《计算方法》

插值法引言许多实际问题都有用函数来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的．虽然某个区间上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出上一系列点的函数值，这只是一张函数表．有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表等等．为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值．因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数的特性，又便于计算的简单函数，用近似．通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数多项式）作为，并使对成立．这样确定的就是我们希望得到的插值函数．例如，在现代机械工业中用计算机等程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件个形曲线的某些型值点（,）（），加工时为近年第步走刀方向步数，就要算出零件外形曲线其他点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题。

下面我们给出有关插值法的定义。

设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，若存在一简单函数，使() (1.1) 成立，就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节点的区间称为插值区间，求插值函数的方法称为插值法。

若是次数不超过的代数多项式，即， (1.2) 其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值，若为分段的多项多，就称为分段插值。

若为三角多项式，就称为三角插值。

本章只讨论多项式插值与分段插值。

从几何上看，插值法就是求曲线,使其通过给定的＋１个点，，并用它近似已知曲线,见图2-1。

由已知的离散因变量的值来估计未知的中间插值的方法。

插值法又称“内插法”。

利用函数f （x）在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f （x）的近似值，这里的方法称为插值法。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

使用在求一知最高次数的多项式，而题目代入的变量数值过于庞大，且需求另一代入庞大数字所得的值时，所可应用的Lagrange插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数问题。

★基本思想将待求的n次多项式插值函数pn(x)改写成另一种表示方式，再利用插值条件（1）确定其中的待定函数，从而求出杆值多项式。

定义对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同的x j都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。

范例假设有某个二次多项式函数，已知它在三个点上的取值为：∙∙∙要求的值。

首先写出每个拉格朗日基本多项式：然后应用拉格朗日插值法，就可以得到的表达式（为函数的插值函数）：此时代入数值就可以求出所需之值：。

证明存在性对于给定的k+1个点：，拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点取值为1，而在其他点取值都是0的多项式。

这样，多项式在点取值为，而在其他点取值都是0。

而多项式就可以满足在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：它在点取值为：。

由于已经假定两两互不相同，因此上面的取值不等于0。

于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：这就是拉格朗日基本多项式。

唯一性次数不超过k的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过k的拉格朗日多项式：和，它们的差在所有k+1个点上取值都是0，因此必然是多项式的倍数。

因此，如果这个差不等于0，次数就一定不小于k+1。

但是是两个次数不超过k的多项式之差，它的次数也不超过k。

所以，也就是说。

这样就证明了唯一性。

几何性质拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式（由某一组确定）可以看做是由次数不超过n的多项式所组成的线性空间：的一组基底。

首先，如果存在一组系数：使得，，那么，一方面多项式P是满足的拉格朗日插值多项式，另一方面P是零多项式，所以取值永远是0。

所以。

这证明了是线性无关的。

同时它一共包含n+1个多项式，恰好等于的维数。

所以构成了的一组基底。

拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是n次多项式）。

优点与缺点拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐。

这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。

此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差（如右下图）。

这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。

重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进。

在拉格朗日插值法中，运用多项式拉格朗日插值法的数值稳定性：如图，用于模拟一个十分平稳的函数时，插值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差（图中的14至15中间）可以将拉格朗日基本多项式重新写为：定义重心权上面的表达式可以简化为：于是拉格朗日插值多项式变为：即所谓的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改进拉格朗日插值公式。

它的优点是当插值点的个数增加一个时，将每个都除以，就可以得到新的重心权，计算复杂度为，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度降了一个量级。

将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数插值，可以得到：因为是一个多项式。

因此，将除以后可得到：[7]这个公式被称为重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式。

它继承了（1）式容易计算的特点，并且在代入x值计算的时候不必计算多项式。

它的另一个优点是，结合切比雪夫节点进行插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于无穷时，最大偏差趋于零。

同时，重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性。

第一型拉格朗日插值是向后稳定的，而第二型拉格朗日插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很小Newton插值也是n次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。

★基本思想将待求的n次插值多项式Pn（x）改写为具有承袭性的形式，然后利用插值条件（1）确定Pn（x）的待定系数，以求出所要的插值函数。

定义给定的一组 k + 1数据点没有两个 x j是相同的，在牛顿的形式是一个内插多项式牛顿基多项式的线性组合与牛顿的基础上多项式定义为为和。

该系数被定义为那里其含义存在分歧。

因此，牛顿多项式可写为以简化的形式时，可以表示上面的 Newton 多项式连续排列的，平等的空间。

引入的符号为每个和，所不同的可以写为。

因此，上面的牛顿多项式变为：被称为牛顿正向分差公式。

如果该节点的顺序重新排列为，牛顿多项式变为：如果等距隔开，其中x = 和为，然后，被称为牛顿落后分差公式。

意义牛顿公式的兴趣，因为它是直接和自然的差异版本的泰勒多项式。

泰勒多项式函数将告诉我们，根据y的值，它的衍生物（在一个特定的x值的变化率，并率的变化率的变化等）。

牛顿公式是基于泰勒多项式有限差分法，而不是瞬间的变化率。

添加新的点与其他差公式，牛顿的插值多项式的程度可以增加而不丢弃现有的通过添加更多的条款和点。

牛顿的形式有新点总是在一端加入牛顿向前公式可以添加新的点的权利，牛顿向后公式可以添加新的指向左边的简单。

不幸的是，多项式插值的精度取决于如何接近内插点是中间的x的值使用的点的集合;作为牛顿形式总是添加新的点在同一端，在程度的增加可以不被使用，以增加在任何地方，但为此的准确性。

高斯，斯特灵，和贝塞尔所有发达国家的公式来弥补这方面的问题。

高斯公式交替地添加新的点，在左侧和右侧的端部，从而保持附近的同一地点（附近的评价点）为中心的点的集合。

在这样做的时候，它从牛顿公式中使用的术语，更名为选择什么样的数据点被指定为数据点的x值数据点。

斯特林公式仍然为中心的一个特定的数据点，使用时的评价点比两个数据点的中间，更接近到一个数据点。

贝塞尔公式仍然为中心的两个数据点之间的一个特定的中间，使用时的评价点是接近中间的一个数据点。

他们做到这一点有时使用平均的两个不同之处牛顿和高斯的使用只有一个区别。

斯特灵的，在奇数程度; Bessels甚至度，在条款。

比简单的区别不是更复杂的计算和平均两个差异不必涉及额外的工作，因为它可以通过式，在提前的表达为平均差。

不同配方的长处和短处斯特灵的适用性，贝塞尔的和高斯公式取决于1）重要性的小精度增益平均差异给予和2）上，如果更高的精度是必要的，则内插点是否接近到一个数据点或到一个中间的两个的数据点。

在一般情况下，差分方法可以是一个很好的选择，当一个人不知道多少点，什么程度的插值多项式，将所需的精度需要，当你想先看看线性和其它低度内插，依次判断精度在连续的两个多项式的阶的结果的差异。

拉格朗日公式（不是差公式），也可以，但要下一个更高的程度不重新做工作，要求每学期的价值与电脑记录，而不是一个问题，但也许用计算器尴尬。

除此之外，拉格朗日是容易计算的不同方法，以及（可能是正确的）被认为是最好的选择，当一个人已经知道需要什么样的多项式程度。

所有的内插时将被做在一个x值，只有数据点的y值的变化从一个到另一个问题，拉格朗日公式变得如此方便多了，它开始是唯一的选择，要考虑。

拉格朗日的公式计算的易用性最好的方法是通过其“重心表格”。

使用电脑时，它的第二个重心形式可能是最有效的，但其第一重心形式时，可能会更方便使用计算器。

精度当一个特定的数据点被指定为，然后该数据点的评价点的方法，后差公式条款常数项趋于零。

因此，斯特灵公式是其最好的区域是需要的。

贝塞尔时，是在其最好的评价点是两个数据点之间的中间附近，因此贝塞尔当所相加的精度是最需要的是在其最好。

所以，贝塞尔公式可以说是最准确的差公式，并且，在一般情况下，最熟悉的多项式插值公式准确。

应该补充的是，当贝塞尔和斯特林获得高斯和拉格朗日一点点的准确度，这将是不寻常的，需要更高的精确度。

任何人都不应该退出，使用拉格朗日高斯的，因为它。

时，斯特灵或贝塞尔，所使用的最后一个学期，包括的平均两个不同，一个点正在使用，比牛顿或其他多项式插值将使用相同的多项式的程度。

因此，在该实例中，斯特林的或贝塞尔是不把一个N-1度多项式通过N个点，但是，而不是，交易等价与牛顿的更好的定心和精度，这些方法有时潜在的更大的精度，对于一个给定的多项式程度，比其他的多项式插值。

的其他差异的公式，如那些斯特林，贝塞尔和高斯，可以将来自从牛顿的，使用牛顿的术语，与数据点和x值更名为符合x为零的选择，和基于的事实，必须要增加相同的总和值的牛顿（斯特林，所以当多项式程度甚至用贝塞尔所以当多项式的程度是奇数）。