二次函数的意义
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是中学数学中非常重要的一个内容，也是中考数学中的重点。
下面是对初中数学中考复习二次函数知识点的总结和归纳整理。
一、二次函数的定义1. 二次函数的一般形式：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2.二次函数的图像为抛物线，开口方向与a的正负有关。
-当a>0时，抛物线开口向上。
-当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的性质1.对称轴：二次函数的对称轴与抛物线的开口方向垂直，其方程为x=-b/2a。
2.顶点：二次函数的顶点位于对称轴上，其坐标为（-b/2a,f(-b/2a)）。
-当a>0时，顶点是抛物线的最低点。
-当a<0时，顶点是抛物线的最高点。
3. 判别式：对于二次函数y = ax² + bx + c，其判别式Δ = b² -4ac表示方程ax² + bx + c = 0的根的情况。
-当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
-当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
-当Δ<0时，方程没有实根。
4.单调性：-当a>0时，二次函数在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。
-当a<0时，二次函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。
三、二次函数的图像特征1.a的正负决定了抛物线的开口方向。
2.，a，的大小决定了抛物线的陡峭程度，a，越大抛物线越陡峭。
3.当b=0时，抛物线经过原点。
4.当c=0时，抛物线经过x轴。
5.当a>0时，函数值在顶点处取得最小值。
6.当a<0时，函数值在顶点处取得最大值。
四、二次函数的方程求解1. 解二次方程ax² + bx + c = 0的一般步骤：- 利用判别式Δ = b² - 4ac判断方程的根的情况。
-若Δ>0，方程有两个不相等的实根，可以用求根公式x₁=(-b+√Δ)/2a和x₂=(-b-√Δ)/2a求解。
以二次函数为例管窥函数性质及意义论文
以二次函数为例管窥函数的性质及意义函数作为高中数学学习最基础、最核心的内容，对数学和其他学科的许多领域有着指导意义。
虽然我们在初中已经初步学习了函数的定义和基本思想，但在高中阶段我们还要集中学习映射和集合等函数概念，从映射和集合的角度来剖析函数的概念。
二次函数作为最基本的幂函数有着丰富的内涵和外延，因此本文通过剖析二次函数来分析函数的性质和概念，诸如：函数的奇偶性、单调性、区间阈值等问题。
一、掌握映射的角度来理解函数的概念二次函数，顾名思义即指未知数的最高次幂为二次的多项式函数，我们通常表达为：y=ax2+bx+c(a≠0)。
我们可以用集合的概念来描述二次函数：由集合定义域a到集合值域b上的映射，书写为f：a→b，也就是让集合b中的每位元素y=ax2+bx+c(a≠0)一一对应集合a中的元素x，记作：f(x)= ax2+bx+c(a≠0)，该式中的ax2+bx+c为对应法则，亦即定义域中的x在值域y中的象。
高一数学课上我们通过这样阐述来衔接初高中函数知识，很容易引导学生对函数的概念产生新的理解和认识，为接下来继续以二次函数为例引导学生从以下问题展开探究奠定基础：1.已知f(x)= 2x2+3x+4，求f(x+1)由以上概念学习我们可以这样理解：f(x+1)即是自变量为x+1的函数值。
所以有：f(x+1)=2（x+1）2+3（x+1）+42.进一步探索，反过来研究：设若f(x+1)=x2－2x+3,怎样求f(x)这个问题实际是探讨对应法则，我们可以用可逆思维理解在某对应法则f下，定义域范围内元素x+1的象为x2－4x+1。
于是我们可以悟出两种解答方式：①把反应对应关系的表达式配成x+1的多项式，然后对号入座。
f (x+1)=x2－2x+3=(x+1)2－4(x+1)+6，将x 替换x+1得出f(x)=x2－4x+6。
②设置代换：设x+1=a，那么x=a-1 所以，f(a-1)=(a-1)2－2(a-1)+3=a2－4a+6 因此，f(x)= x2－4x+6二、用直观的图像来研究和表达函数性质1、函数的单调性探讨函数单调性时我们必须要求学生参照定义对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞）上的单调性结论展开严格论证，当然我们还可以借助比较直观的函数图象关系，将抽象理论知识转化为学生的形象认识，再辅助科学的练习，大家就不难掌握图解二次函数单调性的技巧。
二次函数一次项系数的意义
二次函数一次项系数的意义
二次函数指的是形如y= ax^2 + bx + c的函数，其中a，b，c分别为一次项系数，二次项系数，常数项系数。
本文就主要介绍一次项系数a带给我们的意义。
一次项系数a是二次函数的重要参数，它会影响整个函数的性质，从而影响解的特性。
当a>0的时候，该函数从解的定理可知，此函数是抛物线，大致呈现出升高的趋势，而当a<0的时候，此函数的解定理表明，这是一个抛物线，但它大致呈现出下降的趋势。
此外，a的值也会影响抛物线的凹凸程度，a的绝对值越大，即|a|越大，抛物线凹凸越明显，如果|a|接近于0，将会十分接近一条直线，也就是说，如果a=0，那么这个抛物线就会变成一条直线。
除此之外，二次函数的一次项系数a还会影响抛物线的顶点，只要娴熟的求顶点的方法，用其中一个高等代数中的知识，可以得知a会影响顶点的坐标，有利于我们解出问题。
总而言之，一次项系数a可以说是二次函数整体形状的关键，很容易解释它的作用。
它对对数学了解中一个重要的概念有深远的影响，是学习二次函数及其参数的重要组成部分。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是数学中一个重要的函数类型，它在许多领域都有广泛的应用。
二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
以下是二次函数的主要知识点总结：1. 定义：二次函数是最高次项为二次的多项式函数。
2. 标准形式：二次函数的标准形式是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
3. 系数意义：系数 a 决定了抛物线的开口方向和宽度，b 和 c 决定了抛物线的位置。
4. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线向上开口；当 a < 0 时，抛物线向下开口。
5. 顶点：二次函数的顶点是抛物线的最值点，其坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。
6. 对称轴：二次函数的对称轴是一条垂直于 x 轴的直线，其方程为x = -b/2a。
7. 极值：当 a > 0 时，抛物线有最小值；当 a < 0 时，抛物线有最大值。
8. 零点：二次函数的零点是函数图像与 x 轴的交点，可以通过求解方程 ax^2 + bx + c = 0 得到。
9. 判别式：二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的判别式为Δ = b^2 -4ac，它决定了方程的根的性质。
- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根。
- 当Δ < 0 时，方程没有实数根。
10. 应用：二次函数在物理、工程、经济学等领域有广泛应用，如抛体运动、最优化问题等。
11. 图像特征：二次函数的图像是一个抛物线，其形状和位置由系数a、b、c 共同决定。
12. 函数性质：二次函数具有连续性、可导性等性质，其导数为 f'(x) = 2ax + b。
13. 函数图像绘制：通过确定顶点、对称轴和零点，可以绘制出二次函数的图像。
14. 函数变换：通过对二次函数进行平移、伸缩等变换，可以得到新的二次函数图像。
二次函数的定义与性质
二次函数的定义与性质随着数学的发展，二次函数作为一种重要的数学模型，在各个领域中的应用越来越广泛，因此了解二次函数的定义与性质是十分重要的。
本文将探讨二次函数的定义以及与之相关的性质。
一、二次函数的定义二次函数是一个常见的代数函数，它的定义形式通常为 f(x) = ax^2+ bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
其中 a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项的系数a 决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
特殊地，当 a = 0 时，该函数退化为一次函数。
二、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点就是方程 f(x) = 0 的解。
根据二次函数的定义，我们可以使用求根公式来求得二次函数的零点。
对于一般的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的零点可以通过公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 求得。
2. 领域二次函数的定义域是实数集 R，即所有实数都可以作为自变量。
而值域则依赖于二次项系数 a 的正负性质。
当 a > 0 时，值域是[f(c), +∞)，其中 c 是顶点的纵坐标；当 a < 0 时，值域是 (-∞, f(c)]。
3. 对称轴对称轴是二次函数图像的中心线，它将图像分成两部分对称的部分。
对称轴的方程可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
4. 顶点二次函数的顶点是图像的最高点（对于 a > 0）或最低点（对于 a < 0），对称轴与图像相交的点。
顶点的横坐标可以通过对称轴的方程求得，顶点的纵坐标可以通过代入得到。
5. 函数增减性当 a > 0 时，二次函数是开口向上的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。
此时函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。
当 a < 0 时，二次函数是开口向下的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。
初中数学二次函数最全知识点总结
初中数学二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学的重点内容之一，掌握二次函数的知识对于解决实际问题和提高数学能力都具有重要意义。
以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1.函数：函数是一种特殊的关系，它可以用来描述自变量和因变量之间的对应关系。
2. 二次函数：二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二、图像和性质1.基本图像：二次函数的基本图像是抛物线，开口方向由常数a的正负决定。
2. 零点：二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解，可以用求根公式或配方法求出。
3.对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。
4.最值：二次函数的最值可以通过对称轴得到，最值为抛物线的顶点。
5.单调性：当抛物线开口向上时，二次函数是增函数；开口向下时，二次函数是减函数。
6.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小来获得新图像。
三、二次函数的解析式1. 标准形式：当a = 1时，二次函数的标准形式是y = x² + px + q。
2.顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
3. 一般形式：二次函数的一般形式是y = ax² + bx + c，实际问题中常用。
四、二次函数的变形1. 增长量：二次函数y = ax² + bx + c中，增长量即为b。
2.曲线方向：二次函数的曲线方向由a的正负决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
3.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小进行变形。
4.翻折：二次函数的图像可以进行关于x轴或y轴的翻折，得到新的图像。
五、二次函数的性质1.零点性质：二次函数的零点个数最多为2个。
2.对称性质：二次函数关于对称轴具有对称性。
3.成立范围：二次函数在全体实数范围内都成立。
二次函数系数的意义讲义-11页
二次函数系数的意义讲义(共9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次函数系数的意义讲义一．【知识点拨】(1)a,b,,c 符号判别二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）中a 、b 、c 的符号判别：①a 的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a ＞0；当开口向下时，a ＜0；②c 的符号判别由与Y 轴的交点来确定：若交点在X 轴的上方，则c ＞0；若交点在X 轴的下方，则C ＜0；③b 的符号由对称轴来确定：对称轴在Y 轴的左侧，则a 、b 同号；若对称轴在Y 轴的右侧，则a 、b 异号；（2）抛物线与x 轴交点个数①Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
这两点间的距离：aaac b ac ab x x x x x x x x AB 444222122122121②Δ= b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
顶点在x 轴上。
③Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
（3）二次函数图像的特殊情况：①二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）与X 轴只有一个交点或二次函数的顶点在X 轴上，则Δ=b 2-4ac=0；②二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在Y 轴上或二次函数的图象关于Y 轴对称，则b=0；③二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则c=0；(4)平移、平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式2ya x hk ，确定其顶点坐标h k ，；②左加右减，上加下减（5）用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：c bx ax y 2。
已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。
②顶点式：k hx a y2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
③交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：21x x x x a y 。
(6)应注意的特殊值：x=1 ? y=a+b+c; x=-1 ? y=a-b+c.X=2 ? y=4a+2b+c; x=-2 ? y=4a-2b+c教师寄语：钉子有两个长处：一个是“挤”劲，一个是“钻”劲。
二次函数一次项系数的意义
二次函数一次项系数的意义《二次函数一次项系数的意义》是表达一类数学表达式的一种重要方式。
它是一类数学表达式的一种精确描述，一类数学表达式的一次项系数的意义也十分重要。
首先，二次函数一次项系数的意义是数学表达式的精确描述。
例如，对于二次函数 y=ax2+bx+c，a是一次项系数，它表示函数的弯曲程度，即曲线与直线的关系。
如果a<0，函数绕着一个极小值点连续凹陷；如果a>0，则曲线依着一个极大值点继续凸起；如果a=0，曲线就是一条直线。
因此，可以看出，a是一次项系数，它表示二次函数弯曲程度的重要系数。
此外，二次函数一次项系数的意义还包括确定函数一般性质的重要指标。
例如，对于函数 y=ax2+bx+c，可以计算其一次项系数a和二次项系数c的乘积b24ac，即可以确定函数有几个根，也可以确定它是凸函数还是凹函数。
如果b24ac<0，则函数有两个不同的实根，且是凹函数；如果b24ac=0，则函数有一个实根，且是凸函数；如果b24ac>0，则函数有两个相同的实根，且是凸函数。
因此，二次函数一次项系数的意义还包括确定函数一般性质的重要指标。
最后，二次函数一次项系数的意义也对函数在多维空间中描述特定对象有重要意义。
一次项系数a等于0时，函数就是一元一次函数，这就是二维空间中函数描述特定对象的情况；而一次项系数a不等于0时，函数就不再是一元一次函数，它可以在多维空间中描述特定对象。
换句话说，一次项系数a就是一个重要的参数，用来协助函数描述特定对象，无论是在二维空间中，还是多维空间中。
因此，可以看出，二次函数一次项系数的意义也是有重大意义的。
综上所述，可以看出，一次项系数在二次函数中具有重要的意义。
它不仅是表达函数的精确描述，还可以确定函数的一般性质，它还可以帮助函数在多维空间中描述特定对象。
而且，它还可以作为解决问题的重要参照，从而帮助我们更加深入了解二次函数的重要性。
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小结 拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.
6
抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y = x 2
是
(2) y=1源自x2(3 ) y = x (1 x )
不是 是
(4) y = (x 1)2 x 2
不是
先化简后判断
7
２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x2 2
(是 )
(2)y = x2 1 x
( 否)
(3)y=(x2)x (3)
m=2
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小试牛刀
圆的半径是1cm,假设半径增加 xcm时,圆的面积增加ycm².
（1）写出y与x之间的函数关系表 达式；
（2）当圆的半径分别增加 1cm, 2 cm ,2cm时,圆的面积增加多 少？
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问题再探究
在种树问题中,种 多少棵橙子树,可 以y总=使-产5果x²量+园1最0橙0多x子+6？0的000,
5
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是） (2) y =
x+
1
（否）
x
(3) s=3-2t²
（是） (4) y = 1 x2 - x
（否）
(5)y=(x+3)²-x² （否） (6)v=10πr² （是）
(7) y=x²+x³+25 （否） (8)y=2²+2x （否）
2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.
4
一次函数 y=kx+b（k,b是常数，k 0） 正比例函数 y=kx（k是常数，k 0）
反比例函数 y = k (k为常数 , k 0 )
x 二次函数 y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a 0） 这些函数的名称度反映了函数表达式与自变量的关系。
函数解析式 自变量 函数
y=6x2
x
y
d= 1 n2- 3 n
n
d
2
2
y=20x2+40x+20 x
y
这些函数有什 么共同点？
这些函数自变 量的最高次项 都是二次的！
3
二次函数的定义：
一般地，形如 y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a 0） 的函数，叫做二次函数。
注意：
1、其中，x是自变量，ax2是二次项，a是二次向系数 bx是一次项，b是一次项系数 c是常数项。
数, 求m的值.
解: 由题意可得
m2 m = 2 m 1 0
解得，m = 2 当m = 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
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知识运用
练习１、m取何值时，函数是y= (m+1)x m22m1
+(m-3)x+m 是二次函数？
驶向胜利 的彼岸
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练一练:
练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子
( 是)
(4)y= x22x3
( 否)
(5 )y= (x 2 )x ( 2 ) (x 1 )2 ( 否 )
8
知识运用
３、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x
(6)y=x2-x(1+x)
9
例1、判断：下列函数是否为二次函数，
如果是，指出其中常数a.b.c的值.
(1) y＝1- 3 x 2
(2)y＝x(x－5)
(3)y＝ 1 x2－ 3 x＋1
2
2
(4) y＝3x(2－x)＋ 32x2
1
(5)y＝ 3x2 2x 1 (6) y＝ x2 5x6
(7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c
10
例1: 关于x的函数 y=(m1)xm2m是二次函
所以m=2
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超级链接
函数 y=ax 2bx c其 ( 中 ab , c,是常 )，数 当 ab , c,满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
解： 1） （ a0
(2)a=0,b0
(3)a=0,b0,c=0
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敢于创新
如果函数y= x k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
x - 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -
y - - 60420
60480
60500
60480
60420
60375
60455
60495
60495
60455
60375
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
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你发现了吗？
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60480
60480
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第二十六章 二次函数
26.1.1 二次函数的意义
1
讨论与思考：
1、正方形的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积 为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数， 他们的具体关系是可以表示为什么？
y=6x2
x
2、多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
d= 1 n(n-3)
2
（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。 （2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
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展示才智
3、若函数 y=(m21)m x2m为二次函数，求 m的值。
解：因为该函数为二次函数，
则
m2 m = 2(1)
m
2
1
0(2)
解（1）得：m=2或-1
解（2）得： m1且 m1
即 d= 1 n2- 3 n
2
2
3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
y=20(1+x)2
即 y=20x2+40x+20
2
认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出 哪些是常数、自变量和函数．
0
∴k=1时,y是x的一次函数。
(2)当 k2-k≠ 0,即 k≠ 0且 k≠ 1时
y是 x的 二 次 函 数
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例2、当m为何值时，函数 y＝(m－2)xm2－2＋4x－5是x的二次函数
m-2≠0且m2-2=2 m≠2 m=±2
∴ m=-2
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练习：y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m＋2)x＋3， 当m为何值时，y是x的二次函数？
则k的值一定是__0_,_3__
如果函数y=(k-3)x k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函
数,则k的值一定是___0___
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知识的升华
已知函数 y=(k2k)x2kx2k
(1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？
解（1）根据题意得
k2 k k 0
=