多元正态分布
多元正态分布
p 2
12
1 1 exp ( x ) ( x ) 2
1
( 这里Σ=AA′,
1 1 1 ( AA ) ( A ) A )
§2.2 多元正态分布的定义
定义2.2.4 若 p 维随机向量X=(X1,X2…Xp)′的联合密 度函数为
⑤ 写出X=AU+μ的密度函数： 1 1 f X ( x) exp u u J (u x) p 2 (2 ) 2 1 1 2 1 1 1 exp [ A ( x )][ A ( x )] p 2 (2 ) 2
§2.2 多元正态分布的定义
1. 多元正态分布的定义
2. 多元正态分布的性质
§2.2 多元正态分布的定义
在一元统计中，若U～N(0,1),则U的任意线性变 换X=σU+μ～N(μ,σ2)。利用这一性质，可以从标准 正态分布来定义一般正态分布： 若U～N(0,1),则称X =σU+μ的分布为一般正态分 布,记为X ～N(μ, σ2 )。 此定义中，不必要求σ＞0,当σ退化为0时仍有意 义。把这种新的定义方式推广到多元情况，可得 出多元正态分布的第一种定义。
故 X2 0 2 0 1 Y X 3 ~ N ( 0 , 0 3 0 ). 2 1 0 1 X1
§2.2 多元正态分布的性质
(3) 设Z=2 X1-X2+3X3,试求随机变量Z的分布. Z=2 X1-X2+3X3 =(2,-1,3)X=CX 2 故有: z C x (2,1,3) 0 4 0 2 z C xC 1 1 0 2 2 (2,1,3) 1 2 0 1 1,0,9 1 0 0 3 3 3 29 所以 Z ~ N(4,29).
第二章 多元正态分布
Σ11 Σ= Σ 21
Σ12 k Σ 22 k − p
µ1 k µ= µபைடு நூலகம்2 p − k
x1 k x= x 2 p − k
则给定 x 2 时 x1 的条件分布为 N k ( µ1⋅2 , Σ11⋅2 ) ，其中
µ1⋅2 = µ1 + Σ12 Σ −1 (x 2 − µ 2 ). 22
7.033 2.168 3.540 4.981 2.874 30.530 Σ=
1.681 1.276 4.638 3.107
1.276 5.213 1.161 2.939 5.864 19.532 1.851 4.069 3.860 4.525 27.363
p 元正态分布；
若 rank(A) < p( p ≤ q)，则Σ−1不存在， = Au + µ是退化 x
p元正态分布，不存在密度函数。
1 0 例：设随机向量 u ~ N2 (0, I ) ， = Au， = 0 1 ，则 x 的分布是 A x 退化的三元正态分布。 1 1
1 1 =I = O 1
二、一般的正态分布 设随机向量 x = (x1, x2 ,L, xp )′ ,若其的密度函数为
f (x1, x2 ,L, xp ) = (2π )
− ∞ < xi < +∞
协方差为
−p 2
Σ
−1 2
1 exp[− (x − µ)′Σ−1(x − µ)] 2
1 0 1 0 1 0 11 0 1 = 0 1 1 Σ = AA′ = 0 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 0 1 1 = 1 1 + 0 1 = 2 −1−1 = 0 Σ= 1 2 1 1 1 1 2
结构方程模型的多元正态分布
结构方程模型的多元正态分布多元正态分布是结构方程模型中的一种常见假设。
本文将从多元正态分布的概念、性质和应用等方面进行阐述，旨在为读者提供对该主题的全面了解。
第一部分：多元正态分布的概念多元正态分布是指多个随机变量同时服从正态分布的情况。
在结构方程模型中，我们通常假设观测变量和潜变量都服从多元正态分布。
这种假设使得我们能够对变量之间的关系进行推断和建模。
第二部分：多元正态分布的性质多元正态分布具有许多重要的性质。
首先，多元正态分布的边际分布也是正态分布。
这意味着每个变量的边际分布可以独立地进行分析。
其次，多元正态分布的协方差矩阵可以用来描述变量之间的线性关系。
协方差矩阵可以通过样本数据的协方差矩阵估计得到。
最后，多元正态分布的联合分布可以通过均值向量和协方差矩阵来确定。
第三部分：多元正态分布的应用多元正态分布在许多领域都有广泛的应用。
在社会科学中，多元正态分布可以用来建立结构方程模型，研究变量之间的因果关系。
在金融学中，多元正态分布可以用来建立投资组合模型，评估不同投资资产之间的相关性。
在医学研究中，多元正态分布可以用来分析多个生物标志物之间的关系。
第四部分：多元正态分布的优缺点多元正态分布具有许多优点，如易于推断和建模、具有丰富的数学性质等。
然而，多元正态分布也有一些局限性，如对数据的要求较高、对大样本量的依赖性等。
因此，在应用多元正态分布时，需要考虑这些因素。
第五部分：结论多元正态分布作为结构方程模型的基本假设之一，在数据分析和建模中具有重要的应用。
通过对多元正态分布的概念、性质和应用的介绍，本文希望读者对该主题有更深入的理解。
同时，也提醒读者在实际应用中要考虑到多元正态分布的优缺点，并结合具体情况进行分析和建模。
通过合理的应用和推广，多元正态分布将为各个领域的研究提供有力的工具和方法。
多元正态分布
1 2 n
1 n æ 1 ö ç ÷ | Σ | 2 exp{- å ( X j - m )¢Σ -1 ( X j - m )} 2 j =1 è 2p ø
np
n
对于观测结果
X1
X2 L Xn
固定的集合， 所得表
达式作为 m 和 Σ 的一个函数， 称为似然函 ˆ ˆ 数，并记为 L ( m , Σ ). 若存在 m ， Σ ，使 ˆ ˆ ˆ L ( m , S ) = max { L ( m , S )}, 则称 m ， Σ 为 m ， Σ 的 ˆ 极大似然估计。
令
æ l1 ç Λ =ç ç ç 0 è
1 2
O
0 ö ÷ ÷, li > 0 ÷ lk ÷ ø
1 2
则å
k
i =1
l i e i e i¢ = P Λ P ¢
1 2
并令 A
= PΛ P¢
1 2
则有 （1） ( A （3） （4）
A
1 2 1 2
)¢ = A
Δ
1 2 1 2
； （2） A
-
1 2
A
1 e b |Σ|
1 - Tr ( Σ -1 B ) 2
1 £ ( 2b) pb e -bp b |B|
而且仅当
Σ=
1 B 2b
时，等号才成立。
定理：设 X X L X 是来自正态总体 ˆ ˆ N ( m , Σ ) 的随机样本，则 m = X , Σ = S n 分别 是 m ， Σ 的极大似然估计。 证明：
B Σ= n
=
å(X
j =1
n
j
- X )( X j - X )¢
三、 X 和 S 的分布 定 义 ： 设 Z ,Z L Z ~ N ( 0 , Σ ) ，则称 å
多元正态分布
多元正态分布正态分布，又称为高斯分布，是概率论与统计学中最为重要的概率分布之一。
正态分布的特点是其概率密度函数呈现出钟形曲线的形状，可以描述大多数自然现象中的分布情况。
本文的主要目的是介绍正态分布的定义、性质和应用，并对其多元形式进行讨论。
一、正态分布的定义和性质正态分布的定义如下：设X是一个连续型随机变量，如果它的概率密度函数为f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中μ为均值，σ^2为方差，exp为自然指数函数，那么称X服从参数为(μ,σ^2)的正态分布，记作X~N(μ,σ^2)。
正态分布的性质如下：1. 正态分布是一个对称分布，其均值、中位数和众数都重合，位于分布的中心。
2. 正态分布的曲线在均值两侧呈现对称性，标准差决定了曲线的宽度，标准差越小，曲线越陡峭，反之越平缓。
3. 正态分布的累积分布函数可用标准正态分布的累积分布函数来计算。
4. 正态分布的随机变量相加仍然服从正态分布。
二、正态分布的应用正态分布在各个领域中都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 自然科学：正态分布常被用来描述测量误差、物理实验结果和自然现象。
例如，在物理实验中测量的误差往往服从正态分布。
2. 金融领域：正态分布被广泛应用于金融领域的风险管理和股票价格预测中。
基于正态分布的投资组合理论和资产定价模型是金融领域中的重要工具之一。
3. 质量控制：正态分布被应用于质量控制中，用于确定产品的标准差、设定合适的控制上限和下限，从而判断产品是否合格。
4. 社会科学：正态分布在社会科学领域的人口统计、心理学实验和经济学研究中得到广泛应用。
例如，身高、体重等指标的分布往往服从正态分布。
三、多元正态分布多元正态分布是正态分布的一种拓展形式，用于描述多个随机变量之间的相关性。
多元正态分布的定义如下：设X = (X1,X2,...,Xn)是一个n维随机向量，如果它的概率密度函数为f(x) = (1/√((2π)^n|Σ|)) * exp(-1/2(x-μ)Σ^(-1)(x-μ)^T)其中x = (x1,x2,...,xn)，μ = (μ1,μ2,...,μn)为均值向量，Σ为协方差矩阵，|Σ|为协方差矩阵的行列式，exp为自然指数函数，Σ^(-1)表示Σ的逆矩阵，那么称X服从参数为(μ,Σ)的多元正态分布，记作X~N(μ,Σ)。
§1-5 多元正态分布
， xm ) ， ym ) y1 g1 ( x1， x1 h1 ( y1， y g ( x ， x h ( y ， ， x ) ym ) m 1 m m 1 ， m m
f Y1 ,,Ym ( y1， ， ym ) ( x1， ， xm ) f X 1 ,, X m ( h1 ( y1， ， y m )， ， hm ( y1， ， y m )) ( y1， ， ym )
二．多元正态分布的基本定理
回顾与拓展：随机向量变换的概率密度函数
， Xm) ， Ym ) Y1 g1 ( X 1， X 1 h1 ( Y1， Y g ( X ， X h ( Y ， Xm) Ym ) m 1 ， m 1 ， m m
Y1 Y p1 Y 2
1 2
V11 V V 21
V12 V22
则Y1与Y2 独立的充分必要条件是 V12 0
三．多元正态分布的性质
思考题
设 ( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X ～ N( ， ² )的 样本，试问 X = ( X1, X2, …, Xn ) ´服从什么分布？
正态分布 或 Gauss分布。记为 X∼ N(， ² )
( x )2 2 2
一．多元正态分布的定义 标准正态分布
设 X∼ N(， ² )，当 = 0， = 1 时， 称 X 服从标准正态分布，记为 X ∼ N(0，1 ) 标准正态分布的概率密度为
x2 2
( x)
§1-5
多元正态分布
一．多元正态分布的定义
二．多元正态分布的基本定理 三．多元正态分布的性质
一．多元正态分布的定义
多元统计分析多元正态分布
因子分析可以用于数据的降维、分类和解释变量之间的复杂关系。
03
04
多元正态分布的聚类分析
K-means聚类
一种无监督的机器学习算法，通过迭代过程将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。
总结词
K-means聚类是一种常见的聚类分析方法，其基本思想是：通过迭代过程将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。具体步骤包括：随机选择K个中心点，将每个数据点分配给最近的中心点所在的集群，然后重新计算每个集群的中心点，并重复此过程直到中心点不再发生变化或达到预设的迭代次数。
定义与性质
性质
定义
均值向量
描述多元正态分布的期望值，表示分布的中心位置。
协方差矩阵
描述多元正态分布的各变量之间的方差和协方差，表示分布的散布程度和变量间的相关性。
维数
描述多元正态分布中随机变量的个数，不同维数的多元正态分布具有不同的形态和性质。
多元正态分布的参数
统计分析
多元正态分布在统计分析中广泛应用，如回归分析、因子分析、聚类分析等。
KNN分类
06
多元正态分布的可视化技术
总结词
主成分分析（PCA）是一种常用的多元统计分析方法，用于降维和数据可视化。
总结词
PCA可视化能够揭示数据中的模式和趋势，帮助我们理解数据的内在结构和关系。
详细描述
通过将数据投影到主成分上，我们可以将高维数据可视化为一组二维或三维图形，从而更直观地观察数据的分布、中心、离群值和聚类等特征。
逻辑回归分类
VS
支持向量机（SVM）是一种有监督学习算法，用于解决分类问题。在多元正态分布的背景下，支持向量机通过找到能够将不同类别的数据点最大化分隔的决策边界来实现分类。
多元正态分布
多元正态分布、多元正态分布1.多元正态分布的概率密度函数多元是指样本以多个变量来描述，或具有多个属性，在此一般用d维特征向量表示，X＝[x1，…，xd]T。
d维特征向量的正态分布用下式表示(2-32)其中μ是X的均值向量，也是d维，μ＝E{X}＝[μ1，μ2，…，μd]T (2-33)Σ是d×d维协方差矩阵，而Σ－1是Σ的逆矩阵，|Σ|是Σ的行列式Σ＝E{(X－μ)(X－μ)T} (2-34)Σ是非负矩阵，在此我们只考虑正定阵，即|Σ|＞0。
多元正态分布与单态量正态分布在形式上尽管不同，但有很多相似之处，实际上单变量正态分布只是维数为1的多元分布。
当d=1时，Σ只是一个1×1的矩阵，也就是只有1个元素的矩阵，退化成一个数，|Σ|1/2也就是标准差σ，Σ－1也就是σ-2，而(X－μ)T(X－μ)也变成(X-μ)2，因此(2-32)也就演变成(2-29)。
但是多元正态分布要比单变量时复杂得多，具有许多重要的特性，下面只就有关的特性加以简单叙述。
多元正态分布的概率密度函数中的元就是我们前面说得特征向量的分量数，也就是维数。
为了方便我们着重讨论二维向量，是一个随机向量，其中每一个分量都是随机变量，服从正态分布。
但是一个二维随机向量不仅要求考虑每个分量单独的分布，还要考虑两个随机变量之间的关系。
下图的例子中的两个二元正态分布的各个分量是相同的，即它们的期望(μ1和μ2)方差σ1和σ2都相同，但这两个特征向量在空间的分布却不相同。
从下图：对右图来说，x1和x2有很大的相关性，而对左图来说，随机变量x1与x2之间的相关性很小。
这可以从两者的区别看出来。
对于右图可以看出一个随机变量的x1分量较小时，另一分量x2也必然较小。
而当随机变量的x1较大时，则其相应的x2分量也较大。
换句话说，如果x1分量小于其均值μ1,则其相应的分量x2也很可能小于它的均值μ2。
因此当x1-μ12-μ2这两项相乘来看就有倾向化。
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4
协方差矩阵为
u1u2 L u1up u u u 2 u2 L u2up ′) = E 2 1 Var(u) = E(uu M M M 2 upu1 upu2 L up
2 1
1 1 =I = O 1
5
二、一般的多元正态分布
11
性质1 设 x ~ Np (µ, Σ)，则 x 的任何子向量也服从多元正 态分布，其均值为 µ的相应子向量，协方差为 Σ 的相应子 矩阵。
x1 k x = x2 p − k µ1 k µ = µ2 p − k Σ11 Σ12 k Σ= Σ21 Σ22 p − k
21
ρ ( x1 , x2 , x3 , x4 / x5 , x6 )
1 0.292 − 0.057 0.214 1 0.025 0.191 = 1 0.136 1
22
定理1.4 设 X ~ N p ( µ , Σ) ，将 X , µ , Σ 按同样方式剖分为：
X µ X = M µ= M X (k ) µ (k )
(1) (1)
Σ11 L Σ1k M Σ= M Σ k 1 L Σ kk
式中，
X ( j ) : S j × 1, µ ( j ) : S j × 1, Σ jj : S j × S j ( j = 1,L k ),
25
称X为样本资料矩阵。 X
f ( X) = f ( X 1 ) ⋅ f ( X 2 ) L f ( X n )
= ∏ ( 2π )
n i =1
−p 2
Σ
−1 2
1 exp[ − (x i − µ)′Σ −1 (x i − µ)] 2
= (2π ) p Σ
−n 2
1 n exp[− ∑ (X i - µ)′Σ -1 (X i - µ)] 2 i =1
µ1⋅2 = µ1 + Σ12 Σ −1 (x 2 − µ 2 ). 22
为 x 2 给定的条件下 x1 数学期望。
Σ11.2 = Σ11 − Σ12 Σ Σ 21是x 2的条件下 x1的条件协条件协方 差。
−1 22
14
偏相关系数
矩阵Σ11.2 称为条件协方差矩阵，它的元素用 σ ij .k +1,L, p 表示,是当 x2 给定的条件下. x i 与 xj （ i, j ≤ k ）的偏相关系 数，定义为
=Σ = AA′
10
Var(x) = AVar(u) A′ = AA′ = Σ
J(u → x) = A = AA′
f (x1, x2 ,L, xp ) = (2π ) = (2π )
−p 2
−1
−1 2
1 ′Σ−1(x − µ)]⋅ | J | exp[− (x − µ) 2 Σ
−1 2
−p 2
1 ′Σ−1(x − µ)] exp[− (x − µ) 2
ρij .k +1,L, p
σ ij .k +1,L, p = σ ii.k +1,L, pσ jj .k +1,L, p
它度量了在值 x k +1 ,L , x p给定的条件下，x i 与 x j （ i, j ≤ k ）相关性的强弱。
15
例 设X~N6(µ ,Σ)，其协方差矩阵为，计算偏相 关系数 ρ ( x1 , x2 , x3 , x4 / x5 , x6 )
则
x1 ~ Nk (µ1, Σ11)
且
x2 ~ Np−k (µ2 , Σ22 )
12
Cov(x1 , x 2 ) = Σ12
性质2 设 x1, x2 ,L, xn , xi ~ Np (µi , Σi ) ，i =1,2,L, n相互独立， 且，则对任意 n 个常数 k1,L, kn ，有
i=1
∑ ki xi
(x1 − µ1)2 (x1 − µ1)(x2 − µ2 ) L (x1 − µ1)(xp − µp ) (x µ )(x µ ) (x2 − µ2 )2 L (x2 − µ2 )(xp − µp ) − 2 1− 2 2 Σ = E M M M 2 (xp − µp ) (xp − µ)(x1 − µ1) (xp − µp )(x2 − µ2 ) L
0.906 0.839 1.734 2.502
20
0.414 0.675 1 [0.414 0.675 2.634 1.178] − 3.112 2.634 1.178 5.985 1.518 − 0.531 4.519 0.198 = 14.359 0.749 0.583 0.737 2.056
N(0,1)
密度函数为
1 p 2 2 exp( − ∑ xi ) 2 i =1
3
f (x1, x2,L, xp )
=∏
i =1 n
1 1 exp( − xi2 ) 2 2π
= (2π ) − p
−∞< xi < +∞
i =1,2,L, p
其中的 均值为
u = (u1,u2 ,L,up )′
E(u) = (Eu1, Eu2 ,L, Eup )′ = 0
7.033 2.168 3.540 4.981 2.874 30.530 Σ= 1.681 1.276 4.638 3.107 1.276 5.213 1.161 2.939 5.864 19.532 1.851 4.069 3.860 4.525 27.363
n
~ Np ( ∑ µi , ∑ki2Σi ).
i=1 i=1
n
n
13
性质3 将 x, µ , Σ 作如下的分块：
Σ11 Σ= Σ 21
Σ12 k Σ 22 k − p
µ1 k µ= µ 2 p − k
x1 k x= x 2 p − k
则给定 x 2 时 x1 的条件分布为 N k ( µ1⋅2 , Σ11⋅2 ) ，其中
则，X (1) ,L, X ( k ) 相互独立当且尽当
Σij = 0, 对一切 i ≠ j
23
§4 均方向量和协方差阵的 极大似然估计及x ~ N p ( µ , Σ), Σ > 0, 则总体的密度函数为
1 f ( x1 , x2 ,L, x p ) = (2π ) exp[ − ( x − µ )′Σ −1 ( x − µ )] Σ 2 X(1)，X(2)，……，X(n)是从总体中抽取的一个简单随机样本，满
第二讲 多元正态分布
1
复习一元正态分布
• 一元正态分布的密度函数 • 一元正态分布的性质 • 一元正态分布的数字特征
– 均值、方差 – 偏度、峰度
• 一元正态分布的计算和查表
2
§1 多元正态分布的定义
一、标准多元正态分布
设随机向量 则
u = (u1,u2 ,L,up )′
独立同分布于
u = (u1,u2 ,L,up )′
设随机向量 x = (x1, x2 ,L, xp )′ ,若其的密度函数为
f ( x1, x2 ,L, x p )
= (2π )
−p 2
Σ
−1 2
1 exp[− (x-µ)′Σ-1(x-µ)] 2
− ∞ < xi < +∞
6
其中 x = (x1, x2 ,L, xp )′ 的均值为 E(x) = (µ1, µ2 ,L, µp )′ 协方差为
称 x = (x1, x2 ,L, xp )′ 服从均值为E(X)，协方差为Σ的正态分布。
7
特例： 特例：二元正态分布
P=2
f ( x1 , x2 ) = (2π ) (σ 11σ 22 (1 − ρ ))
−1 2 12 −1 2 2 2 x2 − µ 2 x1 − µ1 + σ 11 σ 22 1 exp− 2 x1 − µ1 x2 − µ 2 2(1 − ρ12 ) − 2 ρ12 σ σ 11 22
−p 2 −1 2
足X(1)，X(2)，……，X(n)相互独立，且同正态分布
x′1) x11 ( x′ x (2) 21 X= = M M ′ x( n ) xn1
x12 x22 M xn 2
L x1 p L x2 p M L xnp
18
Σ11.2 = Σ11 − Σ12 Σ −1 Σ 21 22
7.033 2.168 3.540 4.981 2.874 30.530 =
1.681 1.276 4.638 3.107
1.276 1.161 5.864 1.851 3.860
为样本联合密度函数。
26
二、Σ 二、Σ和µ的极大似然估计
ˆ 所谓µ和Σ的极大似然估计，是寻找 µ ˆ 和 Σ 满足条件
ˆ ˆ L (µ, Σ) = max L(µ, Σ)
µ ,Σ
27
可以证明µ和Σ的极大似然估计为
1 ˆ µ = X = ∑ X (i ) n i =1
n
∑ X i1 i =1 X1 n 1 ∑ X i 2 X 2 = = i =1 M n M n X p ∑ X ip i =1
−1 Σ( x1 ,L, x4 / x6 , x5 ) = Σ11.3 − Σ12.3Σ 22.3Σ 21.3
0.906 0.414 0.839 0.675 1.734 2.634 2.502 1.178 3.112