寿险精算数学公式

life insurance 精算公式

life insurance 精算公式摘要：1.精算公式的概述2.精算公式的分类3.精算公式的应用4.精算公式的实例正文：【1.精算公式的概述】精算公式，是精算学中对保险产品的费率、准备金、赔付等关键指标进行科学计算的公式。

精算公式主要运用于寿险、健康险等保险产品的设计、定价和风险管理中，其核心目标是在保障保险消费者权益的同时，实现保险公司的稳健经营。

【2.精算公式的分类】精算公式主要分为以下几类：1) 费率公式：主要用于计算保险产品的保费，包括纯保费、附加保费等。

2) 准备金公式：主要用于计算保险公司的负债准备金，包括未到期责任准备金、未决赔款准备金等。

3) 赔付公式：主要用于计算保险产品的赔付概率和赔付金额，包括死亡率、疾病发生率、理赔率等。

【3.精算公式的应用】精算公式在保险行业的各个环节中都有广泛应用，包括：1) 产品设计：通过精算公式，保险公司可以科学地设计保险产品的费率、保险金额、保障期限等关键指标，以满足消费者的需求和实现公司的盈利目标。

2) 风险管理：精算公式可以帮助保险公司评估保险产品的风险水平，制定相应的风险管理策略，确保公司的稳健经营。

3) 监管合规：精算公式是保险监管部门对保险公司进行监管的重要工具，可以评估保险公司的偿付能力、风险水平等指标，确保保险市场的稳定和健康发展。

【4.精算公式的实例】以人寿保险为例，精算公式主要包括以下几个方面：1) 费率公式：纯保费=保险金额×保险期限×死亡率× v^t，其中v 为贴现因子，t 为保险期限。

2) 准备金公式：未到期责任准备金=纯保费×未到期责任准备金率× v^t，其中未到期责任准备金率为保险公司规定的准备金提取比例。

寿险精算公式集合

第一章生命表函数与生命表构造生存函数定义意义：新生儿能活到岁的概率与分布函数的关系与密度函数的关系新生儿将在x 岁至z 岁之间死亡的概率未来寿命定义：已经活到x 岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为未来寿命，记作T(x)。

分布函数：基本函数未来寿命的生存函数特别：：x 岁的人至少能活到x+1岁的概率：x 岁的人将在1年内去世的概率：X 岁的人将在x+t 岁至x+t+u 岁之间去世的概率整值未来寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数11Pr(())Pr(()1)k x k x kx k xk x x k xk K X k k T x k q q p p p q q +++==≤<+=-=-=⋅=未来寿命的期望与方差期望未来寿命：()x 未来寿命的期望值(均值),简记00(())(1)ox tx tx e E T x td p p dt∞∞==-=⎰⎰未来寿命的方差2220(())(())(())2o tx xVar T x E T x E T x t p dt e ∞=-=⋅-⎰整值未来寿命的期望与方差期望整值未来寿命：()x 整值未来寿命的期望值(均值),简记xe 1(())x kx x k k xk k e E K x k p q p ∞∞++====⋅⋅=∑∑整值未来寿命的方差22210(())()()(21)k x x k Var K x E K E K k p e ∞+==-=+⋅-∑死亡效力)Pr()(x X x S ≥=x )(1)(x F x S -=)()(x S x f '-=Pr()()()x X z s x s z <≤=-Pr(())()()()()t x q T X t pr x X x t X x s x s x t s x =≤=<≤+>-+=t x p Pr(())Pr()()()t x p T x t X x t X t s x t s x =>=>+>+=0()x p s x =x px q x t u q xt u x t x t x t u xt u q q q p p ++=-=-()x (),()1,0,1,K X k k T x k k =≤<+=定义：()x 的瞬时死亡率，简记()()ln[()]()()x s x f x s x s x s x μ''=-==-死亡效力与生存函数的关系0()exp{}exp{}xs x ttxsxs x ds p ds μμ+=-=-⎰⎰死亡效力与密度函数的关系0()()exp{}xx x s f x s x ds μμμ=⋅=⋅-⎰ 死亡效力表示未来寿命的密度函数()g t T ()()F ()1()()()()f ()()()()tx x t T tx x ts x s x tt p s x s x t d d s x s x t t G t p dt dt s x s x μμ++-+=-=⎡⎤+-+====⋅⎢⎥⎣⎦关寿命分布的参数模型De Moivre 模型(1729)1()1 , 0xxxs x x μωωω=-=-≤≤Gompertze 模型(1825) ()exp{(1)} , B 0,c 1,0xx xBc s x B c x μ==-->>≥Makeham 模型(1860)()exp{(1)} , B 0,A -B,c 1,0xx xA Bc s x AxB c x μ=+=--->≥>≥ Weibull 模型(1939)1()exp{} , 0,0,0nx n kx s x kx k n x μ+==->>≥ 参数模型的问题：至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。

保险精算课程三(寿险精算)

寿险精算第五讲均衡纯保费

]
Pr[(1 v)10000vK 1 1 1vK 1] Pr[((1 v)10000 1)vK 1 1]
Pr[vK 1
1
] Pr[(K 1) ln v ln(
1
)]
(1 v)10000 1)
(1 v)10000 1)
Pr[K 1 ln(
1
) / ln v] Pr[K ln(
• 厘定过程：
(1)
L
l(T
)
vt
P(
Ax
)a k
1
(2)E(L) 0 Ax P( Ax )ax
0
P( Ax )
Ax ax
Mx ， Nx
(3)Var(L)
(1
P )2[
2
Ax
( Ax
)2
]
• 在UDD 假设条件下:
Ax
i
Ax
P(
Ax
)
i
Ax ax
i
Px
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
50.12
K 1
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
EL
E
v
K
1
1
Px d
Px d
Ax
1
Px d
Px d
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
（3）趸缴纯保费终身寿险趸缴纯保费终身寿险，是在签单时一次将保费缴清的终
身寿险，为限期缴清的特殊情形
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费第三章均衡纯保费
§3.1 均衡纯保费计算的平衡原理 3.1.1 人寿保险模型的种类
完全离散净均衡保费
死亡年末给付

寿险精算学-ch2

未来寿命的生存函数示意图
• t p0 =S0 (t)
• 1 px 简记为 px
特别符号
• t u qx t px tu px
• tu px t px u pxt
未来寿命生存函数的性质
• 定理1： 0 px 1
•
定理2：
d dt
t
px
0
,t 0
•
定理3：
lim
t x
t
px
0
• 由于死亡是必然发生的, 所以还可以得到如下两个引理:
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。这是因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。经过医学治疗和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。这段时期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
– 中老年时期属于人类的加速失效时期。在这段时间里, 身体各器官逐渐老化,开始罹患各种疾病。通常一种疾病治好了, 不久又会产生另外一种疾病。人类进入加速失效期之后, 健康维持成本将变得越来越大。
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年死亡的人数为3758。
• 所以本例中, 40 岁的人在85 岁时未来寿命的密度函数和死亡力函数（以年为最小计量单位）为：
f40 (45)
3758 97369
0.0386

第二章：人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)

fT
(t)
1（均匀分布） 70
A1 30:10
10 t
0
fT
(t)dt
10 (1 0.1)t 1 dt 1
0
70 70
10 (1.1)tdt 0.092099
0
A 2 1
（2） 30:10
10 2t
0
fT
(t)dt
1 70
10 (1.1)2tdt 0.063803
0
Var(Z) 2A1 (A1 )2 0.055321
A1 xm:n
A1 x:m
Ax
1 m:n
A1 x:m
A xm:n
例 3．设生存函数 s(x) 1 x , (0 x 100) ，年利率 i 0.1，保额 1。 100
计算：（1）
A1 30:10
（2）Var(Z )
解：（1）
fT
(t)
s(x t) s(x)
1 100
x
,
代入
x 30 ,
Ax E(T ) E( K S ) E( K 1S1)
E( K 1)E( S1) Ax E[(1 i)1S ]
S ~U (0,1) Ax
1(1 i)1s ds i
0
Ax
例1．证明：在 UDD 假设下： A1 i A1
x:n
x:n
证明：
A1 x:n
n
t
0
t
px xt dt
（1）
m m px
n
t
0
t
pxmxmt dt
A1 x:m
A1 xm:n
A1
（2） m x:n
mn mn px
m m px n n pxm

寿险精算公式集合

x kxn
Weibull 模型(1939) s( x) exp{kxn1} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题：至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。生命表起源生命表的定义：根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表. 生命表的发展历史：1662 年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693 年，Edmund Halley,《根据 Breslau 城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把 Halley 称为生命表的创始人。生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）生命表的构造原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）
0
整值未来寿命的期望与方差
期望整值未来寿命： (x) 整值未来寿命的期望值 ( 均值 ), 简记
e ex E ( K ( x))
k k px qxk
p k 1
x
x
k 0
k 0
பைடு நூலகம்
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k 1 px ex2
d
。计算下面各值：（1）
30
,
20

寿险精算-第一讲-寿险精算概述与利息理论..

六. 保单准备金
保单准备金：为将来的赔付或返还而储备的款项。
利息理论
第一节基本概念
汉英名词对照
积累值（终值A）
Accumulated value
现实值（现值P or 本金S） Present value
实质利率
Effective annual rate
单利
Simple interest
一.精算的概念
➢ 精算师的作用：“在给金融投资等问题提供专家的、恰如其分的解答方面，尤其是解释不确定的未来事件方面，发挥精算行业的作用并提高它的声誉。” ——摘自英国精算行业业务报告
金融问题不确定的未来的
精算面对的是 “金融”问题。
从非常简单的问题，如确定在一项抵押下每月的投资是多少，
对趸缴保费的保单，保费收入是确定的。而有些保单，其保费的缴纳不是采用期初趸缴的形式，而是在一段时间里多次缴纳，具体的某笔保费缴纳与否取决于被保险人是否处于生存正态，也就是说，寿险公司的保费收入取决于被保险人的未来生存时间，保费收入的现值和保险给付支出的现值都是随机变量，但保费的大小不是随机变量，是预期现值的函数。为了解这个方程，我们要假定被保险人的死亡率和未来可实现利率的值。
二.本课程的研究内容和主要组成主要研究：寿险所承保标的的出险规律寿险产品承诺的给付或赔付的精算现值趸缴和分期缴付的净保费责任准备金的提存等
二. 本课程的研究内容和主要组成主要组成部分：
➢ 利息理论 ➢ 生命表 ➢ 保费厘定 ➢ 保单价值和准备金
三. 利息理论
➢ 利率是重要的经济杠杆之一，它无时无刻不在影响着人们的投资行为和消费行为，进而影响着国民经济的整体运行。利率也是我们最为熟悉的经济变量之一。本课将要探讨的主要内容就

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