奇数和偶数
奇数和偶数
奇数和偶数将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数. 因此，任一偶数可表为2m （m ∈Z ），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式. 奇、偶数具有如下性质： （1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数.（2）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数； 奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数； 奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数.（3）奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数. （4）若a 、b 为整数，则a+b 与a-b 有相同的奇偶性. （5）n 个奇数的乘积是奇数，n 个偶数的乘积是2n的倍数；若n 个整数的乘积式中有一个是偶数，则乘积是偶数.（6）奇数的平方都可表为8m +1形式，偶数的平方都可表为8m 或8m +4的形式（m ∈Z ）. （7）任何一个正整数n ，都可以写成l n m2=的形式，其中m 为非负整数，l 为奇数.这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.例题讲解1．（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么 这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□，□÷□＝□.2．（第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n 是偶数，m 是奇数，方程组⎩⎨⎧=+=-my x n y x 27111988的解⎩⎨⎧==qy p x 是整数，那么( )（A ）p 、q 都是偶数. （B ）p 、q 都是奇数. （C ）p 是偶数，q 是奇数 （D ）p 是奇数，q 是偶数3．在1，2，3，…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数？4．（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？5．（1990年日本高考数学试题）设a、b是自然数，且有关系式123456789=（11111+a）×（11111-b），①证明a-b是4的倍数.6．（第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3×3的正方格（a ）和（b ）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化，试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.a7．设正整数d 不等于2，5，13. 证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素a ,b ，使得 a b －1不是完全平方数.8．设n a a a ,,,21 是一组数，它们中的每一个都取1或－1，而且a 1a 2a 3a 4+a 2a 3a 4a 5+…+a n a 1a 2a 3=0，证明：n 必须是4的倍数.b课后练习1.填空题（1）有四个互不相等的正整数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.（2）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答____.2.选择题（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（）①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（）（A）不能确定奇数还是偶数（B）必然是非零偶数（C）必然是奇数（D）必然是零3.试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.4.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除5.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连结起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只有三角形的小块，试证这种小三角形的个数与n有相同的奇偶性.课后练习答案１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数） （2）不能． ２．Ｂ．Ａ ３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故和为偶数．4 ．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０ ①ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ ②假如ｎ为奇数，由②，所有ａｉ皆为奇数，但奇数个奇数之和为奇数，故这时①不成立，可见ｎ只能为偶数．由于ｎ为偶数，由②知ａｉ中必有一个偶数，由①知ａｉ中必有另一个偶数．于是ａｉ中必有两个偶数，因而由②知ｎ必能被４整除．5 ．设小三角形的个数为ｋ，则ｋ个小三角形共有３ｋ条边，减去ｎ边形的ｎ条边及重复计算的边数后共有23n k -条线段，显然只有当ｋ与ｎ有相同的奇偶性时，23n k -才是整数．例题答案：1.解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.2.分析 由于1988y 是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y ，所以p 是偶数，将其代入第二方程中，于是11x 也为偶数，从而27y=m-11x 为奇数，所以是y=q 是奇数，应选（C ）3.分析 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992=2)19921(1992+=996×1993为偶数，于是题设的代数和应为偶数.4.解 设70个数依次为a 1,a 2,a 3据题意有a 1=0, 偶 a 2=1 奇 a 3=3a 2-a 1, 奇 a 4=3a 3-a2, 偶 a 5=3a 4-a3, 奇 a 6=3a 5-a4, 奇 ………………由此可知：当n 被3除余1时，a n 是偶数；当n 被3除余0时，或余2时，a n 是奇数，显然a 70是3k+1型偶数，所以k 必须是奇数，令k=2n+1，则a 70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.5.证明 由①式可知11111（a-b ）=ab+4×617 ② ∵a＞0,b ＞0,∴a -b ＞0首先，易知a-b 是偶数，否则11111(a-b)是奇数，从而知ab 是奇数，进而知a 、b 都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式①矛盾其次，从a-b 是偶数，根据②可知ab 是偶数，进而易知a 、b 皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b 是4的倍数.6. 解 按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个. 表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.7. 解 由于2×5－1=32，2×13－1=52，5×13－1=82，因此，只需证明2d －1，5d －1，13d －1中至少有一个不是完全平方数.用反证法，假设它们都是完全平方数，令 2d －1=x 2 ① 5d －1=y 2 ② 13d －1=z 2 ③ x,y,z ∈N *由①知，x 是奇数，设x =2k －1，于是2d －1=（2k －1）2，即d =2k 2－2k+1，这说 明d 也是奇数.因此，再由②，③知，y,z 均是偶数.设y=2m ,z =2n ,代入②、③，相减，除以4得，2d =n 2－m 2=(n+m)(n －m)，从而n 2－m 2为偶数，n ，m 必同是偶数，于是m+n 与m －n 都是偶数，这样2d 就是4的倍数，即d 为偶数，这与上述d 为奇数矛盾.故命题得证.8.证明:由于每个i a 均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项321+++i i i i a a a a 也只取1或－1，而这样的n 项之和等于0，则取1或－1的个数必相等，因而n 必须是偶数，设n=2m.再进一步考察已知等式左端n 项之乘积=(n a a a 21)4=1，这说明，这n 项中取－1的项（共m 项）也一定是偶数，即m=2k ，从而n 是4的倍数.。
偶数和奇数知识归纳总结
偶数和奇数知识归纳总结偶数和奇数是基础的数学概念，在我们的日常生活和学习中扮演着重要的角色。
本文将对偶数和奇数的定义、特点、性质以及它们在数学中的应用进行归纳总结。
一、偶数和奇数的定义1. 偶数：指能够被2整除的自然数，例如2、4、6、8等。
2. 奇数：指不能被2整除的自然数，例如1、3、5、7等。
二、偶数和奇数的特点1. 偶数的特点：a. 偶数与偶数相加、相减，结果仍然是偶数。
b. 偶数与奇数相加，结果是奇数。
c. 偶数乘以任何整数，结果都是偶数。
d. 0是偶数的特例，因为0是可以被2整除的。
2. 奇数的特点：a. 奇数与奇数相加、相减，结果仍然是偶数。
b. 奇数与偶数相加，结果是奇数。
c. 奇数乘以任何整数，结果都是奇数。
三、偶数和奇数的性质1. 偶数和奇数的性质：a. 偶数和偶数的乘积是偶数，奇数和奇数的乘积是奇数。
b. 任何整数都可以表示为偶数加上一个奇数。
c. 两个连续的自然数中，一个是偶数，一个是奇数。
2. 偶数的性质：a. 0是最小的偶数，它是所有偶数的倍数。
b. 最大的偶数是无穷大。
3. 奇数的性质：a. 1是最小的奇数，它是所有奇数的倍数。
b. 最大的奇数是无穷大。
四、偶数和奇数在数学中的应用1. 偶数和奇数在分析和计算中的应用：a. 偶数和奇数的性质被广泛应用于数论、代数和组合数学等领域。
b. 在计算机科学中，偶数和奇数的概念被用于判断和处理数字的性质和范围。
2. 偶数和奇数在实际生活中的应用：a. 在物理学中，偶数和奇数的概念被用于描述电荷、量子数和粒子等的性质。
b. 在财务和经济学中，偶数和奇数的概念被用于分析和预测数据、趋势和模式。
c. 在统计学中，偶数和奇数被用于分组和分析数据，帮助我们理解和解释潜在的关联或规律。
综上所述，偶数和奇数是我们数学学习中的基础概念，通过对它们的定义、特点、性质和应用的归纳总结，我们可以更好地理解和应用它们，在解决问题和思考数学中起到重要的作用。
奇数和偶数的区分
奇数和偶数的区分奇数和偶数是数学中常见的概念，它们在我们的日常生活和各个领域都有广泛的运用。
本文将介绍奇数和偶数的定义，并探讨其特性和应用。
一、奇数的定义和特性奇数是自然数中不能被2整除的数。
简单来说，如果一个数能被2整除，那么它就是偶数；如果一个数不能被2整除，那么它就是奇数。
奇数具有以下特性：1. 奇数加奇数等于偶数，如3+3=6；2. 奇数加偶数等于奇数，如3+4=7；3. 奇数乘以奇数等于奇数，如3*3=9；4. 奇数乘以偶数等于偶数，如3*4=12。
二、偶数的定义和特性偶数是自然数中能被2整除的数。
换言之，如果一个数能够被2整除，那么它就是偶数。
偶数具有以下特性：1. 偶数加偶数等于偶数，如4+4=8；2. 偶数加奇数等于奇数，如4+3=7；3. 偶数乘以偶数等于偶数，如4*4=16；4. 偶数乘以奇数等于偶数，如4*3=12。
三、奇数和偶数的应用1. 数学领域：奇数和偶数经常在数论、代数等领域的研究中出现。
例如，费马定理中有关奇数和偶数的讨论就十分重要。
2. 计算机科学：在计算机编程中，对整数进行奇偶性判断是一项常见的操作。
通过判断一个数能否被2整除，可以确定其奇偶性，帮助解决各种计算问题。
3. 统计学：奇数和偶数可以在调查和统计过程中帮助进行数据分类和分析。
通过统计奇数和偶数的数量，可以获取有关数据分布和趋势的一些初步信息。
4. 日常生活：奇数和偶数在我们的日常生活中也有着一定的应用。
比如座位数目的安排，分配给参与活动的人员的奇数和偶数的选择等等。
在总结中，奇数和偶数是数学中常见的概念，其定义和特性十分明确。
它们在数学、计算机科学、统计学以及我们的日常生活中都有广泛的运用。
通过理解和应用奇数和偶数的特性，我们可以更好地解决问题，推动科学和生活的发展。
偶数和奇数理解偶数和奇数的特性和运算规则
偶数和奇数理解偶数和奇数的特性和运算规则偶数和奇数的特性和运算规则在数学中，偶数和奇数是两个基本的整数概念。
本文将探讨偶数和奇数的特性以及它们之间的运算规则。
一、偶数和奇数的定义偶数和奇数是自然数的两个子集。
简单来说，一个数如果能被2整除，则称之为偶数；如果不能被2整除，则称之为奇数。
二、偶数的特性和运算规则1. 偶数的特性- 偶数可以分解为2的倍数，也就是说，偶数一定可以写成2的某个整数倍。
- 偶数的个位数字可以是0、2、4、6或8。
- 任何一个正偶数加上另一个正偶数，结果一定是偶数。
- 任何一个正偶数乘以任意整数，结果一定是偶数。
- 偶数与偶数相乘，结果仍然是偶数。
2. 偶数的运算规则- 偶数与偶数相加，结果仍然是偶数。
- 偶数与奇数相加，结果是奇数。
- 偶数与偶数相减，结果可能是奇数也可能是偶数。
- 偶数与奇数相减，结果一定是奇数。
- 偶数与偶数相乘，结果仍然是偶数。
- 偶数与奇数相乘，结果一定是偶数。
三、奇数的特性和运算规则1. 奇数的特性- 奇数不可以被2整除，除以2时会产生余数。
- 奇数的个位数字可以是1、3、5、7或9。
- 任何一个正奇数加上另一个正奇数，结果一定是偶数。
- 任何一个正奇数乘以任意整数，结果一定是奇数。
- 奇数与奇数相乘，结果仍然是奇数。
2. 奇数的运算规则- 奇数与奇数相加，结果仍然是偶数。
- 奇数与偶数相加，结果是奇数。
- 奇数与奇数相减，结果可能是奇数也可能是偶数。
- 奇数与偶数相减，结果一定是奇数。
- 奇数与奇数相乘，结果仍然是奇数。
- 奇数与偶数相乘，结果一定是偶数。
四、应用示例1. 偶数和奇数的加法运算举例：- 偶数6 + 偶数4 = 偶数10- 偶数6 + 奇数3 = 奇数9- 奇数7 + 奇数5 = 偶数12- 奇数7 + 偶数2 = 奇数92. 偶数和奇数的乘法运算举例：- 偶数8 ×偶数6 = 偶数48- 偶数8 ×奇数3 = 偶数24- 奇数7 ×奇数5 = 奇数35- 奇数7 ×偶数2 = 偶数14五、总结偶数和奇数是数学中有着特定概念和运算规则的整数子集。
奇数和偶数
奇数和偶数整数可分为奇数和偶数两大类，不被2整除的整数成为奇数，被2整除的整数成为偶数，整数的奇偶性有下列基本性质.（1）奇数不可能与偶数相等，（2）偶数±奇数＝奇数，偶数±奇数＝奇数，奇数±偶数＝奇数，奇数±奇数＝偶数。
不难看出：在一个只含整数加减法的算术中，如果奇数的个数是偶数，那么结果为偶数；如果奇数的个数为奇数，，那么结果为奇数.（3）偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数。
即：奇数与奇数的乘积是奇数，奇数与偶数的乘积是偶数.（4）偶数可用12+k （或12-k ）表示，其中k 为整数.利用奇偶性的基本特质，特别是奇数不可能等于偶数这一浅显的性质，可以解决许多教学问题.一只小船往返于一条小河的左右两岸之间，问：（1）如果最初小船在左岸，过河若干次后，又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数？如果最后到了后岸，情况又是怎样呢？（2）如果最初小船在左岸，过河99次后，停在左岸还是右岸？解 （1）小船最初在左岸，过1次河就到了右岸，再过1次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了2次河.因此，若小船由左岸开始，过河多次后又回到左岸，则过河的次数必须为2的倍数，即偶数。
同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数.（2）在（1）中，我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸，现在小船过河99次，是奇数次.因此，最后小船应该停在右岸.!999999和（注：99.......4321!99⨯⨯⨯⨯⨯=，读作99的阶乘）能否表示成为99个连续的奇数的和？分析9899999999⨯=.先写下9899，然后写出9899后面的49个连续的奇数，又写出9899前面的49个连续的奇数，这99个连续的奇数和正好是9998999999=⨯. 另一方面，!99是偶数，而99个奇数的和是奇数.解 （1）9999能.因为：)9899()9699(......)299(99)299(........)9699()9899(999898989898989899++++++++-++-+-=即9999能表示为99个连续奇数的和.（2）!99不能.以为!99=99.......321⨯⨯⨯⨯是偶数，而99个奇数的和是奇数，所以!99不能表示为99个奇数的和.说明 如果答案是肯定的，我们常常将满足题意的例子举出来或造出来，这成为构造法.如果答案是否定的，常常采用反证法，找出其中的矛盾.图22-1是一所房子的示意图，每一个房间与相邻的房间都有门相通，小明在某一房间中，他想从这个房间开始不重复的走遍 房间，能做到吗？若能，他开始时应在哪一个房间？又应该怎样走？若不能，请说明理由.解 不能做到将图22-1的房间黑白相间地涂上如图22-2.这样，不论小明从哪个房间出发，他总是从白房间走进黑房间，或者从黑房间走进白房间.因此走法必须为：黑→白→黑→白→…….不管哪一种走法，黑房间的数目与白房间的数目相等或者相差一.而图22-2中白房间5间，黑房间3间，相差2间.因此不能走遍每间房间而不重复.说明 与整数可以分为奇数与偶数两类一样，我们把房间涂上黑白两色，分成两类.几个连续的整数，必然是奇偶相间，而且奇数个数与偶数个数必然相差至多为1个.类似的，房间的走法也是黑白相间.因此黑白房间的数目至多相差1.这一点，正是我们解决本例的关键.因此，从本质上说，我们还是利用奇偶性来解决问题的.事实上，如果我们不用黑白两色来涂房间，而是将房间相间地贴上奇偶两字，问题一样得到解决.把图22-3中的圆圈任意涂上红色或蓝色，问有没有可能使得同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由.解如果每条线上红圈数都是奇数个，那么5条线上的红圈数相加仍是奇数。
偶数与奇数认识偶数和奇数的特点
偶数与奇数认识偶数和奇数的特点偶数和奇数是我们数学中经常遇到的两个概念。
它们是自然数的两个不同分类。
在本文中，我们将探讨偶数和奇数的特点。
一、什么是偶数和奇数偶数是自然数中可以被2整除的数，它们可以表示为2的倍数。
例如，2、4、6、8等都是偶数。
而奇数是自然数中不被2整除的数，它们不能表示为2的倍数。
例如，1，3，5，7等都是奇数。
二、奇数和偶数的特点1. 奇数特点- 奇数末尾的数字是1、3、5、7、9，它们不能被2整除。
- 任何两个奇数相加的结果都是偶数，例如3+5=8。
- 任何两个奇数相乘的结果仍为奇数，例如3*5=15。
- 在一个奇数和一个偶数相乘的乘积是偶数，例如3*4=12。
- 奇数的平方是奇数，例如3²=9。
2. 偶数特点- 偶数末尾的数字是0、2、4、6、8，它们可以被2整除。
- 任何两个偶数相加的结果仍为偶数，例如2+4=6。
- 任何两个偶数相乘的结果也是偶数，例如2*4=8。
- 在一个奇数和一个偶数相乘的乘积是偶数，例如3*4=12。
- 偶数的平方也是偶数，例如4²=16。
三、奇数和偶数的应用奇数和偶数在日常生活中有许多应用，例如：1. 奇偶校验：在计算机科学中，使用奇偶校验来检查数据传输的正确性。
通过检查传输数据位中1的个数来判断校验位是奇数还是偶数，从而进行错误检测和纠正。
2. 分班制：在某些学校和机构中,奇数和偶数可能会被用来进行分班。
例如，某学校可以将奇数学生分到一个班级，将偶数学生分到另一个班级，以便更好地管理和教育学生。
3. 数字游戏：奇数和偶数还可以用于玩家之间的互动游戏。
例如，一个玩家可以说一个数字，另一个玩家必须根据该数字是奇数还是偶数给出回答。
结论通过本文的探讨，我们了解到了偶数和奇数的定义和特点。
奇数和偶数在数学以及生活中都有重要的应用。
它们作为数学中的基本概念，帮助我们更好地理解数字和进行各种运算。
无论是在计算机科学中的数据校验，还是在日常生活中的分班制度，我们都可以看到奇数和偶数的影子。
偶数和奇数认识偶数和奇数的特点
偶数和奇数认识偶数和奇数的特点偶数和奇数是我们在数学中常见的概念。
了解和认识偶数和奇数的特点对于学习数学以及解决实际问题都是非常重要的。
本文将介绍偶数和奇数的定义、性质以及它们在数学和现实生活中的应用。
一、偶数与奇数的定义偶数是指能够被2整除的数，它的特点是末尾数字为0、2、4、6或8。
我们可以用数学表达式来定义偶数：如果一个整数n满足n = 2k （其中k是整数），那么n就是一个偶数。
奇数是指不能被2整除的数，它的特点是末尾数字为1、3、5、7或9。
同样地，我们可以用数学表达式来定义奇数：如果一个整数n满足n = 2k + 1（其中k是整数），那么n就是一个奇数。
二、偶数与奇数的性质1. 加法性质：任何一个偶数加上另一个偶数，得到的结果仍然是偶数；任何一个奇数加上另一个奇数，得到的结果仍然是偶数；但是一个偶数加上一个奇数，得到的结果是奇数。
2. 乘法性质：任何一个偶数乘以任何一个整数，得到的结果仍然是偶数；任何一个奇数乘以任何一个整数，得到的结果仍然是偶数；但是一个偶数乘以一个奇数，得到的结果是偶数。
3. 比较性质：偶数之间的大小关系和奇数之间的大小关系与其本身的大小无关。
即使一个偶数比另一个偶数大，它不一定比其奇数大；同理，一个奇数比另一个奇数大，也不一定比其偶数大。
三、偶数与奇数的应用1. 数学运算：在进行数学运算时，了解偶数和奇数的性质可以帮助我们简化计算。
例如，当我们进行乘法运算时，如果其中一个数是偶数，我们可以直接将该偶数除以2，然后再把另一个数乘以这个结果，这样可以减少计算的复杂度。
2. 排列组合：在解决排列组合问题时，偶数和奇数的特性也会被应用到一些情况中。
例如，我们要从一组数字中选择若干个数，使其和为奇数，那么我们可以推断出选取的数字个数应为奇数个，因为奇数个奇数相加的结果肯定是奇数。
3. 程序设计：在编写程序时，我们经常需要用到偶数和奇数来进行条件判断。
例如，通过判断一个数的奇偶性，我们可以进行不同的操作，实现不同的功能模块。
偶数与奇数知识点
偶数与奇数知识点整数是数学中最基本的概念之一，而其中的奇数与偶数更是我们日常生活中常常遇到的概念。
简单来说，奇数是指不能被2整除的整数，而偶数则是可以被2整除的整数。
在本文中，我们将探讨奇数与偶数的一些基本知识点。
1. 奇数与偶数的定义在数学中，奇数与偶数是针对整数的性质进行划分的。
一个整数是奇数，当且仅当它不能被2整除；一个整数是偶数，当且仅当它可以被2整除。
2. 奇数与偶数的性质（1）奇数加奇数等于偶数：两个奇数相加的结果一定是偶数。
例如，3 + 5 = 8。
（2）奇数加偶数等于奇数：一个奇数与一个偶数相加的结果一定是奇数。
例如，3 + 4 = 7。
（3）偶数加偶数等于偶数：两个偶数相加的结果一定是偶数。
例如，4 + 6 = 10。
（4）奇数乘奇数等于奇数：两个奇数相乘的结果一定是奇数。
例如，3 × 5 = 15。
（5）奇数乘偶数等于偶数：一个奇数与一个偶数相乘的结果一定是偶数。
例如，3 × 4 = 12。
（6）偶数乘偶数等于偶数：两个偶数相乘的结果一定是偶数。
例如，4 × 6 = 24。
3. 奇数与偶数的应用奇数与偶数的概念在数学中有许多应用。
（1）在整数除法中，一个整数被2整除的余数为0，则该数是偶数；余数为1，则该数是奇数。
（2）在排列组合中，奇数个元素与奇数个元素的组合结果为奇数个；偶数个元素与偶数个元素的组合结果为偶数个。
（3）在数论中，素数指的是只能被1和自身整除的正整数。
奇数中除了数字1以外，只有素数能够满足这个条件。
4. 奇数与偶数的应用实例（1）在日常生活中，我们常常使用奇偶校验位来检测或纠正信息传输中的错误。
通过在数据中增加一个奇偶校验位，可以验证传输过程中是否有误。
（2）在计算机科学中，奇偶校验位也常用于校验存储器和通信设备中的数据是否正确。
总结：奇数与偶数是整数中的基本概念，根据能否被2整除来进行划分。
它们具有一些特殊的性质，在数学的不同领域中有广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
-奇数和偶数整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5） n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜1. 代数式中的奇偶问题例1 （第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□ +□ =□，□ - □ =□，□ *□ = □□ + □ = □.解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知 n是偶数，m是奇数，方程组A-L988j -wllx + 27^ = /«旳咸十1/ =g是整数，那么(B) p、q都是奇数.(A) p、q都是偶数.(C p是偶数，q是奇数(D p是奇数，q是偶数分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y,所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选(C)例3 在1，2, 3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数•分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992=】=996X 1993为偶数于是题设的代数和应为偶数•2. 与整除有关的问题例4 (首届“华罗庚金杯”决赛题)70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0, 1,3，8，21,…•问最右边的一个数被6除余几？解设70个数依次为a1,a 2,a 3据题意有a i=0, 偶a2=1 奇a3=3a2-a 1, 奇a4=3a3-a2, 偶a5=3a4-a3, 奇a6=3a s-a4, 奇由此可知：当n被3除余1时，a n是偶数；当n被3除余0时，或余2时，a n是奇数，显然a”是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2 n+1,则 a70=3k+1=3(2 n+1)+1=6 n+4.解设十位数，五个奇数位数字之和为a,五个偶数位之和为b（10 < a< 35,10 < b< 35），贝V a+b=45,又十位数能被 11 整除，则 a-b 应为 0, 11, 22（为什么？） . 由于 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性，因此 a-b=11 即 a=28， b=17.要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是 2， 1， 0.故所求的十位数是 9876524130.例 6（1990 年日本高考数学试题）设 a、 b 是自然数，且有关系式123456789=（11111+a）（11111-b），①证明 a-b 是 4 的倍数 .证明由①式可知11111 （a-b ） =ab+4X 617 ②•/a>0,b >0,「.a -b >0首先，易知 a-b 是偶数，否则 11111（a-b）是奇数，从而知 ab 是奇数，进而知 a、b 都是奇数，可知（11111+a）及（11111 -b）都为偶数，这与式①矛盾其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而ab+4X 617 是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.3. 图表中奇与偶例7 （第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3X3的正方格（a）和（b）中，每格填“ +”或“ -”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表 .解按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2X2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“ +”号或者不变，或者变成两个 .(a)表(a)中小正方形有四个“ +”号，实施变号步骤后，“ +”的个数仍是偶数；但表(b) 中小正方形“ +”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个 •显然，小正方形互变无法实现，3X3的大正方形的互变，更无法实现.例8 (第36届美国中学生数学竞赛试题)将奇正数 1, 3, 5，7…排成五列，按右表 的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列？(此处无表) 解由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4X 496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列， 所以从左数起，1985在第二列.例9如图3-1，设线段AB 的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入 n 个分点，把AB 分成n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红 点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段 •证明 不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数 •分析 n 个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用A 、B 分别表示红、绿点； 不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从 A 点开始，每连续改 变两次又回到A ，现在最后一个字母是 B,故共改变了奇数次，所以标准线段的条数 必为奇数•「亠 1 I ______________ 1—」 」AB BB A. B. E RB图3-14. 有趣的应用题例 10 （第2届“从小爱数学”赛题）图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有 曲线都是湖岸•<b)（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋 .如果有一点B,他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么 B点是在岸上还是在水中？说明理由.解（1）连结AP,显然与曲线的交点数是个奇数，因而 A点必在水中（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为2,由于A点在水中，氢不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见B点必在岸上.例11 书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多少钱？分析设买的贺年片分别为 a b、c、d （张），用去k张1元的人民币，依题意有10a+15b+25c+40d=100k,（k 为正整数）即2a+3b+5c+8d=20k显然b、c有相同的奇偶性.13若同为偶数，b-c=10和a=b=5,」不是整数;若同为奇数，b=c=5和a=d=10,k=7.例12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计算）之差总是偶数.证明给出入口处展览室记“ +”号，凡与“ +”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“ +”号，如此则相邻两室的“ +”、“ - ”号都不同.一参观者从出入口处的“ +”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的“ +”号室，他的路线是+-+- •••+-+-,即从“+”号室起到“ +”号室止，中间“-”、“ +”号室为n+1 （重复经过的重复计算），即共走了 2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了 2n+2个门（包括进出出入口门各 1次）.设其经过的方形门的次数是r次，经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.例13 有一无穷小数 A=0aa2a3・・・a心+偸+2…其中a i（i=1,2）是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数…，a n+2是a n+a”1（n=1,2…,）的个位数，证明 A 是有理数.证明为证明A是有理数，只要证明 A是循环小数即可，由题意知无穷小数 A 的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.…ab…ab…此小数就开始循环.而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……又a是奇数可取1，3，5，7，9;b是偶数可取0，2，4，6，8.所以非负有序实数对一共只有 25个是不相同的，在构成 A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数.练习1. 填空题（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4,最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是 __________ .（2）有五个连续偶数，已知第二个数比第一个数与第五个数和的1-多18,这五个偶数之和是（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答—.2. 选择题（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（）①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.（A 1 （ B） 2 （C） 3 （D） 4（2）若n是大于1的整数，则/ ：的值（）.（A）—定是偶数（B）必然是非零偶数（C是偶数但不是2 （ D）可以是偶数，也可以是奇数（3）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时, 二次三项式的值都是奇数，那么 a（）（A）不能确定奇数还是偶数（B）必然是非零偶数（C必然是奇数（D）必然是零3. （ 1986年宿州竞赛题）试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.4. 请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数•5. 有n个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除6. 在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与 n有相同的奇偶性.7. （ 1983年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.8. (1909年匈牙利竞赛题)试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幕整除.9. (全俄15届中学生数学竞赛题)在1, 2, 3…，1989之间填上“ +”或“-”号, 求和式可以得到最小的非负数是多少？练习参考答案1.(1)30 .(最小两位奇数是11,最大数与最小数同为奇数)(2)180 .设第一个偶数为x,则后面四个衣次为x + 2,x + 4,x + 6,x + 8 .(3)不能.2. E.E.A3. 1 1 9 10 6是奇数1 , 9 11 9 8 6的个位数字是奇数1,而8 1 9 8 6 , 6 1 9 8 6都是偶数, 故最后为偶数.4.仿例 5 1203465879.5.设a 1,a2,…，a n满足题设即a 1 + a 2 +…+a n=0 ①2 ...... a n=n ②。