的点关于直线y =x 对称，则z 1z 2=（） A ．−4i B ．−2i C ．2i D ．4i 答案：C分析：利用复数的除法运算法则化简复数z 1，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线y =x 对称的点，得到复数z 2，最后利用复数的乘法运算法则即可求得z 1z 2．因为z 1=21+i =2(1−i )(1+i )(1−i )=1−i ，所以复数z 1在复平面内对应的点为(1,−1)，其关于直线y =x 对称的点为(−1,1)，所以z 2=−1+i ，所以z 1z 2=(1−i )(−1+i )=2i ，故选：C ．7、设2(z +z )+3(z −z )=4+6i ，则z =（） A ．1−2i B ．1+2i C ．1+i D ．1−i 答案：C分析：设z =a +bi ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .设z =a +bi ，则z =a −bi ，则2(z +z )+3(z −z )=4a +6bi =4+6i ，所以，{4a =46b =6，解得a =b =1，因此，z =1+i .故选：C. 8、已知复数z =2−i 20171+i，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A分析：根据复数的运算，求得复数z ，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．复数z =2−i 20171+i =2−i 1+i=(2−i )(1−i )(1−i )(1+i )=1−3i 2=12−32i ，则z =12+32i所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(12,32)，位于复平面内的第一象限. 故选：A 多选题9、意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo ，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：第一步，把方程x 3+a 2x 2+a 1x +a 0=0中的x 用x −a 23来替换，得到方程x 3+px +q =0；第二步，利用公式x 3+y 3+z 3−3xyz =(x +y +z )(x +ωy +ω2z )(x +ω2y +ωz )将x 3+px +q 因式分解；第三步，求得y ，z 的一组值，得到方程x 3+px +q =0的三个根：−y −z ，−ωy −ω2z ，−ω2y −ωz （其中ω=−1+√3i 2，i 为虚数单位）；第四步，写出方程x 3+a 2x 2+a 1x +a 0=0的根：x 1=−a 23−y −z ，x 2=−a 23−ωy −ω2z ，x 3=−a 23−ω2y −ωz .某同学利用上述方法解方程8x 3−12x 2−42x +55=0时，得到y 的一个值：−1+i ，则下列说法正确的是（）A ．a 2=−32B ．yz =2C ．x 2=−12+√3D ．x 3=−1−√3答案：ABC分析：根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项.8x 3−12x 2−42x +55=0⇒x 3−32x 2−214x +558=0依题意可知a 2是2次项系数，所以a 2=−32，A 选项正确. 第一步，把方程x 3−32x 2−214x +558=0中的x ，用x +12来替换，得(x +12)3−32(x +12)2−214(x +12)+558=x 3−6x +4=0，第二步，对比x 3−6x +4=0与x 3+y 3+z 3−3xyz =0，可得{y 3+z 3=4−3yz =−6y =−1+i ，解得yz =2,z =−1−i ，B 选项正确.所以x 2=−a 23−ωy −ω2z =12−−1+√3i 2(−1+i )+(−1+√3i 2)2(1+i )=−12+√3，C 选项正确.x 3=−a 23−ω2y −ωz =12−(−1+√3i 2)2(−1+i )+(−1+√3i 2)(1+i )=−12−√3，D 选项错误.故选：ABC10、设z 为复数，则下列命题中正确的是（） A ．|z|2=zz̅ B ．z 2＝|z |2C ．若|z |＝1，则|z +i|的最大值为2D ．若|z ﹣1|＝1，则0≤|z |≤2分析：根据复数的运算法则，以及其几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.设z=x+yi(x,y∈R)，则z̅=x−yi，对A：|z|2=x2+y2=(x+yi)(x−yi)=zz̅，故A正确；对B：z2=(x+yi)2=x2−y2+2xyi≠x2+y2=|z|2，故B错误；对C：若|z|=1，则该复数对应点为以原点为圆心，半径为1的圆上的点，而|z+i|表示复数z对应点到(0,−1)的距离，故当且仅当z对应点为(0,1)时，取得最大值2，故C正确；对D：若|z−1|=1，其表示复数z对应的点是以(1,0)为圆心，1为半径的圆上的点，又|z|表示复数z对应点到原点的距离，显然|z|∈[0,2]，故D正确.故选：ACD.11、已知复数z0=1+2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z−1|=|z−i|，下列结论正确的是（）A．P0点的坐标为(1,2)B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为√22答案：ACD解析：根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出z，利用|z−1|=|z−i|，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性.复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z=x+yi(x,y∈R)，代入|z−1|=|z−i|，得|(x−1)+yi|=|x+(y−1)i|，即√(x−1)2+y2=√x2+(y−1)2，整理得，y=x；即Z点在直线y=x上，C正确；易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为√2=√22，故D正确.小提示：本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 填空题12、已知复数z=1+i（其中i是虚数单位），则z2+z=____.答案：1+3i##3i+1分析：利用复数的四则运算法则化简可得结果.由已知条件可得z2+z=(1+i)2+1+i=2i+1+i=1+3i.所以答案是：1+3i.13、已知(1+i)z=2i（i为虚数单位），则z=___________.答案：1+i##i+1分析：根据复数代数的四则运算计算即可.∵(1+i)z=2i,∴z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=i(1−i)=1+i.所以答案是：z=1+i.14、已知复数z满足z(1−i)=(1+i)2，则z=___________. 答案：−1+i##i-1分析：利用复数的运算进行化简即可．z(1−i)=(1+i)2=2i，则z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=i−1，所以答案是：−1+i解答题15、已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+2x+m=0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m的值；（2）用m表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m>1 2,0≤m≤12√1−m,m<0.分析：（1）由α、β是关于x的方程x2+2x+m=0的两根．可得α+β=−2，αβ=m，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x的方程x2+2x+m=0的两根．∴α+β=−2，αβ=m，若α，β为实数，即Δ=4−4m≥0，解得m≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m，解得m=−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m<0，解得m>1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m−4i|，解得m=3．综上可得：m=−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。

部编版高中数学必修二第七章复数带答案知识点题库

(名师选题)部编版高中数学必修二第七章复数带答案知识点题库单选题1、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（）A ．6B ．5C ．4D ．32、如果复数z 满足|z +1−i |=2，那么|z −2+i |的最大值是（）A ．√13+2B ．2+√3C ．√13+√2D ．√13+43、复数1−cosθ−i sinθ(θ∈[0,2π))的三角形式是（）A ．2sin θ2(cosθ+π2+i sin θ+π2)B ．2sin θ2(cos π−θ2+isin π−θ2) C ．2sin θ2(cos θ−π2+i sin θ−π2)D ．2cos θ2(cos π−θ2+i sin π−θ2) 4、若复数z 满足(1+i )z =|1+i |，则z 的虚部为（）A ．−√2iB ．−√2C ．−√22iD ．−√225、设m ∈R ，则“m =2”是“复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6、(2+2i )(1−2i )=（）A ．−2+4iB ．−2−4iC ．6+2iD ．6−2i7、已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为(2,1)，(1,b )，若z 1z 2是纯虚数，则b =（）A ．2B ．12C ．−12D ．－2 8、在复平面内，O 是原点．向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为12−√32i ，其中i 为虚数单位，若点A 关于虚轴的对称点为B ，则向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数的共轭复数为（）A ．12+√32i B ．12−√32i C ．−12+√32i D ．−12−√32i多选题9、给出下列命题，其中是真命题的是（）A ．纯虚数z 的共轭复数是−zB ．若z 1−z 2=0，则z 1=z 2C ．若z 1+z 2∈R ，则z 1与z 2互为共轭复数D ．若z 1−z 2=0，则z 1与z 2互为共轭复数10、已知复数z =21+i ，则正确的是（）A ．z 的实部为﹣1B ．z 在复平面内对应的点位于第四象限C ．z 的虚部为﹣iD ．z 的共轭复数为1+i11、若非零复数z 1,z 2分别对应复平面内的向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，且|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，线段AB 的中点M 对应的复数为4+3i ，则（）A ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑C ．|z 1|2+|z 2|2=10D ．|z 1|2+|z 2|2=100填空题12、设Z ∈C ，若z 2+z +1=0，则z 2017+z 2018+z 2020+z 2021=__________．13、已知i 是虚数单位，化简11−3i 1+2i 的结果为_______．部编版高中数学必修二第七章复数带答案(三十一)参考答案1、答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可. 因为(−1+2i)x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1 ，解得{x =−3y =4，所以|x −yi|=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.2、答案：A分析：复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z −2+i|的最大值是√13+2．故选：A ．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z +1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．3、答案：C分析：根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.1−cosθ−i sinθ=2sin 2θ2−2i sin θ2cos θ2 =2sin θ2(sin θ2−i cos θ2) =2sin θ2(cos π−θ2−i sin π−θ2)=2sin θ2[cos π−θ2+i sin (−π−θ2)] =2sin θ2(cosθ−π2+i sin θ−π2)，故选：C.4、答案：D分析：先利用复数的模长和除法运算化简得到z=√22−√22i，再根据虚部的定义，即得解由(1+i)z=|1+i|=√2，得z=√21+i =√2(1−i)(1+i)(1−i)=√22−√22i，∴z的虚部为−√22.故选：D5、答案：C分析：求出z=(m+2i)(1+i)为纯虚数时m的值，与m=2比较，判断出结果z=(m+2i)(1+i)=m−2+(m+2)i，复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数，则m−2=0，解得：m=2，所以则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的充要条件故选：C6、答案：D分析：利用复数的乘法可求(2+2i)(1−2i).(2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i，故选：D.7、答案：A分析：根据复数的几何意义，可得z1=2+i,z2=1+bi，根据复数的运算法则，即可得答案.由题意得：z1=2+i,z2=1+bi，所以z1z2=(2+i)(1+bi)=2+2bi+i+bi2=2−b+(2b+1)i，又z1z2是纯虚数，所以{2−b=02b+1≠0，解得b=2，故选：A.小提示：本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.8、答案：C分析：根据对称求得点B 的坐标，从而OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 求出对应的复数由题意，得A (12,−√32)，B (−12,−√32)，所以向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−12−√32i 所以向量OB⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数的共轭复数为−12+√32i ，故选：C ．9、答案：AD解析：A ．根据共轭复数的定义判断.B.若z 1−z 2=0，则z 1=z 2，z 1与z 2关系分实数和虚数判断.C.若z 1+z 2∈R ，分z 1,z 2可能均为实数和z 1与z 2的虚部互为相反数分析判断.D. 根据z 1−z 2=0，得到z 1=z 2，再用共轭复数的定义判断.A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若z 1−z 2=0，则z 1=z 2，当z 1,z 2均为实数时，则有z 1=z 2，当z 1，z 2是虚数时，z 1≠z 2，所以B 是假命题；C ．若z 1+z 2∈R ，则z 1,z 2可能均为实数，但不一定相等，或z 1与z 2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若z 1−z 2=0，则z 1=z 2，所以z 1与z 2互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD小提示：本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10、答案：BD分析：根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可. 因为z =21+i =2(1−i )(1+i )(1−i )=1−i ，所以z 的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为z =1+i ，故AC 错误，BD 正确.故选：BD11、答案：AD分析：利用向量的加减法和复数模的结合意义，得到OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再由线段AB 的中点M 对应的复数为4+3i ，得到|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2|OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=10，即可求解. 如图所示，由向量的加法及减法法则可知OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，又由复数加法及减法的几何意义可知|z 1+z 2|对应OC⃑⃑⃑⃑⃑ 的模，|z 1−z 2|对应BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 的模，因为|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则OA⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，又因为线段AB 的中点M 对应的复数为4+3i ，所以|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2|OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=10，所以|z 1|2+|z 2|2=|OA⃑⃑⃑⃑⃑ |2+|OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |2=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |2=100．故选：AD.12、答案：-2分析：求出z 3=1，算出z 2017=z ，再利用复数的乘法和乘方的运算律计算即可.(z −1)(z 2+z +1)=z 3−1=0z 3=1，故z 2017=z 3×672⋅z =z又z 2(z 2+z +1)=0故z 4+z 3+z 2=0故z 4+z 3=−z 2=z +1z 2017+z 2018+z 2020+z 2021=z 2017(1+z +z 3+z 4) =z 2017(1+z +1+z) =z(2+2z)=2(z +z 2)=−2 所以答案是：-2小提示：本题考查复数的n次幂运算，熟练复数乘法和乘方的运算律是求解的关键.需要掌握一定的整体代换技巧和转化与化归数学思想.13、答案：1−5i##−5i+1分析：根据复数代数形式的运算法则即可解出．11−3i 1+2i =(11−3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=11−6−25i5=1−5i．所以答案是：1−5i．。

全国名校高中数学题库--主干知识点

1 2a + 1
2
对称，求 b 的最小值．
练习，1．不等式 ax + bx + c > 0 的解集为 ( 2,3) ，则 cx + bx + a < 0 的解集为 ______ 2 已知 f ( x ) 是定义在 ( −∞，+∞ ) 上的减函数，若 f ( m 2 − sin x ) ≤ f ( m + 1 + cos 2 x ) 对 x ∈ R 恒成立，求实数 m 的取值范围 3 函数 f ( x ) = ax + b (a ≠ 0) 有一个零点为 2，则 g ( x ) = bx 2 + ax 的零点是
b 的取值 a
3
例 3．已知函数 f ( x) = ax 2 + bx 满足条件 f ( − x + 5) = f ( x − 3) ，方程 f ( x) = x 有等根。是否存在 m, n( m < n) 使得定义域和值域分别为 [ m, n] 和 [3m,3n] ，说明理由。
例 5．对于函数 f ( x) ，若存在 x 0 ∈ R ，使 f ( x 0 ) = x0 成立，则称 x 0 为 f ( x ) 的不动点，已知函数 f ( x) = ax 2 + (b + 1) x + (b − 1), ( a ≠ 0) （1）当 a = 1, b = −2 时，求函数 f ( x) 的不动点；（2）若对任意实数 b ，函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若 y = f ( x ) 的图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f ( x) 的不动点，且 A、B 两点关于直线 y = kx +

高中数学知识点完全总结(打印版)

高中数学知识点总结一、三角函数【1】以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=yr。

【2】同角三角函数平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ；同角三角函数倒数关系：1=⋅ααctg tg ，1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα；同角三角函数相除关系：αααcos sin =tg ，αααsin cos =ctg 。

【3】函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

【4】三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。

【5】=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos =±)(βαtg βαβαtg tg tg tg ⋅± 1【6】二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2⋅cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-tg2α=αα212tg tg -【7】三倍角公式是：sin3α=αα3sin 4sin 3-cos3α=ααcos 3cos 43-【8】半角公式是：sin2α=2cos 1α-±cos2α=2cos 1α+±tg2α=ααcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。

【高考必备】高中数学总复习题总结(完整版附答案)

高中数学总复习题总结第一章集合与函数概念一、选择题1．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧1＝2－3－|),(x y y x ， P ＝{(x ，y )| y ≠x ＋1}，那么C U (M ∪P )等于( )．A ．∅B ．{(2，3)}C ．(2，3)D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1}2．若A ＝{a ，b }，B ⊆A ，则集合B 中元素的个数是( )． A ．0B ．1C ．2D ．0或1或23．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1B ．0C ．0或1D ．1或24．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( )． A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋75. 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )．A ．b ∈(－∞，0)B ．b ∈(0，1)C ．b ∈(1，2)D ．b ∈(2，＋∞)6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧00＋＋2 x c x c bx x ，，≤，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．47．设集合A ＝{x | 0≤x ≤6}，B ＝{y | 0≤y ≤2}，下列从A 到B 的对应法则f 不是映(第5题)＞射的是( )．A ．f :x →y ＝21x B ．f :x →y ＝31xC ．f :x →y ＝41x D ．f :x →y ＝61x 8．有下面四个命题：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )．其中正确命题的个数是( )． A ．1B ．2C ．3D ．49．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( )． A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减10．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1)D ．f (4)＜f (2)＜f (1)二、填空题11．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是．12．若集合A ＝{x | x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝___，b ＝___． 13．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元．14．已知f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝；f (x －2)＝． 15．y ＝(2a －1)x ＋5是减函数，求a 的取值范围．16．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈［0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x∈(－∞，0］时，f(x)＝．三、解答题17．已知集合A＝{x∈R| ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R．①若A是空集，求a的范围；②若A中只有一个元素，求a的值；③若A中至多只有一个元素，求a的范围．18．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a ，2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值．19．证明f (x )＝x 3在R 上是增函数．20．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3x 4＋21x ；(2)f (x )＝(x －1)xx－＋11； (3)f (x )＝1－x ＋x －1；(4)f (x )＝12－x ＋21x －．高一数学必修1第二章单元测试题（A 卷）班级姓名分数一、选择题：（每小题5分，共30分）。

(精选试题附答案)高中数学第八章立体几何初步知识点题库

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步知识点题库单选题1、足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A，B，C，D满足AB=BC=AD=BD=CD=√2dm，二面角A−BD−C的大小为2π3，则该足球的体积为（）A．7√42π27dm3B．35√2π27dm3C．14π27dm3D．32√2π27dm3答案：A分析：画出图形，O为线段BD的中点，则可得∠AOC为二面角A−BD−C的平面角，取N,M分别是线段AO,CO上靠近点O的三等分点，则可得N,M分别为△ABD和△CBD的外心，过N,M分别作平面ABD和平面CBD的垂线EN,EM，交于点E，则点E为三棱锥A−BCD外接球的球心，即为足球的球心，所以线段EB为球的半径，然后结已知数据求出EB，从而可求出足球的体积根据题意，三棱锥A−BCD如图所示，图中点O为线段BD的中点，N,M分别是线段AO,CO上靠近点O的三等分点，因为AB=BC=AD=BD=CD=√2dm，所以△ABD和△CBD均为等边三角形，因为点O为线段BD的中点，所以AO⊥BD,CO⊥BD，所以∠AOC为二面角A−BD−C的平面角，所以∠AOC=2π3，因为△ABD和△CBD均为等边三角形，点O为线段BD的中点，所以AO,CO分别为△ABD和△CBD的中线，因为N,M分别是线段AO,CO上靠近点O的三等分点，所以N,M分别为△ABD和△CBD的外心，过N,M分别作平面ABD和平面CBD的垂线EN,EM，交于点E，则点E为三棱锥A−BCD外接球的球心，即为足球的球心，所以线段EB为球的半径，因为AO⊥BD,CO⊥BD，AB=BC=AD=BD=CD=√2dm，所以AO=CO=√62dm，则NO=MO=√66dm，因为AO=CO,EO=EO,∠ENO=∠EMO=90°，所以△ENO≌△EMO，所以∠EON=∠EMO=12∠AOC=π3，在直角△EMO中，EM=OMtanπ3=√22，因为EM⊥平面BCD，BM⊂平面BCD，所以BM⊥EM，因为M是△CBD的外心，所以BM=√63，所以EB=√EM2+BM2=√76,所以V=43π⋅EB3=43π(√76)3=7√4227π，所以足球的体积为7√4227πdm，故选：A小提示：关键点点睛：此题考查三棱锥外接球问题，考查计算能力，解题的关键是由题意求出三棱锥外接球的球心，从而可确定出球的半径，然后计算出半径即可，考查空间想象能力，属于较难题2、在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，AD =3，AA 1=5，点P 在长方体的面上运动，且满足AP =5，则P 的轨迹长度为（）A ．12πB ．8πC ．6πD ．4π答案：C分析：由题设，在长方体表面确定P 的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度.如图，P 在左侧面的轨迹为弧A 1N ⌢，在后侧面的轨迹为弧NC ⌢，在右侧面的轨迹为弧MC ⌢，在前侧面内的轨迹为弧A 1M ⌢.易知|NC ⌢|=14π×4×2=2π，|MC ⌢|=14π×3×2=3π2，又sin∠A 1AN =cos∠NAD =35，cos∠A 1AM =sin∠MAB =35， ∴∠A 1AN +∠A 1AM =π2，则|A 1N ⌢|+|A 1M ⌢|=14π×5×2=5π2，∴P 的轨迹长度为6π，故选：C.3、在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）．①α、β都垂直于平面r，那么α∥β②α、β都平行于平面r，那么α∥β③α、β都垂直于直线l，那么α∥β④如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0B．1C．2D．3答案：D分析：在正方体中观察可判断①；由平面平行的传递性可判断②；由线面垂直的性质可判断③；根据面面平行判定定理可判断④.如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误；由平面平行的传递性可知②正确；由线面垂直的性质可知③正确；过直线l做平面γ与α、β分别交于l1,l2，过直线m做平面χ与α、β分别交于m1,m2，因为l∥α，l∥β，所以l∥l1,l∥l2，所以l1∥l2因为l1⊄β，l2⊂β，所以l1∥β同理，m1∥β又l、m是两条异面直线，所以l1,l2相交，且l1⊂α，m1⊂α所以α∥β，故④正确.故选：D4、在△ABC 中，AB =1，AC =2，∠BAC =60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则m +n 的最小值是（）A ．−1B ．−12C ．−13D ．−16 答案：B分析：先解三角形得到△ABC 为直角三角形，建立直角坐标系，通过AP⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示出m +n ，借助三角函数求出最小值.由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC = 1+4−2×1×2×cos 60∘=3，所以BC =√3，所以AB 2+BC 2=AC 2，所以AB ⊥BC ．以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A （－1，0），C （1，0），B （－12，√32），设P 的坐标为(cosθ,sinθ)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,√32)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ = (cosθ+1,sinθ)，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(cosθ+1,sinθ)=m (12,√32)+ n (2,0)=(m 2+2n ,√32m)，所以m =2√33sin θ，n =cos θ2+12−√36sin θ，所以m +n =2√33sin θ+cos θ2+12−√36sin θ =√32sin θ+cos θ2+12=sin (θ+π6)+12≥−1+12=−12，当且仅当sin (θ+π6)=−1时，等号成立．故选：B．5、已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2B．94πR2C．83πR2D．πR2答案：B分析：根据圆柱的表面积公式以及二次函数的性质即可解出．设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为ℎ，所以在轴截面三角形中，如图所示：由相似可得，rR =3R−ℎ3R，所以，ℎ=3R−3r，即圆柱的全面积为S=2πr2+2πrℎ=2πr2+2πr(3R−3r)=2π(−2r2+3rR)=2π[−2(r−34R)2+98R2]≤9π4R2，当且仅当r=34R时取等号．故选：B．6、如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．23B．24C．26D．27答案：D分析：作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.该几何体由直三棱柱AFD−BHC及直三棱柱DGC−AEB组成，作HM⊥CB于M，如图，因为CH=BH=3,∠CHB=120∘，所以CM=BM=3√32,HM=32，因为重叠后的底面为正方形，所以AB=BC=3√3,在直棱柱AFD−BHC中，AB⊥平面BHC，则AB⊥HM, 由AB∩BC=B可得HM⊥平面ADCB，设重叠后的EG与FH交点为I,则V I−BCDA=13×3√3×3√3×32=272,V AFD−BHC=12×3√3×32×3√3=814则该几何体的体积为V=2V AFD−BHC−V I−BCDA=2×814−272=27.故选：D.7、下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3答案：A分析：①②③④均可举出反例.①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；②如图2，满足两侧面ABB1A1与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；③如图3，四边形ACC1A1为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．故选：A8、下列条件中，能得出直线m与平面α平行的是（）A．直线m与平面α内的所有直线平行B．直线m与平面α内的无数条直线平行C．直线m与平面α没有公共点D．直线m与平面α内的一条直线平行答案：C分析：根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.对A，直线m与平面α内的所有直线平行不可能，故A错误；对B，当直线m在平面α内时，满足直线m与平面α内的无数条直线平行，但m与α不平行；对C，能推出m与α平行；对D，当直线m在平面α内时，m与α不平行.故选：C.9、下列说法正确的有（）①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形.A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A解析：根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；④中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以④是正确的.故选：A10、如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=1，AB=BC=√3，cos∠ABC=1，P是A1B上的一动点，3则AP+PC1的最小值为（）A．√5B．√7C．1+√3D．3答案：B分析：连接BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′，判断出当A、P、C′三点共线时，则AC′即为AP+PC1的最小值.分别求出∠AA1C′=120°,AA1=1,A1C′=2,利用余弦定理即可求解.连接BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′，则有AP+PC1≥AC′.当A、P、C′三点共线时，则AC′即为AP+PC1的最小值.，由余弦定理得：AC=√AB2+BC2−2AB·BCcosB=在三角形ABC中，AB=BC=√3，cos∠ABC=13√3+3−2×3×1=2,所以A1C1=2，即A1C′=23在三角形A1AB中，AA1=1，AB=√3，由勾股定理可得：A1B=√AA12+AB2=√1+3=2,且∠AA1B=60°. 同理可求：C1B=2因为A1B=BC1=A1C1=2，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠BA1C1=60°，所以在三角形AA1C′中，∠AA1C′=∠AA1B+∠BA1C′=120°,AA1=1,A1C′=2,)=√7.由余弦定理得：AC′=√1+4−2×1×2×(−12故选B.小提示：（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.填空题11、达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1，则点F到直线QC的距离是__________.答案：√2分析：根据题意，求得△FQC的三条边长，在三角形FQC中求边QC边上的高线即可.根据题意，延长QN,BA交于点M，连接QF,FC，如下所示：在△QFC中，容易知：QF=√QN2+NF2=√12+(√2)2=√3；同理FC=√12+(√5)2=√6，QC=√QM2+MC2=√22+(√5)2=3，满足QF2+FC2=QC2，设点F到直线QC的距离为d，由等面积法可知：=√2，即点F到直线QC的距离是√2.QF×FC=QC×d，解得d=√3×√63所以答案是：√2.12、三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为______个．答案：1或3分析：讨论三条平行线是否共面，即可确定平面的个数.当三条平行线不共面时，如下图示可确定3个平面；当三条平行线共面时，如下图示确定1个平面.所以答案是：1或313、已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.答案：2分析：求出底面半径扩大为原来的2倍，从而得到侧面积扩大为原来的2倍.设圆柱的高为ℎ，底面半径为r，则体积为πr2ℎ，体积扩大为原来的4倍，则扩大后的体积为4πr2ℎ，因为高不变，故体积4πr2ℎ=π(2r)2ℎ，即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为2πrℎ，扩大后的圆柱侧面积为2π⋅2rℎ= 4πrℎ，故侧面积扩大为原来的2倍.所以答案是：214、在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件___________时，A1P//平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)答案：P是CC1中点分析：根据线面平行的性质，只需在侧面BCC1B1上找到一点，A1P//平面BCD上的任一条线即可，可以取A1P//CD，此时P是CC1中点.取CC1中点P，连结A1P，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P//CD，∵A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P//平面BCD所以答案是：P是CC1中点.15、如图所示，有边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，P为正方体表面的一个动点．若三棱锥A−PBC的体积，则|PD1|的取值范围是____________．为12答案：[54,3√174]分析：根据三棱锥A−PBC的体积求出点P到平面ABC的距离ℎ，由此确定点P的轨迹，结合图形即可得出答案. 设点P到平面ABC的距离为ℎ，则V P−ABC=13S△ABC⋅ℎ=23ℎ=12，所以ℎ=34，如图在AA1上取点E，使得AE=34，过点E作平面EFGH∕∕平面ABCD，F,G,H分别在BB1,CC1,DD1上，故点P在四边形EFGH的边上，则当点P在点H的位置时，|PD1|最小，为54，当点P在点F的位置时，|PD1|最大，为√4+4+2516=3√174，所以|PD1|的取值范围是[54,3√174].所以答案是：[54,3√174].解答题16、如图，已知矩形CDEF和直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ADC＝90°，DE＝DA，M为AE的中点.（1）求证：AC∥平面DMF；（2）求证：BE⊥DM.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据矩形的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可.（1）如图，连结EC交DF于点N，连结MN.因为CDEF为矩形，所以EC，DF相互平分，所以N为EC的中点.又因为M为EA的中点，所以MN∥AC.又因为AC⊄平面DMF，且MN⊂平面DMF.所以AC∥平面DMF.（2）因为矩形CDEF，所以CD⊥DE.又因为∠ADC＝90°，所以CD⊥AD.因为DE∩AD＝D，DE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE.又因为DM⊂平面ADE，所以CD⊥DM.又因为AB∥CD，所以AB⊥DM.因为AD＝DE，M为AE的中点，所以AE⊥DM.又因为AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，所以MD⊥平面ABE.因为BE⊂平面ABE，所以BE⊥MD.17、如图：ABCD是正方形，O为正方形的中心，PO⊥底面ABCD，点E是PC的中点.求证：(1)PA//平面BDE；(2)平面PAC⊥平面BDE.答案：(1)证明见解析(2)证明见解析分析：（1）连接OE，则由三角形中位线定理可得OE//PA，再由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得BD⊥AC，BD⊥PO，由线面垂直的判定定理可证得BD⊥面PAC，再由面面垂直的判定定理可证得结论（1）证明：连接OE，∵ABCD为正方形，∴O为AC中点，又∵E为PC中点，∴OE//PA，OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，∴PA//面BDE，（2）证明：∵ABCD为正方形，BD⊥AC，又∵PO⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥PO，∵PO∩AC=O，PO⊂面PAC，AC⊂面PAC，∴BD⊥面PAC，∵BD⊂面BDE，∴面BDE⊥面PAC，18、如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M，N分别为AC，PD的中点．（1）求证：MN∥平面ABP；（2）若BP⊥PC，求证：平面ABP⊥平面APC．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即连结BD，证明MN//BP；（2）要证明面面垂直，需证明线面垂直，利用垂直关系转化，证明PC⊥平面ABP.证明：（1）连结BD，由已知，M为AC和BD的中点，又∵N为PD的中点，∴MN∥BP．∵MN⊄平面ABP，BP⊂平面ABP，∴MN∥平面ABP．（2）∵AB⊥BP，AB⊥BC，BP∩BC＝B，∴AB⊥平面BPC．∵PC⊂平面BPC，∴AB⊥PC．∵BP⊥PC，AB∩BP＝B，∴PC⊥平面ABP．∵PC⊂平面APC，∴平面ABP⊥平面APC．19、用符号表示下列语句，并画出图形.（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.答案：（1）α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B；图象见解析；（2）A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB；图象见解析分析：由题意将自然语言转化为符号语言,根据点线面的关系,借用集合符号,表示即可.（1）用符号表示：α∩β＝l,a∩α＝A,a∩β＝B，如图.（2）用符号表示：A∈α,B∈α,a∩α＝C,C∉AB，如图.小提示：本题主要考查点、线、面的关系的符号表达,属于基础题.。

高中数学知识点总结全2024

高中数学知识点总结全2024一、集合与函数概念1. 集合的基本概念集合的定义：集合是某些确定的、互不相同的对象的全体。

集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。

集合间的关系：子集、真子集、相等。

集合的运算：并集、交集、补集。

2. 函数的概念函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

函数的三要素：定义域、对应关系、值域。

函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、最值。

3. 函数的表示方法解析法：用数学式子表示函数关系。

表格法：用表格形式表示函数关系。

图象法：用图象表示函数关系。

二、基本初等函数1. 一次函数定义：形如y=kx+b（k≠0）的函数。

性质：图象是一条直线，k为斜率，b为截距。

2. 二次函数定义：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

性质：图象是一条抛物线，a决定开口方向和大小，顶点坐标为(b/2a, cb²/4a)。

3. 指数函数定义：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数。

性质：图象过点(0,1)，a>1时单调递增，0<a<1时单调递减。

4. 对数函数定义：形如y=log_a(x)（a>0且a≠1）的函数。

性质：图象过点(1,0)，a>1时单调递增，0<a<1时单调递减。

5. 三角函数正弦函数：y=sin(x)，周期为2π，图象为波形曲线。

余弦函数：y=cos(x)，周期为2π，图象为波形曲线。

正切函数：y=tan(x)，周期为π，图象为渐近线间的曲线。

三、立体几何1. 空间几何体的结构多面体：由若干个多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥。

旋转体：由平面图形绕某条直线旋转形成的几何体，如圆柱、圆锥、球。

2. 空间几何体的三视图主视图：从正面看到的图形。

俯视图：从上面看到的图形。

左视图：从左面看到的图形。

高中数学数列知识点总结与题库

第六章数列二、重难点击本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。

注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

知识网络四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系1．∑==++++=ni in n a a a a a S 1321⋯2．⎩⎨⎧≥−==−2111n S S n S a n n n 课前热身3．数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832−=,则数列各项中最小项是(B )A．第４项B．第５项C．第６项D．第７项4．已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2,则实数λ的取值范围是),3(+∞−5．数列{}n a 的前n 项和142+−=n n S n ,，则⎩⎨⎧≥−=−=25212n n n a n题型一归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式⑴7，77，777，7777，…⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…解析：⑴将数列变形为),110(97−×),110(972−)110(973−，,⋯)110(97−n ⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。

可得数列的通项公式为2)1(1nn n a −++=点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

题型二应用⎩⎨⎧≥−==−)2()1(11n S S n S a n n n 求数列通项例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式.⑴23−=nn S 解析：⑴当123,1111=−===S a n 时，当)23()23(,211−−−=−=≥−−n nn n n S S a n 时132−⋅=n 又11=a 不适合上式，故⎩⎨⎧≥⋅==−)2(32)1(11n n a n n 三、利用递推关系求数列的通项【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式⑴141,21211−+==+n a a a n n 解析：⑴因为14121−+=+n a a n n ，所以121121(2114121+−−=−=−+n n n a a n n 所以)3111(2112−=−a a )5131(2123−=−a a 43111()257a a −=−…，…，1111()22321n n a a n n −−=−−−以上)1(−n 个式相加得)1211(211−−=−n a a n 即：24342411−−=−−=n n n a n 点拨：在递推关系中若),(1n f a a n n +=+求n a 用累加法，若),(1n f a a nn =+求n a 用累乘法，若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第六章数列二、重难点击本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。

知识网络四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==++++=ni in n aa a a a S 1321Λ2．⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 课前热身3．数列{}n a 的通项公式为 n n a n 2832-=,则数列各项中最小项是( B )A ．第４项B ．第５项C ．第６项D ．第７项4．已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2,则实数λ的取值范围是),3(+∞-5．数列{}n a 的前n 项和142+-=n n S n ,，则⎩⎨⎧≥-=-=25212n n n a n题型一归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，…⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 解析：⑴将数列变形为),110(97-⨯),110(972-)110(973-，,Λ)110(97-n⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。

可得数列的通项公式为2)1(1nn n a -++=点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

题型二应用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 求数列通项例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式.⑴23-=nn S解析：⑴当123,1111=-===S a n 时，当)23()23(,211---=-=≥--n nn n n S S a n 时132-⋅=n又11=a 不适合上式，故⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(11n n a n n三、利用递推关系求数列的通项【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴141,21211-+==+n a a a n n解析：⑴因为14121-+=+n a a n n ，所以)121121(2114121+--=-=-+n n n a a n n所以)3111(2112-=-a a)5131(2123-=-a a43111()257a a -=-…，…，1111()22321n n a a n n --=---以上)1(-n 个式相加得)1211(211--=-n a a n即：24342411--=--=n n n a n 点拨：在递推关系中若),(1n f a a n n +=+求n a 用累加法，若),(1n f a a nn =+求n a 用累乘法，若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。

课外练习3设1212111++++++=n n n a nΛ，(*∈N n )，则n n a a 与1+的大小关系是( C ) A ．n n a a >+1 B ．n n a a =+1 C ．n n a a <+1 D ．不能确定解：因为0221321113212211<+-+=+-+++=-+n n n n n a a n n所以n n a a <+1，选Ｃ．二、填空题5．已知数列{}n a 的前n 项和，142+-=n n S n 则⎩⎨⎧≥-=-=)2(,52)1(,2n n n a n7．已知数列{}n a 的通项9998--n n （*∈N n ），则数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是910a a ，解：构造函数99989919998--+=--=x x x y由函数性质可知，函数在)99(，-∞上递减，且1<y 函数在），＋∞99(上递增且1>y最小最大，），又910921301211101109(99a a a a a a a a a ∴>>>>>>>>>∴∈ΛΛ三、解答题等差数列知识要点2．递推关系与通项公式为常数）即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),(1+==-+=),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

３．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2ca b+=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。

４．前n 项和公式2)(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+=),()(,)2(22212为常数即特征：B A BnAn S Bn An n f S n da n d S n n n +=+==-+=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。

⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法：),(为常数b k bkn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法：),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列课前热身2．等差数列{}n a 中，)(31,1201191210864Ca a a a a a a 的值为则-=++++A ．14B ．15C ．16D ．171651203232)(32)2(31318999119=⋅==-=+-=-a d a d a a a a。

3．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。

解：0912129=-=S S S S ，Θ解003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，，∴{}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。

4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ΛΛ，，，，，1001102030102010S S S S S S S ---成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ，前10项的和为10100=S11022101010010221029101010011010100110-=-⋅++=∴+=--=∴=⨯⨯+⨯∴）（又，S DS S S D D 10210102)10(29840242)1(129850max 22==+--=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+--=y n n n n n n n n y 时，所以当６．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，， ①求出公差d 的范围，②指出1221S S S ，，，Λ中哪一个值最大，并说明理由。

d )(n f a n =n n a n S {}n a "2"≥n解：①)(6)(610312112a a a a S +=+=3724308240)82(213)(2132)(1372407240)72(63113131133-<<--<∴<+∴<+=+=+=->∴>+∴>+=d d d d a a a a a S d d d a 从而又 ②最大。

，6677137612000130)(6S a a a S a a S ∴><∴<=>+=Θ课外练习一、选择题1．已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( D )32313132．．．．D C B A -- 2．已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于（ A ）A ．15B ．30C ．31D ．64151212497=∴+=+a a a a a Θ解：二、填空题3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-==544．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则5．设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点ΛΛ,),2,1(321F P F P F P i P i ，，使=组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-10100101，，解：椭圆的焦点F 到椭圆上的点最大、最小距离分别为）和（17)17(-+，由题意得：1010010101012011217)117≤<<≤-∴≠≤∴≥--=∴+=-+-d d d d n n d d n 或，又（）（Θ 三、解答题6．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，①求通项n a ；②若n S =242，求n 解：d n a a n )1(1-+=102212501930950301112010+=∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+==n a d a d a d a a a n 解方程组，由2)1(1dn n na S n -+=，n S =242 舍去）或解得(221124222)1(12-===⋅-+∴n n n n n 7．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？解：①设n 分钟后第一次相遇，依题意有：舍去），解得(2077052)1(2-===+-+n n n n n n 故第一次相遇是在开始运动后7分钟。

②设n 分钟后第二次相遇，则：舍去），解得(281570352)1(2-==⨯=+-+n n n n n n 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由。