海伦公式及其证明方法
海伦公式的推导和应用
海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1：\《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。——————————————————————————————————————————————于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明：与海伦在他的著作\《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a_+b_-c_)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos_ C)=1/2*ab*√[1-(a_+b_-c_)_/4a_*b_] =1/4*√[4a_*b_-(a_+b_-c_)_]=1/4*√[(2ab+a_+b_-c_)(2ab-a_-b_+c_)] =1/4*√[(a+b)_-c_][c_-(a-b)_] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, (a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]当P＝1时，△2＝q,S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}因式分解得1/16[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2]=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)代入解得s=8√ 3海伦公式的几种另证及其推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则S△ABC=1/2 aha =1/2 ab×sinC =1/2 r p= 2R2sinAsinBsinC= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、海伦公式的证明 证一勾股定理 如右图勾股定理证明海伦公式。证二：斯氏定理 如右图。斯氏定理证明海伦公式证三：余弦定理分析：变形②S =可知，运用余弦定理c2 = a2 + b2－2abcosC对其进行证明。证明：要证明S =则要证S === ab×sinC此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式恒等式证明(1)恒等式证明(2)证五：半角定理∵证一，x = =－c = p－cy = =－a = p－az = =－b = p－b∴r3 =∴r =∴S△ABC = r·p =故得证。 二、海伦公式的推广于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=现根据猜想进行证明。证明：如图，延长DA，CB交于点E。 设EA = e EB = f∵∠1+∠2 =180○∠2+∠3 =180○∴∠1 =∠3∴△EAB～△ECD∴= = =解得：e =①f =②于S四边形ABCD = S△EAB将①，②跟b =代入公式变形④，得：∴S四边形ABCD =所以，海伦公式的推广得证。 三、海伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事倍功半。例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四边形可能为等腰梯形。 解：设BC = x海伦公式的推广，得：(4－x)(2＋x)2 =27x4－12x2－16x＋27 = 0x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0当x = 1时，AD = BC = 1∴四边形可能为等腰梯形。在程序中实现(VBS): dim a,b,c,p,q,sa=inputbox(\请输入三角形第一边的长度\ b=inputbox(\请输入三角形第二边的长度\ c=inputbox(\请输入三角形第三边的长度\ a=1*a b=1*b c=1*cp=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c) q=sqr(p) s=(1/4)*qmsgbox(\三角形面积为\,\三角形面积\在VC中实现#include #include main() {int a,b,c,s;printf(\输入第一边\\n\ scanf(\ printf(\输入第二边\\n\ scanf(\ printf(\输入第三边\\n\ scanf(\ s=(a+b+c)/2;printf(\面积为:%f\\n\ }海伦公式
海伦公式
（海伦公式）已知三角形三条边长，求面积海伦公式：S=（△）=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p是三角形的周长的一半p=(a+b+c)/2.～～～～以下转自百度百科～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
海伦公式的证明及两个推论
海伦公式的证明及两个推论作者：张浩来源：《数学教学通讯·高中版》2017年第09期[摘要] 高中数学教师在教学中容易轻视教材，把资料书作为教学的核心素材，这种做法明显欠妥. 笔者运用教材中“海伦和秦九昭”的阅读内容，激发学生的探知欲望，提高学生数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力.[关键词] 海伦公式；秦九昭公式；三角形面积笔者所在地区使用的高中数学教材为人教A版，在必修五教材的第一章内容中有关于“海伦和秦九昭”的阅读与思考内容. 既然是阅读与思考，往往未受到教师和学生的重视. 但是，此部分内容对于学生了解数学史、提高数学素养都是极好的材料，甚至也可以丰富学生解题思路和技巧.海伦—秦九昭公式在解三角形的问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积. 据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到公式S= ，其中p= （a+b+c）. 但是现在人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式. 其实，我国南宋时期的数学泰斗秦九韶编撰的《数书九章》一书的卷五中曾记载过“三斜求积术”，秦九韶的算法相当于：S= ，其中a≥b≥c. 它虽然与海伦公式形式上不一样，但两者是完全等价的，实质是一样的. 故海伦公式也称之为“海伦—秦九韶公式”.海伦公式的证明笔者以思考题的形式要求学生阅读此部分内容，并用自己的方法证明海伦公式. 学生的证明方法主要有以下两种.方法1：△ABC的三边长分别为a，b，c，则有三角形的面积公式可得S= absinC= ab ，再由余弦定理可得S= ab化简得S= ，令p= （a+b+c），于是有S= ，海伦公式得证.方法2：如图1，△ABC的三边长分别为a，b，c，AD为边BC的高. 又因为BD=ccosB= ，所以，AD2=AB2-BD2=c2- .由于S= ·BC·AD= a· = ，可由平方差公式化简可得S= ·，令p= （a+b+c），于是有S= ，海伦公式得证.点评：学生以上的两种种证明方法思路简单，利用所学求三角形面积的基本知识，以及余弦定理，将角度转化为边长，这样可以使得最后推证的公式中无角度，只存在边长，化简过程较复杂，需要学生细致、耐心的计算，有助于培养学生的转化思想、计算能力和逻辑推理能力.第二种证明方法需要说明：图1中的高AD在三角形的内部，根据三角形知识可知，若是过钝角三角形中的锐角顶点作对边的高，则此时高AD则会在三角形的外部（如图2），那么此时BD=ccos（π-B）= ，也可推证出海伦公式. 也可理解为：即使△ABC为非锐角三角形，过最大内角作对边的高，那么此时高一定在三角形内部，按照此种证明方法海伦公式也可得证.海伦公式的两个推论推论1：已知三角形的三边长为a，b，c，设p= （a+b+c），可得三角形的内切圆半径r= .证明：如图3，圆O为△ABC的内切圆，内切圆半径为r，则有S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC= cr+ ar+ br.由海伦公式可得S△ABC= = （a+b+c）r=pr，证得r= .推论2：设边AB，BC，CA上的高分别记为hc，ha，hb，可得ha= ，hb= ·，hc= .证明：因为S△ABC= ah = ，可证得ha= ，同理可证推论2成立.。
海伦公式及其证明方法
海伦公式及其证明方法海伦公式是一个三角形的面积与边长之间的关系公式，它由古希腊数学家海伦提出，广泛应用于各种几何问题的求解中。
本文将介绍海伦公式及其证明方法。
首先，我们来看一下海伦公式的表达式：假设有一个三角形，其三边长度分别为a、b、c，海伦公式可以表示为：s=(a+b+c)/2其中s为半周长，即三边长度之和除以2三角形的面积可以用海伦公式表示为：面积=√(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))接下来，我们将通过一个简单的证明来验证海伦公式。
证明：假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，半周长为s，高为h。
我们知道，三角形的面积可以通过底边和高的乘积的一半来计算，即：面积=1/2*b*h三角形的高可以由海伦公式推导出来，可以用边长表示如下：h=2*(面积/b)将面积代入上式，我们可以得到：h=2*(1/2*b*h/b)=h这是一个平凡的等式，表明三角形的高与边长之间是相等的。
现在我们将这个等式代入到另一个三角形ABC的面积计算公式中：面积=1/2*a*h将h代入，我们得到：面积=1/2*a*(2*(1/2*a*h/a))=a*(1/2*h)同样的，我们可以用边长b代入面积公式：面积=b*(1/2*h)将两个表达式相加面积=a*(1/2*h)+b*(1/2*h)=(1/2*h)*(a+b)=1/2*(a+b+c)*(1/2*h)这里我们可以将a+b+c除以2进行化简，得到：面积=(a+b+c)/2*1/2*h=s*1/2*h=s*r其中r为三角形的内切圆半径。
综上所述，我们可以得出海伦公式：面积=√(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))海伦公式的证明就完成了。
它提供了一种方便快捷的方法，通过已知三边长，我们可以计算出任意三角形的面积。
除了上述的几何证明方法外，还有数学分析的证明方法来验证海伦公式，但这种方法相对较为复杂。
这里我们不做详细展开，以保持文章的简洁性。
总结：海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它通过三角形的边长来计算。
海伦公式的证明方法
海伦公式的证明方法海伦公式的证明介绍海伦公式是解决三角形面积的一个重要公式，可以通过三个边长来计算三角形的面积。
本文将详细介绍海伦公式的证明过程，并列举各种证明方法。
方法一：利用三角形的高度1.假设三角形的边长分别为a，b，c。
2.设三角形的高分别为h1，h2，h3，分别由边a，b，c所对应的高。
3.利用三角形的高度关系，我们可以得到公式h1 = 2 * S / a，h2= 2 * S / b，h3 = 2 * S / c，其中S为三角形的面积。
4.将上述公式带入等式，得到 h1 + h2 + h3 = 2 * S / a + 2 *S / b + 2 * S / c = 2S(a + b + c) / abc 由此可得 S =(abc) / (2(a + b + c))，即为海伦公式。
方法二：利用三角形的面积公式1.根据三角形的面积公式S = sqrt(s(s-a)(s-b)*(s-c))，其中s为三角形的半周长，即s = (a + b + c)/2。
2.可以将该面积公式带入等式，并进行简化运算，推导得到海伦公式。
方法三：利用余弦定理1.根据余弦定理 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)，其中C为三角形的夹角。
2.将cos(C)用海伦公式中的三个边长带入，得到 cos(C) = (a^2 +b^2 - c^2) / 2ab。
3.将cos(C)带入三角形的面积公式 S = 1/2 * a * b * sin(C)，并利用sin^2(C) = 1 - cos^2(C)进行变形，可得 S =sqrt(s(s-a)(s-b)*(s-c))，即为海伦公式。
方法四：利用向量法1.假设三角形的顶点分别为A，B，C。
2.对边向量AB和AC作向量叉乘得到一个面积向量，其模长即为三角形的面积的2倍。
3.根据向量叉乘的性质，可以得到该面积向量的模长为|AB ×AC| = * |AB| * |AC| * sin(∠BAC)。
海伦公式的几种证明与推广
海伦公式的几种证明与推广
1. 直角三角形海伦公式的证明：
令直角三角形ABC的斜边长为c，其中a、b分别为直角边的长度，则有：
c^2=a^2+b^2
令三角形ABC的外接圆的半径为R，则有：
R=a+b+c/2
由此，可以推出：
R^2=(a+b+c/2)^2=a^2+2ab+b^2+c^2/4=a^2+2ab+b^2+c^2/4 即：
R^2=a^2+b^2+2ab
两边同时乘以4，得：
4R^2=4a^2+4b^2+8ab
即：
4R^2=(2a+2b)^2
即：
R^2=(a+b)^2
由此可以得到海伦公式：
c^2=a^2+b^2-2ab
2. 直角三角形海伦公式的推广：
（1）等腰三角形海伦公式：
设等腰三角形ABC的斜边长为c，其中a、b分别为等腰边的
长度，则有：
c^2=a^2+b^2-2ab
（2）等腰梯形海伦公式：
设等腰梯形ABCD的斜边长为c，其中a、b分别为等腰边的
长度，则有：
c^2=a^2+b^2-2ab
（3）等边三角形海伦公式：
设等边三角形ABC的斜边长为c，其中a分别为等边的长度，则有：
c^2=3a^2-2ab。
海伦公式的证明过程
海伦公式的证明过程海伦公式，也称为海伦-柯利公式，是用于计算三角形面积的一种公式，它由古希腊数学家海伦提出，在西元一世纪的《几何原本》中首次被描述。
假设有一个三角形，它的三边长度分别为a、b、c，那么根据海伦公式，它的面积S可以表示为：S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中s是半周长，可以计算为三边长度之和的一半，即：s=(a+b+c)/2现在我们来证明一下海伦公式。
假设有一个三角形ABC，我们可以假设它的顶点A位于坐标原点，B 位于x轴上，C位于x轴上的正半轴上方。
首先，我们可以计算出各个顶点的坐标分别为A(0,0)，B(b,0)，C(c*cosθ，c*sinθ)，其中θ是角C的大小。
接下来，我们可以计算出边AB和AC的长度，分别为：AB=√[(b-0)^2+(0-0)^2]=bAC = √[(c*cosθ-0)^2 + (c*sinθ-0)^2] = c接着，我们可以计算出角ABC的大小，可以利用余弦定理来计算：cos(ABC) = [(b-0)^2 + (0-0)^2 + c^2 - (c*cosθ-0)^2 -(c*sinθ-0)^2]/(2*b*c) = (b^2 + c^2 - 2bc*cosθ)/(2*b*c)进一步简化后可以得到：cos(ABC) = (b^2 + c^2 - 2bc*cosθ)/(2*b*c)然后，我们可以应用正弦定理来计算角ABC的正弦值：sin(ABC) = √[1 - cos^2(ABC)]再进一步简化后可以得到：sin(ABC) = √[1 - (b^2 + c^2 - 2bc*cosθ)^2/(4*b^2*c^2)]接下来，我们可以计算三角形的面积，利用面积公式S =(1/2)*AB*AC*sin(ABC)：S = (1/2)*b*c*sin(ABC) = (1/2)*b*c*√[1 - (b^2 + c^2 -2bc*cosθ)^2/(4*b^2*c^2)]然后，我们将sin(ABC)的表达式进行进一步简化：sin(ABC) = √[1 - (b^2 + c^2 - 2bc*cosθ)^2/(4*b^2*c^2)]= √[(4*b^2*c^2 - (b^2 + c^2 - 2bc*cosθ)^2)/(4*b^2*c^2)] = √[(4*b^2*c^2 - (b^4 + c^4 + (2bc*cosθ)^2 - 2*b^2*c^2 + 2bc*cosθ*(b^2 + c^2))/(4*b^2*c^2)]= √[(4*b^2*c^2 - b^4 - c^4 - (2bc*cosθ)^2 + 2*b^2*c^2 - 2bc*b^2 - 2bc*c^2 + 2(b^3*c*cosθ + bc^3*cosθ))/(4*b^2*c^2)] = √[(2b^2*c^2 + 2*c^2*b^2 - b^4 - c^4 - (2bc*cosθ)^2 +2bc*(b^3*cosθ + bc^2*cosθ))/(4*b^2*c^2)]= √[(4*b^4*c^2 + 4*b^2*c^4 - 2b^6 - 2*c^6 -4b^2*c^2*(cosθ)^2 + 2bc*(b^3*cosθ + bc^2*cosθ))/(4*b^2*c^2)] = √[(4b^4*c^2 + 4*b^2*c^4 - 2b^6 - 2c^6 -4b^2*c^2*(cosθ)^2 + 2b^4*c*cosθ + 2bc^3*cosθ)/(4*b^2*c^2)] = √[2b^2*c^2 + 2bcosθ*(b^4 + c^4 - 2b^2*c^2 + bc^2)]/(2bc)最后，我们可以将sin(ABC)的表达式代入到三角形面积公式中，得到：S = (1/2)*b*c*sin(ABC) = (1/2)*b*c*√[2b^2*c^2 +2bcosθ*(b^4 + c^4 - 2b^2*c^2 + bc^2)]/(2bc)= √[b^2*c^2 - (b^4 + c^4 - 2b^2*c^2 + bc^2)cosθ]/2= √[(b^2*c^2 + b^4 + c^4 - 2b^2*c^2 + bc^2)cosθ]/2= √[(b^4 + c^4 - 2b^2*c^2)cosθ + b^2*c^2]/2最后，我们可以用半周长s来替代上式中的cosθ，因为根据三角恒等式有cosθ = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)，其中a是边BC的长度，即：b^2 + c^2 - a^2 = 2bc*cosθ带入后可得：S = √[(b^4 + c^4 - 2b^2*c^2)cosθ + b^2*c^2]/2= √[(b^4 + c^4 - 2b^2*c^2)*(b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) +b^2*c^2]/2=√[(b^2+c^2+a^2)(-b^2+c^2+a^2)(b^2-c^2+a^2)(a^2+b^2+c^2)]/4b*c所以，我们成功地证明了海伦公式。
三角形海伦面积公式证明
三角形海伦面积公式证明
海伦公式是用来计算三角形面积的公式，其表达式为：
S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
其中，a、b、c分别为三角形的边长，s为三角形的半周长，表达式为：
s = (a + b + c)/2
要证明海伦公式，可以利用向量法、三角函数法或者海伦公式自身等多种方法进行证明。
一种常用的证明方法是使用三角函数法。
首先根据三角形的顶点坐标，可以利用向量表示三角形的各个边，然后利用向量的叉乘运算得到三角形的面积表达式。
接着利用三角函数的相关公式，将面积表达式转化为海伦公式的形式，最终得到S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]的形式。
海伦公式的证明过程比较复杂，需要较强的数学推导能力和几何
直观性。
如果对数学知识掌握不够深入，可以选择其他方法进行证明，或者直接应用海伦公式进行计算。