轴向拉压杆件应力
轴向拉压杆的应力
1
FN1 A1
103.9 103 N 300 106 m2
346MPa(拉）
2
FN 2 A2
120 103 N 1274.8 106 m2
94MPa(压）
30° F
2
(a)
FN1
A
30
FN 2 F
(b)
工程力学
cos
FN A
cos
cos
p cos cos2
p
sin
2
sin 2
2、符号规定
m n p
mt
⑴、α：斜截面外法线与x轴的夹角。
x 轴正向逆时针转到 n 轴“α”规定为正值；
x 轴正向顺时针转到 n 轴“α”规定为负值。 ⑵、σα：同“σ”的符号规定
⑶、τα：在保留段内任取一点，如果“τα”对其点之矩为顺 时针方向规定为正值，反之为负值。
工程力学
轴向拉压杆的应力
一、轴向拉压杆横截面上正应力的确定
推导的思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的
1、实验：
计算公式
变形前
F
F
受力后
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截面 沿杆轴线作相对平移
8、公式Байду номын сангаас使用条件
(1) 轴向拉压杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处（范围：不超过杆的横 向尺寸）--圣维南原理
二、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定
m
m
n
(1) 内力确定：
F
F
O
FNα=FN=F
变截面圆杆轴向拉压时的应力分析
变截面圆杆轴向拉压时的应力分析在工程结构设计和力学分析中，经常会涉及到圆杆的轴向拉压情况。
变截面圆杆轴向拉压时，需要进行应力分析来评估其强度和稳定性。
本文将从变截面圆杆的应变分析、应力分析及强度评估三个方面进行详细阐述。
首先，我们来看变截面圆杆的应变分析。
对于一个轴向受拉力F作用下的圆杆，根据拉伸应变的定义，应变ε=△L/L，其中△L为杆件拉伸后的长度增量，L为杆件的初始长度。
对于直径为d1、d2的两个不同截面的圆杆，它们的初始长度相同，即L1=L2=L。
假设两个不同截面的圆杆受到相同的拉伸力F，根据应变的定义，应变ε1=△L1/L,ε2=△L2/L。
由于△L1和△L2相同，所以ε1和ε2的大小仅取决于截面直径的大小。
当杆截面直径越大，即d1>d2时，应变ε1>ε2，即在截面直径较大的地方应变更大，而在截面直径较小的地方应变较小。
这说明在变截面圆杆的拉伸过程中，截面直径较大的地方应变较大，即应力集中。
接下来，我们来探讨变截面圆杆的应力分析。
根据胡克定律，杆件内的应力与应变成正比。
对于同一截面的圆杆，内部各点的应力大小相同，在轴向拉伸的情况下，圆杆通过截面的轴向拉力均等。
然而，在变截面圆杆的轴向拉压过程中，不同截面处的应力是不同的。
如上述应变分析中所述，截面直径较大的地方应变更大，那么根据胡克定律，截面直径较大的地方应力也更大。
因此，在截面直径较大的地方，应力集中，容易产生应力集中现象。
这就要求我们在杆件设计时，要尽量避免或减小应力集中的情况。
最后，我们来评估变截面圆杆的强度。
材料的抗拉强度是指材料能够承受的最大拉伸力。
当变截面圆杆的拉力超过了材料的抗拉强度时，杆件就会发生塑性变形或断裂。
根据材料力学的知识，破坏材料的拉伸强度与截面面积成正比，而与截面形状无关。
因此，在设计变截面圆杆时，要根据材料的抗拉强度选择适当的截面面积，以确保杆件在拉伸过程中不发生塑性变形或断裂。
综上所述，变截面圆杆的应力分析是评估其强度和稳定性的重要步骤。
工程力学公式
公式：1、轴向拉压杆件截面正应力N F Aσ=，强度校核max []σσ≤2、轴向拉压杆件变形N i i iF l l EA ∆=∑3、伸长率：1100%l l lδ-=⨯断面收缩率：1100%A A Aψ-=⨯4、胡克定律：E σε=，泊松比：'ευε=-，剪切胡克定律：G τγ=5、扭转切应力表达式：T I ρρτρ=，最大切应力：m ax PPT T R I W τ==，44(1)32P d I πα=-，34(1)16P d W πα=-，强度校核：m ax m ax []PT W ττ=≤6、单位扭转角：P d T dxG I ϕθ==，刚度校核：m axm ax []PTG I θθ=≤，长度为l 的一段轴两截面之间的相对扭转角PTl G I ϕ=，扭转外力偶的计算公式：()(/m in)9549K W r p M e n =7、薄壁圆管的扭转切应力：202T R τπδ=8、平面应力状态下斜截面应力的一般公式：cos 2sin 222x yx yx ασσσσσατα+-=+-，sin 2cos 22x yx ασστατα-=+9、平面应力状态三个主应力：'2x yσσσ+=+''2x yσσσ+=-，'''0σ=最大切应力m ax '''2σστ-=±=最大正应力方位02tan 2xx yτασσ=--10、第三和第四强度理论：3r σ=，4r σ=11、平面弯曲杆件正应力：ZM y I σ=，截面上下对称时，ZM W σ=矩形的惯性矩表达式：312Z bhI =圆形的惯性矩表达式：44(1)64Z d I πα=-矩形的抗扭截面系数：26Z bh W =，圆形的抗扭截面系数：34(1)32Z d W πα=-13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力：maxmax *S z S ZF S F K bI Aτ==14、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力m ax []t t σσ≤，m ax []c c σσ≤ （2）弯曲切应力max []ττ≤（3）第三类危险点：第三和第四强度理论 15、平面弯曲杆件刚度校核：叠加法m ax []w w ll≤，m ax []θθ≤16、（1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： max max min ()N ZF M AW σσ=±（2）偏心拉伸(偏心压缩)：m ax m in ()N ZF F AW δσσ=±（3）弯扭变形杆件的强度计算：3[]r Z σσ==≤4[]r Zσσ==≤。
变截面圆杆轴向拉压时的应力分析
变截面圆杆轴向拉压时的应力分析杆材在轴向受拉压载荷作用下，会产生应力。
这个应力是由于承受载荷而引起的，它的大小和载荷的大小成正比。
变截面圆杆在轴向受拉压下的应力分析可以通过以下步骤来进行：1.杆材受力分析：首先需要了解杆材受力的具体情况。
假设杆材的长度为L，杆材的两个端部受到拉力F1和F2的作用。
这两个拉力可以是大小不等的，也可以是相等的。
在应力分析中，我们假设了杆材的两个端部的面积相等。
2. 悬链线条法：为了进行应力分析，我们可以使用悬链线条法。
该方法通过假设杆材上每个截面的应力呈像状分布，将杆材分为无数个小段。
我们考虑杆材上的一个小段dx，并考虑该小段受到的拉力。
3. 小段的受力分析：我们假设该小段的长度为dx，面积为A，根据杆材受力平衡条件，可以得出该小段受到的拉力为dF。
根据力和面积之间的关系，可以得出该小段受到的应力为σ = dF / A。
4.应力的积分：通过将杆材分为无数个小段，可以得到每个小段的应力。
然后将这些小段的应力积分起来，即可得到整个杆材的应力。
积分过程可以使用定积分来进行。
5.应力的变化情况：通过应力的积分，我们可以了解杆材上应力的变化情况。
通常情况下，杆材的应力在中部最大，在两端逐渐减小。
这是因为在中部受力最大，而在两端受力较小。
以上是变截面圆杆轴向拉压时的应力分析的基本步骤。
需要注意的是，在进行应力分析时，我们假设了杆材是均匀的、材料是线弹性的，并且未考虑杆材的弯曲变形。
在实际工程中，进行应力分析时需要根据具体的情况和材料的特性进行修正。
02.3.应力·拉(压)杆内的应力解析
4
FF
90106 Pa 90MPa
x
s2
FN 2 A2
20103 152 106
FN1 28.38k9N106 PaFN289M20PkaN
第19页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅲ. 拉(压)杆斜截面上的应力
k
F
F
k
k
F
F
斜截面上的内力： F F
k
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后仍相 互平行。
第二章 轴向拉伸和压缩
平均应力的定义
受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布 内力的平均集度即平均应力， p F ，其方向和大小一般
m A
随所取ΔA的大小而不同。
F
M
A
第3页
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第二章 轴向拉伸和压缩
总应力定义：
该截面上M点处分布内力的集度为
p
lim F
A0 A
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第二章 轴向拉伸和压缩
ac
F
a
c
F
b
d
bd
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。由于假设材料是均匀的，而杆 的分布内力集度又与杆件纵向线段的变形相对应，因而杆件
横截面上的正应力s呈均匀分布，亦即横截面上各点处的正 应力s 都相等。由合力概念知：
第15页
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第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-3 已知薄壁圆环 d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。
第2讲 轴向拉压杆的内力和应力
解：当载荷W移到A点时，斜杆AB
受到拉力最大，设其值为Fmax。
讨论横梁平衡 Mc 0
W
Fmax Fmax sin AC W AC 0
FmaxA
Fmax
W
sin
W
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
0.8m
B C
Fmax
FRCx C FRCy
d
A
1.9m
拉伸
F
F
压缩
F
F
目录
§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例 举例说明：
A
计算简图
P1
拉杆
P1
B P2
压杆
P2
C
F
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
m
F m
F
FN
FN
Fx 0
FN F 0 FN F
1、截面法求内力
F (1)假想沿m-m横截面将
杆切开
(2)留下左半段或右半段
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A
FN1 28.3kN FN 2 20kN
1
2、计算各杆件的应力。
45° B
C
2
FN1
yF
FN 2 45° B x
F
Байду номын сангаас1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
90106 Pa 90MPa
2
FN 2 A2
（3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量
ac
拉压杆的应力
p
FN Aα
F cos
A
——横截面上的正应力。
cos
p称为斜截面上的全应力，可将它沿截面的法向和切向分解为
两个分量：正应力和切应力(如图)。它们分别为
目录
轴向拉伸和压缩\拉压杆的应力
pαcos cos2
pα
sin
cos
sin
2
sin
2
这就是拉压杆斜截面上应力的计算公式。
由公式可知，在通过拉压杆内任一点的各个截面上，一般都存
MPa
3 4
75 MPa
30
2
cos230
1 0 0MP a 2
3 43.2MPa 2
＝30 斜截面(如图)中的斜截面2－2上的正应力和切应力分别为
30
cos 2 30 100
MPa
3 4
75 MPa
30
2
cos2 30
10
0MP 2
a
3 2
43.2
MP
a
目录
轴向拉伸和压缩\拉压杆的应力 将上面求得的应力分别表示在它们所作用的截面上，如图b、c
目录
轴向拉伸和压缩\拉压杆的应力 【例2.2】图示一悬臂吊车的简图，斜杆BC的横截面面积A＝
500 mm，荷载F＝25 kN。试求当荷载F移至D点时，斜杆横截面上 的正应力。
目录
轴向拉伸和压缩\拉压杆的应力
【解】 悬臂吊车的计算简图如图b所示。 为了求出斜杆BC的轴向外力FBC，取横梁AD为研究对象。
列出平衡方程
∑MA＝0， FBC sin45×1.5m－F×3m＝0
得
F 3m
25 kN 3m
FBC sin45 1.5m 0.707 1.5m 70.7 kN
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
拉压杆斜截面上的应力Ｐ
Ａ为横截面的面积 Ａ为斜截面的面积 横截面上的正应力 斜截面上的应力
N p A P P cos cos A A cos
P A
斜截面上的正应力和剪应力
p cos cos2 p sin cos sin
P
1 1 P A N1 3P C 2 N2
A
∴N2=P－3P= －2P
2
3、内力图
P A l P
3P
B
注意：
1 、一次只能取一个截面， 将原构件分成两部分。
C
l
Ｎ
O
2、内力方向设为正向后建立平 衡方程求解。（说明＋－）
3 、分离体图与原图上下对 齐，截面位置一目了然。 4 、轴力图大小近似按比例， 也要与上图对齐。 练习：
1、变形规律试验及平面假设：
a c
P
b d
变形前
a´ c´
b´ d´
受力后 P
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。 平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面. N 3、横截面上的应力：均匀分布 A
例２-４：计算下图中指定截面上的应力。ＡＢ段与ＣＤ段的横截面积均 为２０mm2，ＡＢ段横截面积为 1０ mm2 ，
C
已知：三角架 ABC 的〔σ 〕=120 MPa，AB 杆为 2 根 80*80*7 的等边角钢，AC 为 2 根 10 号槽钢，AB、AC 两杆的夹角为300 。 求：此结构所能承担的最大外荷载 Fmax
解： 1、F 与 FN 的关系
Y
0
X 0 F Y 0 F
NAC
FNAB cos30 0
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建筑工程学院 莫振宝
复习提问
1、截面法的步骤？ ①截开：在需求内力的截面处，沿该截面假 想地把构件切开选取其中一部分为研究对象。
② 显示：将弃去部分对研究对象的作用，以 截面上的未知内力（正方向）来代替。
③平衡：根据研究对象的平衡条件，建立平衡 方程，以确定未知内力的大小和方向。
2、轴力的符号规定？ 相对于截面拉力为正，压力为负。
作业：
1、有一低碳钢杆件受三力如图，
F1=30KN, F2=10KN, F3=20KN,求杆
件各截面处的内力。
F1
A
F2 •B C F3
2、试求图中所示各杆件横截面1-1、2-2、3-3上 的轴力。F1=50KN，F2=40KN，F3=30KN。
A
正应力正负的规定与轴力相同，以拉为正，以压为负。
例1 已知A1=2000mm2，A2=1000mm2，求图示杆各段横截面
上的正应力。
A1 A2 60kN 20kN
AB
CD
解：
A1 A2 60kN 20kN
A B CD
轴力图
20kN ⊕
－○
40kN
AB
FN AB A1
40103 2000
20MPa
Ⅲ 30kN
FN3 30 0
FN3
Ⅲ
FN3 30kN
练习 画图示杆的轴力图。 3kN 2kN 2kN A B CD
3kN ⊕ 1⊕kN
○－
1kN
轴力图
一、横截面的正应力
拉压杆的应力及强度条件
拉压杆横截面上只有正应力而无剪应力，忽略应力集中 的影响，横截面上的正应力可视作均匀分布的，于是有
FN
⑵等轴力杆（FN=常数）：
max
FN Am in
⑶变截面变轴力杆：分别计算各危险截面的应力，取其
最大者进行强度校核。
⒉ 确定截面尺寸
A
FN
⒊ 确定容许荷载
首先确定容许轴力
FN A
再根据轴力与荷载的平衡关系计算容许荷载。
各截面的的轴力的图象称为轴力图。 轴力图的画法步骤如下： ⒈ 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； ⒉ 将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点；
⒊ 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的轴力；画受力图 时，截面轴力一定按正的规定来画。
⒋ 按大小比例和正负号，将各段杆的轴力画在基线两侧， 并在图上表出数值和正负号。
60kN
轴力图
60kN 60kN
例1 画图示杆的轴力图。
Ⅰ
Ⅱ
80kN
Ⅲ
第一段:
50kN 30kN
Fx 0
FN1 60 0
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
60kN
FN1 60kN
⊕
30kN
⊕
第二段: Fx 0
Ⅰ
○－
20kN
FN2 60 80 0
FN1
FN2 20kN
Ⅰ
Ⅱ
80kN
FN2
第三段: Fx 0
Ⅱ
大工作应力（横截面的最大正应力）不超过材料的容许应 Nhomakorabea力。
max
FN A
其中[]为材料的容许应力，其值为
u
n
其中u 为材料破坏时的应力，称为极限应力，由实验测得；
n 为安全系数。
根据强度条件可进行下述三种工程计算。
⒈ 强度校核
max
FN A
⑴等截面杆（A=常数）：
max
FN max A
拉压杆的内力 · 轴力与轴力图
杆件在轴向荷载作用下，将发生轴向拉伸或压缩。
拉伸 F
F
压缩 F
F
一、拉压杆的内力——轴力
m
F
F
m
F
FN
Fx 0; FN P 0, N P
拉压杆横截面的内力沿杆的轴线，故称为轴力。
轴力以拉为正，以压为负。
二、轴力图 一般情况，拉压杆各截面的的轴力是不同的，表示拉压杆
BC
FN BC A2
40103 1000
40MPa
CD
FN CD A2
20 103 1000
20MPa
二、应力集中的概念
拉压杆横截面的应力并不完全是均匀分布的，当横截面 上有孔或槽时，在截面曲率突变处的应力要比其它处的应力 大得多，这种现象称为应力集中。
P
P
P
P
P
三、拉压杆的强度条件
拉压杆在正常情况下不发生破坏的条件是：拉压杆的最