中科院量子力学考研真题及答案详解(19902010共40套真题)
量子力学基础试题及答案
量子力学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，物质的波粒二象性是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 德布罗意D. 海森堡答案：C2. 量子力学的基本原理之一是不确定性原理，该原理是由哪位科学家提出的？A. 玻尔B. 薛定谔C. 海森堡D. 狄拉克答案：C3. 量子力学中，描述粒子状态的数学对象是：A. 波函数B. 概率密度C. 动量D. 能量答案：A4. 量子力学中，哪个方程是描述粒子的波动性质的基本方程？A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 牛顿第二定律D. 相对论方程答案：A5. 量子力学中，哪个原理说明了粒子的波函数在测量后会坍缩到一个特定的状态？A. 叠加原理B. 波函数坍缩原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 在量子力学中，粒子的动量和位置不能同时被精确测量，这一现象被称为______。
答案：不确定性原理2. 量子力学中的波函数必须满足______条件，以确保物理量的概率解释是合理的。
答案：归一化3. 量子力学中的粒子状态可以用______来描述，它是一个复数函数。
答案：波函数4. 量子力学中的______方程是描述非相对论性粒子的波函数随时间演化的基本方程。
答案：薛定谔5. 量子力学中的______原理表明，不可能同时精确地知道粒子的位置和动量。
答案：不确定性三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。
答案：量子力学与经典力学的主要区别在于，量子力学描述的是微观粒子的行为，它引入了波粒二象性、不确定性原理和量子叠加等概念，而经典力学主要描述宏观物体的运动，遵循牛顿力学的确定性规律。
2. 描述量子力学中的波函数坍缩现象。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当对一个量子系统进行测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变到一个特定的本征态，这个过程是不可逆的，并且与测量过程有关。
量子力学真题和答案解析
量子力学真题和答案解析是物理学中的一个重要分支，研究微观领域的宇宙现象和微观粒子的行为规律。
具有复杂的数学理论基础，因此在学习和研究过程中常常会遇到各种难题和问题。
为了更好地理解和应用，解析真题和答案是非常重要的一步。
首先，解析真题前，我们需要了解一些基本概念和原理。
描述了微观粒子的行为，其中最基本的概念是量子态和波函数。
量子态描述了粒子的所有性质，而波函数则是的核心数学工具，用于描述粒子的状态和演化规律。
在研究真题时，我们需要仔细分析题目中给出的信息和条件。
通常，题目会给出一些实验或者观测结果，然后要求利用所学知识来推断和解释这些结果。
这就需要我们从题目中提取关键信息，并应用的原理进行分析。
解析真题时，我们可以采用逐步推导的方法。
首先，根据题目中给定的信息，我们可以确定所研究系统的量子态。
然后，根据波函数的演化规律，我们可以利用薛定谔方程或者时间演化算符来推导出系统的时间演化。
最后，我们可以根据所给条件和结果来验证和解释我们的推导和计算结果。
在解析真题时，我们还需要注意一些常见的问题和误区。
首先，是一种概率性理论，因此我们无法准确预测每一次实验的结果。
我们只能给出在大量重复实验中的平均结果。
其次，波函数的坍缩现象是的核心特征之一。
在测量时，波函数会坍缩到某一特定的量子态，从而给出确定的结果。
最后，量子纠缠是中的一个重要现象。
它描述了在某些情况下，两个或多个微观粒子之间存在着密切的关联，无论它们之间的距离有多远。
总结一下，解析真题和答案是学习和研究的重要一步。
我们需要了解的基本概念和原理，并且可以采用逐步推导的方法来分析和解决问题。
我们还需要注意中的一些常见问题和误区，以便更好地理解和应用的原理和概念。
通过解析真题和答案，我们可以提高对的理解，并且能够更好地应用于实际问题和研究中。
中科院量子力学考研真题及答案详解(19902010共40套真题)
1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型），00分。
、在，氢原子波函数为说明：共五道大题无选择题，计分在题尾标出，满分10t =100210211211一(,0)2r ψψψ=+⎣⎦ 其中右方函数下标表示量子数。
忽略自旋和辐射跃迁。
投影-⎡⎤(1) 此系统的平均能量是多少？nlm 0z L =(2) 这系统在任意时刻处于角动量的几率是多少？ 、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明二()2∞00n nE E n x -=∑常数这里是哈密顿量n E 2ˆˆ()2p H V m=+x 的本征能量，相应的本征态为n 。
求出该常数。
、设一质量为μ的粒子在球对称势()(0)V r kr k =>三中运动。
利用测不准关系估算其（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非基态的能量。
四、电子偶素e e +-种接触型自旋交换作用相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。
今设在电子偶素的基态里，存在一8e p ˆˆˆ3H M M π和ˆpM '=-⋅其中ˆe M 是电子和正电子的自旋磁矩ˆˆ(,q )MS q ==e mc±量差，决定哪一个能量更低。
对普通的氢原子，基态波函数： 。
利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能221137e c 1002,,r a a me ψ-==一质量为= μ的粒子被势场00()(0)r aV r V e V a -=>>所散射，用一级玻恩近似计算微分散射截面。
五、1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）分。
光电效应实验指出：当光照射到金属上，说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、(1) a) 只有当光频率大于一定值0ν时，才有光电子发射出；b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关；c) 只要光的频率大于0ν，光子立即产生。
试述：a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何斯坦假说正确解释上述实验结果。
《量子力学》22套考研自测题+答案
。
2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于
的性
质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的
对易，而与
体系的
无关。一个力学量是否具有确定值，只决定于体系
的
，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的
，
无论该力学量是否守恒量。
二、（本题 15 分）
1．设全同二粒子的体系的 Hamilton 量为 Hˆ （1，2，），波函数为
（1） Nˆ ≡ aˆ +aˆ 本征值必为实数。
（2） Nˆ 2 = Nˆ
（3） Nˆ 的本征值为 0 或者 1。
2．利用对易式σ ×σ = 2iσ ，求证：{σ i ,σ j }= 0 ，(i, j = x, y, z) ，其中，σ i ,σ j
为 Pauli 矩阵。
三、（本题 15 分）
1．设氦原子中的两个电子都处于 1s 态，（不简并）两个电子体系的
ψ (x,0) =
α⎡
π
⎢ ⎣
1− 3
2 3
⎤ αx⎥
⎦
exp(−
1 2
α
2x2)
α
，其中
=
μω
，求
1、在 t = 0 时体系能量的取值几率和平均值。
2、 t > 0 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值
四、（15 分）当 λ 为一小量时，利用微扰论求矩阵
⎜⎛ 1 2λ
0 ⎟⎞
⎜ 2λ 2 + λ 3λ ⎟
HY制作
HY制作
HY制作
量子力学自测题（１）
一、简答与证明：（共 25 分） 1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4 分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6 分） 3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全 同粒子体系的波函数。（4 分）
历年量子力学考研真题试卷
历年量子力学考研真题试卷历年量子力学考研真题试卷量子力学是现代物理学的重要分支，也是考研物理专业的必考内容之一。
历年来，考研真题试卷中的量子力学部分涵盖了许多重要的概念和原理，对于考生来说是一项重要的挑战。
本文将对历年的量子力学考研真题试卷进行回顾和分析，帮助考生更好地准备考试。
首先，我们来看一道经典的考研真题：2015年考研物理专业真题中的一道量子力学选择题。
题目如下：在一个一维无限深势阱中，一束波长为λ的平面波入射，其入射角为θ。
已知势阱宽度为a，求波函数在势阱内的形式。
这道题目考查了量子力学中的一维无限深势阱问题。
解答这道题目需要运用波函数的性质和边界条件来分析。
首先，我们可以根据波函数的性质得出波函数在势阱内的形式是一个定态波函数。
其次，根据边界条件，我们可以得到波函数在势阱两侧的形式是分别由入射波和反射波组成。
因此，波函数在势阱内的形式可以表示为：Ψ(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}，其中A和B分别表示入射波和反射波的振幅，k 为波矢。
接下来，我们来看一道稍微复杂一些的考研真题：2018年考研物理专业真题中的一道量子力学计算题。
题目如下：考虑一个束缚在一维势阱中的粒子，势阱宽度为a。
已知粒子的质量为m，势阱内的势能为V_0，势阱外的势能为0。
求粒子在势阱内的能级。
这道题目考查了量子力学中的束缚态问题。
解答这道题目需要运用定态薛定谔方程和边界条件来分析。
首先，我们可以根据定态薛定谔方程得到粒子在势阱内的波函数形式。
其次，根据边界条件，我们可以得到波函数在势阱两侧的形式是分别由入射波和反射波组成。
因此，波函数在势阱内的形式可以表示为：Ψ(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}，其中A和B分别表示入射波和反射波的振幅，k 为波矢。
然后，我们需要将波函数在势阱两侧的形式进行匹配，并利用边界条件得到粒子在势阱内的能级。
通过求解定态薛定谔方程，我们可以得到粒子在势阱内的能级为：E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2}，其中n为能级的量子数。
中科院量子力学真题
x <a 势场中运动 (V0 > 0 ) 。试求系统能级或能级方 x >a
-6-
putiansong 3@
试证明位力定理：
ψn
ˆ2 p 1 � � ψ n = ψ n r ⋅∇V (r ) ψ n 2m 2 ˆ2 1 p 4 ˆ ' = −λ p ˆx + mω 2 x 2 ，设受到微扰 H 的作 2m 2
-1-
putiansong 3@
（1）求其能级和本征函数；
⎧V1 , −α < ϕ < 0 ˆ ' = V (ϕ ) = ⎪ （2）加 H ⎨V2 , 0 < ϕ < α 微扰， ⎪ 0, 其他 ⎩
求对最低的两能级的一级微扰修正。 注：在坐标系中 ∇ 2 =
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 。 (r ) + 2 + r ∂r ∂r r ∂ϕ 2 ∂z 2 ⎧ 0, 0 < x < a 中运动， t = 0 时刻处于基态， 此 ⎩∞, a < x, x < 0
ˆ = 五、一维谐振子系统哈密顿量为 H 0
用，试求对第 n 个谐振子能级的一级微扰修正。
ˆ n = （已知矩阵元 n ' x ℏ ( n + 1δ n ', n+1 + nδ n ', n−1 ) ） 2mω
� � 1⎛r � � r⎞ ˆ ˆ ˆ r = ⎜ ⋅ p + p ⋅ ⎟ ，则： 二、 (30') 在三维体系中粒子的径向动量算符 p 2⎝ r r⎠ ˆ r 是否为厄密算符，为什么？ （1） p ˆ r 的表示； （2）写出在球坐标系中 p ˆr ] = ? （3）求 [ r, p
中科院量子力学历年详解(phileas)
v v vi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17
1.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 详解 2.1 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
2.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 四川大学量子力学入学试题 A.1 2010 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 2009 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 2010 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 2009 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2012-2013年中国科学院大学考研试题 量子力学
∞
∫ 数为
ψ
( x,0)
=
(α π
)1
4 eik0 x−αx2
2
（ k0、α 为实常数；
dx e−ax2 =
π ,
a
a > 0 ）。
−∞
(1)求 t > 0 时刻动量表象波函数 Ψ~ (k,t) 及粒子动量几率分布 Π(k,t) 。
(2)求 t > 0 时刻波函数 Ψ(x,t) 及粒子位置几率分布 Ρ(x,t) 。
四、（共 30 分） (1) 写出角动量算符的三个分量 J x 、 J y 、 J z 相互间满足的所有对易关系。
(2) 试利用这些对易关系，证明矩阵元 m J x n 仅当 m n 1 时不为零。其中
m 、 n 分别为 J z 的本征值为 m 、 n 的本征态。
(3) 设角动量量子数 j 1。 已知在 J z 的某一个本征态 m 中， J x 取值为 0 的概
科目名称：量子力学
第 2 页，共 2 页
为第一
Bohr
轨道半径。
设体系受到微扰 H e z 的作用（沿 z 方向加上均匀电场 ），哈密顿量变成
H H0 H。
(1)计算对易关系：[H0, H ] 及 [H ,[H0, H ]] 。
(2)计算 0 下的平均值：
H 0
及
H2 。 0
(3)取基态试探波函数为 () N(1 H) 0 ，其中 N 为归一化常数。试以 为
一、（共 30 分）质量为 µ 的粒子在一个无限深球方势阱
0, r ≤ a V (r) = ∞, r > a
中运动。
(1)写出径向波函数 Rl (r ) 满足的方程（已知：= ∇2
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1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型），00分。
、在，氢原子波函数为说明：共五道大题无选择题，计分在题尾标出，满分10t =100210211211一(,0)2r ψψψ=+⎣⎦ 其中右方函数下标表示量子数。
忽略自旋和辐射跃迁。
投影-⎡⎤(1) 此系统的平均能量是多少？nlm 0z L =(2) 这系统在任意时刻处于角动量的几率是多少？ 、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明二()2∞00n nE E n x -=∑常数这里是哈密顿量n E 2ˆˆ()2p H V m=+x 的本征能量，相应的本征态为n 。
求出该常数。
、设一质量为μ的粒子在球对称势()(0)V r kr k =>三中运动。
利用测不准关系估算其（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非基态的能量。
四、电子偶素e e +-种接触型自旋交换作用相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。
今设在电子偶素的基态里，存在一8e p ˆˆˆ3H M M π和ˆpM '=-⋅其中ˆe M 是电子和正电子的自旋磁矩ˆˆ(,q )MS q ==e mc±量差，决定哪一个能量更低。
对普通的氢原子，基态波函数： 。
利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能221137e c 1002,,r a a me ψ-==一质量为= μ的粒子被势场00()(0)r aV r V e V a -=>>所散射，用一级玻恩近似计算微分散射截面。
五、1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）分。
光电效应实验指出：当光照射到金属上，说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、(1) a) 只有当光频率大于一定值0ν时，才有光电子发射出；b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关；c) 只要光的频率大于0ν，光子立即产生。
试述：a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何斯坦假说正确解释上述实验结果。
在？b) 用爱因(2) 电子是微观粒子，为什么在阴极射线实验中，电子运动轨迹可用牛顿定律描述？(3) 1ψ和2ψ为体系本征态，任一态为c c 1122ψψψ=+。
如果01ψ=，试问：a) 如1ψ和2ψ是经典波，在ψ态中1ψ和2ψ态的几率如何表示？b) 如1ψ和2ψ是几率波，在ψ态中1ψ和2ψ态的几率如何表示？(4) 如何知道电子存在自旋？222ˆ1ˆ22p H m m ω=+二、一维谐振子的哈密顿量x ，基态波函数222(),x x αψα-==。
设振子处于基态。
（1997年（实验型Ⅰ）第五题） (1) 求x <>和p <>；(2) 写出本征能量E ，并说明它反映微观粒子什么特征？(3)一维谐振子的维里定理是，试利用这个定理证明： T V <>=<>2x p ∆⋅∆=，其中x ∆=∆三、精确到微扰论的一级近似，试计算由于不把原子核当作点电荷，而作为是半径为p =R ，均匀带电荷Ze 的球体所引起的类氢原子基态能量的修正。
已知球内静电势223，类氢原子基态波函数()22Ze r R R ⎛⎫⎭r ϕ ⎪，球外电势为=-⎝Ze r 1,Zr a s a ψ-=玻尔半径。
用为四、,,j l s 写出ˆˆˆˆ,LS J S ⋅⋅的表达式。
对于 (1) (2) 2,12l s ==，计算确定（2）中和间夹角的可能值，并画出和的矢量模型图。
证明虚ˆˆ的可能值。
LS ⋅ (3) ˆˆLS ˆˆ,L S ˆJ 五、求在一维常虚势场()iV V E - 中运动粒子的波函数，计算几率流密度，并势代表粒子的吸收，用V 表示）。
求吸收系数（1991年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型）分。
请推导相应的几率守恒定律。
求出几率密度与几率、当两个质量为的粒子通过球对称势说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、一个带电粒子在电磁场中运动，流密度的表达式。
m ()0()ln V r A r r =二，（为常数）而束0缚0,0A r >>在一起，其第一激发态能量与基态能量之差为E ∆。
今有一个质量为m 的粒子与另一个质量为1840m 的粒子通过同一位势形成束缚态，则这一系统的第一激发态与基态能量之差是多少？说出理由，并证明之。
三、一束极化的波（）电子通过一个不均匀的磁场后分裂为强度不同的两束，其、质量为s 0l =中自旋反平行于磁场的一束与自旋平行于磁场的一束之强度比为3:1，求入射电子自旋方向与磁场方向夹角的大小。
μ的粒子在一个三维球方势阱中运动，000()(0),V r V V r a ,r a>⎧=>⎨-<⎩ 四问：波束缚态的条件是什么？波相移(1) 存在s (2) 当粒子能量0E >时，求粒子的s 0δ； (3) 证明00lim ,E n n δπ=为整数。
→,0()(0),0z V z G Gz z ∞<⎧=>⎨>⎩五、质量为m 的粒子在一维势场中运动。
(1) 用变分法求基态能量，则在区域中的试探波函数应取下列函数中的哪一z 0z ≥个？为什么？22,,x z z e ze αα,sin x αα--+(2) 算出基态。
能量值。
1991年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（实验型）分。
1) 电子双缝实验中，什么结果完全不能用粒子性而必须用波动性来解释，为什原子光谱主线系的精细结构。
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、(么？(2) 解释钠()3np s →(3) 量子力学角动量用矢量图表示时，和经典角动量有什么不同，为什么？二、一个质量为μ的粒子，处于0x a ≤≤的无限深方势阱中，0t =时，其归一化波函数为(,0)1cos sinx xx t a aππψ⎫==+⎪⎭ 求(2000年(实验型)第二题)：波函数； 为，四、质量为(1) 在后来某一时刻t t =时的0(2) 在0t =和t t =时的体系平均能量。
0三、精确到微扰的一级近似，试计算如图所示宽度OB a AO 为0V ，AOB 被切去的无限深方势阱（如图CABD ）的最低三个态的能量。
μ的粒子在势场32()V r rλ=-常数（0λ>）中运动，试用测不准关系估算基态能量。
[]ˆ,x p五、如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系，证明能量表象中有()222nm nmnEE x μ∞其中-=∑ μ为系统质量，n E 与m E 是能量本征值，满足ˆˆ,n m H n m ，nE n H m E ==∞∑是对n 的完全求和。
1992年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型）分。
、个质量都是的粒子可在一宽为的无限深方势阱中运动，忽略彼此间的相互作、1) 写出角动量算符说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一N m a 用，请求出最低的4条能级，并写下相应的简并度。
二ˆˆˆ,,x y L L L z(及算符之间的一切对易关系； (2) 设2ˆL lm ψ是与的本征态，本征值分别为和，证明2ˆˆ2z L (1)l l + m ()ˆˆx y l L iL L mϕψ=+亦为2ˆL 与ˆzL 的本征态，求出本征值； (3) 证明当时，态0l =lm ψ也是ˆx L 与的本征态。
、有一个定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动），受到均匀磁场的作用，磁场ˆL y三、请根据不确定关系估计氢原子基态的能量。
四ˆˆˆ2x x eB eB c μ H S cσμ==。
设0t B x = 指向正方向，相互作用势为时电子自旋朝上，即2zs = ，求时自旋的平均值。
、假定氢原子内的质子是一个半径为的均匀带电球壳，而不是点电荷，试用、一束中子射向氢分子而发生弹性碰撞。
忽略电子对中子的作用，而两个原子核与中0t >ˆS五1310cm -一级微扰论计算氢原子1s 态能量的改变。
六子的作用可用下面的简化势代替：()()(3)(3)0)V r a r a δδ(V r ⎡⎤=-++-⎣⎦ 矢量（a 与a 其中0V 是常数，a 是常，-分别是两核的位置矢量）。
试求高能下的中子散射微分截面，并指出散射截面的一个极大的方向。
1992年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（实验型）分。
实说明微观粒子具有波粒二象性。
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、简单回答下列问题：(1) 举出一个实验事(2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别？ (3) 如图所示，一个光子入射到半透半反镜面,12M P 和P P P 和为光电、若厄密算符探测器，试分别按照经典与量子的观点说明1是否能同时接收到光信号（12l l =）。
ˆˆA B 与具有共同本征态函数，即ˆˆ,na n nana n naA AB B ψψψψ==二，而且构成体系状。
三、在一维谐振子的哈密顿量态的完备函数组。
试证明ˆˆ,0AB ⎡⎤=⎣⎦222ˆ1ˆ22p H x μωμ=+中引进†ˆˆ,,a p a p ⎫=+=-⎪⎪⎫⎪⎭。
(1) 证明⎪⎭†,1a a ⎡⎤=⎣⎦； (2) 用写出哈密顿量； 设†,a a ˆH(3) n 为的本征矢，本征值为。
证明ˆH 为的本征矢，本征值为ˆH ()nE ω- n E a n 。
、在的对角表象（用泡利矩阵的形式表示）中，求出自旋算符ˆz S ˆˆˆ,,xy zS S S 四的本征值和本征矢五、在=时，氢原子的波函数量。
t 100210211211(,0)2r ψψψ-⎤=+++⎦(1) 该体系的能量期待值是多少式中波函数的下标分别是量子数的值，忽略自旋和辐射跃迁。
？的态的几率是多少？（1997年(实验型Ⅰ)第六题）,,n l m (2) 在t 时刻体系处在1,1l m ==1993年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型）说明：共六道大题，选作五题，每题20分。
一、质量为m 的粒子可在势()()(V x x αδα0)=>1122,0,0x x x x e A e x x A e A e x λλλλ--'+<'=+> 的作用下作一维运动。
设粒子能量(1) 计算矩阵0E <，它的波函数可写为()x A ϕ= ()ϕM ：⎫。
(2) 求能量的值，解出波函数。
择基矢为2121A A M A A ⎛⎫⎛= ⎪ ''⎝⎭⎝⎪⎭E (3) 求动量的几率分布表达式。
{}1,2,3二、有一量子体系，其态空间三维，选，定义哈密顿量及另二个力学量ˆHˆˆ,AB 0ω 时，系统状态为为 设0t =100⎛100010ˆˆˆ020,001,100002010001H A a B b ⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11(0)12322ψ=++。