数列极限部分较难习题

数列极限部分书后较难的作业解答: 一.( （书293P）第10题)证明数列1nx=+++-L有极限证明:(一) 因为1n nx x+-==>=故{}n x单减.(二) 由不等式=<=2>()1,2,n=L所以有2222nx>++++-L22022=->-=-.故{}n x有下界.因此根据单调有界原理知,{}n x有极限.二.设常数0a>,nnx=个证明: {}n x收敛,且求lim nnx→∞.解:(一)假设{}n x收敛,并记lim.nnx A→∞=由已知得递推关系式: nx=令n→∞,利用1lim limn nn nx x A-→∞→∞==,得A=即20,A A a-+=解方程得A=又因为0nx>,故取12A=.即1lim 2n n x →∞=(二)下面返证{}n x 收敛.1.由12,x x ==L 显然21x x >()0a >Q .归纳地设1n n x x ->,则1,n n x x +=>=即{}n x 单增. 2.再证{}n x 有上界.B 那么如何取B 呢? 既然{}n x单增且有极限12A +=,那么12A +=就应是{}n x 的一个上界.下面仍然用归纳法证明A ={}n x 的上界.事实上显然1x =<;设n x <则1n x +=<==12+<=故{}n x 单增且有上界,因此{}n x 收敛.注意:这里{}n x 上界的找法似乎依赖于{}n x 的极限值.为了使上述解法更符合逻辑,一般教科书往往先证(2),再求(1)的方法,不过(2)中的上界的选取实际上是事先计算出的极限.当然若{}n x 为单减的,则事先计算出的极限值就是数列的一个下界了.注意:同理可将上例推广到一般情形:设10,xa =>()0,2,3,,n xb n =>=L 则数列{}n x收敛且lim n n x →∞=其中(1)当12,x x =即a=12a=时,12n x ≡(2)当12,x x <即a =12a +<时, {}n x 单增,且12+为上界;(3)当12,x x >即a =12a >时, {}n x 单减,且以0或为下界;有趣的是数列n x 10x a =>并无关系.这说明在一个收敛的迭代数列中,不管数列的初值1x 如何选取,数列总收敛到相同的极限值,这也正是迭代算法的存在价值.三.(295P 第13题(3))设0b a >>,数列{}{},n n x y 由下式所确定:1111,,2n nn n x y x a y b x y +++==== 证明它们有公共的极限.证明:(一)由0b a >>可知,()0,0.1,2,n n x y n >>=L因而 ()111,2,2n nn n x y y x n +++=≥==L显然对于,n ∀ 112n nn n x y y x +++=≥=，又因为110y x >>，故对于,n ∀ .n n y x >所以1n n x x +≥= (1) 因此, {}n x 单调递增. 同理:因为122n n n nn n x y y y y y +++=≤=, (2) 因此{}n y 单调递减.(二)由于11,n n a x x y y b =≤≤≤=因此{}n x 有上界b ,且{}n y 有下界a ,根据单调有界原理知, 数列{}{},n n x y 均有极限. (三).设lim ,lim .n n n n x c y d →∞→∞==对12n nn x y y ++=两边取极限,得 ,2c dd +=于是,,c d =即lim lim .n n n n x y →∞→∞=四.294P 第12题设0x a =和1x b =已知实数,令()111,2,2n nn x x x n -++==L (1)证明数列{}n x 收敛且2lim .3n n a bx →∞+= 证明:由(1)式, ()()010121110112222x x x x x x x x x b a +-⎛⎫⎛⎫-=-==--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2) ()()212123222111;2222x x x x x x x x x b a +-⎛⎫⎛⎫-=-==--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (3)()()323234333211;2222x x x x x x x x x b a +-⎛⎫⎛⎫-=-==--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4)M()111.2n n n x x b a --⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭()n上述()2—()n 相加,得:()231111112222n n x x b a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L()()111112211113212n n b a b a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=----⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭故()()1111111113232n n n x x b a b b a --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=----=----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()12lim .33n n a bx b b a →∞+=--=五. (294P 第13题(1))设()()11310,1,2,3n n nx x c x n x ++=>==+L ,证明数列{}n x 收敛,且lim n n x →∞=证明:(一) 显然()()()1313103,1,2,333n n n n nx x x n x x +++<=<==++L(二)由对于任何的2n ≥,()()()()()11111313163333n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+--++--=-=++++ (1) (1)式说明1n n x x +-与1n n x x --同号.如果1n n x x +-与1n n x x --均大于0,则说明{}n x 是单调增加的,且有上界3; 如果1n n x x +-与1n n x x --均小于0,则说明{}n x 是单调减少的,且有下界0.总之,根据单调有界原理知, {}n x 收敛.(三) 设lim n n x a →∞=,在()1313n n nx x x ++=+两边取极限,得()313a a a+=+,解之,有lim n n a x →∞==六. (294P 第13题(2))设实数()2110,,1,2,222nn x c c c x x n +≥==+=L ,讨论数列{}n x 敛、散性.证明: (一)假设{}n x 收敛,并设lim n n x a →∞=,则由2122nn x c x +=+两边取极限,得222c a a =+,即220a a c -+=,解得1a =因此,当1c >时, {}n x 发散; (二)当01c ≤≤时,我们证明{}n x 是收敛的.事实上,(1)显然()01,2,n x n ≤=L ,且11;2cx =≤下面利用归纳法证明 对于任何的2n ≥,有.n x c ≤事实上,若假设1,k x ≤则有2111.222k k x c x +=+≤= 故对于任何的2n ≥,有 1.n x ≤总之, 对于任何的1n ≥,有0 1.n x ≤≤(2)因为()()22111122222n n n n n n n n x x x x x x c c x x ---+-+⎡⎤⎡⎤-=+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦式说明1n n x x +-与1n n x x --同号.如果1n n x x +-与1n n x x --均大于0,则说明{}n x 是单调增加的,且有上界1; 如果1n n x x +-与1n n x x --均小于0,则说明{}n x 是单调减少的,且有下界0.总之,根据单调有界原理知, {}n x 收敛.且lim 1n n x →∞=七. (291P 第1题(3)、(4)) 求极限()()1.3.521lim2.4.62n n n →∞-L L解:(一) 因为()()()22221.214142n n n n n -+=-<= (1)故 ()()22221.3.5.721.21n n -+L()()()()()()()()1.3.3.5 5.77.922212121n n n n =---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L (()1Q )()22222.4.6.2n <L (2)所以 ()()()()()2222222221.3.521 1.3.5.721.211.2.4.62212.4.62n n n n n n ⎡⎤--+=⎢⎥+⎣⎦L L L L (()2Q 121n <+ (3)故()()1.3.5212.4.62n n -<L L (4) (二)由(4)式 ()()1.3.5210 2.4.62n n -<<L L且0,n =故由夹逼准则知, ()()1.3.521lim0.2.4.62n n n →∞-=L L(4)求n解:取()211,2,n n x n n-==L ,根据课堂上讲过例26(注意到此题是用夹逼准则证明的):设{}n x 是实数序列,()0n x n >∀, lim 0,n n x a →∞=>则.n a =,有21lim 1.2n n n n→∞-== 另解:记()()1.3.521,1,2,2.4.62n n x n n -==L L L则352111...242222n n x n n n -=≥⇒≥-L(5) 又 由(3), ()()221.3.52112.4.6221n n x n n ⎡⎤-=<⎢⎥+⎣⎦L L2121n x n ⇒<⇒<+ (6) 综合(5)、(6),得≤<因为1,n n ==所以,由夹逼准则知, 1.n n ==注: 上述另解中用到了结论，其证明方法1n =如下. 证明:记 1,n x =则1,n x ≥我们有 ()()()221111.22nn n n n n n n n n x nx x x --=+=+++≥L 由此,得 ()()210,2,3,2n n n n x x n -≤≤=L 且0.n= 因此由夹逼准则知, )lim lim10,n n n x→∞→∞==故lim 1n =.八. (第292页第2题).证明:若lim n n x →∞=+∞,则也有12lim.nn x x x n→∞+++=+∞L证明:因为lim n n x →∞=+∞,故对于任给的0M >,存在N ,使当n N >时,有n x M > (1)令12n n s x x x =+++L (2) 则12.1n N n N N N N n s s s s s x x x N n n n n n N n ++-+++⎛⎫=+=+- ⎪-⎝⎭L 3.1N s N M n n ⎛⎫>+- ⎪⎝⎭ (3) 又因()10,11,2N s N n n n →-→>→∞故可取正整数,N N '>使当n N '>时,恒有 1,1.222N N s s M M N n n n <⇒>--> (4)于是,当n N '>时,恒有13.13..22n N s s N M M M M n n n ⎛⎫>+->-+= ⎪⎝⎭ 即证明了, 对于任给的0M >,存在正整数,N N '>使当n N '>时,恒有12.n x x x M n +++>L 所以, 12lim .nn x x x n →∞+++=+∞L九. (第292页第3题).设: lim ,lim ,n n n n x a y b →∞→∞==证明:1211lim.n n n n x y x y x y ab n-→∞+++=L证明:记1211n n n n x y x y x y z n -+++=L ,1,2,n =L因为lim ,lim ,n n n n x a y b →∞→∞==故我们有,,n n n n x a y b αβ=+=+这里{}{},n n αβ为无穷小序列. 于是,111211.nnn n n n z ab b a n nnααββαβαβαβ-+++++++=+++L L L无穷小序列也是有界序列,可设 n M β≤ 对.n ∀ 因为121211.nn n n M nnααααβαβαβ-++++++≤L L所以12.n M n ααα⎧+++⎫⎨⎬⎩⎭L 无穷小序列.又因为1,n b n αα++⎧⎫⎨⎬⎩⎭L 1na n ββ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭L 也都是无穷小序列,所以, 1211lim.n n n n x y x y x y ab n -→∞+++=L十. (第292页第6题).证明著名的施笃兹(Stolz)定理: 若数列{}{},n n x y 满足条件:(1)121,n n y y y y -<<<<<L L 且 ()lim .n y n →∞=+∞→+∞ →()n +∞→∞;(2)有极限11lim;n n n n n x x y y -→∞---则也有极限lim,n n n x y →∞且lim n n n x y →∞=11lim .n n n n n x x y y -→∞---证明: 假定11limn n n n n x x a y y -→∞--=-,由此,并注意到lim .n n y →∞=+∞,知对于任给的0ε>,存在N ,使当n N >时,有112n n n n x x a y y ε----<- (且0n y >) (1)于是,当n N >时11,N N N N x x y y ++--2121121211,,,N N n n n n N N n n n nx x x x x xy y y y y y ++---++---------L (2)都包括在,22a a εε⎛⎫-+ ⎪⎝⎭之内,因为1n n y y +>,所以(2)式中那些分数的分母都是正数,于是得()()111;22N N N N N N a y y x x a y y εε+++⎛⎫⎛⎫--<-<+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()212121;22N N N N N N a y y x x a y y εε++++++⎛⎫⎛⎫--<-<+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()323232;22N N N N N N a y y x x a y y εε++++++⎛⎫⎛⎫--<-<+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L ()()111.22n n n n n n a y y x x a y y εε---⎛⎫⎛⎫--<-<+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 上述各式相加,得()().22n N n N n N a y y x x a y y εε⎛⎫⎛⎫--<-<+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即.22n N n N x x a a y y εε--<<+-故当n N >时,有2n N n N x x a y y ε--<- (2)另外,我们有,当n N >时1.n N N N n Nn n n n N x x ay y x x a a y y y y y ⎛⎫⎛⎫---=+-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ (3) 故1.n N N N n Nn n n n N x x ay y x x a a y y y y y ⎛⎫---≤+-- ⎪-⎝⎭,注意到 11,.2N n N n n N y x x a y y y ε--<-<-故有 .2n N N n n x x ay a y y ε--≤+ (4) 又注意到,对于上述的N ,因为lim n n y →∞=+∞,所以,有lim0,N Nn nx ay y →∞-=故可取()N N '>,使得当n N '>有0.2N N N N n n x ay x ay y y ε--=-< (5) 于是,当n N '>时,有.222n N N n n x x ay a y y εεεε--≤+<+=因此,依极限定义,知 11lim.n n n n n x x a y y -→∞--=-十一.(293P 页第9题)求()lim sin 2!n n en π→∞⎡⎤⎣⎦解:由(见课本286287P -的推导) ()()()()1111111011!2!!1!1!1n n e n n n n θθ++=++++++<<+++L (1) 故()()()111112!2!11!2!!1!1!1n en n n n n n θππ+⎡⎤=++++++⎢⎥+++⎣⎦L注意到sin 20,1,2,k k π==L故 ()()122sin 2!sin 11n en n n θππ+⎛⎫=+⎪ ⎪++⎝⎭于是()()()112222lim sin 2!lim sin lim 2.1111n n n n n n en n n n n n n θθππππ++→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫=+=+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭十二.(292P 页第4题)设()01,2,n y n >=L 且()1n n y y s n ++=→∞→∞L .证明: 若有极限lim n n x →∞,则也有极限112212limlim .n nn n n nx y x y x y x y y y →∞→∞+++=+++L L证明:设lim n n x c →∞=,则,n n x c α=+其中()lim 0.1,2,n n n α→∞==L 于是1122112.nk kn n k n ny x y x y x y c y y y s α=+++=++++∑L L (1)记1nkkk n ny s αβ==∑,为方便起见,又记()1,2,,.knk ny t k n s ==L , 则1nn k nk k t βα==∑ (2)显然有对于任意给定的()1,lim 0nk n k k n t →∞≤≤=;且11,.nnk k t n ==∀∑ (3)下面证明1nn k nk k t βα==∑为无穷小序列.事实上,对于N m ∈∃>∀,0ε，使得，只要k m >,就有||2k αε< (4) 又因为对于任何给定的(),1,k k m ≤≤有lim 0.nk n t →∞=,所以对这取定的m ,存在k P N ∈,使当k n P >时,就有 ()12,1,2,,.2nk mt k m εααα<=+++L L,又可取{}1max ,,,m p P P =L 则当p n >时，有11 2.n nm m t t ααε+<L (5)我们记{}p m N ,m ax =.于是，当N n >时，有()1111n n nm m m nn n n m t t t t βαααα++≤+++++L L()()1.2222nnn m t t εεεεε+<+++≤+=L故1nn k nk k t βα==∑为无穷小序列.,所以, 112212lim lim .n nn n n nx y x y x y c x y y y →∞→∞+++==+++L L第一章 函数的极限第二节 函数的极限一．函数的极限的概念(一)当∞→x 时函数的极限1.引例：观察下述几个函数当x 无限增大时（即∞→x ）的取值规律.（1）.()1f x x=； （2）.()11,0,11,0.x xf x x x⎧-<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩（3）.();x x f = （4）..)(c x f ≡大家注意到，这四个函数当∞→x 时，都有明显的取值规律：其中（1）x x f 1)(=，无论→x +∞，还是-∞→x ，相应的函数值都无限的接近同一常数0，这时，我们就称)(x f 当∞→x 时有极限0.记为：.01lim=∞→xx （要会背）.但（2）中，因为当→x +∞及-∞→x 时)(x f 虽分别无限接近于常数-1和1，但在“∞→x ”这个总体极限过程中不能稳定在同一常数附近，这时，仍称)(lim x f x ∞→不存在.如果单独考察左、右侧极限，它们却是分别存在的，分别为-1、1.记为：.1)(lim ,1)(lim =-=+∞→-∞→x f x f x x 这里请大家务必区分开来.至于（3），随x 无限增大，|)(|x f 也无限增大，)(x f 的取值永不稳定，这时，)(lim x f x ∞→当然不存在.但为了强调|)(|x f 无限增大这一特点，形式地记∞=∞→)(lim x f x .1．A x f x =∞→)(lim 的定义（1）（描述性定义：设函数)(x f y =当x M >(其中0M >为常数) 时有定义，如果随x 无限增大时，相应的)(x f 的值就无限地接近某一常数A ，则称)(x f 当“∞→x ”时有极限A （或收敛于A ）.记为：()A x f x =∞→lim 或()()∞→→x A x f ,.（2）（精确的数学定义）：设函数)(x f y =当x M >(其中0M >为常数)时有定义，如果对0>∀ε,（无论它多小）都0X M ∃>>，使当x X >时，都有： ε<-|)(|A x f ,则称)(x f 当“∞→x ”时有极限A （或收敛于A ）.记为：()A x f x =∞→lim 或()()f x A x →→∞.注意：（1）.请大家思考一下单侧极限 A x f A x f x x ==-∞→+∞→)(lim ,)(lim 应如何定义？（2）.()A x f x =∞→lim 的几何解释（作图说明）：对0>∀ε，在xoy 平面上分别作两条平行直线εε+=-=A y A y ,，则必存在0X >,使当x X >时，函数)(x f y =的图形总位于这两条平行直线之间. （3）.由引例，显然有定理1. ()()()lim ,lim lim .x x x f x A f x A f x A →-∞→∞→+∞⎧=⎪=⇔⎨=⎪⎩（4）.请记住：lim 0,lim ,lim arctan ,lim arctan .22x x x x x x e e x x ππ→-∞→+∞→-∞→+∞==+∞=-=例1．证明：11lim=+∞→x xx 证明：对0>∀ε，要使1|()||1|1|1|x f x A x x ε-=-=<++ 由.11||1||1|1|11|||1|+≥⇒<-≤+⇒-≥+εεx x x x x 故取11+=εX ，则当X x >||时，就有()ε<-||A x f .依定义：11lim=+∞→x xx .（二）当0x x →时函数的极限1.引例：观察下述几个函数当0→x 时的取值规律 （1）x x f =)(；（2）()1,0,1,0.x x f x x x -<⎧=⎨+>⎩（3）()xx f 1=.2．0lim ()x x f x A →=的定义（1）（描述性的定义）设函数)(x f y =在0x 的某个去心邻域内有定义.如果当x 无限地接近于0x 时，相应地)(x f 的值就无限地接近某一个常数A ，这时，就称函数在点0x 处有极限（或收敛于）A.记为：()0lim x x f x A→=或()()0,f x A x x →→.（2）（精确的数学定义）：设函数)(x f y =在0x 的某个去心邻域0U x ∧⎛⎫ ⎪⎝⎭内有定义，如果对0>∀ε（无论它多小），都0>∃δ，使当00||x x δ<-<时（即0x U x ∧⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时）都有()ε<-||A x f ，这时，就称函数在点0x 处有极限（或收敛于）A.记为：()0lim x x f x A →=或()()0,f x A x x →→.注意：（1）上述定义中为何要强调“去心邻域”？ （2）仿上述精确的数学定义，如何定义单侧极限)(lim ),(lim 00x f x x f x x x +-→→？ （3）()0lim x x f x A →=的几何解释：（作图说明）：对0>∀ε，在xoy 平面上分别作两条平行直线εε+=-=A y A y ,，则必存在点0x 的-δ邻域,使这邻域内的全部点（除0x 所对应的函数|)(x f y =的图形总位于这两条平行直线之间.（4）显然，有：定理2.()()0lim lim ,x x x x f x A f x A -→→=⇔=()0lim x x f x A +→=且. 例2．证明：00lim x x x x →=（其中0x 为常数，此结论要会背）.证明：对0>∀ε，要使 0|()|||f x A x x ε-=-<，只须取εδ=，则当00||x x δ<-<时，0|()|||f x A x x δε-=-<=. 依定义，00lim x x x x →=.例3．证明：22lim 4x x →=（请大家先猜猜极限值是多少？有何想法没有？）证明：不妨设1|2|≤-x （为何能这样假设？）5331≤≤⇒≤≤⇒x x . 对0>∀ε，要使2|()||4||2||2|5|2||2|5f x A x x x x x εε-=-=+-≤-<⇒-<故取⎭⎬⎫⎩⎨⎧=5,1min εδ，则当δ<-<|2|0x 时，有2|()||4|5|2|55.5f x A x x εδε-=-≤-<≤=例1.讨论xx x ||lim0→ 解：因为;10lim ||0lim -=-=--→→x x x x x x 10lim ||0lim ==++→→x xxx x x , 所以，xx x ||lim0→不存在！（此结论要会背）. 二.函数极限的性质注意到函数极限共有六种（哪六种？）形式，本节仅就最为常用的lim ()x x f x A →=为例讲述。