各高校量子力学考研试题汇总
中科院量子力学考研真题及答案详解(19902010共40套真题)
1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型），00分。
、在，氢原子波函数为说明：共五道大题无选择题，计分在题尾标出，满分10t =100210211211一(,0)2r ψψψ=+⎣⎦ 其中右方函数下标表示量子数。
忽略自旋和辐射跃迁。
投影-⎡⎤(1) 此系统的平均能量是多少？nlm 0z L =(2) 这系统在任意时刻处于角动量的几率是多少？ 、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明二()2∞00n nE E n x -=∑常数这里是哈密顿量n E 2ˆˆ()2p H V m=+x 的本征能量，相应的本征态为n 。
求出该常数。
、设一质量为μ的粒子在球对称势()(0)V r kr k =>三中运动。
利用测不准关系估算其（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非基态的能量。
四、电子偶素e e +-种接触型自旋交换作用相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。
今设在电子偶素的基态里，存在一8e p ˆˆˆ3H M M π和ˆpM '=-⋅其中ˆe M 是电子和正电子的自旋磁矩ˆˆ(,q )MS q ==e mc±量差，决定哪一个能量更低。
对普通的氢原子，基态波函数： 。
利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能221137e c 1002,,r a a me ψ-==一质量为= μ的粒子被势场00()(0)r aV r V e V a -=>>所散射，用一级玻恩近似计算微分散射截面。
五、1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）分。
光电效应实验指出：当光照射到金属上，说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、(1) a) 只有当光频率大于一定值0ν时，才有光电子发射出；b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关；c) 只要光的频率大于0ν，光子立即产生。
试述：a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何斯坦假说正确解释上述实验结果。
汇总高校量子力学考研试题
汇总⾼校量⼦⼒学考研试题习题1⼀、填空题1．玻尔的量⼦化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．⽤来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归⼀化波函数，粒⼦在⽅向、⽴体⾓内出现的⼏率为，在半径为，厚度为的球壳内粒⼦出现的⼏率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．⾃由粒⼦体系，__________守恒；中⼼⼒场中运动的粒⼦___________守恒。
9．⼒学量算符应满⾜的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归⼀化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两⼒学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的⼒学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量⼦⼒学中，原⼦的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原⼦的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原⼦，不考虑电⼦的⾃旋，能级的简并度为，考虑⾃旋但不考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量⼒学量有确定的值，则⼒学量算符与态⽮量的关系为__________。
20．⼒学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
几所高校量子力学硕士试题
高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。
它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。
）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。
四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。
（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。
(NEW)郑州大学《650量子力学》历年考研真题汇编(含部分答案)
目 录
2012年郑州大学650量子力学考研真题
2011年郑州大学量子力学考研真题
2010年郑州大学量子力学考研真题及详解
2009年郑州大学量子力学考研真题2008年郑州大学量子力学考研真题2007年郑州大学650量子力学考研真题2006年郑州大学430量子力学考研真题2005年郑州大学量子力学考研真题
2004年郑州大学量子力学考研真题2003年郑州大学量子力学考研真题2002年郑州大学量子力学考研真题
2012年郑州大学650量子力学考研真题
2011年郑州大学量子力学考研真题
2010年郑州大学量子力学考研真题及详解
2009年郑州大学量子力学考研真题
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2004年郑州大学量子力学考研真题
2003年郑州大学量子力学考研真题
2002年郑州大学量子力学考研真题。
湖北大学量子力学考研参考试题及解
量子力学考研参考试题（一）一. （见1997年第二题）证明：（1） 若一个算符与角动量算符Jˆ的两个分量对易，则其必与J ˆ 的另一个分量对易；（2） 在2ˆJ 与z J ˆ的共同本征态JM 下，xJ ˆ与yJ ˆ的平均值为零，且当JM=时，测量x J ˆ与y J ˆ的不确定性为最小。
证明：（1） 设算符Fˆ与角动量算符x J ˆ及y J ˆ皆对易，即[][]0ˆ,ˆˆ,ˆ==yxJ F J F则[][][][][]ˆˆ,ˆi 1ˆˆ,ˆi 1ˆ,ˆ,ˆi 1ˆ,ˆ=-==x y y x y x z J J F J J F J J F J F同理可知，若算符F ˆ与角动量算符x J ˆ及z J ˆ皆对易，则算符F ˆ必与y J ˆ对易；若算符Fˆ与角动量算符yJ ˆ及z J ˆ皆对易，则算符Fˆ必与xJ ˆ对易，于是，问题得证。
（2）在2ˆJ 与zJ ˆ的共同本征态JM下，xJ ˆ与yJ ˆ的平均值为JM J J JM JM J JM x -++=ˆˆ21ˆ由升降算符的修正可知1)1()1(ˆ±±-+=±JM M M J J JM J于是有ˆ=JM J JM x同理可证，算符yJ ˆ在JM下的平均值也未零。
在JM态上，()()[]22222)1(21ˆˆ21ˆˆˆˆ41ˆˆˆˆ41ˆMJJJMJJJMJMJJJJJMJMJJJJJMJMJJMx-+=-=+=++=+--+-+-+同理可得[]222)1(21ˆMJJJMJJMy-+=故有()()[]42222)1(41MJJJJxx-+=∆⋅∆或者写为[]22)1(21MJJJJyx-+=∆⋅∆显然，当JM=时，上式取最小值()2m i n2JJJyx=∆⋅∆二. （见2001年第二题）粒子作一维运动，当总能量算符为()xVpH+=μ2ˆˆ2时，能级是nE，如果总能量算符变成μαpHHˆˆˆ+=（α为实参数），求粒子能级的严格解nE。
量子力学考研试题及答案
量子力学考研试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 量子力学中，波函数的平方代表粒子的什么物理量？A. 动量B. 能量C. 位置D. 概率密度答案：D2. 以下哪项是海森堡不确定性原理的表述？A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案：B3. 薛定谔方程描述的是：A. 经典力学B. 电磁学C. 量子力学D. 热力学答案：C4. 泡利不相容原理适用于：A. 光子B. 电子C. 质子D. 中子答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 根据量子力学，一个粒子的波函数可以表示为 \(\psi(x, t)\)，其中 \(x\) 代表粒子的________，\(t\) 代表时间。
答案：位置2. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出________的性质，也表现出粒子的性质。
答案：波动3. 量子力学中，一个粒子的能量可以表示为 \(E =\frac{p^2}{2m}\)，其中 \(p\) 代表粒子的________。
答案：动量4. 量子力学中的隧道效应是指粒子可以穿过________的势垒。
答案：经典物理认为不可能三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述德布罗意波的概念及其在量子力学中的意义。
答案：德布罗意波是指物质粒子（如电子）具有波动性，其波长与粒子的动量成反比。
在量子力学中，这一概念是波函数理论的基础，它表明粒子的行为不能完全用经典力学来描述，而是需要用波动方程来描述。
2. 描述一下量子力学中的量子态叠加原理。
答案：量子态叠加原理是指一个量子系统可以同时处于多个可能状态的叠加，直到进行测量时，系统才会坍缩到其中一个特定的状态。
这一原理是量子力学的核心特征之一，它导致了量子力学的非经典行为和概率解释。
3. 解释什么是量子纠缠，并给出一个实际应用的例子。
答案：量子纠缠是指两个或多个量子粒子之间存在的一种非经典的强关联，即使它们相隔很远，一个粒子的状态改变会即时影响到另一个粒子的状态。
量子力学考研试题及答案
量子力学考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 量子力学中，粒子的波函数ψ(x,t)描述了粒子的哪种物理量？A. 粒子的位置B. 粒子的动量C. 粒子在空间的分布概率D. 粒子的能量答案：C2. 海森堡不确定性原理表明了哪两个物理量的不确定性之间存在关系？A. 位置和能量B. 动量和时间C. 动量和位置D. 时间和能量答案：C3. 在量子力学中，一个粒子的波函数在某个位置的概率密度是该波函数在该位置的什么？A. 绝对值的平方B. 对数C. 导数D. 积分答案：A4. 根据泡利不相容原理，一个原子中的两个电子不能具有完全相同的一组量子数，这些量子数包括哪些？A. 主量子数和磁量子数B. 主量子数、磁量子数和自旋量子数C. 所有四个量子数D. 主量子数和自旋量子数答案：B5. 薛定谔方程是一个描述什么的波动方程？A. 粒子的波动性质B. 粒子的运动轨迹C. 粒子的能量分布D. 粒子的动量分布答案：A6. 在量子力学中，一个系统的状态可以用哪种数学对象来描述？A. 矩阵B. 向量C. 张量D. 标量答案：B7. 量子力学中的隧穿效应是指什么？A. 粒子通过一个高于其能量的势垒B. 粒子在两个势垒之间振荡C. 粒子在势垒内部反射D. 粒子在势垒外部反射答案：A8. 在量子力学中，一个二能级系统在两个能级间跃迁时，必须吸收或发射一个具有特定能量的光子，这个能量差是由什么决定的？A. 两个能级的差B. 光子的频率C. 系统的总能量D. 系统的动量答案：A9. 量子纠缠是指两个或多个粒子之间的一种什么关系？A. 经典力学关系B. 量子力学关系C. 热力学关系D. 电磁相互作用答案：B10. 下列哪个原理说明了在量子力学中测量一个物理量会改变系统的状态？A. 海森堡不确定性原理B. 哥本哈根解释C. 德布罗意假说D. 薛定谔猫佯谬答案：B二、简答题（每题10分，共40分）11. 简述德布罗意假说的内容及其对量子力学发展的意义。
北京大学南京大学量子力学考研试题题库
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习题1一、填空题1．玻尔的量子化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。
21．设粒子处于态，为归一化波函数，为球谐函数，则系数c的取值为，的可能值为，本征值为出现的几率为。
22．原子跃迁的选择定则为。
23．自旋角动量与自旋磁矩的关系为。
24．为泡利算符，则，，。
25．为自旋算符，则，，。
26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 ________________________，_______________________________。
27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是______________。
27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________,玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。
27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则在态下，自旋算符对自旋的平均可表示为_______________；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为______________________。
27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则的意义为_____________________；_________________。
二、计算题1．在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为，。
求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵和对角化。
2．一维运动粒子的状态是其中，求（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。
（利用公式）3．设在表象中，的矩阵表示为其中，试用微扰论求能级二级修正。
（10分）4．在自旋态中，求。
（10分）5．各是厄密算符。
试证明，也是厄密算符的条件是对易。
6．在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。
7．求自旋角动量在方向的投影的本征值和所属的本征函数。
8．转动惯量为，电偶极矩为的空间转子处在均匀电场中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。
（10分）（基态波函数，利用公式）9．证明下列关系式：1．， 2.3. ,4.(其中为角动量算符，，为泡利算符，为动量算符)10．设时，粒子的状态为，求此时粒子的平均动量和平均动能。
11．为厄密算符，（为单位算符），。
（1）求算符的本征值；（2）在A表象下求算符的矩阵表示。
12．已知体系的哈密顿量，试求出（1）体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。
（2）将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。
13．一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，， b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。
14．证明下列算符的对易关系。
1．；2. ()3.设算符与它们的对易式对易，即：，证明：15．设有两个电子，自旋态分别，，证明两个电子处于自旋单态（）及三重态（）的几率分别为：（20分）。
16．求自旋角动量在方向的投影的本征值和所属的本征函数（20分）。
17．由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符。
试证明（1）是厄密算符；（2）有；（3）的本征值为0和1（20分）。
18．设在表象中，的矩阵表示为，其中，试用微扰论求能级二级修正（14分）。
19．证明下列算符的对易关系（24分）：1．2. ()3.设算符与它们的对易式对易，即：，证明：20．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。
玻色子只有两个可能的单粒子态。
问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？21．求证在的共同本征态下，角动量沿与z轴成角的方向的分量的平均值为。
22．证明如算符有共同的本征函数完备集，则对易。
23．求及的本征值和所属的本征函数。
三问答题1．电子在均匀电场中运动，哈密顿量为，试判断各量中哪些是守恒量，为什么？2．经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？3．量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？4．什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系？5．表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？6．乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？7．什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？8． 什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？9． 什么是斯塔克效应？10． 不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？11． 量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？12． 什么是定态？定态有什么性质？13． 量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？ 14． 简述力学量与力学量算符的关系？ 15． 轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系？ 16． 简述量子力学的五个基本假设。
17． 简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 18． 什么是光电效应？光电效应有什么规律？19． 什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。
20． 简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。
21． 简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。
22． 能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？ 23． 原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的？习题21.1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系：_____________________________2. 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：_____________________________3. 计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长_____________________________4. 计算对易式)](,ˆ[x f px 和)]ˆ(,[x p f x ，其中x p ˆ为动量算符的x 分量，)(x f 为坐标的x 函数.5. 如果算符βαˆˆ、满足关系式1ˆˆˆˆ=-αββα，求证 (1) βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=- (2) 233ˆ3ˆˆˆˆβαββα=- 6. 设波函数x x sin )(=ψ，求?][][(22=ψ-dxdx x dx d ψ 7. 求角动量能量算符ϕ∂∂-= i L zˆ的本证值和本征态 8. 试求算符dxdie Fix-=ˆ的本征函数 9. 证明一维束缚定态方程的能量E 是非简并的10. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称11. 一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数 12. 设t=0时，粒子的状态为]cos [sin )(212kx kx A x +=ψ 求此时粒子的动量期望值和动能期望值 13. 一维运动粒子的状态是⎩⎨⎧<≥=-0 ,0 0 ,)(x x Axe x x 当当λψ其中0>λ，求：(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的动量期望值。
14. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数)()(x a Ax x -=ψ 描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值.15.设粒子处于范围在],0[a 的一维无限深势阱中状态用函数axaxax ππ2cos sin4)(=ψ，求粒子能量的可能测量值及相应的几率 16. 设氢原子处在031),,(a rear -=πφθψ的态（0a 为第一玻尔轨道半径），求(1) r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值17. 质量为m 的一个粒子在边长为a 的立方盒子中运动，粒子所受势能(,,)V x y z 由下式给出：()()()0,0,;0,;0,(,,),x a y a z a V x y z others∈∈∈⎧⎪=⎨∞⎪⎩；试写出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数； 18. 氢原子处于态()433141104111122,,333r R Y R Y R Y ψθϕ-=+-中，问 （1）(),,r ψθϕ是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。
若不是，说明理由； （2）在(),,r ψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少19. 在一维谐振子能量表象中写出坐标x 和动量p 的矩阵表示 20. 在t=0时，自由粒子波函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=b 2x 0b 2x bxsin 2b 0,x πππψ(1) 给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；[2221)(22sin )2()(41xx p b bb p i b -+ ππ] (2) 求出几率最大的动量值；b p x±=(3) 求出发现粒子在x dp b b +- 区间中的几率；[x x 2dp b1dp )b ( =ϕ] 21. 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H'ˆ的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112，；b a 、都是实数。