证明平面上的格林公式
8.4格林公式
证明 (1) (2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L2
B
A
L1
L1L2 Pdx Qd y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说(1明) 沿: 积D 中分任与意路光径滑无闭关曲线时L, 曲, 有线L积Pd分x 可Q记dy 为 0.
2 2
y2 b2
1
(y
0)到
B(a, 0)的弧段.
计算第二类曲线积分的方法：
1)根据定理2 , 若在某区域D内若 P Q , 则 y x
计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 3) 利用计算公式直接化为定积分进行计算.
取 P y, Q 0, 得 A ydx D
例 4 计算椭圆 x acos, y bsin 所围成的面积.
解 L : x acos, y bsin, : 0 2
A
1 2
Ñ L xdy
ydx
1 2 (abcos2 absin2 )d ab 20
例 5 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与 x轴所
D
L2
B
再利用（2）即可
L3
E C
F
L1
A
3、格林公式的简单应用
1) 简化第二类曲线积分的计算
例 1 计算 I cos2 x dx xe y2dy, 其中 L是以O(0,0),
L
A(1,1), B(0,1)为顶点的三角形闭区域边界的正向.
例 1 计算 I cos2 x dx xe y2dy, 其中 L是以O(0,0),
二维格林公式证明
二维格林公式证明二维格林公式是微积分中的一个重要定理，它是格林公式在二维平面上的推广。
通过二维格林公式，我们可以计算平面上的曲线与曲线所围成的区域的面积，或者计算平面上一个向量场通过曲线所围成的环流。
下面我们将详细介绍二维格林公式的原理和应用。
二维格林公式的表述如下：设D是一个平面上的有界闭区域，其边界曲线为C，函数P(x,y)和Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有：∮C Pdx + Qdy = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA这个公式可以分为两个部分来理解。
第一部分是曲线C沿着x轴方向的环流，即∮C Pdx。
第二部分是曲线C沿着y轴方向的环流，即∮C Qdy。
第二部分的符号是正的，因为逆时针方向是正方向。
而第三部分是在平面D上的面积分，即∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA。
这个部分表示了向量场在平面D上的发散情况。
二维格林公式的证明可以通过对D进行分割，将D分成无数个小矩形区域，并取极限求和。
在每个小矩形区域上应用一维格林公式，得到的结果再求和，就得到了二维格林公式。
通过二维格林公式，我们可以计算平面上的某个区域的面积。
例如，给定一个曲线C，我们想计算曲线C所围成的区域的面积。
首先，我们需要找到曲线C的参数方程，并确定参数的取值范围。
然后，我们可以将参数方程代入二维格林公式中，计算出面积。
二维格林公式还可以用于计算平面上一个向量场通过曲线C所围成的环流。
环流表示了向量场在曲线上的“旋转程度”。
如果环流为正，表示向量场在曲线上逆时针旋转；如果环流为负，表示向量场在曲线上顺时针旋转；如果环流为零，表示向量场在曲线上没有旋转。
通过二维格林公式，我们可以将复杂的曲线与曲线所围成的区域的计算问题转化为简单的面积积分或环流积分问题。
这大大简化了计算的复杂度，提高了计算的效率。
二维格林公式是微积分中的一个重要定理，它可以用于计算平面上的曲线所围成的区域的面积，或者计算平面上一个向量场通过曲线所围成的环流。
格林公式
为顶点的三角形闭区域．
解 令 P=0，Q=x e
y2
Q P y2 ，则 ， =e ． x y
y
y2
因此，由格林公式有
∫∫ e
D
y2
dxdy =
=
OA+ AB + BO
∫ xe
y2
dy
1 x2
B(0, 1)
dx
A(1, 1)
∫ xe
OA
dy = ∫ xe
0
1 = (1 e 1 ) ． 2
u u =P(x, y)， =Q(x, y)． x y 2 u P 2 u Q = = ， ． xy y yx x
2u 2u 由于 P、Q 具有一阶连续偏导数，所以 、 连续， xy yx P Q 2u 2u = 因此 ，即 ． = xy yx y x
充分性：
P Q = 已知 在 G 内恒成立，则积分 ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy L y x
y L1
恒成立，就说曲线积分 ∫ Pdx + Qdy
L
． B
在G内与路径无关，否则说与路径 有关． O A． L2 x
曲线积分与路径无关与闭曲线积分为零的等价性：
设曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关，L 1 和 L 2 是 G
L
内任意两条从点A到点B的曲线，则有
∫
因为
L1
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy ，
P Q y2 x2 2 2 = 则当 x +y ≠0 时，有 ． = 2 2 2 y x ( x + y )
记L 所围成的闭区域为D． 当(0, 0)D时，由格林公式得
高等数学曲面积分与曲线积分之格林公式
4 1 cos 4 a 2 2 a 4 sin 2 2d 2 2 a 4 d 0 0 2 2
高 等 解法二: 利用圆的参数方程转化为定积分计算 数 学 x a cos ,dx a sin d 电 y a sin ,dy a cosd 2 2 y xdy x ydx 子 L 案
其中C是一条不经过原点的分段
光滑的不自相交的简单闭曲线，方向取逆时针方向.
解:
y x P 2 ,Q 2 2 x y x y2
y
C
2 2 Q y x P x 2 y 2 0时，有 2 x ( x y 2 ) 2 y
D
x
下面分两种情况计算.
ydx xdy Q P ( )dxdy (1)当(0,0) D时, 则C 2 2 D x x y y
顺时针
y 2 xdy x 2 ydx
逆时针
y 2 xdy x 2 ydx
Q p ( )dxdy ( x 2 y 2 )dxdy D x D y
2
0
d 2 d
0
a
a 4
2
高 等 数 学 电 子 案
ydx xdy , 例5 计算 C 2 2 x y
高 等 数 学 电 子 案
例1 求椭圆 x a cos , y b sin 的面积S.
解： S
1 xdy ydx 2 C
1 1 2 S (a cos b cos b sin a sin )d abd ab 2 C 2 0
高 等 数 学 电 子 案
二
平面上曲线积分与路径无关的条件
格林公式及其应用
一、区域连通性 的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
D
单连通区域
D
复连通区域
L L1 L2
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域 D 总在他的左边.
L2 d
c
L1
证明 (3)
D3 D1
D2
D
证明 (4)D：复连通区域 由(2)知
G
E C
B F
A
定理1
格林公式
格林公式： *1 格林公式的行列式形式：
*2 格林公式与牛顿-莱布尼兹公式 牛顿-莱布尼兹公式：
()左边: ()右边:
故 ()即 说明(?) 格林公式是牛顿-莱布尼兹公式的推广
*3 格林公式的向量形式
解
四、小 结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
— 格林公式
3. 格林公式的应用.
作业：199页 1(1)(2)(4)(5),4,5,9(2),*9(1)(3)
思考题
若区域 D 如图为复连通域， 试描述格林公式中曲线积 分中L的方向。
g ef
思考题解答
L 由两部分组成 外边界： 内边界：
二、格林 公式
定理1
格林公式
证明
思路:公式两边化为同一定积分.
(1)若区域 D 既是 X—型又是Y — 型.
从简单情形出发.
d L1
E
L2
D
c
C
d L1
E
L2
D
c C
类似，把 D 看成 X —型，有 两式相加得
格林公式闭环范文
格林公式闭环范文格林公式是数学分析中的一个重要定理，也称为格林定理或格林公式闭合环路定理。
它是由英国数学家格林在19世纪初提出的，并被证明为一个具有广泛应用的定理。
本文将介绍格林公式的内容、应用领域和数学推导过程，并探讨其在工程和物理学中的重要性。
首先，我们来看看格林公式的内容。
格林公式是关于二重积分和曲线积分之间的关系。
给定一个平面区域D，通过D的边界曲线C，如果函数P(x,y)和Q(x,y)在D上具有连续的偏导数，那么可以得到以下格林公式：∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮C (P dx + Q dy)其中，∂Q/∂x 和∂P/∂y 分别是函数Q(x,y)和P(x,y)的偏导数，(∂Q/∂x - ∂P/∂y)是称为散度的标量，dA 是面积元素，∮C 是曲线C的测度，dx和dy是沿曲线C的微元长度。
接下来，让我们探讨一下格林公式的应用领域。
格林公式在物理学和工程学中有广泛的应用，特别是在电磁学和流体力学中。
在电场和磁场的计算中，可以利用格林公式将微分形式的场强转化为积分形式，从而简化计算过程。
在流体力学中，格林公式可以用于计算流体的质量流量、能量守恒和动量守恒等问题。
此外，格林公式还可以应用于计算物体的面积、质量和重心等性质。
通过先将物体分成微小面元，然后利用格林公式进行积分运算，可以得到较精确的结果。
这对于计算稳定性和结构设计等问题非常重要。
在数学推导中，格林公式的证明涉及到曲线积分的基本概念和性质。
首先，通过将曲线C分成无穷小线段，利用泰勒展开式对函数P和Q进行近似展开。
然后，对展开后的项进行求和，得到近似的曲线积分。
最后，通过取极限的操作，得到曲线积分与二重积分之间的关系，即格林公式。
最后，我们来总结一下格林公式的重要性。
格林公式不仅具有理论重要性，而且在实际问题中也具有广泛的应用价值。
它可以用来计算各种物理量，例如电场、质量流量和能量传递等。
同时，格林公式还为我们提供了一种将微分方程转化为积分形式的方法，从而简化了求解过程。
格林公式及其应用
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x
第3节 格林公式及应用
1
1
(ex OA
sin
y
y)dx
(e
x
cos
y
y)dy
0(cos y
sin1
1
y)dy
2
原式 (sin1 1 ) 1 sin1
4
22
4
10
注意: 应用格林公式要注意其条件.
例4
计算L
xdy x2
ydx y2
,
(1)L为圆周( x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
(2)L为正方形x y 1的正向.
(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有 Pd x Qd y 0 L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分
Pd x Qd y 与路径无关, 只与起止点有关. L
(3) Pd x Qd y 在D内是某一函数 u (x, y) 的全微分, 即
du (x, y) Pd x Qd y
dy
L
Q(
x,
y)dy
同理可证
D
P y
dxdy
L
P(
x,
y)dx
两式相加得
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
其它情况类似可证.
6
三、简单应用
1. 简化曲线积分
例1 计算 ( y2 xe2 y )dx ( x2e2 y x2 )dy, L
其中L为闭曲线( x 2)2 y2 4的正向.
(4) 在D内每一点都有 P Q
y x
21
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则
Pd x Qd y Pd x Qd y