子集真子集全集补集
2013版高考数学 1.2 第1课时 子集、真子集课件 苏教版必修1
第1课时 子集、真子集
1、理解子集、真子集的概念，并会判断和证明两个集合 的包含关系.(重点） 2、会判断和证明简单集合的相等关系.（难点） 3、能写出不超过四个元素的集合的子集、真子集.
1、集合的表示方法有哪些？ 解答:列举法，描述法,Venn图法. 2、根据集合中元素的多少可将集合分成几类？他们分别 是什么？ 解答:两类，分别是：有限集、无限集.
用Venn图表示两个集合
间的“包含”关系
B
A
1、你能判断下列集合之间的关系吗？
（1）A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
（2）A＝{正方形}，B＝{四边形}；
（3）A＝{直角三角形}，B＝{三角形}；
（4）A＝{a，b }，B＝{a，b，c，d，e}.
【解析】集合A均是集合B的子集，即A B
两种情况来进行讨论，这一点，必须要重视。
二、集合相等 探究:集合A={x|(x+1)(x+2)=0}与集合B={-1,-2}之间具 有怎样的关系? 【解析】可以看出集合A与集合B的元素完全相同,只是表
达形式不同.
一般地,如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过 来,集合B的每一个 元素也都是集合A的元素,那么我们就 说集合A等于集合B, 记作A=B.
A B
B A
AB
三、真子集 探究:对于一个集合A,在它的所有子集中,去掉集合A本 身, 剩下的子集与集合A的关系属于“真正的包含关系”, 这种包含关系我们该怎样来更精确地描述呢? 【解析】可以引入“真子集”的概念来描述这种“真包含” 关系.
真子集 : 如果 A B , 并且 A B , 那么集合 A 称为集合 B的真子集 （proper set） .
高中数学集合知识总结
高中数学知识总结高中数学集合知识总结集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学知识总结篇1一、集合间的关系1.子集：如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。
2.真子集：如果集合AB，但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。
3.集合相等：集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。
子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)，这时我们说集合是集合的子集，更多集合关系的知识点见集合间的基本关系二、集合的运算1.并集并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集三、高中数学集合知识归纳：1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
子集,全集和补集
第二课 子集 全集 补集一.概念（1）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 记作:A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A ， 当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A（2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．．一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B（3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A（4）子集与真子集符号的方向不同与同义；与B A B A A B B A ⊇⊆⊇⊆（5）空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集ΦA 若A ≠Φ，则Φ A 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆ （6）易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合（7） 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作A C S ，即C S A=},|{A x S x x ∉∈且（8）、性质：C S （C S A ）=A ，C S S=φ，C S φ=S（9）、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示二、讲解范例：例1（1） 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示 （2） 判断下列写法是否正确 ①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A例2 （1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ， Φ___{0}（2）若A={x∈R|x2-3x-4=0},B={x∈Z||x|<10},则A⊆B正确吗？⊆A，为什么？（3）是否对任意一个集合A，都有A（4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A，高一年级同学组成的集合B，则A、B的关系为. 例3 解不等式x+3<2，并把结果用集合表示出来.例4（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求C S A（2）若A={0}，求证：C N A=N*（3）求证：C R Q是无理数集A例5已知全集U＝R，集合A＝｛x｜1≤2x＋1＜9｝，求CU例6 已知S＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与CB的关系S三、练习：1.写出集合{1，2，3}的所有子集1、已知全集U＝｛x｜－1＜x＜9｝，A＝｛x｜1＜x＜a｝，若A≠φ，则a的取值范围是（）（A）a＜9（B）a≤9（C）a≥9（D）1＜a≤92、已知全集U，A是U的子集，φ是空集，B＝C U A，求C U B，C Uφ，C U U3、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求C U A.4、已知U=R，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求C U A.5、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求C U A .6、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=C U N ，N=C U P ，则M 与P 的关系是（ ）(A)M=C U P ， （B ）M=P ， （C ）M ⊇P ， （D ）M ⊆P .7、设全集U={2,3,322-+a a },A={b,2},A C U ={2b},求实数a 和b 的值.8、⑴写出集合{}1,2的所有子集：⑵写出集合{},,a b c 的所有真子集． (3)猜想若集合A 的元素有n 个，则A 的子集个数为多少？9、给出下面四个关系：①{}10,1,2∈；②{}{}10,1,2∈；③{}{}0,1,20,1,2⊆； ④{}0,1,2⊂∅≠；⑤{}{}2,0,10,1,2=，其中错误关系的序号是 。
子集、全集、补集
子集、全集、补集一、目的要求1．比照实数的相等与不相等的关系，了解集合的包含、相等关系的意义。
2．从集合的包含、相等关系出发，理解子集、真子集的概念。
二、内容分析1．在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集合而言，类似的关系就是“包含”与“相等”关系。
2．1．2节分为两部分，前一部分讲子集，后一部分讲全集与补集。
前一部分先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质。
后一部分是在子集概念的基础上讲述补集的概念，并介绍了全集的概念。
3．本节课讲1．2节的前一部分，重点是子集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。
三、教学过程复习提问：1．元素与集合之间的关系是什么？（元素与集合是从属关系，即对一个元素x与某集合A之间的关系为或）。
2．举例说明集合有哪些表示方法。
（列举法、描述法，还有图示法）提出问题：数与数之间存在着相等与不相等的关系，集合呢？看下面两个集合。
A＝{1,2,3}，B={1,2,3,4,5}。
它们之间有什么关系？新课讲解：不难看出，集合A是集合B的一部分，我们就说集合B包含A。
定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集。
记作（或）。
如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，就记作。
注：①定义中的集合为非空集合。
②与是同义的，与是互逆的。
规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合，有?。
拓广引申：包含的定义也可以表述成：如果由任x∈A，可以推出x∈B，那么（或）。
不包含的定义的表述是：对于两个集合A与B，如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素，那么。
提出问题：再看下面两个集合。
，B={－1，1}，它们之间有什么关系？新课讲解：不难看出，集合A与集合B的元素是相同的，我们就说集合A等于集合B。
1.2-子集、全集、补集讲义教学
1.2 子集、全集、补集要点一子集、真子集[重点]在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：正整数集中的所有元素都在自然数集中；自然数集中的所有元素都在整数集中；整数集中的所有元素都在有理数集中；有利数集中的所有元素都在实数集中.其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.1．子集(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A”.(2)举例：例如，{4，5} Z，{4，5} Q，Z Q，1-2-1来表示.(3)理解子集的定义要注意以下四点：①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x∈B，例如{-1，1} {-1，0，1，2}.②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属于集合A本身，记作A A.③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有 A.④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A= ，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B的子集.以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.(4)例题：例1设集合A={1，3，a }，B={1，a 2-a +1}，且A B，求a的值.解：∵A B，∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为-1，2.2．真子集 (1)定义：如果A B ，并且A≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作 “A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(2)举例：{1，2} {1，2，3}.(3)理解子集的定义要注意以下四点： ①空集是任何非空集合的真子集.②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，那么A C . ③若A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧A=B A B 且B AA ≠B A B.④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“ ”表示；集合 与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“ ”“ ”“ ”和“=”.(4)例题：例2 写出集合{a ,b ,c }的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集. 解：{a ,b ,c }的所有子集是： ，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }.其中除了{a ，b ，c }外，其余7个集合都是它的真子集.除了 ，{a ，b ，c }外，其余6个都是它的非空真子集.练习：1．判断下列命题的正误：(1){2，4，6} {2，3，4，5，6}； (2){菱形} {矩形}； (3){x |x 2+1=0} {0}； (4){(0，1)} {0，1}.根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他 的菱形不是矩形；(3)中集合{ x | x 2+1= 0 }是 ，而 是任何集合的子集；(4)中{(0，1)} 是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4). 判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合评点中.2．写出集合A ={p ，q ，r ，s }的所有子集.根据集合A 的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉.解：集合A 的子集分为5类，即 (1) ；(2)含有一个元素的子集：{p }，{q }，{r }，{s }；(3)含有两个元素的子集：{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }； (4)含有三个元素的子集有：{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }； (5)含有四个元素的子集有：{p ，q ，r ，s }．综上所述：集合A 的子集有 ，{p }，{q }，{r }，{s }，{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }，{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }，{p ，q ，r ，s }，共16个．给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m 个元素，则其子集有2m 个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个.3．给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A ，则A≠ ．其中正确的序号有____④______．从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断.解析：①错误，空集是任何集合的子集， ；②错误，如空集的子集只有1个；③错误， 不是 的真子集；④正确，∵ 是任何非空集合的真子集. 求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子 集，即对于任意一个集合A ，有 A .(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A ，有A A .4．满足集合{1，2，3} M {1，2，3，4，5}的集合M 的个数是 __2____ ．评点 评点根据所给关系式，利用{1，2，3}是M 的真子集，且M 真包含于{1，2，3，4，5}的关系判断集合M 中的元素个数.解析：依题意，集合M 中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M {1，2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}．(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.(2)若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n } ，则A 的个数为2n －m .若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m -1. 若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m -2. 要点二 补集、全集[重点] 1．补集设A S ，由S 中不属于A 的所有 元素组成的集合称为S 的子集A 的补集， 记作 S A(读作“A 在S 中的补集”)，即S A={ x | x ∈S ，且x A}.C S A 可用图1-2-2.2．全集. (1)定义：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U .(2)举例：例如，在实数范围内讨论集合时，R 便可看做一个全集U ，在自然数范围内讨论集合时，N 便可看做一个全集U .3．理解补集、全集要注意以下两点：(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R 看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个评点子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.(2)求子集A 在全集U 中的补集的方法：从全集U 中去掉所有属于A 的元素，剩下的元素组成的集合即为A 在U 中的补集.如已知U= a ，b ，c ，d ，e ，f ，A= b ，f ，求C U A .该题中显然A U ，从U 中除去子集A 的元素b 、f ，乘下的a 、c 、d 、e 组成的集合即为 U A= a ，c ，d ，e .求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R ，A= x x > 3 ，求 U A .用数轴表示如图1-2-3，可知 U A= x x > 3 .4．例题 例2不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x -1>0，3x -6≤0 的解集为A ，U=R .试求A 及C U A ，并把它们分别表示在数轴上.解：A= x 2 x -1 > 0且3 x –6 ≤ 0 =122<x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，在数轴上表示如图1-2-4(1).C U A=1,22x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或，在数轴上表示如图1-2-4(2).练习5．已知全集U=R ，集合A={ x |1< x ≤6}，求C U A . 在数轴上标出集合A ，结合补集的定义求解.解：根据补集的定义，在实数集R 中，由所有不属于A 的实数组成的集合，就是C U A ，如图1-2-5，结合数轴可知，C U A={ x |1< x ≤6}.涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍.6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x |x ∈A ，且x <1}，C={x |x -1 A ，且x ∈U}.(1)判断A 、B 的关系；(2)求C U B 、C U C ，并判断其关系.1212评 点根据题意，先写出全集U ，按所给集合B 、C 的含义，写出B 、C ，并求其补集后求解第(2)题.解：由题意知U={0，1，2，3，4，5}，B={0}，又集合C 中的元素必须满足以下两 个条件：x ∈U ，x -1 A .若x =0，此时0-1=-1 A ，∴0是C 中的元素； 若x =1，此时1-1=0∈A ，∴1不是C 中的元素； 若x =2，此时2-1=1∈A ，∴2不是C 中的元素；同理可知3，4，5是集合C 中的元素，∴C={0，3，4，5}. (1)∵A={0，1}，B={0}，∴B A ；(2)C U B={1，2，3，4，5}，C U C={1，2}，∴C U C C U B . 若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补集. 7．设全集U={1，2，x 2-2}，A={1，x }，求C U A .要求C U A ，必须先确定集合A ，实际上就是确定x 的值，从而需要分类讨论.解：由条件知A U ，∴x ∈U={1，2，x 2-2}，又x ≠1，∴x =2或x = x 2-2. 若x =2，则x 2-2=2，此时U={1，2，2}，这是与互异性矛盾，舍去. 由x =x 2-2得x 2-x -2=0，解得x =-1或x =2(舍去). 此时U={-1，1，2}，A={1，-1}，∴C U A={2}.求解此题首先确定参数x 的值，然后确定出U 和A 的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.8．已知A={x |x <5}，B={x |x <a }，分别求满足下列条件的a 的取值范围：(1)B A ；(2)A B .紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a 范围. 解：(1)因为B A ，B 是A 的子集，如图1-2-6(1)，故a ≤5.评点 评点 (2)(1)(2)因为A B，B是A的子集，如图1-2-6(2)，故a≥5．9．已知M={x|x=a2+1，a∈N*}，P={y|y=b2-6b+10，b∈N}，判断集合M与P之间的关系.解法一：集合P中，y=b2-6b+10=(b-3)2+1当b=4，5，6，…时，与集合M中a=1，2，3，…时的值相同，而当b=3时，y=1∈P，1 M，∴M P.解法二：对任意的x0∈M，有x0=a2 0+1=(a0+3)2-6(a0+3)+10∈P(∵a0∈N*，∴a0+3∈N)，∴M P，又b=3时，y=1，∴1∈P.而1<1+ a2+1=(a0∈N*)，∴1 M，从而M P.10．已知全集U，集合A={1，3，5，7，9}，C U A={2，4，6，8}，C U B={1，4，6，8，9}，求集合B.求集合B，需根据题意先求全集U，由于集合A及C用Venn图来表示所给集合，将A及C U A填入即可得U解：借助Veen图，如图1-2-7.由题意知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}.∵C U B={1，4，6，8，9}∴B={2，3，5，7}.求本题中的全集，用Veen较直观，本题的求解实际上应用了补集的性质C U (C U B)=B.E 教材问题探究1.教材第8页“思考”对于集合A、B，如果A B，同时B A，那么A=B.这是因为由A B可知，集合A的元素都是集合B的元素，又由B A知，集合B的元素也都是集合A的元素，这就是说，集合A和集合B的元素是完全相同的，因而说集合A与集合B是相等的.当A=B时，集合A中的每一个元素都在集合B中，集合B中的元素也都在集合A 中，即A B与B A同时成立.综上所述，A B与B A同时成立的等价条件是A=B.例判断下列两个集合的关系：(1)A={x |(x-1)(x+1)= 0}，B={x | x2=1}；(2)C={x |x=2n，n∈Z }，D={x | x=2(n-1)，n∈Z }.解：∵(1)A={-1，1}，B={-1，1}，∴A=B.评点(2)易知集合C 为偶数，∵n ∈Z ，n -1∈Z ，∴集合D 也为偶数集，∴C=D .2.教材第9页“思考”在(1)(2)(3)中除有A S ，B S 外，不难看出在S 中属于A 的所有元素均不属于B ，即x i∈S ，x i∈A ，但x iB ，在S 中属于B 的所有元素均不属于A ，即x i∈S ，xi ∈A ，但x iA ，也就是说，A 、B 两个集合没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰好是集合S 的全部元素.探究学习1．教材第8页“?”集合{a 1，a 2，a 3，a 4}的子集有： ，{a 1}，{a 2}，{a 3}，{a 4}，{a 1，a 2}，{a 2，a 3}，{a 3，a 4}，{a 1，a 4}，{a 1，a 3}，{a 2，a 4}，{a 1，a 2，a 3}，{a 1，a 2，a 4}，{a 2，a 3，a 4}，{a 1，a 3，a 4}，{a1，a 2，a 3，a 4}.拓展：集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有多少个真子集？有多少个非空真子集？由上可知，集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有15个真子集，有14个非空真子集.一个集合含有n 个元素，则它的所有自己有2n 个，真子集有(2n -1)个(去掉集合本身)，非空真子集有(2n -2)个(去掉集合本身及空集).典型例题解析例1 设A={x | ( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0}，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集？要确定集合A 的子集、真子集，首先必须清楚集合A 中的元素，由于集合A 中的元素是方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0的根，所以要先解该方程.解：将方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0变形，得( x -4)( x +1)( x +4)2=0，则可得方程的根为x =-4 或x =-1或x =4.故集合A={-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4， 4}，{-1，4}，{-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4，4}，{-1，4} 写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集— 和自身；其次，依次按含评点有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集等一一写处，就可避免重复和遗漏现象的发生.例2 设全集U={1，4，a 2+4a -2}，A={| 3a -2 |，4}，C U A={3}，求实数a 的值.∵C U A={3}，∴3∈U ，且3 A ，由补集的定义知A={1,4}. 解：∵C U A={3}，说明3∈U ，且3 A ，∴a 2+4a -2=3，∴a =-5或a =1. ①当a =1时，| 3a -2 |=1≠3，此时A={1，4}，满足题意. ②当a =-5时，| 3a -2 |=17，此时A={17，4} U ，不满足题意. ∴a 的值为1.例3 已知{1，2} M {1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有 8 .根据题目给出的条件可知，集合M 中至少含有元素1、2，至多含有元素1、2、3、4、5，故可按M 中所含元素的个数分类写出集合M ，解析：(1)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2}；(2)当M 中含有三个元素时，M 可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； (3)当M 中含有两个元素时，M 可能为{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； (4)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2，3，4，5}；所有满足条件的M 为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个.首先根据子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有例4 已知集合A={x |- 2 ≤ x ≤ 5}，B={x | m +1≤ x ≤ 2m -1}，若B A ，求实数m 的取 值范围.对B 要进行讨论，分B 为空集和非空集合两种情况.解：(1)若B ≠ ，则由B A (如图1-2-5)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤ 2m -1，m +1≥ -2，2m -1≤ 5，解的2 ≤ m ≤ 3. (2)若B= ，则m +1>2m -1，m <2，此时B A 也成立. 由(1)和(2)，得m ≤ 3，所以实数m 的取值范围是{ m | m ≤ 3}.在处理含有参数的子集问题市场借助数轴，数形结合，理清条件，使关系明朗，易于求解.例5 已知集合A={x | 1 ≤ a x ≤ 2}，B={x | | x | < 1}，求满足A B 的实数a 的取 值范围.对参数进行讨论，写出集合A 、B ，使其满足，求a 的值. 解：(1)当a = 0时，A= ，满足A B .(2)当a > 0时，{}21A=.B=11,A B xx x x a a ⎧⎫⊂<<-<<=⎨⎬⎩⎭又.∴11 2.21a a a⎧≥-⎪⎪∴∴≥⎨⎪≤⎪⎩ (3)当a < 0时，{}2121A= B=11 2.1 1.axx x x a a a a⎧≥-⎪⎧⎫⎪<<-<<⊆∴∴≤-⎨⎬⎨⎭⎩⎪≤⎪⎩，，又，A B.综上所述，a = 0，或a ≥2，或a ≤-2.根据子集的定义，把形如A B 的问题转化为不等式组问题，使问题得以解决.在解决 问题的过程中，应首先考虑A= 的情况.在建立不等式的过程中，借助数轴，是解决本题 重要一环，若不等式中含有参数，一般需对参数进行讨论，进而正确解出不等式.例6 已知全集S = { 1，3，x 3 + 3 x2 + 2 x }，集合A = {1，| 2 x - 1 | }，如果C S A ={0}，那么这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由.由C S A ={0}可知0∈S ，但0 A ，所以x 3 + 3 x2 + 2 x = 0，且| 2 x - 1 | =3，从中求出x 即可.评点 评点解法一：∵S = { 1，3，x 3 + 3 x2 + 2 x }，A = {1，| 2 x - 1 | }，C S A ={0}，∴0∈S ，但0 A ，∴32320 1.213x x x x x ++=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解的 ， 综上知，实数x 存在，且x =-1.由C S A ={0}可知0∈S ，但0 A ，由0∈S 可求x ，然后结合0 A 来验证是否有A S 及是否符合集合中元素的互异性，从而得出结论.解法二：∵C S A ={0}，∴0∈S ，但0 A ，∴ x 3 + 3 x2 + 2 x = 0，即x (x +1)(x +3)=0，∴x =0或x =-1或x =-2.当x =0时，| 2 x - 1 | =1，A 中已有元素1，故不符合互异性，舍去； 当x =-1时，| 2 x - 1 | =3，而3∈S ，符合题意； 当x =-2时，| 2 x - 1 | =5，而5 S ，舍去.例7 已知A={ x | x <-1或x > 5 }，B={ x ∈R | a<x <a + 4 }，若AB ，求实数a 的取值范围.注意到B≠ ，将A 在数轴上保释出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可得a 的取值范围.解：如图-2-6，∵A B ，∴a + 4 ≤-1或a ≥5，∴a ≤-5或a ≥5.本题利用数轴处理一些实数集之间的关系，以形助数直观、形象，体现了数形结合的思想，这在以后的学习中会经常用到，但一定要检验端点值是否能取到，此题的易错点是各端点的取值情况,方法一 数形结合思想 评点例8 设{}{}2A=8150B=10,x x x x ax -+=-=，若B A ，求实数a 的值.集合B 是方程ax -1=0的解集，该方程不一定是一次方程，当a =0时，B= ，此时符合B A .解：集合A={3，5}，当a =0时，B= ，满足B A .∴a =0符合题意. 当a ≠0时，B≠ ，1.x a = ∵B A ，∴综上，a 的值为0或13或15 . 当B A 时，B 中含有参数，而A 是一个确定的非空集合，要特别注意B= 的情况， 考点点击：高考中对子集、真子集、补集以及集合相等的概念考察较多，但难度不大，命题多为填空题.例1 (2010·重庆高考)设，若，则实数.{}{}{}2 U U=0123.A=U 0A=12x x mx ∈+=，，，，若，，ð }{} U 0A=12 mx =，若，，ð则实数m = -3 .解析：{}{}2 U A=12A=030 30 3.x mx m ∴∴+-∴=-，，，，，是方程的根，ð例2 (2010·天津高考)设集合{}{}A=1R B=2R A Bx x a x x x b x -<∈->∈⊆，，，，若， }2R A B x >∈⊆，，若，则实数a ，b 满足 3 a b -≥ .解析：{}{}A=11B=22x a x a x x b x b -<<+>+<-，或，由A B ⊆得12a b +-≤或12a b +-≥，即3a b -≥或3a b --≤，即 3.a b -≥ 例3 (2007·北京高考)记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .(1)若a =3，求P ；(2)若Q P ，求整数a 的取值范围.方法二 分类讨论思想评点解：{}3(1)0P=13.1x x x x -<-<<+由得 {}{}(2)Q=11,02x x x x -≤=≤≤{}0P=1.Q P 2a x x a a >-<<⊆>由，得又，所以，即a 的取值范围是( 2，+ ∞). 学考相联判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点之一.下面举两例介绍几种常用的方法，帮助你开拓思想.1.对比集合的元素例1 {}{}*A =N8B =2N05,x x x x k k k ∈≤=∈<<已知，，，且那么集合A 与B 的关系为( B A ).解析：因为A={1，2，3，4，5，6，7，8}，B={2，4，6，8}，集合B 中的元素2，4， 6，8都是集合A 中的元素，而集合A 中的元素1，3，5，7不是集合B 中的元素，所以 B A .2.数形结合比较范围例2 已知{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，那么集合A 与B 的关系为( B A ) .解析：对于二次函数{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，，{}4(6)47A=y y 7.4y ⨯---==-∴≥最小，又{}B=3x x >，由图1-2-7知，B A . 3.利用传递性判断例3 已知集合11A B B=Z C=Z 4284k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫⊆=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，那么集合A 与C 的关系为( A C ).解析：将B 、C 变形得242B=Z C=Z 88k k x x k x x k ⎧+⎫⎧+⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，可知B C .又A B C ，即A C .例4 已知集合(){}{}22A=4640B=0 6x x m x m -++=，，，若A B ，求实数m 的取值范围.解：{}{}{}{}A B B=0 6 A=A=0A=6A=0 6.⊆∴∅，，，或或或， (1)当A= 时，Δ=(4m +6)2-4×4m 2<0，解得m <－ 34 .(2)当A={0}时，由根与系数的关系得20+0=46004m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(3)当A={6}时，由根与系数的关系得26+6=46664m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(4)当A={0，6}时，由根与系数的关系得20+6=4606=4m m +⎧⎨⎩⨯，，解得m =0.综上知实数m 的取值范围为m <－34或m =0解决子集问题时，往往易溢漏“ ”和它“本身” ，所以杂解决有关子集的问题时，一定要考虑到两个特殊的子集：“ ”和它“本身” ，并注意单独验证它们是否符合题意.。
1.2 子集、全集、补集
2.全集与补集 全集与补集
设S是一个集合, A是S的一个子集(即A ⊆ S ), 由S中所有不属于A的元素组成的集合, 叫做 S中子集A的补集(或余集), 记作Cs A, 即
CS A = {x x ∈ S , 且x ∉ A}.
用图形表示为: 用图形表示为 S CSA A
例如,如果 例如 如果S={1,2,3,4,5,6}, A={1,3,5}, 那么 如果 CSA= {2,4,6}
规定:空集是任何集合的子集 规定 空集是任何集合的子集. 空集是任何集合的子集 即对于任何一个集合A 有 即对于任何一个集合 ,有 对于两个集合A与 如果集合 如果集合A的任何一个元 对于两个集合 与B,如果集合 的任何一个元 素都是集合B的元素 同时集合B的任何一个 的元素,同时集合 素都是集合 的元素 同时集合 的任何一个 的元素,就说集合 等于集合 元素都是集合 A的元素 就说集合 等于集合 的元素 就说集合A等于 B,记作 = B. 记作A 记作 (1)对于任何一个集合 , A⊆ A 对于任何一个集合A 对于任何一个集合 . 任何一个集合是它本身的子集. 即任何一个集合是它本身的子集 (2)对于集合A, B, 如果A ⊆ B,同时B ⊆ A,
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的 如果集合 含有我们所要研究的各个集合的 全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集 这个集合就可以看作一个全集 全部元素 这个集合就可以看作一个全集 全集 通常用U表示 表示. 通常用 表示 例如,在实数范围内讨论问题时 可以把实数集 例如 在实数范围内讨论问题时,可以把实数集 在实数范围内讨论问题时 R看作全集 那么 有理数集 的补集 UQ是 看作全集U,那么 有理数集Q的补集 看作全集 那么,有理数集 的补集C 是 全体无理数的集合. 全体无理数的集合
第1章-1.2-子集、全集、补集高中数学必修第一册苏教版
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= {⋯ , , ,1, , , ,⋯ },易知集合A中任一元素均为B中的元素,但B中的有些元素不在
集合A中，故 ⫋ .
2
1
4
（特征法） 集合A中的元素为 = + =
=
4
1
+
2
=
+2
4
2+1
(
4
∈ ),集合B中的元素为
∈ ,而2 + 1 ∈ 为奇数, + 2 ∈ 为整数,故 ⫋ .
知识点4 有限集合的子集、真子集个数
例4-10 (2024·广东省深圳中学月考)若集合满足 ⫋ {1，2}，则的个数为( B
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】集合满足 ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，则的个数为
22 − 1 = 3．
)
例4-11 (2024·河南模拟)已知集合 = { ∈ | − 2 < < 3}，则集合的所有非空真
第1章 集合
1.2 子集、全集、补集
教材帮丨必备知识解读
知识点1 子集、真子集
例1-1 能正确表示集合 = { ∈ |0 ≤ ≤ 2}和集合 = { ∈ | 2 − = 0}关系的
Venn图为( B
A.
)
B.
C.
D.
பைடு நூலகம்
【解析】由2 − = 0得 = 1或 = 0，所以 = {0,1}，故 ⫋ .结合选项可知,B正确.
【解析】因为 2 − 5 + 6 = 0的两根为2,3，故A正确；
因为⌀ 是任何集合的子集，故B正确；
1.2子集、真子集、全集、补集
观 察 下 列 各,组 A与集 B之合间 有 怎 样 的 关 系 ?如 何 用 语 言 来 表 关述 系 ? 这 种
1 A 1 , 1 , B 1 , 0 , 1 , 2 ;
2 A N ,B R ;
3 A x |x 是北 ,B x |x 京 为人 中 ; 国
做一 全集个unive,r全 sa集 l 通常 U. 记作
例如 ,在实数范围内时 讨 ,R便 论可 集看 合做一U个 .
例 3不 等 32xx 16 式 00, 的 组 解 A ,U R 集 ,试 A 及 为 求
U A,并把它们分别表示在 轴数 上.
解 A x | 2 x 1 0 , 且 3 x 6 0 x | 1 / 2 x 2 ,
如果 AB,并且 AB,这时集 A称合 B 为 的真子集
prospee,t记 r 为 A B或 B A,读"作 A真包B 含 " 于 或 "B真包 A",含 如 a a,b.
例2 下列各组的三个,哪 集两 合个 中集合之间关有系 ?包
1S 2,1,1,2, A1,1,B2,2;
上述每组A中 ,B具 的有 集的 合 可关 以系 用子 集的概念 . 来表述 如果集A合 的每一个元素都B是的集元合素
(若aA,则aB),则称集A合 是集合 B的子
集 subse,t记为ABA或BA,读作"集
合A包含于集B"合 或"集合B包含集A合 ".
例,如 1,2,3N,NR,x|x为 北 京 人 x|x为 中 等 ,国 AB可 人 以 Ve图 用 nn来 表 A 示 B
根据子,集 我的 们A 定 知 A,也 义 道就,任 是说 何一个集合 子是 .对 集它 于 本 空 ,我身 集 们的 规 A,即 定 空集是任何集合的子集 .
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s A可用右图中的阴影部分来表示. S
对于例2, 我们有B s A, A s B
A
如果集合S包含我们所要研究的各个集合, 这时S可以看
做一个全集 universal,全集通常记作U .
例如,在实数范围内讨论集合时, R便可看做一个全集U .
例3
不等式组
2x 3x
1 6
0, 0
的解集为A,U
空集是任何集合的子集.
思考 A B与B A能否同时成立?
例1 写出集合a,b的所有子集.
解 集合a,b的子集是,a, b, a,b.
集合a1, a2,, an 有多少个子集?
如果 A B,并且 A B, 这时集合 A 称为B的 真子集
proper set ,记为 A B 或 B A,读作" A真包含于B" 或"B真包含A",如a a,b.
人 .
解 在1、2、3中都有AS, B S,
可用右图来表示.
S AB
思考 观察例2中每一组的三个集合,
它们之间还有一种什么关系?
设A S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的
子集A的补集 (complementary set),记为 s A (读作" A在S
中的补集"),即 s A x | x S,且 x A.
R,
试求A及
U A,并把它们分别表示在数轴上.
解 A x | 2x 1 0,且3x 6 0 x | 1 / 2 x 2 ,
U A x | x 1 / 2,或 x 2 ,在数轴上表示如下.
注意实心点与 空心点
2
例2 下列各组的三个集合中, 哪两个集合之间有包含关系?
1S 2,1,1,2 , A 1,1 , B 2,2 ;
2S R, A x | x 0, x R , B x | x 0, x R ;
3S x | x为地球人, A x | x为中国人, B x | x为外国
观察下列各组集合, A与B之间有怎样的 关 系? 如 何 用 语 言 来 表 述 这 种关 系?
1 A 1, 1, B 1, 0, 1, 2 ;
2 A N , B R;
3 A x | x是北京人, B x | x为中国人;
上述每组中的集合A, B具有的关系可以用子 集的概念来表述. 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素
(若a A,则a B) ,则称集合A是集合B的子
集subset ,记为 A B A或 B A,读作"集
合A包含于集合B "或 "集合B包含集合A".
例如,1,2,3 N, N R,x | x为北京人 x | x为中国人等, A B可以用Venn图来表示 A B
根据子集的定义,我们知道A A,也就是说, 任 何一个集合是它本身的子集.对于空集,我们规定 A,即