专题07几何图形动点运动问题(解析版)

专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【答案】（1）＝，见解析；（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立，见解析；（3）线段CP的长为1或3 【解析】【分析】（1）证出∠BAC＝∠DAF＝90°，得出∠BAD＝∠CAF；可证△DAB≌△F AC（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝45°，得出∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC＝AG，易证△GAD≌△CAF（SAS），得出∠ACF＝∠AGD ＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（3）分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，求出AQ＝CQ＝4．即DQ＝4﹣2＝2，易证△AQD∽△DCP，得出对应边成比例，即可得出CP＝1；②点D在线段BC延长线上运动时，同理得出CP＝3．【详解】（1）①解：∠BAD＝∠CAF，理由如下：∵四边形ADEF是正方形∴∠DAF＝90°，AD＝AF∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝∠CAF+∠DAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF故答案为：＝②在△BAD和△CAF中，AB ACBAD CAFAD AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD≌△CAF（SAS）∴CF＝BD∴∠B＝∠ACF∴∠B+∠BCA＝90°∴∠BCA+∠ACF＝90°∴∠BCF＝90°∴CF⊥BD（2）如图2所示：AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．理由如下：过点A作GA⊥AC交BC于点G则∠GAD＝∠CAF＝90°+∠CAD∵∠ACB＝45°∴∠AGD＝45°∴AC＝AG在△GAD和△CAF中，AG ACGAD CAFAD AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°∴CF⊥BD．（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，①点D在线段BC上运动时，如图3所示：∵∠BCA＝45°∴△ACQ是等腰直角三角形∴AQ＝CQ＝22AC＝4∴DQ＝CQ﹣CD＝4﹣2＝2∵AQ⊥BC，∠ADE＝90°∴∠DAQ+∠ADQ＝∠ADQ+∠PDC＝90°∴∠DAQ＝∠PDC∵∠AQD＝∠DCP＝90°∴△DCP∽△AQD∴CPDQ＝CDAQ，即CP2＝24解得：CP＝1②点D在线段BC延长线上运动时，如图4所示：∵∠BCA＝45°∴AQ＝CQ＝4∴DQ＝AQ+CD＝4+2＝6∵AQ⊥BC于Q∴∠Q＝∠F AD＝90°∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D ∴∠ADQ＝∠AFC′则△AQD∽△AC′F∴CF⊥BD∴△AQD∽△DCP∴CPDQ＝CDAQ，即CP6＝24解得：CP＝3综上所述，线段CP的长为1或3．【名师点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________【答案】（1）AE=BD．∠APC=60°；（2）成立，见详解；（3）AE=BD【解析】【分析】（1）观察猜想：①证明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE=BD，∠CAE=∠BDC；②过点C向AE，BD作垂线，由三角形全等可得高相等，再根据角分线判定定理，推出PC平分∠APB，即可求出∠APC的度数；（2）数学思考：结论成立，证明方法类似；（3）拓展应用：证明△ACE≌△DCB（SAS），即可得AE=BD.【详解】解：（1）观察猜想：结论：AE=BD．∠APC=60°．理由：①∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB，∴∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD；②由①得∠EAC=∠BDC，∵∠AOC=∠DOP，∴∠APB=∠AOC+∠EAC=180°-60°= 120°．过过点C向AE，BD作垂线交于点F与G∵由①知△ACE≌△DCB∴CF=CG∴CP为∠APB的角平分线∴∠APC=12APB∠=60°；（2）数学思考：结论仍然成立．①∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB，∴∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD；②由①得∠AEC=∠DBC，∴∠CEA+∠PEB=∠CBD+∠PEB=60°，∴∠APB=∠CBD+∠CBE+∠PEB=120°．过过点P向AC，BC作垂线交于点H与I∵由①知△ACE≌△DCB∴PH=PI∴CP为∠APB的角平分线∴∠APC=12APB∠=60°；（3）∵△ADC，△ECB都是等腰直角三角形，∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=90°，CE=CB，∴∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACD∴∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1P m，且四边形OADP的面积是ABC∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；（3）如图，动点M 从点C 出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB 运动，同时动点N 从点A 出发.以每秒2个单位的連度沿线段AO 运动，当N 到达O 点时，M ，N 同时停止运动，运动时间是t 秒()0t >，在M ，N 运动过程中.当5MN =时，直接写出时间t 的值.【答案】（1）()6,0A ，()0,4C （2）()18,1P -（3）1或3 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和直角坐标系中点的确定，即可求出A 点坐标和C 点坐标；（2）根据四边形OADP 的面积是ABC ∆面积的2倍，列出关于m 的方程，解方程即可求出点P 的坐标； （3）由题意表示出ON =6－2t ，MC =t ，过点M 作ON 得垂线ME 交OA 于点E ， 根据勾股定理列出关于t 的方程，求解即可. 【详解】（1）∵长方形OABC 的项点B 的坐标是(6,4)， ∴BC =6，AB =4， ∴OA =6，OC =4， ∴A （6,0）C （0,4）；（2）连接PD ，PO ，过点P 作PE ⊥OD ，交OD 于点E ，∵BC =6，AB =4； ∴11==64=1222ABC S AB BC ⋅⨯⨯△， ∵四边形OADP 的面积是ABC ∆面积的2倍， ∴四边形OADP 的面积是24， ∴==OADP S S S △OAD △ODP 四边形＋11=2422OA OD PE OD ⋅⋅＋ ∵D 为OC 中点， ∴OD =2;∵(),1P m 是第二象限的点， ∴PE =﹣m ， ∴可列方程为1162+2m =22⨯⨯⨯⨯（﹣）24；解得m =﹣18， ∴()18,1P -（3）如图，过点M 作ON 的垂线ME 交OA 于点E ，由题意得ON =6－2t ，MC =t ()3t ≤0＜； ∴ME =4，EN =6－3t 又∵5MN =，∴根据勾股定理可列方程为()22246t =5＋－3，解方程得t =1或t =3 ∴当t =1或t =3时，5MN =. 【名师点睛】本题考查了矩形的性质和直角坐标系中点的确定，勾股定理等，利用方程思想解决问题是解题的关键【举一反三】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连结PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求BQ的长，（用含t的代数式表示）（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值（3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值．【答案】（1）BQ＝5﹣t;（2）52秒;（3）t＝165.【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证△APO≌△CQO，则AP＝CQ，再利用BQ BC CQ=-即可得出答案；（2）由平行四边形性质可知AP∥BQ，当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，建立一个关于t的方程，解方程即可求出t的值；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长度，进而求出AO的长度，然后利用ABC的面积求出EF 的长度，进而求出OE的长度，而AE可以用含t的代数式表示出来，最后在Rt AOE中利用勾股定理即可求值.【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠P AO＝∠QCO，∵∠AOP＝∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝t，∵BC＝5，∴BQ＝BC-CQ=5﹣t；（2）∵AP ∥BQ ，当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 是平行四边形， 即t ＝5﹣t ，t ＝52， ∴当t 为52秒时，四边形ABQP 是平行四边形；（3）t ＝165，如图，在Rt △ABC 中， ∵AB ＝3，BC ＝5，∴AC 2222534BC AC -=-= ∴AO ＝CO ＝12AC ＝2， 1122ABCSAB AC BC EF == AB AC BC EF ∴=∴3×4＝5×EF ， ∴125EF =， ∴65OE =，∵OE 是AP 的垂直平分线， ∴AE ＝12AP ＝12t ，∠AEO ＝90°， 由勾股定理得：AE 2+OE 2＝AO 2，22216()()225t ∴+=165t ∴=或165t =-（舍去）∴当165t =秒时，点O 在线段AP 的垂直平分线上． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及动点问题，掌握平行四边形的判定及性质，以及勾股定理是解题的关键.类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒? （2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行? 【答案】（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行103秒；（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行20秒后,直线PQ ∥AB 【解析】 【分析】（1）首先设蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行t 秒，可得方程：10-t =2t ，解此方程即可求得答案；（2）首先设P 、Q 两只蚂蚁最快爬行x 秒后，直线PQ ∥AB ，可得方程：x -10=50-2x ，解此方程即可求得答案. 【详解】(1)设蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行t 秒， ∵四边形ABCD 是长方形， ∴∠B =90∘， ∴BP =BQ ，∵AP =tcm ,BQ =2tcm ,则PB =AB −AP =10−t (cm )， ∴10−t =2t ，解得：t=103，∴蚂蚁出发后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行103秒；(2)设P、Q两只蚂蚁最快爬行x秒后,直线PQ∥AB，∵AD∥BC，∴四边形ABPQ是平行四边形，∴AQ=BP，∴x−10=50−2x，解得：x=20，∴P、Q两只蚂蚁最快爬行20秒后,直线PQ∥AB；【名师点睛】此题考查了矩形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．【举一反三】如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(1，0)，C(-3，0)；(2)23(023)33S t tS t t⎧=≤<⎪⎨=-⎪⎩（＞）（3）存在，点Q的坐标为(-1，0)，(1，2)，(1，-2)，（123）.【解析】【分析】（1）根据方程求出AO 、AB 的长，再由AB ：AC =1:2求出OC 的长，即可得到答案； （2）分点M 在CB 上时，点M 在CB 延长线上时，两种情况讨论S 与t 的函数关系式； （3）分AQ =AB ,BQ =BA ,BQ =AQ 三种情况讨论可求点Q 的坐标. 【详解】 （1）x 2-3x +2=0， （x -1）（x -2）=0， ∴x 1=1，x 2=2， ∴AO =1，AB =2， ∴A (1，0)，OB ===，∵AB ：AC =1:2, ∴AC =2AB =4， ∴OC =AC -OA =4-1=3， ∴C (-3，0).(2)∵3OB OC ==,∴22222312BC OB OC =+=+=, ∵2222416,24AC AB ====, ∴222AC AB BC =+,∴△ABC 是直角三角形，且∠ABC =90︒， 由题意得：CM =t ，BC=当点M 在CB 上时，1)2S t t =⨯=(0t ≤<， ②当点M 在CB 延长线上时，12(2S t t =⨯-=-t＞.综上，(0 S t t S t t ⎧=≤<⎪⎨=-⎪⎩＞. （3）存在，①当AB 是菱形的边时，如图所示，在菱形AP 1Q 1B 中，Q 1O =AO =1，∴ Q 1(-1，0)，在菱形ABP 2Q 2中，AQ 2=AB =2，∴Q 2(1，2)， 在菱形ABP 3Q 3中，AQ 3=AB =2，∴Q 3(1，-2)； ②当AB 为菱形的对角线时，如图所示， 设菱形的边长为x ，则在Rt △AP 4O 中，22244AO P O AP += 2221(3)x x =+-，解得x =233， ∴Q 4（1，23）. 综上，平面内满足条件的点Q 的坐标为(-1，0)，(1，2)，(1，-2)，（1，23）.【点睛】此题考查一次函数的综合运用、解一元二次方程，解题过程中注意分类讨论.类型四 【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y ＝ax 2﹣34x +c 与x 轴相交于点A （﹣2，0）、B （4，0），与y 轴相交于点C ，连接AC ，BC ，以线段BC 为直径作⊙M ，过点C 作直线CE ∥AB ，与抛物线和⊙M 分别交于点D ，E ，点P 在BC 下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．【答案】（1）y＝38x2﹣34x﹣3；（2）P（3，﹣138）；（3）点P（2，﹣3），最大值为12【解析】【分析】（1）用交点式设出抛物线的表达式，化为一般形式，根据系数之间的对应关系即可求解；（2）根据（1）中的表达式求出点C（0，-3），函数对称轴为：x=1，则点D（2，-3），点E（4，-3），当△PDE 是以DE为底边的等腰三角形时，点P在线段DE的中垂线上，据此即可求解；（3）求出直线BC的表达式，设出P、H点的坐标，根据四边形ACPB的面积＝S△ABC+S△BHP+S△CHP进行计算，化为顶点式即可求解．【详解】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即﹣2a＝﹣34，解得：a＝38，故抛物线的表达式为：y＝38x2﹣34x﹣3；（2）当x=0时，y=-3，故点C的坐标为（0，﹣3），函数对称轴为：x＝242-+=1，∵CE∥AB∴点D（2，﹣3），点E（4，﹣3），则DE的中垂线为：x＝242＝3，当x＝3时，y＝38x2﹣34x﹣3＝﹣138，故点P（3，﹣138）；（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（4，0）C（0，﹣3）代入得：403k bb+=⎧⎨=-⎩解得：343kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线BC的表达式为：y＝34x﹣3，故点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，38x2﹣34x﹣3），则点H（x，34x﹣3）；四边形ACPB的面积＝S△ABC+S△BHP+S△CHP＝12⨯3×6+12⨯HP×OB＝9+12×4×（34x﹣3﹣38x2+34x+3）＝﹣34x2+3x+9=()23-2124x-+，∵﹣34＜0，故四边形ACPB的面积有最大值为12，此时，点P（2，﹣3）．【名师点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，掌握中点坐标公式及作辅助线的方法是关键．【举一反三】已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当t为32s时，点M是AB中点；（2）y与t的函数关系式是y28675t=-+；（3）t的值为52s；（4）不存在，理由见解析. 【解析】【分析】（1）求出BD＝3，根据BM BPAB BD=，即可求出时间t；（2）先判断出△MBP∽△ABD，进而得出MP，同理表示出QN和CN，然后利用梯形面积公式进行计算即可得出结论；（3）根据（2）中所求，结合面积之间的关系建立方程即可得出结论；（4）假设存在，先利用PM＝QN求出t，进而求出PM，PN，判断出PM≠PN即可得出结论．【详解】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵PM⊥BC，∴PM∥AD，∴BM BP AB BD=，∵点M 是AB 中点 ∴12BM AB =， ∴12BP BD =， ∵AB = AC ， ∴132BD CD BC ===， ∵BP =t ，∴132t =，解得：32t =， 即当t 为32s 时，点M 是AB 中点； （2）过点A 作AD ⊥BC 于点D ， ∵PM ∥AD ， ∴△MBP ∽△ABD ， ∴MP BPAD BD=，∵4AD =， ∴43MP t=， ∴43MP t =，同理，△QCN ∽△ACD ， ∴CQ QN CNAC AD CD==， ∵5CQ t =-， ∴5543t QN CN-==， ∴()445=455QN t t =--，()335=355CN t t =--， ∴32=63355PN t t t --+=-，∴y =S 四边形PNQM =()21144284362235575MP QN PN t t t t ⎛⎫⎛⎫+⋅=+-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即y 与t 的函数关系式是y 28675t =-+； （3）若S 四边形PNQM ：S △ABC ＝4：9，则y =49S △ABC ，。