Tarjan算法 Pascal语言描述

Tarjan算法Pascal语言描述
Tarjan算法Pascal语言描述
TonyShaw
那天做了个2-sat题，里面牵扯到求有向图的强连通分量，我这么弱，显然不会，于是从网上找求有向图的强连通分量的方法，有一个是DFS两遍，同时建原图与补图，算法名字是B？？？忘掉了，反正当时同时看见了Tarjan算法。

鉴于我对于Tarjan的略微崇拜，于是想先学一下Tarjan。

写这篇文章的原因在于，我在网上没有找到Pascal语言描述的程序，同时一些关于这个算法的解释不是很清楚，所以我想写一下，算是我对该算法理解的总结，也算是为其他要学习该算法的人提供点无用的参照吧。

算法思想：从一个点开始，进行深度优先遍历，同时记录到达该点的时间（dfn记录到达i 点的时间），和该点能直接或间接到达的点中的最早的时间（low记录这个值，其中low的
初始值等于dfn）。

（如图。

假设我们从1开始DFS，那么到达1的时间为1，到达2的时间为2，到达3的时间为3。

同时，点1能直接或间接到达的点中，最小时间为1，点2能通过3间接到达点1，所以点2可到达最早的点时间为1，点3可以直接到达点1，故点3到达的最早的点的时间为1。

）。

对于每一个没有被遍历到的点A，如果从当前点有一条到未遍历点A的有向边，则遍历到A，同时将点A入栈，时间戳+1并用dfn[a]记录到达点A的时间，枚举从A发出的每一条边，如果该边指向的点没有被访问过，那么继续dfs，回溯后low[a]:=min(low[a],low[j])(其中j为A可以到达的点。

)如果该点已经访问过并且该点仍在栈里，那么low[a]=min(low[a],dfn[j])。

解释：若点j没有被访问过，那么回溯后low[j]就是j能到达最早点，a能到达的最早点当然就是a本身能到达的最早点，或者a通过j间接到达的最早点。

若点j已经被访问过，那么low[j]必然没有被回溯所更新。

所以low[a]就等于a目前能到达的最小点或a直接到达点j
时点j的访问时间。

注意：两个句子中的“或”其实指的是两者的最小值。

那么如果我们回溯
到一个点K他的low[k]=dfn[k]那么我们将K及其以前在栈中的点依次弹出，这些点即为一个强连通分量。

证明：因为该点dfn=low，所以在栈中的该点以上的点都能由该点直接或间接的到达。

同时栈中在该点前的任意一点j，其dfn[j]<>low[j]（否则点j比点k靠前，又因为dfn[j]=low[j]，j 一定先被弹出了。

）那么这个点j通过low[j]这个时间的点，一定能到达点k，（否则，low[j]能到达点i，又因为dfn>=low所以有2种情况1、dfn>low:那么我们可以找到前面一个更小的点。

2、dfn=low：应该在回溯到i的时候就找到了一个强连通分量，从而出栈了。

而点k前的点没有出栈，证明其中任意一点都能直接或者间接到达点k，进而证明这些点可以两两互达。

程序如下：
procedure Tarjan(i:longint);
var j:longint;
begin
inc(time); dfn:=time; low:=time;//初始化到达点i的时间。

push(i); left:=false; v:=true;//点i入栈，left表示点i里没离开栈，v表示点i有没有被访问过。

j:=head;//数组模拟邻接表
while j<>0 do
begin
if not left[e[j]] then low:=min(low,dfn[e[j]]);
if not v[e[j]] then begin Tarjan(e[j]); low:=min(low,low[e[j]]); end;
j:=next[j];
end;
j:=-1;
if dfn=low then//找到强连通分量，出栈。

begin
while j<>i do begin j:=pop; write(j,' '); left[j]:=true; end;
writeln;
end; end;。