斯特林公式及其精确化形式
斯特林公式及其精确化形式
韩山师范学院学生毕业论文（2012届）韩山师范学院教务处制诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。
毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程，并改进了一些证明方法。
利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确，并求出它的误差范围和相对误差范围，解决了参考文献[2]的作者蔡永裕没有解决的问题。
关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差Abstract：This paper conjectures a new search of Stirling formula based on the research of Professor Cai Congming, and it also improves the proving methods. By using the experimental data generated by computer, we guess out the reform-type of Stirling formula audacity, which has proved to be more accurate economicaly than that of using the traditional mathematical methods. By determining its error limit and relative error range ,it solves the problem which the author of refs [2] Cai Yongyu left.Key words:Stirling formula;improved;error;relative error目录1. 斯特林公式的探求过程 (1)1.1用nn和对n n⎪⎭⎫⎝⎛2对n！进行估计 (1)1.2用nen⎪⎭⎫⎝⎛对n！进行估计 (3)1.3改进nen⎪⎭⎫⎝⎛的形式 (5)1.4证明斯特林公式 (6)2.用计算机求斯特林公式的精细化形式 (7)2.1猜想斯特林公式的改良式 (7)2.2构造改良式函数f（n） (8)2.3用线性回归求f（n） (11)2.4改良式的简单形式 (12)3. 改良式的相关证明 (12)3.1 n!的相关定理和推论 (12)3.2证明改良式比斯特林公式更好 (13)3.3求改良式的误差及相对误差范围 (14)4.结束语 (16)参考文献 (17)致谢 (18)斯特林公式及其精细化形式斯特林公式在数学分析、数论、概率论及相关领域的各个方面都有重要的应用。
斯特林数
斯特林数和自然数前m 项n 次方的求和公式将 n 个元素，分成 k 个非空子集，不同的分配方法种数，称为斯特林数（Stirling Number ），记为),(k n S ，n k ≤≤1。
例如，将4个物体d c b a ,,,分成3个非空子集，有下列6种方法：)}(),(),,{(d c b a ，)}(),(),,{(d b c a ，)}(),(),,{(c b d a ， )}(),(),,{(d a c b ，)}(),(),,{(c a d b ，)}(),(),,{(b a d c 。
所以，6)3,4(=S 。
斯特林数),(k n S 的值列表如下：容易看出，有 1),()1,(==n n S n S ，12)2,(1-=-n n S ，2)1,(2==-C n n S n 。
定理1 当 n k ≤≤2 时，有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。
证 把1+n 个元素分成k 个非空子集，有),1(k n S +种不同分法。
把1+n 个元素分成k 个非空子集，也可以这样考虑：或者将第1+n 个元素单独作为1个子集，其余n 个元素分成1-k 个非空子集，这种情况下有)1,(-k n S 种不同做法；或者先将前n 个元素分成k 个非空子集，有),(k n S 种分法，再将第1+n 个元素插入这k 个子集，有k 种选择，这种情况下有k ),(k n S 种不同做法。
所以共有),()1,(k n kS k n S +-种分法。
两种考虑，结果应该是一样的，因此有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。
如果规定当1<k 或n k >时，0),(=k n S ，则公式 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+对 任何正整数n 和任何整数k 都成立。
定理2 对任何整数 n 1≥ 和 0≥k ，有∑-=--=1)()1(!1),(k i n i k i i k C k k n S 。
excel斯透奇斯规则求组数
excel斯透奇斯规则求组数斯特林公式（又称斯特林逼近公式）是数学中常用的一种组合估值公式，用来估计阶乘函数n!的值。
它由英国数学家詹姆斯·斯特林于1730年左右发现并证明。
斯特林公式的形式为：n!≈√(2πn)*(n/e)^n其中，n是一个正整数，π是圆周率，e是自然常数（底数为e的自然对数约等于2.718）。
斯特林公式给出了阶乘的一个相对精确的近似计算值，特别适用于计算大的阶乘，从而避免了直接计算阶乘可能产生的大整数溢出问题。
为了求解斯特林公式在其中一范围内的组数，我们可以利用斯特林公式的逆运算，即求解斯特林公式中的n。
首先，我们需要确定一个目标值，作为我们所要求解的组数的上限。
假设我们所要求解的组数上限为N。
则斯特林公式给出的逼近计算值为：√(2πN)*(N/e)^N我们可以通过不断地增加n的值，将斯特林公式计算值逐步逼近目标值N，从而确定一个最接近N的整数n。
具体的求解过程如下：1.初始化起始值为一个正整数n，假设为12. 根据斯特林公式计算当前 n 的近似计算值，记为 value。
value = √(2πn) * (n / e)^n3. 判断 value 是否小于目标值 N。
- 如果 value < N，则将 n 增加一定增量（例如 1），并继续计算步骤 2- 如果value ≥ N，则停止计算，并记录此时的 n 值。
4.输出记录的n值作为最终的组数估计结果。
需要注意的是，斯特林公式的近似计算值只是一个估计值，可能会存在一定的误差。
因此，在使用斯特林公式求解组数时，需要根据实际情况进行适当调整和修正。
此外，斯特林公式的计算过程较为复杂，需要计算平方根和次方等复杂运算，因此在实际计算时可能会存在一定的计算复杂性和时间消耗。
对于大的组数，可能需要使用计算机或计算工具来进行计算。
综上所述，我们可以通过斯特林公式和其逆运算，求解给定目标值下的组数。
然而需要注意的是，斯特林公式只是一个近似计算值，可能存在一定的误差，因此在实际应用中需要谨慎使用，并结合实际情况进行适当的修正和验证。
斯特林公式推导
斯特林公式推导斯特林公式（LeibnizFormula）又称作斯特林公理（LeibnizAxiom），是丹斯斯特林发现的一个重要的数学定理。
斯特林在17世纪的十月份发现了斯特林公式，它是一个描述任何函数的一元微积分的有用定理。
斯特林公式的推导将有助于我们更好地理解微积分的原理，其中包括对函数的微分和对它的积分，以及它们如何相互作用的。
斯特林公式是一个多项式，可以用来求出任何函数的一阶导数。
这个定理描述了函数的一阶微分与它在曲线上的积分之间的关系。
它表明，如果函数f (x) x=a可导，那么它的一阶导数f(a)于函数f(x)[a, b] 之间的积分。
这里的a和b是一个区间，也可以用作不定积分的边界。
也就是说，斯特林公式可以用来求出函数的一阶导数。
斯特林公式的推导由基本的微积分概念和定理开始，这些定理源于古希腊时期，并在数学发展的早期受到了很多关注。
斯特林公式的推导基于2个基本的概念：变量和函数。
变量是可变的量，函数是描述它们之间关系的表示式。
函数的性质和概念在古希腊时期也受到了很多关注，当时函数被定义为一个可以变化的量，这就是定积分的概念。
斯特林公式的推导首先涉及到对函数的微分。
微分是在给定的点之外取微小变量的方法，它可以用来求出函数的一阶导数，这也是斯特林公式中涉及的概念之一。
首先，我们将一般函数定义为：f(x)=f(x+Δx)这里f (x)表示函数，Δ x表示变量。
接下来，我们可以求出函数f(x)Δx的微分，它由变量Δ x的极限与函数f(x)增量之比而定： limΔx→0 [ f(x+Δx)-f(x) ] /x = f(x)这里f(x)表示函数f(x)的一阶导数。
接下来，我们可以利用定积分的概念来证明斯特林公式，它描述了函数的一阶导数与它的积分之间的关系。
可以证明，如果函数f (x)在x = a处可导、且具有可积性，那么它的一阶导数由如下的定积分决定：f(a)=ab∫f(x)dx这里的b是一个区间，也可以用作不定积分的边界。
斯特林公式的证明
斯特林公式的证明斯特林公式（Stirling's approximation）是一条用来近似计算阶乘的数学公式。
它在数学分析、概率论、统计学等领域都有着广泛的应用。
咱们先来看看斯特林公式长啥样：$n! \approx \sqrt{2\pin}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ 。
那怎么来证明这个神奇的公式呢？这可得费一番功夫。
咱们先从数学分析的角度出发。
想象一下，有一个函数$f(x) =\ln(x)$ ，它在区间 $[1,n]$ 上的定积分是多少呢？我们来算一算，$\int_1^n \ln(x)dx = [x\ln(x) - x]_1^n = n\ln(n) - n +1$ 。
接下来，咱们用梯形法来近似这个定积分。
把区间 $[1,n]$ 分成 $n - 1$ 个等长的小区间，每个区间的长度为 $\Delta x = 1$ 。
那么第 $i$ 个小区间的中点是 $x_i = i + \frac{1}{2}$ ，对应的函数值是 $\ln(x_i)$ 。
所以这个定积分的近似值就是：$\sum_{i=1}^{n-1} \ln\left(i +\frac{1}{2}\right)$ 。
然后神奇的事情来了，咱们发现 $\sum_{i=1}^{n-1} \ln\left(i +\frac{1}{2}\right) \approx \ln(n!)$ 。
为啥呢？因为 $\ln(n!) = \ln(1) + \ln(2) + \cdots + \ln(n)$ ，而$\sum_{i=1}^{n-1} \ln\left(i + \frac{1}{2}\right)$ 差不多就是对这个和的一种近似。
接下来，咱们再对 $\sum_{i=1}^{n-1} \ln\left(i +\frac{1}{2}\right)$ 进行一些处理。
令 $S_n = \sum_{i=1}^{n-1} \ln\left(i + \frac{1}{2}\right)$ ，然后通过一些巧妙的变换和放缩，就能逐步推导出斯特林公式啦。
组合数 近似公式
组合数近似公式
组合数是数学中的一个概念，表示从n个不同元素中选取r个元素的组合方式的数量。
用符号C(n,r)来表示。
对于较小的n和r，可以直接使用组合数公式计算，即C(n,r) = n! / (r!(n-r)!),其中"!"表示阶乘。
然而，当n和r很大时，计算阶乘的运算量非常大，很难直接计算。
在这种情况下，可以使用近似公式来计算组合数。
常见的近似公式之一是斯特林公式（Stirling's approximation），即：
n! ≈ √(2πn)(n/e)^n
根据斯特林公式，可以得到组合数的近似公式：
C(n,r) ≈ √(2πn)(n/e)^n / [√(2πr)(r/e)^r * √(2π(n-r))((n-r)/e)^(n-r)]
这个近似公式可以用于估算组合数的值，特别是当n和r都很大时。
需要注意的是，这个近似公式只是提供了一个近似的数量级，不是准确的计算结果。
对于精确的计算，应使用精确的组合数公式。
拓展：
除了斯特林公式外，还有其他的组合数近似公式。
其中，包括高斯近似公式、泊松分布近似等等。
这些公式都是为了在计算复杂的组合数时提供一个近似的解决方案。
同时，还可以结合计算机编程以及算法优化等方法，来提高组合数计算的效率。
斯特林公式推导
斯特林公式推导
按照斯特林公式推导，我们可以做出准确的计算。
斯特林公式是一种用来计算不定积分的方法，它的公式是：∫u'(x)dx=u(x)+C，其中u(x)是待求积分函数，u'(x)表示u(x)的一阶导数，C是定值。
斯特林公式可以帮助我们计算不定积分，给出正确的答案。
斯特林公式不仅可以用来计算一般函数的不定积分，也可以用来计算复杂函数的不定积分，如指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数等。
斯特林公式的发明者是18世纪德国数学家斯特林。
斯特林公式的使用方法很简单，只需将待求积分函数u(x)带入斯特林公式，解导数u'(x)，然后求得u(x)的积分为：u(x)+C，这样斯特林公式就帮助我们解出了我们所求的不定积分。
总之，斯特林公式可以用来计算不定积分这一难题，简化计算给我们提供了很大的便利。
同时它也给出了正确的答案，被数学家们广泛使用，是一个重要的积分计算公式。
斯特林公式之证明
斯特林公式之证明n!≈√(2πn)*(n/e)^n其中n!表示n的阶乘，π是圆周率，e是自然对数的底数。
下面我们来证明斯特林公式。
首先，我们需要使用泰勒级数的展开来估算n的阶乘。
根据泰勒级数公式，对于一个光滑的函数f(x)在x=a处的展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，以此类推。
我们来考虑对数函数ln(x)在x=e处的泰勒级数展开式。
我们有：ln(x) = ln(e) + ln'(e)(x-e) + ln''(e)(x-e)²/2! + ln'''(e)(x-e)³/3! + ...由于ln(e) = 1，根据对数函数的性质，我们知道ln'(e) = 1/e，ln''(e) = -1/e²，ln'''(e) = 2/e³，以此类推。
将这些值代入到泰勒级数展开式中，我们可以得到：ln(x) = 1 + (x-e)/e + (-1/e²)(x-e)²/2! + (2/e³)(x-e)³/3!+ ...接下来，我们对ln(x)进行积分。
由于积分是微分的逆过程，我们注意到对于ln(x)的一阶导数是1/x，因此ln(x)的不定积分为：∫ln(x)dx = xln(x) - x + C其中C为常数。
现在，我们将ln(n)的积分值带入斯特林公式中。
我们有：∫ln(n)dx = nln(n) - n + C而n!的定义为n!=1*2*3*...*n，对于这个表达式，我们可以转化为求n!的对数值：ln(n!) = ln(1 * 2 * 3 * ... * n) = ln(1) + ln(2) + ln(3)+ ... + ln(n)然后我们将ln(n!)写成对数之和的形式，得到：ln(n!) = ∫ln(n)dx = nln(n) - n + C因此，我们可以得到：n! = e^(nln(n) - n) * e^C现在，我们再次来考虑斯特林公式：n!≈√(2πn)*(n/e)^n我们来比较两个表达式，看是否相似：e^(nln(n) - n) * e^C ≈ √(2πn) * (n/e)^n我们注意到e^C是一个常数，不影响我们的比较。
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据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。
毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程，并改进了一些证明方法。
利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确，并求出它的误差范围和相对误差范围，解决了参考文献[2]的作者蔡永裕没有解决的问题。
关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差Abstract：This paper conjectures a new search of Stirling formula based on the research of Professor Cai Congming, and it also improves the provingmethods. By using the experimental data generated by computer, we guess out the reform-type of Stirling formula audacity, which has proved to be more accurate economicaly than that of using the traditional mathematical methods. By determining its error limit and relative error range ,it solves the problem which the author of refs [2] Cai Yongyu left.Key words:Stirling formula;improved;error;relative error目录1. 斯特林公式的探求过程 (1)1.1用nn和对n n⎪⎭⎫⎝⎛2对n！进行估计 (1)1.2用nen⎪⎭⎫⎝⎛对n！进行估计 (3)1.3改进nen⎪⎭⎫⎝⎛的形式 (5)1.4证明斯特林公式 (6)2.用计算机求斯特林公式的精细化形式 (7)2.1猜想斯特林公式的改良式 (7)2.2构造改良式函数f（n） (8)2.3用线性回归求f（n） (11)2.4改良式的简单形式 (12)3. 改良式的相关证明 (12)3.1 n!的相关定理和推论 (12)3.2证明改良式比斯特林公式更好 (13)3.3求改良式的误差及相对误差范围 (14)4.结束语 (16)参考文献 (17)致谢 (18)斯特林公式及其精细化形式斯特林公式在数学分析、数论、概率论及相关领域的各个方面都有重要的应用。
DeMoivre 最先得到斯特林公式（1718年）；接着James Stirling 在1730年又重新得到它。
后来有一些教授、学者运用数学的推理证明，得到更精确的形式，例如徐利治教授和赵岳清。
当然也有少数学者用数学实验来猜想它的改良式，但他们没有证明它比斯特林公式更精确，也没有求出它的误差范围。
本文通过研究斯特林公式的探求过程，再通过计算机的实验结果，得出它的改良式，并证明它确实比斯特林公式的估值更精确，给出它的误差范围和相对误差范围，并与其它改良式作比较。
1. 斯特林公式的探求过程斯特林公式：12!lim=-∞→nn n en n n π，目前有许多文章论述斯特林公式的证明,不过都是在知道斯特林公式后, 给出证明相应的方法,虽然当中有一些是简化证明，但是我们不知道如何“看出”或“猜出”公式的追寻、探索过程。
有些令人有“美中不足”的感觉。
本文我们就试着来补上这个缺憾, 展示一种推测式的猜想过程。
这只是其中的一种猜想过程, 因为登一座山可以有各种不同的路径, 路径越多越美妙（用函数的观点来探求）。
1.1用nn和对nn ⎪⎭⎫⎝⎛2对n ！进行估计首先观察 n! = n （n1）（n2） · · · 3 ·2 · 1，令函数!f(n)n =)(+∈N n ，我们知道这是一个增长很快的函数。
在高中时，我们学过一个增长很快的指数函数x2f(x )=，但是∞=→∞n n n 2!lim ,故n2低估了n!，在这里我们把指数函数x2f(x )=变形为x a =f(x )（a 为一个确定的正整数），但是无论a 取哪一个确定整数，我们可以得到∞=∞→n n an !lim 。
于是继续追寻，如果将xa =f(x )变形为xx =f(x )（x >0），显然这个函数的增长会更快。
由于n n n ⋅⋅⋅⋅⋅=f(n)（n 个n 相乘），显然0!lim=∞→n n nn ，故nn 高估了 n!。
不过也不错,因为我们找到了一个比n!更大的估计式n n ，但是因为nn 要远远比n!大很多，当n 趋向于正无穷时，它们的差的绝对值太大了。
那么我们如何找一个比nn 更小的数？现在将函数xx =f(x )变形为xx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2)(，即222)(n n n n f ⋅⋅⋅⋅⋅=（n 个2n 相乘）,显然nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛2是一个比n n 更小的估计式。
令nn n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2!（1）如果12!lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛→∞n n n n ，那么nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛2就是我们所要的估计公式。
由算术平均大于等于几何平均定理知[1]事实上可以用数学归纳法证明: 考虑（1）式中的数列}{n a , 我们的目标是探求极限 nn alim ∞→。
现在就来计算极限12)11(lim 2!)2()21()!1(lim 11lim <=+=⋅++=∞→+∞→+∞→enn n n n a a n n nn n nn n （2）由e nn<+<)11(2可得 首先注意到}{n a 是一个递减的正项数列, 由实数系的完备性知α=∞→nn alim 存在，且0≥α（3）定理1[1]: 设}{n b 为一个正项数列。
如果 S b n n =∞→lim R S ∈(且)0≠S ,则11lim =+∞→nn n b b 。
如果 11lim =+∞→nn n b b 不成立, 则可能有三种情形: 0lim =∞→nn b或 ∞=∞→n n b lim 或 n n b lim ∞→不存在。
从（2）式中，我们知道11lim =+∞→nn n a a 不成立, 故下列三者之一成立: 0lim =∞→nn a或∞=∞→n n a lim 或 n n a lim ∞→不存在。
配合（3）式可得0lim =∞→nn a, 所以 nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛2还是高估了 n!。
1.2用ne n ⎪⎭⎫⎝⎛对n ！进行估计由e e ee n nxdxn in n n n nn ni n n=⎰=∑==--∞→∞→=∞→11ln ln 1lim !ln lim !lim 这个式子[4]，可以寻找到比nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛2更小的估计式ne n ⎪⎭⎫⎝⎛。
令n n en n c )(!=，则11lim =+∞→n n n c c 。
如果1lim =∞→n n c ，那我们就可以用ne n ⎪⎭⎫⎝⎛做为n ！的估计式。
由e nn<+<)11(2可得 1)11(!)()1()!1(11>+=⋅++=++nnn nn ne n e n e n n c c ，+∈∀N n 可知数列}{n c 为一个递增数列，故β=∞→nn clim 存在，且(]∞∈,1β。
Wallis 公式（1656年）[1]：由Wallis 公式，可得π=∞→nn n n n )!2()!(222lim（4）由n nn n n e n e n n c !)(!==可得 将述两式代入Wallis 公式得π=∞→ncc nnn 22lim（5）如果β=∞→nn clim 是一个确定的数，则由（5）式得π=0，这是一个矛盾。
因此∞==∞→∞→n n n n en n c )(!lim lim ，所以 ne n ⎪⎭⎫⎝⎛低估了 n!1.3改进ne n ⎪⎭⎫⎝⎛的形式我们可以得到不等式nn n n e n )2(!)(<<，但是很难从2到e 之间找到一个数来改进ne n ⎪⎭⎫ ⎝⎛，于是尝试将ne n ⎪⎭⎫ ⎝⎛变形为)0(>⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ααn e n n。
令)0(!)(!>=⋅=-αααne n n n enn x n n n n ，则 比较α++n n)11(与e 的大小转化为比较它们的对数大小： )1ln()()11ln(nn n n n ++=++αα与1ln =e 的大小。
由级数展开公式：1),531(2)11ln(53<+++=-+x x x x x x 令121+=n x ，则nn x x 111+=-+，于是 ))12(51)12(31121)((2)1ln()(53 +++++++=++n n n n n n n αα（6）1）当21>α时，12)(2+>+n n α，由（6）式可知即e nn >++α)11(，故1)11(1>+=++en x x n n n α因此}{n x 递减，于是a x n n =∞→lim 存在且∞<≤a 0。
如果∞<<a 0，由Wallis 公式会得到一个矛盾。
于是0=a ，即0lim =∞→n n x 。
2）当21<α时，12)(2+<+n n α，将（6）式中的5，7，9···都改为3，可得当n 比较大时，则1)1ln()(<++n n n α，即e nn <++α)11(。
因此}{n x 递增，故b x n n=∞→lim 存在且∞≤<b 0。
如果∞<<b 0，由Ｗallis 公式得到一个矛盾。
于是∞=b ，即∞=∞→n n x lim 。
由上述结论可得，α取21，即将ne n ⎪⎭⎫ ⎝⎛变形为n e n n⋅⎪⎭⎫⎝⎛。
1.4证明斯特林公式斯特林公式[1]：12!lim=-∞→nn n en n n π，即当∞→n 时，n n e n n n -π2~!。
证明：令n en n c nn )(!=，得代入Wallis 公式，可得π=∞→2lim22n n c c n（7）而en c c n n n 211)11(+++=，利用（6）式知e n n >++21)11(，可得 11>+n nc c ，即数列}{n c 是递减正项数列。