玻尔兹曼分布的严格推导
玻尔兹曼分布推导
玻尔兹曼分布推导## 玻尔兹曼分布推导### 引言玻尔兹曼分布是统计力学中一种描述粒子在能级间分布的概率分布函数。
它在热力学系统中具有广泛的应用，特别是在描述气体分子的能级分布和热平衡状态时。
在本文中，我们将深入探讨玻尔兹曼分布的推导过程，从基本的概念出发，逐步引入数学表达式，以便更好地理解和运用这一重要的概率分布。
### 基础概念在了解玻尔兹曼分布之前，我们首先需要了解一些基础概念。
考虑一个具有N个微观粒子的系统，每个粒子都可以处于不同的能级。
设第i个能级的能量为εi，而粒子在该能级上的分布情况由分布函数ni表示。
我们的目标是推导出这些粒子分布的概率。
### 热力学基础热力学告诉我们，系统的熵S与粒子分布的对数有关，即S = -kΣni ln ni，其中k是玻尔兹曼常数。
为了最大化系统的熵，我们引入一个约束条件，即粒子的总能量为常数E，即Σniεi = E。
通过拉格朗日乘子法，我们可以得到一个新的表达式：\[ \Phi = -kΣni ln ni + α(Σniεi - E) \]这里，α是拉格朗日乘子，Φ称为广义熵。
### 极大化广义熵为了找到粒子分布的概率，我们需要极大化广义熵Φ。
通过对ni 和α分别求偏导数并令其等于零，我们得到以下两个方程：\[ \frac{\partial\Phi}{\partial ni} = -k(1 + ln ni) +αεi = 0 \]\[ \frac{\partial\Phi}{\partial α} = Σniεi - E = 0 \]从第一个方程中解出ni，我们得到玻尔兹曼分布的基本形式：\[ ni = e^{-\frac{εi}{kT}} \]这里，T是系统的温度，表明了温度与能级分布的关系。
这是玻尔兹曼分布的基础形式，描述了系统中粒子在不同能级上的概率。
### 玻尔兹曼分布的详细推导现在，我们将更详细地推导玻尔兹曼分布。
考虑到约束条件Σni = 1，我们引入拉格朗日乘子β，得到新的广义熵表达式：\[ \Psi = -kΣni ln ni + β(Σni - 1) + α(Σniεi - E) \]通过对ni、α和β的偏导数，并令其等于零，我们可以得到玻尔兹曼分布的详细推导过程。
对统计力学中玻尔兹曼分布定律的推导
玻尔兹曼分布定律在统计力学中是一个非常重要的定律，它描述了系统中粒子的分布情况。
通过对玻尔兹曼分布定律的深度和广度的评估，我们可以更全面地理解这一定律在物理学中的重要性和应用。
让我们从简到繁地来探讨玻尔兹曼分布定律的推导过程。
在统计力学中，我们经常用概率分布函数来描述系统中粒子的状态和分布情况。
而玻尔兹曼分布定律正是描述了系统中粒子的分布概率与粒子能量的关系。
通过对系统的宏观状态和微观状态进行统计分析，我们可以推导出玻尔兹曼分布定律的数学表达式，从而更深入地理解系统的热力学性质和微观粒子的行为。
在玻尔兹曼分布定律的推导过程中，我们需要考虑系统的能级分布、粒子的能量和粒子的状态密度等因素。
通过统计力学的方法，我们可以建立系统的分布函数，并运用统计学的知识推导出玻尔兹曼分布定律的表达式。
这一过程需要深入理解统计力学和概率论的知识，以及对系统的微观结构和宏观性质有深刻的认识。
在文章的深入探讨中，我们还需要从宏观和微观角度来分析玻尔兹曼分布定律的应用和意义。
从宏观角度来看，玻尔兹曼分布定律描述了系统的热平衡状态和热力学性质，对于理解系统的热力学过程和热力学参数具有重要意义。
而从微观角度来看，玻尔兹曼分布定律反映了系统中微观粒子的行为规律，对于研究微观粒子的统计行为和动力学过程具有重要意义。
总结回顾性的内容是文章中不可或缺的部分，通过总结回顾，我们可以更全面、深刻和灵活地理解玻尔兹曼分布定律在统计力学中的重要性和应用。
在总结回顾中，我们可以对玻尔兹曼分布定律的数学表达式、物理意义和应用进行归纳和概括，从而更好地理解和掌握这一定律。
在文章中，我也将共享我的个人观点和理解，通过对玻尔兹曼分布定律的深入研究和思考，我认为这一定律不仅是统计力学中的重要定律，更是揭示了物质微观性质与宏观性质之间的内在联系和规律。
理解和掌握玻尔兹曼分布定律对于深入理解物质的统计性质和热力学性质具有重要意义，对于开展物理学和工程学的研究和应用具有重要价值。
玻尔兹曼分布推导
玻尔兹曼分布推导玻尔兹曼分布描述多粒子系统中各粒子的状态（也就是能量和位置）在给定宏观条件下的分布规律，其推导过程如下：1. 固定项与归一化。
设微观系统内可能的某个状态对应的微观能量为$E_i$，则该状态的出现概率为$\exp(-E_i/k_BT)$。
为了使该出现概率满足归一化条件，需将所有可能状态下的出现概率相加。
即：$$\sum_i P_i = \sum_i \exp (-E_i/k_BT) = 1$$这里约定粒子不可分辨，即只有一个能级有多个粒子时才考虑宏观分配情况。
2. 计算受约束系统中的粒子数。
设粒子数为$N$，系统总能量为$U$，以及每个粒子平均能量为$\varepsilon$（局限于热力学极限情况），有：$$N = \frac{U}{\varepsilon}$$3. 计算配分函数。
定义配分函数$Z$，其定义为所有可能状态出现概率的总和：$$Z = \sum_i \exp(-E_i/k_BT)$$4. 计算概率密度（各状态的占比）。
假设某一个微观状态$i$ 内有$g_i$ 个粒子，宏观状态下，$N$ 个粒子的概率可写成以下形式：$$P(N) = \frac{1}{N!} \cdot \frac{N^{g_0}N^{g_1}\cdot...\cdot N^{g_s}}{Z^N}$$其中，$g_0$ 表示能量为$E_0$ 的状态$i$ 中的粒子数，$g_1$ 表示能量为$E_1$ 的状态$i$ 中的粒子数，$s$ 表示所有存在的能级总数。
5. 在无约束条件下求最可能出现的状态（即熵最大的状态）。
用"ln" 表示"以 e 为底的自然对数"，则上述概率密度$P(N)$ 可以写成字符串长度为$s$ 的以下形式：$$P(N) = \frac{1}{N!} \cdot e^{Ng_0lnN-Ng_0+Ng_1\ln N-Ng_1+...+Ng_s\ln N - Ng_s -\ln Z \cdot N}$$要想使$\ln P(N)$ 最大，需要对$N$ 求极值。
玻尔兹曼分布推导
玻尔兹曼分布推导
玻尔兹曼分布推导是一种有效的理论，用于分析多变量系统的状
态概率，由卡尔文·玻尔兹曼在1920年研究出来。
它是量子物理上重
要的一部分，一般用于对粒子和其他现象进行描述。
玻尔兹曼分布推导来自量子力学，它描述了一个多变量系统（包
括粒子）的可能性最大化。
它被量子物理学家们认为是最适用于解释
量子物理现象的模型。
它的基本原理是，量子系统的状态是不确定的，而且可以用最大可能性的方式来描述这种状态。
为了获得最佳性能，玻尔兹曼分布推导使用了相关的数学技术，
如多元标准正态分布函数、高斯分布函数等，使用这些函数可以将多
变量系统关联起来，从而测量该系统的激活状态，进而进行模拟。
在
玻尔兹曼分布推导中，这种连接是通过推导出可能性最大的数量来实
现的。
玻尔兹曼分布推导的基本概念是，当一个多变量系统处于稳定状
态时，其变量之间存在相互作用。
这种相互作用会导致系统处于一个
较高的能量层面，这种能量层面可以用来优化系统的性能。
一旦这种
稳定状态被破坏，多变量系统就会降低能量层面，由此就可以计算出
每个变量的可能性，从而推导出系统的状态概率。
玻尔兹曼分布推导除了用于量子现象的探究外，还可以用于统计
学方面的实际应用，例如用于研究多变量数据的分布情况、估计回归
的可能性等。
它的实用性得到了广泛的认可，在量子物理学和机器学
习领域都有广泛的应用。
麦克斯韦气体速率分布律推导
麦克斯韦气体速率分布律推导麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布律描述了理想气体中分子速度的统计分布。
以下是该分布律的推导过程。
首先，考虑一个由大量相同分子组成的理想气体，这些分子在容器中随机、无序地运动。
由于分子间的碰撞非常频繁，我们可以假定每个分子的运动是相互独立的。
我们的目标是求出分子速率的分布函数。
1. 假设分子的运动是三维的随机运动，并且分子间无相互作用力。
2. 假设分子的运动是各向同性的，即在任何方向上运动的概率都是相等的。
3. 假设分子的运动是稳定的，即分子的速率分布不随时间改变。
4. 引入分子速度的微分元素d³v，表示速度在v到v+dv之间的分子数。
5. 引入微元体积元素dV和微元时间元素dt。
接下来，我们将使用微元分析法来推导速率分布律。
对于一个具有速率v的分子，在时间dt内，它将沿着速度方向移动的距离为v·dt。
因此，它所扫过的体积元素为dV = v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv·dt，其中θ是速度方向与某一选定方向（通常是x轴）的夹角。
现在，考虑在dt时间内所有具有速率v的分子所扫过的体积总和，即所有可能的方向θ的贡献。
由于θ的取值范围是0到π，我们可以将上述体积元素乘以角度元素dθ（从0到π）并积分，以得到总的体积元素dV_total：dV_total = ∫(v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv)·dθ·dt由于cos²(θ)·sin(θ)是关于θ的偶函数，而在0到π的范围内积分，它的积分结果为零。
为了解决这个问题，我们需要考虑在速度方向上的微小位移。
在速度方向上的微小位移为v·cos(θ)·dt，因此，在dt时间内，具有速率v的分子在速度方向上的微小体积元素为dV_v = v·cos(θ)·dv·dt。
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼分布律1. 介绍玻耳兹曼分布律（Boltzmann Distribution），又称能级分布定律或热力学分布定律，是描述粒子在热平衡时能量分布的统计规律。
它是由物理学家玻耳兹曼（Ludwig Boltzmann）在19世纪末提出的，对理解热力学平衡和统计力学起到了重要作用。
2. 能级与分布2.1 能级的定义在经典力学中，一个具有N个微观粒子的系统的能量是由粒子各自的能级所确定的。
能级（Energy level）是指一个粒子所处的状态或能量状态。
2.2 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是以概率统计理论为基础，通过模拟随机抽样的方法，通过数学计算机模拟的形式，解决一些无法用传统数学方法解决的问题。
3. 玻耳兹曼分布律的推导以下是推导玻耳兹曼分布律的基本思路：3.1 假设•假设每个能级之间的间隔是常数，即能级数之比是整数。
3.2 系综理论•系综是对系统可能的状态进行统计的一种方法。
根据统计力学的观点，与一个给定的宏观信息相对应的，不同的微观状态可以构成一个系综。
3.3 统计力学的基本假设•统计力学的基本假设是，处于热平衡的系统会等可能地在所有可行的微观状态中进行跃迁。
这个假设被称为均等性原理。
3.4 玻耳兹曼分布律的推导•基于均等性原理，可以得出所有可能的微观状态的数目是相同的。
由此可以推导出玻耳兹曼分布律的表达式。
4. 玻耳兹曼分布律的表达式玻耳兹曼分布律的表达式如下：P i=e−E i/(kT)∑e−E j/(kT) nj=1其中，P i表示处于能级i的概率，E i表示能级i的能量，k表示玻尔兹曼常数，T表示系统的温度，n表示能级的总数。
5. 玻耳兹曼分布律的应用5.1 热力学平衡利用玻耳兹曼分布律，可以计算系统在热力学平衡状态下各个能级的占据概率。
通过能级的占据概率，可以推导出各种热力学性质，如熵、内能等。
5.2 电子能级分布玻耳兹曼分布律可以应用于描述电子在原子、分子中的能级分布。
这对于理解原子、分子的能级结构以及电子在能带中的行为具有重要意义。
玻尔兹曼分布 推导
玻尔兹曼分布推导
玻尔兹曼分布是描述一个封闭系统中粒子分布的统计物理学模型，其推导如下：
假设一个系统中有N个粒子，每个粒子具有能量$E_i$，粒子遵循玻尔兹曼分布就意味着，在一段时间内，在系统中具有各种能量的粒子的概率是相等的。
设$N_i$表示能量为$E_i$的粒子数，则系统总能量为：
$U = \sum_{i=1}^{s} N_i E_i$
其中$s$为能量离散化的步长数，即将能量分为离散的s个部分。
考虑系统的总粒子数不变，即$\sum_{i=1}^{s} N_i$为常数，可以使用拉格朗日乘子法，根据约束条件得到：
$S = -k \sum_{i=1}^{s} N_i \ln{\frac{N_i}{g_i}} +
k\alpha(\sum_{i=1}^{s} N_i - N)$
其中$k$为玻尔兹曼常数，$g_i$为每个能级i的简并度（即能量$E_i$出现的次数），$\alpha$为拉格朗日乘子，N为总粒子数。
为使熵取最大值，使用极值条件，对$S$求导并令其等于0，即可得到粒子数的表达式：
$N_i = g_ie^{-E_i/kT}$
其中，$T$为系统的温度，$kT$即为热能的平均能量，也被称为玻尔兹曼温度。
将$N_i$带回到总能量的表达式中，得到：
$U = \sum_{i=1}^{s} g_i E_i e^{-E_i/kT}$
以上就是玻尔兹曼分布的推导过程。
对统计力学中玻尔兹曼分布定律的推导
统计力学中玻尔兹曼分布定律的推导简介统计力学是研究宏观系统的行为和性质，通过考虑微观粒子的统计规律来解释宏观现象。
玻尔兹曼分布定律是统计力学中最基本的概念之一，描述了粒子在能级上的分布情况。
本文将详细介绍玻尔兹曼分布定律的推导过程。
系统与能级考虑一个由N个相同、无相互作用的粒子组成的系统，这些粒子可以在若干个能级上存在。
我们假设这些能级之间存在一定的间隔，即每个能级对应一个确定的能量值。
首先，我们定义系统中第i个能级上粒子数为ni。
因为所有粒子都是无差别且不可辨认的，所以不同能级上粒子数之和等于总粒子数N：∑n ii=N状态数与微观态对于一个给定的系统和给定的宏观状态（例如总粒子数N、总能量E等），可以有多种微观态（也称为状态），即不同排列方式下的粒子分布情况。
设第i个能级上共有gi个状态可供粒子占据。
根据组合学的知识，第i个能级上粒子数为ni的状态数为：Ωi=g i!n i!(g i−n i)!系统的总状态数等于所有能级上状态数的乘积：Ω=∏Ωii =∏g i!n i!(g i−n i)!i经典统计与玻尔兹曼分布根据经典统计物理学，我们假设在一个封闭系统中，每个微观态出现的概率是相等的。
因此，系统处于某一特定宏观状态的概率可以用该宏观状态对应的微观态数来表示。
假设系统处于某一特定宏观状态（即总粒子数N、总能量E等确定），而第i个能级上粒子数为ni，则该宏观状态对应的微观态数为：Ω({n i})=N!∏n i i!根据玻尔兹曼熵公式，系统处于某一特定宏观状态的熵可以表示为：S({n i})=k B ln(Ω({n i}))=k B ln(N!∏n i i ! )其中，k_B是玻尔兹曼常数。
最大熵原理最大熵原理是统计力学中的基本原理之一，它表明当我们对系统的知识最少时，应选择使熵最大的分布。
在推导玻尔兹曼分布定律时，我们将使用最大熵原理。
假设我们只知道系统的宏观性质，例如总粒子数N和总能量E。
由于我们对系统的微观细节一无所知，我们可以认为任何满足宏观性质条件（即总粒子数N和总能量E）的微观态都是等概率出现的。
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f （ ξ） Σ i1， i2， …， i n = 1 x i1 x i2 …x i n
n
m +1
k
足： （ 10）
（ xi ∏ j =1
Σ i =1
n
2W －
j
(
1 1 2 ω i e α + βεi εi
) )
= －N
（ 15 ）
引理 的 详 细 证 明 可 以 参 考 数 学 分 析 的 相 关 ［3 -5 ］ ． 书籍
图2
3 个公式的近似效果图（ 对数图）
n 较小时式 （ 3 ） 有严重的偏差， 从图 2 可以看出， 尤 n 1 ， （ 3 ） 0 ， 其在 接近 时 由于式 的数值可能小于 对 数坐标下的图像甚至出现不可导的点 ， 效果很差． 式（ 4 ） 的误差就要小得多， 在 n 不大时有小的误差． 而式（ 5 ） 的精度就更高， 从实际图和对数图上， 都无 法看出明显的偏差． 由于近似水平上的差异， 本文将给出基于精度 较高的式 （ 5 ） 的推导和结果，给出基于式 （ 4 ） 的结 不再涉及精度较低的式（ 3 ） ． 果， 对原问 题 进 行 化 简， 使用较高精度的近似式 （ 5 ） 时， 有 h（ a1 ， a2 ， …， an ） ≡ln［ f（ a1 ， a2 ， …， an） ］= ln N！ －Σ
在统计物理中， 对于玻尔兹曼最概然分布， 通常 都是使用拉格朗日乘子法， 推导出需要的分布形式． 但是一般教科书
［1 ， 2 ］
秩与其系数矩阵的秩相同即可．
为了保留直观的物理图像而舍
2
问题简化
a2 ， …， a n ） 的表达式中含有阶乘和指 注意 f（ a1 ，
弃了推导过程中的严密性． 例如在处理二阶导数时， ［3-5 ］ 和 n 元函数微分学的基本理论 存在出入， 使得 “最概然” 3 个字略显底气不 玻尔兹曼最概然分布的 足． 这样的推导也许会让一部分初学者产生疑惑． 本文的工作， 正是试图通过严格的数学方法， 在理论 ， 保证玻 上证明玻尔兹曼最概然分布的“最大概率 ” 尔兹曼最概然分布的严格， 使得初学者和教育者在 发现这个问题的时候有所参考．
Σ
ai ln ωi －
g （ a1 ， a2 ， …， a n ） = Nln N －
n
Σ
n i =1
a i ln a i +
n －1 （ 7） Σ i = 1 a i lnω1 － 2 ln（ 2 π） a2 ， …， a n ） 何时取到最大值． 原问题转化为求 g（ a1 ，
4
重要引理
3
传统教材对玻尔兹曼分布推导的漏洞
1
问题描述
为了让文章具有完整性， 这里首先将玻尔兹曼 最概然分布要处理的问题表述如下： 假设有 N 个可 位于 n 个可以不同的能级上， 每个能 以分辨的粒子， a2 ， …， a n ， 能 量 为 ε1 ， 级上占 据 的 粒 子 数 为 a1 ， …， …， ε2 ， εn ， 简并度为 ω1 ， ω2 ， ω n ，体系总能量为 ε，什么分布出现的概率最大？ 用数学化的语言来说就是： 设 a1 ，a2 ，…，a n ∈
摘要： 在运用较高精度的斯特林公式基础上， 利用拉格朗日不定乘子法， 结合带拉格朗日余项的 n 元泰勒展开式， 以兰伯 特 W 函数的形式， 给出了精度更高的一种玻尔兹曼最概然分布及其严格的理论推导， 并附带给出较低精度的斯特林公式下的 推导结果． 此方法可以很容易推广到玻色分布和费米分布中去 ． 关键词： 玻尔兹曼分布； 拉格朗日不定乘子法； 斯特林公式； n 元泰勒展开式； 兰伯特 W 函数 中图分类号： O 414． 2 文献标识码： A 文章编号： 1000-0712 （ 2015 ） 03-0060-06
5
玻尔兹曼分布的严格化证明
下面推导需要用到兰伯特 W 函数． 若 W（ z） 满足 z = W （ z ） e W（ z） ， （ 11 ）
= －ε （ 16 ） 1 2 ω i e α + βεi a2 ， …， a n ） = h （ a1 ， a2 ， …， an ） + 证明： 令 H（ a1 ， 2W －
的． 这只需要判定两个条件联立对应的增广矩阵的
收稿日期： 2014 － 02 － 08 ； 修回日期： 2014 － 09 － 30
作者简介： 陈凌蛟（ 1992 —） ， 男， 江苏南京人， 东南大学吴健雄学院 2011 级本科生．
第3 期
陈凌蛟， 等： 玻尔兹曼分布的严格推导
61
分布的推导及其漏洞． 传统的统计物理 在研究玻尔兹曼分布时， 常常利用式（ 3 ） ，将原问题转化为求 s（ a1 ， a2 ， …， an ） = Nln N －
a2 ， …， an ） = φ1 （ a 1 ， a2 ， …， an ） = φ2 （ a 1 ， 设
Σ i =1
n
ai － N = 0 εi ai － ε = 0 （ 12 ）
Σ i =1
h（ a1 ， a2 ， …， an ） = N + （ 9）
(
1 ln N － 2 ai ln ωi －
DOI:10.16854/ki.1000-0712.2015.03.005
第 34 卷第 3 期 2015 年 3 月
大 学 物 理 COLLEGE PHYSICS
Vol． 34 No． 3 Mar． 2015
玻尔兹曼分布的严格推导
1 2 陈凌蛟 ， 侯吉旋
（ 1． 东南大学 吴健雄学院， 南京 211189 ； 2． 东南大学 物理系， 南京 211189 ）
n i =1
ln N － Σ ln a + (N+ 1 (a + 1 2) 2)
n i =1 i i n i =1
ln（ ai ！ ） +Σ
n i =1
ai ln（ ωi ） ≈
n －1 ln（ 2π） （ 6） 2 a2 ， …， a n ） 何时取到最大值． 原问题转化为求 h（ a1 ， 而在使用近似式（ 4 ） 时， 可以类似地得到
Σ
n
i =1
(
)
（ 14 ）
k
Σ k =1
1 k！
（ xi Σ ∏ i ， i ， …， i = 1 x i x i … x i j =1
1 2 n 1 2 n
n
f （ x0 ）
k
j
－ x0 ij ） + －x ）
0 ij
其中 W 为兰伯特 W 函数的单值分支 W0 ， α和β满
n
1 （ m + 1） ！
［1 ， 2 ］
Σ
n i =1
ai ln ai +
Σ
n i =1
ai ln ωi （ 8）
2］是这一类方法的代表， 何时取到最大值． 文献［ a2 ， …， a n ） 在条件 论证思路清晰明了： 要寻找 s （ a1 ，
图1 3 个公式的近似效果图
式（ 1 ） 下的极值点， 只需直接使用拉格朗日乘子法， 建立拉格朗日方程， 联立求解，就可以得出结果． 其优点在于论证简洁清楚， 结果一目了然， 具有相当 但是存在几处漏洞． 的启发性， 1 ） 使用的斯特林公式过于粗糙． 文献［ 2］ 的证 明利用了式（ 3 ） 做模型近似， 如前文所述， 这是一个 较粗糙的近似． 基于这一模型获得的结果精度难以 a2 ， …， a n 不很大的情况下， 这 保证． 尤其在 N，a1 ， 种估计和实际的分布情况差距很大 ． 2 ） 解的存在性没有进行说明． 文献［ 2］ 采用拉 格朗日乘子法求出玻尔兹曼分布的形式， 是建立在 条件极值一定存在这一假设之上． 这是拉格朗日乘 子法本身的要求， 后面给出的引理 1 将说明这一点． a2 ， …， a n ） 的条件极值不存在， 然而， 如果 s（ a1 ， 拉格 朗日乘子法就不能使用， 结论的正确性也就无从保 证． 因此， 判定条件极值的存在性是有必要的 ． 3 ） 没有论证得到的分布是否为条件最大值点 ． 拉格朗日乘子法得到的是条件极值点， 但无法确定 是条件极大值还是条件极小值． 另一方面， 拉格朗 日乘子法无法判定边界点与条件极值点的大小关 1］ 系． 这一方面， 文献［ 试图用函数对 a i 的二阶导数 小于 0 来论证分布是最大值点， 然而这并不严格． ， 0 一方面 二阶导数小于 只能是判定一元函数驻点 为条件极大值点的条件， 对于多元函数不适用． 另 一方面， 即使是对于一元函数， 这也只是条件极大值 点的条件， 而不是条件最大值点的条件． 2］面向的读者 群 多 为 统 计 物 理 的 初 学 文献［ 者， 所做的论述力求以传达统计物理的思想为要 ， 做 了较大的简化是可以理解的． 然而， 从数学上构建 严密的分析方法， 夯实玻尔兹曼分布的理论基础， 甚 至发掘出一些新的观点， 对于统计物理本身， 仍然是 很有意义的．
)
Σ
n i =1
ln a + (a + 1 2)
i i
其中 J 为雅可比（ Jacobi） 矩阵． 引理 2 n 元拉格朗日型余项的泰勒公式
n 1 设 UR 为凸区域，f： U → R 具有 m + 1 阶连 x0 = （ x0 x0 …， x0 x = （ x1 ， x2 ， …， 续偏导数， n ） ∈ U， 1， 2，
a2 ， …， an ） = 求 f （ a1 ，
N！
∏ i = 1 ai ！
∏ j = 1 ωa j 何时取得最
a2 ， …， a n ） 是玻尔兹曼体系当中对 大值？ 这里 f（ a1 ，
2 ］ a2 ， …， a n 时的微观状态数［1 ， ． 需 应能级分布为 a1 ， 要说明的是， 本文假定满足上述条件的分布是存在
我们首先回顾传统统计物理教材对于玻尔兹曼
为了从数学上严格地研究上述问题， 这里先给 出 2 个重要的引理．