离散数学-----函数
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离散数学 第三章 函数
下面先规定几个标准集合的基数： 1) 空集的基数为0。 2) 设n为一自然数，Nn为从1到n的连贯的自然数集合， Nn={1,2,3,…,n}，Nn的基数为n，|Nn|=n 。 3) 设N为自然数的全体，N={1,2,3,…},N的基数为ℵ0(读成 阿列夫零， ℵ是希伯莱文的第一个字母)。 4) 设R为实数的全体，R的基数为ℵ ,|R|= ℵ 。 • • 以上四项规定，对于空集及Nn的基数，实际上就是集 合中元素的个数，关于ℵ0及ℵ，下面将予探讨。 有了标准基数之后，我们可以对各种集合测量其基数。 测量的手段是以双射函数为主体的等价关系一等势。 比如说，一个集合与N等势，那么这个集合的基数为 ℵ0 。
定理6 设A及B为两个可数集，那么A×B为一可数集。 定理 推论1 推论 设A1,A2,A3,…,An为n个可数集，那么 × A是可数集。
i=1 i n
定理7 (0,1)开区间上的实数不是可数集。 定理 定理8 设A为一集Y的函数，若f 是双射函数，则f 的逆关系 f –1是从Y到X的双射函数。 定理2 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数，则复合关 系f οg是从 X到Z的函数，将f ο g记为g ο f 。 定理3 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数。 1）若f 和g是满射函数，则g ο f 是满射函数； 2）若f 和g是单射函数，则g ο f 是单射函数； 3）若f 和g是双射函数，则g ο f 是双射函数。 定理4 定理 设f 是从X到Y的双射函数， f –1是f 的逆函数，则 1) (f –1) –1 = f 2) f –1 ο f = IX 3) f ο f –1 = IY
定义3 定义 设 |X|=n，P是从X到X的双射函数，称P为X上的置 换，称n为置换的阶。 • 在n个元素的集合中，不同的n阶置换的个数为n!。 • 通常用下面的方法表示置换。 x1 x2 x3 … xn P = p(x ) p(x ) p(x ) … p(x ) 1 2 3 n • 若∀xi∈X 有 p(xi) = xi ，则称P是恒等置换。 • P的逆函数P-1可表示为 p(x1) p(x2) p(x3) … p(xn) P-1 = x1 x2 x3 … xn • 置换的复合与关系的复合相同。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
离散数学 函数部分
一个十分重要的例子。
2020/3/14
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12
三、函数的合成运算
定义 考虑g：A→B，f：B→C是两个函数，则合成 关系f•g是从A到C的函数，记为 f•g：A→C，
称为函数g与f的合成函数。
显然，对任意x∈A，有 f•g(x)＝f(g(x))。
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16
例
例1 设f：R→R,满足： 1）f＝{<x,x2>|x∈R}； 2）f＝{<x,x+1>|x∈R}。求f-1。
解 1）对任意x∈R，有f(x)＝x2与之对应，所以 f不是单射函数，即f非双射函数，因此f的逆函 数不存在。 2）因f是双射函数，所以f-1存在，且有： f-1＝{<x,x-1>|x∈R}。
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5
例2
设A＝{a,b}，B＝{1,2}，A×B＝{<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>}，
此时从A到B的不同的关系有24＝16个。分别如下：
R0＝Φ R1＝{<a,1>} R2＝{<a,2>} R3＝{<b,1>}；
R4＝{<b,2>}；R5＝{<a,1>,<b,1>} R6＝{<a,1>,<b,2>}
2020/3/14
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10
例2
设An＝{a1,a2,a3,…,an}是n个元素的有限集， Bn＝{b1b2b3…bn|bi∈{0,1}}，对An的每一个子 集S(即对任意S(An)),令
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三、函数的合成运算
定义 考虑g：A→B，f：B→C是两个函数，则合成 关系f•g是从A到C的函数，记为 f•g：A→C，
称为函数g与f的合成函数。
显然，对任意x∈A，有 f•g(x)＝f(g(x))。
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例
例1 设f：R→R,满足： 1）f＝{<x,x2>|x∈R}； 2）f＝{<x,x+1>|x∈R}。求f-1。
解 1）对任意x∈R，有f(x)＝x2与之对应，所以 f不是单射函数，即f非双射函数，因此f的逆函 数不存在。 2）因f是双射函数，所以f-1存在，且有： f-1＝{<x,x-1>|x∈R}。
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例2
设A＝{a,b}，B＝{1,2}，A×B＝{<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>}，
此时从A到B的不同的关系有24＝16个。分别如下：
R0＝Φ R1＝{<a,1>} R2＝{<a,2>} R3＝{<b,1>}；
R4＝{<b,2>}；R5＝{<a,1>,<b,1>} R6＝{<a,1>,<b,2>}
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例2
设An＝{a1,a2,a3,…,an}是n个元素的有限集， Bn＝{b1b2b3…bn|bi∈{0,1}}，对An的每一个子 集S(即对任意S(An)),令
离散数学第3章 函数
f:X Y 。 a 1。 。 b 2。 。 3。 c fC:Y X 。 1 a。 。 2 b。 。 3 c。
显然fC不是函数。可见如果一个函数不是双射的， 它的逆就不是函数。
软件学院
第三章 函 数 2.自变元与函数值(像源与映像) ：
f:XY, 如果<x,y>∈f,称x是自变元(像源)，称 y是x 的函数值(x的映像) 。
<x,y>∈f y=f(x) f:XY 3.定义域、值域 ：f:XY, f的定义域，记作Df 即
Df ={x|x∈X，y(y∈Y，<x,y>f)} =X
注意:这里把g写在f的左边了.所以叫左复合. g f :XZ,即 g f 是X到Z的函数.这样写是为了
照顾数学习惯: g f(x)=g(f(x))
复合函数的计算方法同复合关系的计算.
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复合函数
例1 f:XY, g:YZ X={1,2,3} Y={1,2,3,4,} Z={1,2,3,4,5,} f= {<1,2>,<2,4>,<3,1>} g={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } g f={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } {<1,2>,<2,4>,<3,1>} ={<1,5>,<2,1>,3,3>} g f g 用有向图复合: f X Z X Y X 。 1 。 。 。 1 。 1 1 1 。 2 。 2 。 。 2 。 2。 3 。 2 3 。 。 3。 4 。 4 3。 3 。 。 5 。 5
显然fC不是函数。可见如果一个函数不是双射的， 它的逆就不是函数。
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第三章 函 数 2.自变元与函数值(像源与映像) ：
f:XY, 如果<x,y>∈f,称x是自变元(像源)，称 y是x 的函数值(x的映像) 。
<x,y>∈f y=f(x) f:XY 3.定义域、值域 ：f:XY, f的定义域，记作Df 即
Df ={x|x∈X，y(y∈Y，<x,y>f)} =X
注意:这里把g写在f的左边了.所以叫左复合. g f :XZ,即 g f 是X到Z的函数.这样写是为了
照顾数学习惯: g f(x)=g(f(x))
复合函数的计算方法同复合关系的计算.
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复合函数
例1 f:XY, g:YZ X={1,2,3} Y={1,2,3,4,} Z={1,2,3,4,5,} f= {<1,2>,<2,4>,<3,1>} g={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } g f={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } {<1,2>,<2,4>,<3,1>} ={<1,5>,<2,1>,3,3>} g f g 用有向图复合: f X Z X Y X 。 1 。 。 。 1 。 1 1 1 。 2 。 2 。 。 2 。 2。 3 。 2 3 。 。 3。 4 。 4 3。 3 。 。 5 。 5
离散数学-第八章函数
例8.5 对于以下各题给定的A,B和f，判断是否构成函 数f：A→B。如果是，说明 f：A→B是否为单射，满 射，双射的，并根据要求进行计算。 (1) A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9,10}, f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>} 能构成函数f：A→B，但f：A→B既不是单射也不是 满射的。 (2) A,B同（1），f={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}
令f：A→B，使得f()=f0，f({1})=f1，f({2})=f2，f({3})=f3， f({1,2})=f4，f({1,3})=f5，f({2,3})=f6，f({1,2,3})=f7
(2) A=[0,1]，B=[1/4,1/2]
令f：[0,1]→[1/4,1/2]，f(x)=(x+1)/4. (3) A=Z，B=N 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：
例8.1 设 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>} F2={<x1,y1>,<x1,y2>} 判断它们是否为函数。 解：F1是函数，F2不是函数。
因为对应于x1存在y1和y2满足x1F2y1和x1F2y2， 与函数定义矛盾。
F 是函数（映射） 对于x1，x2∈A， 如果x1=x2 ，一定有f(x1)＝f(x2)。即， 如果对于x1，x2∈A有f(x1) ≠f(x2)，则一定有x1≠x2
函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等
定义8.2 设F，G为函数，则 F=G F G∧G F 由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一 定满足下面两个条件： 1．domF=domG 2． x∈domF=domG都有F(x)=G(x)
离散数学 函数
f:X Y 。 a 1。 。 b 2。 。 3。 c fC:Y X 。 1 a。 。 2 b。 。 3 c。
定理1 若f是XY的双射，则fC是YX的函数。
证明：（1）对任意的y∈Y，由f是双射，得f是满 射，所以ran f=Y 故 dom fC=ran f=Y （2）对任意的y∈Y，若存在x1∈X， x2∈X使 <y, x1>∈fC 且 <y, x2>∈fC 则 <x1,y>∈f 且 <x2,y>∈f 由于f是单射，有x1=x2。 由（1）、（2）， fC是YX的函数。
⑵ 设f和g是入射的，因g f :XZ,任取x1, x2∈X,
x1≠x2，因f:XY是入射的，f(x1)≠f(x2) , 而 f(x1) ,f(x2)∈Y，因g:YZ是入射的，g(f(x1))≠g(f(x2)) 即g f (x1)≠ g f (x2)
所以g f 也是入射的。
六. 函数的类型
例子：
X 1。 2。
f
。 a 。 b 3。 c 4。 。
Rf=Y
Y
X 1。 2。
g
。 a 。 b 3。 c 4。 。
RgY
Y
X1
1。 2。
。 a 。 b 。 。 3 c 。 d
RhY1 一对一
h
Y1
1。
。 a 。 b 2。 。 c 3。
Rs=Y 一对一
X1
s
Y
函数的类型
1.满射的：f:XY是函数，如果 ran f=Y,则称f 是满射的。 2.入射的：f:XY是函数，如果对于任何x1,x2∈X, 如果 x1≠x2 有f(x1)≠f(x2),(或者若f(x1)=f(x2),则x1=x2), 则称f 是入射的，也称f 是单射的，也称f 是一对一的。 3.双射的：f:XY是函数，如果 f 既是满射的，又是 入射的，则称 f 是双射的，也称f 是一一对应的。 特别地：：Y是单射； ：是双射。
定理1 若f是XY的双射，则fC是YX的函数。
证明：（1）对任意的y∈Y，由f是双射，得f是满 射，所以ran f=Y 故 dom fC=ran f=Y （2）对任意的y∈Y，若存在x1∈X， x2∈X使 <y, x1>∈fC 且 <y, x2>∈fC 则 <x1,y>∈f 且 <x2,y>∈f 由于f是单射，有x1=x2。 由（1）、（2）， fC是YX的函数。
⑵ 设f和g是入射的，因g f :XZ,任取x1, x2∈X,
x1≠x2，因f:XY是入射的，f(x1)≠f(x2) , 而 f(x1) ,f(x2)∈Y，因g:YZ是入射的，g(f(x1))≠g(f(x2)) 即g f (x1)≠ g f (x2)
所以g f 也是入射的。
六. 函数的类型
例子：
X 1。 2。
f
。 a 。 b 3。 c 4。 。
Rf=Y
Y
X 1。 2。
g
。 a 。 b 3。 c 4。 。
RgY
Y
X1
1。 2。
。 a 。 b 。 。 3 c 。 d
RhY1 一对一
h
Y1
1。
。 a 。 b 2。 。 c 3。
Rs=Y 一对一
X1
s
Y
函数的类型
1.满射的：f:XY是函数，如果 ran f=Y,则称f 是满射的。 2.入射的：f:XY是函数，如果对于任何x1,x2∈X, 如果 x1≠x2 有f(x1)≠f(x2),(或者若f(x1)=f(x2),则x1=x2), 则称f 是入射的，也称f 是单射的，也称f 是一对一的。 3.双射的：f:XY是函数，如果 f 既是满射的，又是 入射的，则称 f 是双射的，也称f 是一一对应的。 特别地：：Y是单射； ：是双射。
离散数学第五章 函数
f -1({0})={0, 1}, f -1({1})={2, 3}, f -1(Ø)= Ø
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
离散数学-----函数_图文
(4) f : R→R, f(x)=2x+1
是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R.
*
12
8.3 一些常用函数
• 定义8.7
(1) 设f：A→B, 如果存在 c∈B 使得对所有的
x∈A 都有 f(x)=c, 则称 f : A→B是常函数.
(2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所
不同的等价关系确定不同的自然映射,
恒等关系所确定的自然映射是双射, 而其他的自然映射一般来说只是满射.
*
18
8.4 函数的复合和反函数
• 例:
gοf
g
A
f
a b
B
1 2
C
c
3
D
gοf={<a,2>,<b,2>,<c,1>}
*
19
8.4 函数的复合和反函数
• 定理8.1
设f, g是函数, 则f∘g也是函数, 且满足
8.5 集合的势
• 一个结论：
从上例可以看出：
• 这说明： 无限集合能与它的真子集等势，这在有限集合中是不可能
的。
这是无限集合与有限集合的本质区别之一。
*
34
8.5 集合的势
• 例3： N×N≈N
解：分析
*
35
8.5 集合的势
• 定理8.7（Cantor定理）
N与R不等势，且|N|<|R|
B的二元关系中，哪些是A到B的函数？
f1＝{<1,a>,<1,b>,<2,b>,<3,c>,<4,c>} f2＝{<1,a>,<2,b>,<3,b>,<4,c>} f3＝{<1,a>,<2,a>, <3,c>} f4＝{<1,a>,<2,a>, <3,a>,<4,a>}
是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R.
*
12
8.3 一些常用函数
• 定义8.7
(1) 设f：A→B, 如果存在 c∈B 使得对所有的
x∈A 都有 f(x)=c, 则称 f : A→B是常函数.
(2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所
不同的等价关系确定不同的自然映射,
恒等关系所确定的自然映射是双射, 而其他的自然映射一般来说只是满射.
*
18
8.4 函数的复合和反函数
• 例:
gοf
g
A
f
a b
B
1 2
C
c
3
D
gοf={<a,2>,<b,2>,<c,1>}
*
19
8.4 函数的复合和反函数
• 定理8.1
设f, g是函数, 则f∘g也是函数, 且满足
8.5 集合的势
• 一个结论：
从上例可以看出：
• 这说明： 无限集合能与它的真子集等势，这在有限集合中是不可能
的。
这是无限集合与有限集合的本质区别之一。
*
34
8.5 集合的势
• 例3： N×N≈N
解：分析
*
35
8.5 集合的势
• 定理8.7（Cantor定理）
N与R不等势，且|N|<|R|
B的二元关系中，哪些是A到B的函数？
f1＝{<1,a>,<1,b>,<2,b>,<3,c>,<4,c>} f2＝{<1,a>,<2,b>,<3,b>,<4,c>} f3＝{<1,a>,<2,a>, <3,c>} f4＝{<1,a>,<2,a>, <3,a>,<4,a>}
离散数学第5章_函数
第5章 函数
证明 f和ρf的图示如图5 ― 2所示。 1) 任取a∈A， 有f(a)＝f(a)， 所以 (a， a)∈ρf， 故ρf自反； 任取a， b∈A， 若(a， b)∈ρf， 则f(a)＝f(b)， 所以 f(b)＝f(a)， 即(b 任取a， b， c∈A， 若(a， b)∈ρf， (b， c)∈ρf， 则f(a)＝f(b)， f(b)＝f(c) ， 所以 f(a)＝f(c)， 即(a， c)∈ρf； 故ρf传递。 综上ρf是A上的等价关系。
第5章 函数
任取b∈Rf， 由Rf的定义， 有a∈A， 使f(a)＝b， 即有［a］∈A/ρf， 使得 g(［a］)＝f(a)＝b。 所以 g是满射。 综上g是双射。 定义 5.1 ― 5 恒等关系IA＝｛(a， a)|a∈A｝是A 到A的双射， 它称为A上的恒等函数。 定义 5.1 ― 6 若函数f： A→B， 对一切a∈A， 都 有f(a)＝b， b∈B， 则f称为常函数。
第5章 函数
定义 5.1 ― 2 设有函数f： A→B， g： C→D， 若 有A＝C、 B＝D且对所有的x∈A， 有f(x)＝g(x)， 则称 函数f和g相等， 记为f＝g。 定义 5.1 ― 3 集合A到集合B的所有函数的集合记 为BA， 即 BA＝｛f|f： A→B｝
第5章 函数
定理 5.1 ― 1 当A和B是有限集合时,有 |BA|＝|B||A| 证明 设|A|＝m， |B|＝n（m， n∈Ｎ）； 又设A＝｛a1， a2， …， am｝。 因为 Df＝A，所以 f＝｛(a1， f(a1))， (a2， f(a2))， …， (am ， f(am))｝。 而每个f(ai)（i∈Ｎm）都有n种可能， {n·n·…·n } ＝n +m个 m个即 |BA|＝|B||A|
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这种对应所表示的函数是：
f:Z N ,f(x) 2 x 2x1
x0 x0
f是Z到N的双射函数。从而证明了Z≈N。
2020/8/5
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8.5 集合的势
例2：N≈NE
▪ 解：构造函数f : N →NE
▪ 将N中元素以下列顺序排列并与NE中元素对应：
N 0 1 2 3 4 5…
NE 0 2 4 6 8 10 …
这种对应所表示的函数是：
f:N N E,f(x)2x
2020/8/5
f是N到NE的双射函数。从而证明了N≈NE。 33
8.5 集合的势
一个结论：
▪ 从上例可以看出：
N E N Z ， N E 但 N Z 。
这说明： ▪ 无限集合能与它的真子集等势，这在有限集合中是不可能
的。
▪ 这是无限集合与有限集合的本质区别之一。
（1）若ranf = B, 则称 f : A→B是满射的.
（2）若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A使得 f(x)=y, 则
称 f : A→B是单射的.
（3）若 f : A→B既是满射又是单射的, 则称 f : A→B
是双射的。
注:
(1) f 满射意味着：y B, 都存在 xA 使得 f(x)=y.
▪ f: (0,1) →（-π/2, π/2),f(x)= π(x- 1/2)，显然f为 双射
▪ g: (-π/2, π/2) →R,g(x)= tgx ，显然g为双射
▪ 于是f∘g : (0,1) → (π/2, π/2) , f∘g (x)=g(f(x)= tgπ(x- 1/2) ，也是双射函数
(2) f 单射意味着：f(x1)=f(x2) x1=x2
2020/8/5
9
8.2 函数的性质
例：
2020/8/5
10
8.2 函数的性质
例8.4 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什 么? （1）f : R→R, f(x)= x2+2x1 （2）f : Z+→R, f(x)=lnx （3）f : R→Z, f(x)=x （4）f : R→R, f(x)=2x+1
16
8.3 一些常用函数
例：
▪ 已知 A={1, 2, 3}上的等价关系如下，确定A到相
应商集的自然映射。
▪ R1={<2,3>,<3,2>}∪IA ▪ R2={<1,3>,<3,1>}∪IA ▪ R3={<1,2>,<2,1>}∪IA ▪ R4=EA ▪ R5=IA
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8.3 一些常用函数
2020/8/5
f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.
27
8.5 集合的势
▪ 令 f : A→B,
▪ f()=f0 ▪ f({2})=f2 ▪ f({1,2})=f4 ▪ f({2,3})=f6
▪ 故： A≈B
f({1})=f1 f({3})=f3 f({1,3})=f5 f({1,2,3})=f7
f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
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6
8.1 函数的定义
3.B上A
▪定义8.4
▪ 所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上 A”即：
BA＝{f | f : A→B}
思考：设|A|=m,|B|=n,则|BA|=？
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7
8.1 函数的定义
解：
▪ 设：A={x1, x2, …,xm}, B={y1, y2, …,yn}, ▪ 则集合A到B的函数f形如：
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8.1 函数的定义
▪例2：判断下列关系中哪些能构成函数？
▪（1）f＝{<x,y>|x,y∈N, x＋y＜10} ▪（2）f＝{<x,y>|x,y∈R, x＝y2} ▪（3）f＝{<x,y>|x,y∈N, y＝x＋1}
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5
8.1 函数的定义
例3：
▪ 设A ＝ {1, 2, 3}, B ＝ {a, b}，则A到B共有多少个不
▪ (2) 若A≈B，则B≈A
▪ (3) 若A≈B，B≈C，则A≈C。
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8.5 集合的势
如何证明A≈B？ ▪ 构造从A到B的双射函数
1.有穷集之间的双射函数的构造
▪ 例1： A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3}
▪ 解：A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
则称 f 为严格单调递增的.
▪ 单调递减 ▪ 严格单调递减
2020/8/5
14
8.3 一些常用函数
(4) 设 A 为集合, 对于任意的 A’ A, A’ 的特征 函数 A’ : A→{0,1} 定义为
实例：
A'(a)10,,
aA' aAA'
设A={a,b,c}, A的每一个子集 A'都对应于一个
特征函数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 如
A ≤.B
▪ f为双射的，则 |A|＝|B|。 A≈B
▪ f是单射的，且不存在A到B的双射，则|A|＜|B|。
A ＜.B
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8.5 集合的势
例如:
▪ |N|≤|R|
▪ 定义f:N →R，f(x)=x，显然f为单射函数，所以|N|≤|R|。 定理8.6
▪ 设A，B，C是任意集合，
▪ (1) A≈A
是满射的, 但不是单射的, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1.
(4) f : R→R, f(x)=2x+1
是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R.
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8.3 一些常用函数
定义8.7
▪ (1) 设f：A→B, 如果存在 c∈B 使得对所有的
x∈A 都有 f(x)=c, 则称 f : A→B是常函数.
▪ (2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所
有的x∈A 都有 IA(x)=x.
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13
8.3 一些常用函数
(3) 设f : A→B，
▪ 如果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1) ≼ f(x2),
则称 f 为单调递增的；
▪ 如果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1) ≺ f(x2),
同的函数？分别列出来。
▪ 解：
f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>} , f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>} , f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>},
f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>} ,
f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>} f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}
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8.5 集合的势
例3： N×N≈N
▪ 解：分析
f :NNN f (m,n) (mn1)(mn) m
在 x 的值.
例如
▪ f1＝{<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}
▪ f2＝{<x1,y1>,<x1,y2>}
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8.1 函数的定义
从A到B的函数
▪ 定义8.3
▪设A, B为集合, 如果 ▪ (1) f 为函数 ▪ (2) domf = A ▪ (3) ranf B,
▪则称 f 为从A到B的函数, 记作 f : A→B.
2020/8/5
▪ 故： (0,1) ≈ R
30
8.5 集合的势
3.A与N之间构造双射
▪方法：
▪ 将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素 开始按照次序与自然数对应.
2020/8/5
31
8.5 集合的势
例1：Z≈N
▪ 解：构造函数f : Z→N
▪ 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z：0 1 1 2 2 3 3 … ↓↓↓↓↓ ↓↓ N：0 1 2 3 4 5 6 …
▪f＝{<x1,□>， {<x2,□>，…… {<xm,□>} ▪对于每个□所在的 位置都可用B中的任何一个
元素代替，即有n种不同的取法，这样的组合 共有nm个。
▪因此A到B共有nm个不同的函数,即： |BA|= |B||A| 。
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8
8.2 函数的性质
定义8.6 设 f : A→B,
推论2 设f : A→B, g : B→C, 则 f∘g : A→C, 且x∈A都有
f∘g(x) = g(f(x)).
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21
8.4 函数的复合和反函数
函数复合的性质
定理8.2 设 f : A→B, g : B→C.
▪ (1) 如果 f : A→B, g : B→C都是满射的, 则 f∘g :
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8.2 函数的性质
解 (1) f : R→R, f(x)= x2+2x1
在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的.
f:Z N ,f(x) 2 x 2x1
x0 x0
f是Z到N的双射函数。从而证明了Z≈N。
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32
8.5 集合的势
例2：N≈NE
▪ 解：构造函数f : N →NE
▪ 将N中元素以下列顺序排列并与NE中元素对应：
N 0 1 2 3 4 5…
NE 0 2 4 6 8 10 …
这种对应所表示的函数是：
f:N N E,f(x)2x
2020/8/5
f是N到NE的双射函数。从而证明了N≈NE。 33
8.5 集合的势
一个结论：
▪ 从上例可以看出：
N E N Z ， N E 但 N Z 。
这说明： ▪ 无限集合能与它的真子集等势，这在有限集合中是不可能
的。
▪ 这是无限集合与有限集合的本质区别之一。
（1）若ranf = B, 则称 f : A→B是满射的.
（2）若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A使得 f(x)=y, 则
称 f : A→B是单射的.
（3）若 f : A→B既是满射又是单射的, 则称 f : A→B
是双射的。
注:
(1) f 满射意味着：y B, 都存在 xA 使得 f(x)=y.
▪ f: (0,1) →（-π/2, π/2),f(x)= π(x- 1/2)，显然f为 双射
▪ g: (-π/2, π/2) →R,g(x)= tgx ，显然g为双射
▪ 于是f∘g : (0,1) → (π/2, π/2) , f∘g (x)=g(f(x)= tgπ(x- 1/2) ，也是双射函数
(2) f 单射意味着：f(x1)=f(x2) x1=x2
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8.2 函数的性质
例：
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8.2 函数的性质
例8.4 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什 么? （1）f : R→R, f(x)= x2+2x1 （2）f : Z+→R, f(x)=lnx （3）f : R→Z, f(x)=x （4）f : R→R, f(x)=2x+1
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8.3 一些常用函数
例：
▪ 已知 A={1, 2, 3}上的等价关系如下，确定A到相
应商集的自然映射。
▪ R1={<2,3>,<3,2>}∪IA ▪ R2={<1,3>,<3,1>}∪IA ▪ R3={<1,2>,<2,1>}∪IA ▪ R4=EA ▪ R5=IA
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8.3 一些常用函数
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f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.
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8.5 集合的势
▪ 令 f : A→B,
▪ f()=f0 ▪ f({2})=f2 ▪ f({1,2})=f4 ▪ f({2,3})=f6
▪ 故： A≈B
f({1})=f1 f({3})=f3 f({1,3})=f5 f({1,2,3})=f7
f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
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8.1 函数的定义
3.B上A
▪定义8.4
▪ 所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上 A”即：
BA＝{f | f : A→B}
思考：设|A|=m,|B|=n,则|BA|=？
2020/8/5
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8.1 函数的定义
解：
▪ 设：A={x1, x2, …,xm}, B={y1, y2, …,yn}, ▪ 则集合A到B的函数f形如：
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8.1 函数的定义
▪例2：判断下列关系中哪些能构成函数？
▪（1）f＝{<x,y>|x,y∈N, x＋y＜10} ▪（2）f＝{<x,y>|x,y∈R, x＝y2} ▪（3）f＝{<x,y>|x,y∈N, y＝x＋1}
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8.1 函数的定义
例3：
▪ 设A ＝ {1, 2, 3}, B ＝ {a, b}，则A到B共有多少个不
▪ (2) 若A≈B，则B≈A
▪ (3) 若A≈B，B≈C，则A≈C。
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8.5 集合的势
如何证明A≈B？ ▪ 构造从A到B的双射函数
1.有穷集之间的双射函数的构造
▪ 例1： A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3}
▪ 解：A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
则称 f 为严格单调递增的.
▪ 单调递减 ▪ 严格单调递减
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8.3 一些常用函数
(4) 设 A 为集合, 对于任意的 A’ A, A’ 的特征 函数 A’ : A→{0,1} 定义为
实例：
A'(a)10,,
aA' aAA'
设A={a,b,c}, A的每一个子集 A'都对应于一个
特征函数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 如
A ≤.B
▪ f为双射的，则 |A|＝|B|。 A≈B
▪ f是单射的，且不存在A到B的双射，则|A|＜|B|。
A ＜.B
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8.5 集合的势
例如:
▪ |N|≤|R|
▪ 定义f:N →R，f(x)=x，显然f为单射函数，所以|N|≤|R|。 定理8.6
▪ 设A，B，C是任意集合，
▪ (1) A≈A
是满射的, 但不是单射的, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1.
(4) f : R→R, f(x)=2x+1
是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R.
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8.3 一些常用函数
定义8.7
▪ (1) 设f：A→B, 如果存在 c∈B 使得对所有的
x∈A 都有 f(x)=c, 则称 f : A→B是常函数.
▪ (2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所
有的x∈A 都有 IA(x)=x.
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8.3 一些常用函数
(3) 设f : A→B，
▪ 如果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1) ≼ f(x2),
则称 f 为单调递增的；
▪ 如果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1) ≺ f(x2),
同的函数？分别列出来。
▪ 解：
f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>} , f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>} , f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>},
f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>} ,
f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>} f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}
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8.5 集合的势
例3： N×N≈N
▪ 解：分析
f :NNN f (m,n) (mn1)(mn) m
在 x 的值.
例如
▪ f1＝{<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}
▪ f2＝{<x1,y1>,<x1,y2>}
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8.1 函数的定义
从A到B的函数
▪ 定义8.3
▪设A, B为集合, 如果 ▪ (1) f 为函数 ▪ (2) domf = A ▪ (3) ranf B,
▪则称 f 为从A到B的函数, 记作 f : A→B.
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▪ 故： (0,1) ≈ R
30
8.5 集合的势
3.A与N之间构造双射
▪方法：
▪ 将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素 开始按照次序与自然数对应.
2020/8/5
31
8.5 集合的势
例1：Z≈N
▪ 解：构造函数f : Z→N
▪ 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z：0 1 1 2 2 3 3 … ↓↓↓↓↓ ↓↓ N：0 1 2 3 4 5 6 …
▪f＝{<x1,□>， {<x2,□>，…… {<xm,□>} ▪对于每个□所在的 位置都可用B中的任何一个
元素代替，即有n种不同的取法，这样的组合 共有nm个。
▪因此A到B共有nm个不同的函数,即： |BA|= |B||A| 。
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8.2 函数的性质
定义8.6 设 f : A→B,
推论2 设f : A→B, g : B→C, 则 f∘g : A→C, 且x∈A都有
f∘g(x) = g(f(x)).
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8.4 函数的复合和反函数
函数复合的性质
定理8.2 设 f : A→B, g : B→C.
▪ (1) 如果 f : A→B, g : B→C都是满射的, 则 f∘g :
2020/8/5
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8.2 函数的性质
解 (1) f : R→R, f(x)= x2+2x1
在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的.