正态分布推导
正态分布方差推导过程
正态分布方差推导过程
嘿，朋友们！今天咱来聊聊正态分布方差的推导过程，这可有意思啦！
咱先想想啊，正态分布就好像是一群小精灵在那欢快地跳动。
它们有的蹦得高些，有的矮些，但大多数都集中在中间那块儿，是不是挺神奇的？
那方差呢，就好比是这些小精灵们的活跃度指标。
它能告诉我们这些小精灵们跳动的幅度有多大。
咱开始推导啦！就像探险家去探索未知的领域一样。
先把正态分布的概率密度函数拿出来，这就像是我们手里的地图。
然后呢，我们要通过一些巧妙的计算和变换，去找到方差的秘密。
你说这像不像解开一个神秘的谜题呀？我们一点点地分析，一点点地琢磨。
每一步都好像是在拨开迷雾，离真相越来越近。
你看啊，在这个过程中，我们要用到好多数学知识呢，什么积分啦，求导啦。
这就好比是我们的工具，用得好就能顺利找到答案。
有时候会遇到一些难题，就好像路上的小石子，得想办法跨过去或者踢开它。
可不能被这些小困难给吓住呀！
想象一下，如果我们成功推导出来方差，那得多有成就感啊！就好像我们找到了宝藏的钥匙一样兴奋。
其实啊，数学里的很多东西都是这样，看着挺难，但只要我们鼓起勇气去探索，去尝试，总能发现其中的乐趣和奥秘。
推导正态分布方差的过程，就像是一场奇妙的冒险。
我们在数学的海洋里遨游，寻找着那些隐藏的宝藏。
最后啊，我想说，数学真的很神奇，很有趣！正态分布方差的推导虽然有点复杂，但只要我们用心去感受，去理解，就一定能领略到它的魅力。
所以，别害怕数学，大胆地去探索吧！让我们一起在数学的世界里尽情玩耍！。
均匀分布 指数分布 正态分布
均匀分布、指数分布和正态分布是概率论和统计学中常见的概率分布形式。
它们在不同的领域和问题中都有着重要的应用，因此对这三种分布形式的了解和理解是非常重要的。
在本文中，我们将分别对均匀分布、指数分布和正态分布进行介绍，并对它们的特点、应用以及相关的数学推导进行详细的阐述。
一、均匀分布1.1 均匀分布的定义均匀分布是最简单的概率分布之一，它在一个区间内的概率密度是恒定的。
具体而言，假设随机变量X服从均匀分布，记为X ~ U(a,b)，其中a和b分别是区间的上下界，概率密度函数为f(x) = 1/(b-a)，当a≤x≤b时，否则f(x) = 0。
这意味着在[a,b]区间内的任何值出现的概率都是相等的。
1.2 均匀分布的特点均匀分布的特点非常明显，即在相同的区间内概率密度是恒定的。
这意味着在该区间内的任何取值都有相同的概率出现，而在区间之外的取值概率为零。
均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)²/12。
1.3 均匀分布的应用均匀分布在各种领域都有广泛的应用，例如在随机抽样、随机模拟、概率估计等方面。
在实际应用中，均匀分布常常被用于描述某些事件或变量在一个确定区间内出现的概率，例如在工程技术中对某一参数的可行取值范围进行建模分析。
二、指数分布2.1 指数分布的定义指数分布是描述独立随机事件发生时间间隔的概率分布。
假设随机变量X服从指数分布，记为X ~ Exp(λ)，其中λ是一个称为速率参数的正数，概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，当x≥0时，否则f(x) = 0。
指数分布通常用于描述连续随机事件的持续时间或间隔时间，是由泊松分布推导而来的。
2.2 指数分布的特点指数分布的概率密度函数呈现出递减的特点，即随着时间的增加，事件发生的概率逐渐减小。
指数分布的期望值为1/λ，方差为1/λ²。
指数分布还具有无记忆性的特点，即对任意的s，t>0，有P(X>s+t|X>s) = P(X>t)，这意味着在已经发生一段时间后，事件再次发生的概率不受前一次事件发生的时间影响。
正态分布的原函数
正态分布的原函数正态分布，又称高斯分布，是概率论中最常见的概率分布之一。
它是描述随机变量集中程度的一种分布，具有一定的对称性，呈钟形曲线。
正态分布在自然科学、社会科学等领域中有广泛应用，因此研究正态分布及其性质具有重要意义。
设$X$是一个随机变量，其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$其中，$\mu$是期望值，$\sigma$是标准差。
我们通常将期望值$\mu$作为分布的位置参数，标准差$\sigma$作为分布的尺度参数。
正态分布的图形化表示正态分布的曲线呈钟形，左右对称，中心处为最高点。
在$x=\mu$处，曲线的值达到峰值$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$。
根据以上定义，可以推导得到：$$P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx0.68。
P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx0.95，P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)\approx0.997$$这就是说，绝大多数随机变量的值会分布在离期望值不远的地方，而当距离期望值越远时，出现这种情况的概率就越小。
正态分布的原函数是一个积分表达式，可以表示为：其中，$\Phi(x)$被称为标准正态分布的累积分布函数，即$\mu=0$，$\sigma=1$的正态分布。
该式子可以用于计算标准正态分布在$x$处的概率值。
例如，对于$x=1.5$，我们可以通过计算$\Phi(1.5)$的值来得到标准正态分布在$x=1.5$处的概率。
对于一般的正态分布，可以通过变量替换的方法把它转化为标准正态分布来进行计算。
具体来说，如果我们有一个均值为$\mu$，标准差为$\sigma$的正态分布$X$，那么可以把它变为均值为0，标准差为1的正态分布$Z$，其中$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$。
正态分布公式推导
正态分布公式推导正态分布是一种常见的概率分布，其概率密度函数可以通过公式推导而得。
下面将介绍正态分布的起源以及其推导过程。
正态分布在19世纪由高斯（Gauss）引入，也因此被称为高斯分布。
高斯分布具有许多重要的性质，因此在统计学和自然科学中得到了广泛的应用。
正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x)=(1/√(2πσ²))*e^((-(x-μ)²)/(2σ²))其中，f(x)是随机变量X的概率密度函数，x是变量的取值，μ是分布的均值，σ²是方差，e是自然对数的底。
下面将推导正态分布的概率密度函数。
首先，考虑标准正态分布，即均值为0，方差为1的正态分布。
其概率密度函数为：f(x)=1/√(2π)*e^(-x²/2)为了将概率密度函数推广到一般的正态分布，我们引入变量Z，用来表示标准正态分布的随机变量。
假设X是一个正态分布的随机变量，其均值为μ，方差为σ²。
我们可以将X表示为：X=μ+σZ其中，Z是标准正态分布的随机变量。
将X的表达式代入概率密度函数，我们得到：f(x)=1/(√(2π)σ)*e^(-((x-μ)/σ)²/2)通过这个表达式，我们可以看出，X是一个以μ为均值，以σ²为方差的正态分布。
为了进一步推导正态分布的公式，我们需要理解正态分布的性质。
具体来说，在正态分布中，68%的观测值位于均值加减1个标准差之间，95%的观测值位于均值加减2个标准差之间，99.7%的观测值位于均值加减3个标准差之间。
这些性质称为“三个标准差法则”或“68-95-99.7法则”。
基于这些性质，我们可以通过对概率密度函数进行适当的变换得到正态分布的常用公式。
首先，我们对标准正态分布的概率密度函数进行变换，得到：∫(-∞, x) (1/√(2π) * e^(-t²/2)) dt = ∫(-∞, (x-μ)/σ) (1/√(2π) * e^(-t²/2)) dt其中，左侧是标准正态分布的累积概率密度函数（CDF），右侧是一般正态分布的CDF。
正态分布概率公式(部分)
图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线正态曲线可用方程式表示。
当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程：f(x)= （6.16 ）式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.1 4159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ ，但对某一定总体的μ 是一个常数；δ 也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ ，但对某一定总体的δ 是一个常数。
上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ2 的正态分布”。
正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。
（二）正态分布的特性1 、正态分布曲线是以x= μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。
因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ 的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。
在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。
2 、正态分布曲线有一个高峰。
随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ 时， f(x) 最大；在（μ ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。
3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ 处有拐点。
曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。
正态分布的矩母函数推导
正态分布的矩母函数推导正态分布是概率论中最重要的分布之一，它在自然界和社会生活中都有广泛的应用。
正态分布的矩母函数是推导正态分布的重要工具之一。
我们需要了解什么是矩母函数。
矩母函数是一个随机变量的矩生成函数，它可以用来计算该随机变量的各阶矩。
对于一个随机变量X，它的矩母函数为：M(t) = E(e^tX)其中，E表示期望，t为任意实数。
接下来，我们来推导正态分布的矩母函数。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ为均值，σ为标准差。
我们将矩母函数的公式代入上式，得到：M(t) = E(e^tX) = ∫(-∞,∞) e^(tx) * f(x) dx将f(x)代入上式，得到：M(t) = ∫(-∞,∞) e^(tx) * 1 / (σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2)) dx化简上式，得到：M(t) = 1 / (σ√(2π)) * ∫(-∞,∞) e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2) + tx) dx将指数函数中的二次项配方，得到：M(t) = 1 / (σ√(2π)) * ∫(-∞,∞) e^(-(x-μ+tσ^2/2)^2 / (2σ^2)) * e^(tμ+t^2σ^2/2) dx将指数函数中的常数项提出来，得到：M(t) = e^(tμ+t^2σ^2/2) / (σ√(2π)) * ∫(-∞,∞) e^(-(x-μ+tσ^2/2)^2 / (2σ^2)) dx由于正态分布的概率密度函数是关于均值对称的，所以上式中的积分可以化为：M(t) = e^(tμ+t^2σ^2/2) / (σ√(2π)) * ∫(-∞,∞) e^(-(x-μ-tσ^2/2)^2 / (2σ^2)) dx将正态分布的概率密度函数代入上式，得到：M(t) = e^(tμ+t^2σ^2/2) / (σ√(2π)) * ∫(-∞,∞) f(x-tσ^2/2) dx由于正态分布的概率密度函数是标准正态分布的形式，所以上式可以化为：M(t) = e^(tμ+t^2σ^2/2) / (σ√(2π)) * ∫(-∞,∞) 1 / (√(2π)) * e^(-y^2/2) dy其中，y = (x-tσ^2/2-μ) / σ。
概率论与数理统计之正态分布
转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
Q /100 8000 1.96
Q 807840
38
40
39
15-16，五. 设每个零件上的瑕疵点个数服从泊松分布P(1)，现 随机抽取100个零件，根据中心极限定理，求100个 零件上总瑕疵点个数不多于120个的概率.
正态分布的前世今生
一、邂逅，正态曲线的首次发现 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节
二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立） 三、正态分布的各种推导 四、正态分布开疆扩土 五、正态魅影
正态分布性质，4.3节
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
定义：设随机变量 X 的概率密度为
正态分布公式推导
正态分布公式推导
正态分布叠加公式是：x+y~n(3，8)。
相互立的正态变量之线性组合服从正态分布。
即x~n(u1，(q1)^2)，y~n(u2，(q2)^)。
则z=ax+by~n(a*u1+b*u2，
(a^2)*(q1)^2+(b^2)*(q2)^2)
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右等距，曲线两端永远不与横轴平行。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等同于1，相等于概率密度函数的函数从正无穷至负无穷分数的概率为1。
即为频率的总和为%。
两个正态分布的任意线性组合仍服从正态分布（可通过求两个正态分布的函数的分布证明），此结论可推广到n个正态分布。
因此，只需求x-3y的期望方差就可知道具体服从什么正态分布了。
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正态分布推导
正态分布的推导
斯特林(Stirling)公式的推导
斯特林（Stirling）公式：
这个公式的推导过程大体来说是先设一个套，再兜个圈把结果套进来，同时把公式算出来。
Stirling太强了。
1，Wallis公式
证明过程很简单，分部积分就可以了。
由x的取值可得如下结论：
即
化简得
当k无限大时，取极限可知中间式子为1。
所以
第一部分到此结束，k!被引入一个等式之中。
2，Stirling公式的求解
继续兜圈。
关于lnX的图像的面积，可以有三种求法，分别是积分，内接梯形分隔，外切梯形分隔。
分别是：
显然，
代入第一部分最后公式得
（注：上式中第一个beta为平方）
所以得公式：
正态分布推导
在一本俄国的概率教材上看到以下一段精彩的推导，才知道原来所谓正态分布并不是哪位数学家一拍脑门想起来的。
记得大学时的教材上只告诉了我们在抽样实验中当样本总量很大时，随机变量就服从正态分布，至于正态分布是怎么来的一点都不提。
大学之前，我始终坚信数学是世界上最精致的艺术。
但是上了大学之后，发现很多数学上很多问题教材中都是语焉不详，而且很多定义没有任何说明的就出来了，就像一致连续，一致收敛之类的，显得是那么的突兀。
这时候数学就像数学老师一样蛮横，让我对数学极其反感，足足有四年之久。
只到前些日子，在CSDN上读到孟岩的一篇并于矩阵的文章，才重新对数学发生兴趣。
最近又读到了齐民友所写的《重温微积分》以及施利亚耶夫所写的《概率》，才知道原来每一个定义，和每一个定理都有它的价值和意义。
前几天在网上遇到老文，小小的探讨了一下这个问题，顺便问起他斯特林公式的证明过程。
他说碰巧最近很是在研究这个公式，就写出来放在百度上以供来者瞻仰吧。
于是就有了这篇文章：
斯特林(Stirling)公式的推导
如果哪位在读本篇之前想要知道斯特林公式是怎么来的，请阅读之。
本来是想和老文一块发的，怎奈一个小小的公式编辑器让我费了两个晚上才搞定。
于是直至今日，方才有这篇小文字。
本篇是斯特林公式的一个应用。
本篇的推导全部抄自施利亚耶夫著《概率》，本文的证明完成了棣莫弗——拉普拉斯定理推导的前半部分，后半部分以及其与伯努利大数定律的关系在以后再往上贴吧。
其实也不是很难，自己动动手也是能推出来的。
这次推导可以说是“连续性随机变量”第一次出现在该书中，作为理解连续性随机变量的基础，正态分布是十分重要的。
斯特林公式：
根据斯特林公式,
因此
对于0<x<1
注意到
这个结论也可以表述为以下的形式：
假如设
这里只给出等价关系，离相等还差一步。
如果中间画了等号，那么公式就是大家所熟悉的棣莫弗——拉普拉斯定理了，即二项分布以正态分布为极限分布。
从等价到相等，也没什么难的了，反正就是微积分证明的主要思路——略去高阶无穷。
这里就不再给出了吧。
---------------------
不好意思,以前漏了个条件
k满足|k-np|=o(npq)的2/3次方这个条件是原来给定的条件，而不是推导出来的．这个条件的意义是保证二项分布的 p 和 q 不会太小. 比如考虑一个极端的情况 p->0 ,那么上面的推导就不成立了.。