数学建模—农作物施肥的优化设计教学内容

数学建模—农作物施肥的优化设计

大学生数学建模题目：施肥效果分析

学院电气工程学院

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农作物施肥的优化设计

摘要

本文在合理的假设之下，通过对实验数据的分析，建立了能够反映施肥量与农作物产量的关系模型，据此求得在保证一定产量的同时，施用肥料最少。

首先是对实验数据进行了较为直观的分析，可知N肥、P肥、K肥施加不同量均对土豆、生菜的产量造成一定影响，且施N肥过多会烧苗，会使土豆和生菜减产。其次，模型一，我们对实验数据运用Excel进行拟合，得到各肥料的施肥量与产量的拟合曲线，从而获得对应函数表达式。但由于无法对模型进行误差分析，我们再次运用一元多项式回归方法建立模型进行求解，此时得到不同肥料的施肥量与产量的关系。然后，模型二，利用Matlab软件建立模型，求出N肥、P肥、K肥的施肥量关于土豆及生菜的最优解：当氮的施肥量为290.2542时使得土豆产量达到最优解为43.34615;当磷的施肥量为303时使得土豆产量达到最优解为42.7423；当钾的施肥量为36.0742时使得土豆产量达到最优解为44.51718。当氮的施肥量为290.2542时使得生菜产量达到最优解为43.34615；当磷的施肥量为290.2542时使得生菜产量达到最优解为43.34615；当钾的施肥量为290.2542时使得生菜产量达到最优解为43.34615。

最后我们就应用价值方面对模型做出改进。由于实验数据中各个自变量与因变量之间并不是一一对应的关系，所以没有得出各肥料的施肥量与产量的交叉关系，仅得到单一变量的对应关系。

关键字：一元多项式回归 Excel拟合 Matlab

一、问题的提出

某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha表示公顷， t表示吨，kg表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做实验时，P与K的施肥量分别取为196kg／ha与372kg／ha。

试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估计。

土豆： N P K

生菜： N P K

二、问题的分析

利用散点图对所拟合问题的曲线类型做出判断。当需要拟合的两变量之间的函数关系式，首先要确定所求函数对应曲线的类型，然后根据曲线类型对所求函数的对应关系进行假设，并利用已知数据计算出所需参数，最终确定变量之间的函数关系。

我们可以分别绘制出土豆和生菜的产量与施肥量的散点图，从图像的角度判断函数关系，再根据题目所给数据确定最终的函数。

三、问题的假设与符号说明

2.1 模型的合理假设

（1）土壤本身已含有一定数量的氮、磷、钾肥，即具有一定的天然肥力。

（2）每次实验是独立进行的，互不影响。

（3）研究所的实验是在相同的实验条件(实验结果不受温度，水，光照等因素影响)下进行的，产量的变化是由施肥量的变化引起的。

（4）当一个营养素的施肥量变化时，另两个营养素的施肥量总保持在第七水平上不变。

（5）所给数据中无较大偏差点，无需剔除。

2.2模型的符号说明

y：土豆产量

n：对于土豆氮的施肥量

1

p：对于土豆磷的施肥量

1

k：对于土豆钾的施肥量

1

x：生菜产量

n：对于生菜氮的施肥量

2

p：对于生菜磷的施肥量

2

k：对于生菜钾的施肥量

2

四、模型的建立与求解土豆的产量与施肥量的散点图如下：

土豆产量－氮施肥量散点图

土豆产量－磷施肥量散点图

土豆产量－钾施肥量散点图生菜的产量与施肥量的散点图如下：

生菜产量－氮施肥量散点图

生菜产量－磷施肥量散点图

生菜产量－钾施肥量散点图

所用matlab 程序为：

k1=xlsread(' E:\《数学建模课程设计》实验报告\shuju','sheet1','$L$3:$L$12');

y31=xlsread(' E:\《数学建模课程设计》实验报告\shuju','sheet1','$M$3:$M$12'); plot(k1,y31,'+')

由散点图猜测土豆产量y 与氮施肥量1n 的关系式为：111211c n b n a y ++=；y 与磷施肥量1p 的关系式为：212212c p b p a y ++=；y 与钾施肥量1k 的关系式为：()

13331k a e e b a y ⨯-=- 由matlab 解出：

a1=-0.0003 b1=0.1971 c1=14.7416 a2=-0.0001 b2=0.0719 c2=32.9161 a3=42.7 b3=0.56 c3=0.01 土豆产量与施肥量的关系图：

最佳施肥方案为第一个方案（328.44,245,465）所用程序为：

clear

clc

a1=-0.0003; b1=0.1971; c1=14.742;

a2=-0.0001; b2=0.0719; c2=32.916;

a3=42.7; b3=0.56; c3=0.01;

n=0:0.01:393;

p=0:0.01:686;

k=0:0.01:652;

y1=(a1*n.*n+b1*n+c1)*800;

y11=max(y1)

for i=1:length(n)

if abs(y1(i)-y11)<=0.001

q1=n(i)