麦克斯韦玻尔兹曼分布
麦克斯韦—玻尔兹曼分布的简单推导与应用
麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用来解决各种物理学问题，例如计算分子的平均速度、平均能量、热容等。它也可以用来解决化学问题，例如计算分子的碰撞率、反应速率等。
在统计物理学中，麦克斯韦-玻尔兹曼分布也被广泛应用，例如用来描述粒子的能谱、分子的能谱等。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布（Maxwell-Boltzmann distribution）是经典物理学中用来描述热力学系统中分子的运动分布的分布函பைடு நூலகம்。它是由美国物理学家约翰·麦克斯韦和奥地利物理学家爱因斯坦·玻尔兹曼共同提出的。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布的公式为：
f(v)=4πnv^2e^(-mv^2/2kT)
总的来说，麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一种重要的物理学分布，它在许多方面都有广泛的应用。
84麦克斯韦玻尔兹曼分布
三、三种统计速率
1、最可几速率
•定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最 概然速率。 •物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等 的小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率 最大。
• vP的值： df v 0
dv
vp
2kT m
2RT 1.41 M
RT M
2、平均速率
•定义：
大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。
法国物理学家佩兰据此测量了玻耳兹曼常数进 而得到了阿伏伽德罗常数，于1922年获得了诺 贝尔物理奖。
五、重力场中等温气压公式
假设：大气为理想气体 不同高度处温度相等
利用：p = nkT
可得:
n n0emgh kT n0e Mgh RT
p p0e Mgh RT p0emgh kT
每升高10米，大气压强降低133Pa。近似符合实际，
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
•他提出了有旋电场和位移电流概念， 建立了经典电磁理论，预言了以光 速传播的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世， 这是一本划时代巨著，它与牛顿时 代的《自然哲学的数学原理》并驾 齐驱，它是人类探索电磁规律的一 个里程碑。
占总分子数的比率。
2.Nf (v)dv dN
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v速率区间内的分子数。
3.nf (v)dv N dN dN VN V
—— 单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数。
4. v2 f (v)dv N (v2 ) dN
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布
在物理学（特别是统计力学）中，麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布是以詹姆斯·克拉克斯·马克斯韦尔和路德维希·波兹曼命名的特定概率分布。
这是第一次定义，并且用于描述颗粒速度在理想化的气体，其中所述颗粒的固定容器内自由移动，而不会彼此互动，除了非常简短的碰撞，其中它们与彼此或与它们的热环境交换能量和动量。
在该上下文中，术语“颗粒”仅指气态颗粒（原子或分子），并且假设颗粒系统已达到热力学平衡。
[1]这种粒子的能量遵循所谓的麦克斯韦 - 玻尔兹曼统计通过将粒子能量与动能等同来推导出速度的统计分布。
在一个封闭的空间中，温度为T，里面只有两种能级，粒子的总数为N，且两种能级对应的个数分别
为：,所以能级的粒子总和为。
那么N个粒子的不同状态组合数记为,且为：
通过组合数计算一下熵，熵是来源热力学的概念，熵是衡量物质的混乱程度的量，通常和物质的状态有关，我们知道当物质的能量越高时混乱程度也越高，能量越低时混乱程度也越低，下面给出熵的定义：
其中是玻尔兹曼常数，取log就是熵的来源。
把带进上式的：
现在我给空间增加少了的能量，此时封闭的空间的低
能级的粒子就会越变到高能级，也就是说会有少量的变为即：
，其中是变化的粒子数，由此我们从新计算熵为：
得到：
我们知道上式的分子和分母项是一样多的，同时在封闭的空间中是足够大的，是很小的，因此可以
把化简为：
然而从热力学角度，熵的变化量和温度以及加入的能量有关（参考维基百科），因此有如下的公式;
联立和两式的到：
化简得到为：
从上式我们看到，不同能级的比值和能量、温度T、玻尔兹曼常数都有关系，上式就称为玻尔兹曼分布。
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布定律是覆盖系统各种状态的概率分布，概率测量或频率分布。
当存在保守的外力（例如重力场，电场等）时，气体分子的空间位置不再均匀分布，并且在不同位置分子数密度也不同。
玻尔兹曼分布定律描述了在保守外力或保守外力场的作用下处于热平衡状态的理想气体分子的能量分布。
L. E. Boltzmann将麦克斯韦分布定律扩展到外力场的情况。
在相同的宽度范围内，如果E1> E2，则能量DN1大的粒子的数量少于能量DN2小的粒子的数量，并且状态是粒子优先占据较小的能量，这是玻尔兹曼的重要结果分配法。
经过近一个世纪的传播，物理和化学界逐渐接受道尔顿的“原子分子模型”，但是原子和分子的确凿证据尚未得到发现。
这时，出现了更强大的科学成就，即热力学的第一定律和第二定律。
热力学原则上解决了化学平衡的所有问题。
1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德（Ostwald）试图证明没有必要将物理和化学问题减少到原子或分子之间的机械关系。
他试图赋予“能量”与物质对象相同的状态，甚至使物质恢复能量。
他提出“世界上所有现象都仅由时空的能量变化构成”。
在统计中，麦克斯韦·玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。
它首先被定义并在物理学中用于描述（特别是在统计力学中）粒子在理想气体中自由移动而不与固定容器中的其他粒子相互作用的速度，除了粒子与其热环境之间的非常短时间的碰撞之外通过交换能量和动力。
在这种情况下，粒子是指气态粒子（原子或分子），并且假定粒子系统达到了热力学平衡。
当这种分布最初是从1960年的麦克斯韦启蒙运动中获得的时，玻尔兹曼对这种分布的物理起源进行了许多重要的研究。
粒子速度的概率分布表明哪个速度更有可能：粒子具有从分布中随机选择的速度，并且比其他选择方法更有可能处于速度范围内。
分布取决于系统温度和颗粒质量。
Maxwell Boltzmann分布适用于经典理想气体，这是理想的真实气体。
麦克斯韦气体速率分布律推导
麦克斯韦气体速率分布律推导麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布律描述了理想气体中分子速度的统计分布。
以下是该分布律的推导过程。
首先，考虑一个由大量相同分子组成的理想气体，这些分子在容器中随机、无序地运动。
由于分子间的碰撞非常频繁，我们可以假定每个分子的运动是相互独立的。
我们的目标是求出分子速率的分布函数。
1. 假设分子的运动是三维的随机运动，并且分子间无相互作用力。
2. 假设分子的运动是各向同性的，即在任何方向上运动的概率都是相等的。
3. 假设分子的运动是稳定的，即分子的速率分布不随时间改变。
4. 引入分子速度的微分元素d³v，表示速度在v到v+dv之间的分子数。
5. 引入微元体积元素dV和微元时间元素dt。
接下来，我们将使用微元分析法来推导速率分布律。
对于一个具有速率v的分子，在时间dt内，它将沿着速度方向移动的距离为v·dt。
因此，它所扫过的体积元素为dV = v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv·dt，其中θ是速度方向与某一选定方向（通常是x轴）的夹角。
现在，考虑在dt时间内所有具有速率v的分子所扫过的体积总和，即所有可能的方向θ的贡献。
由于θ的取值范围是0到π，我们可以将上述体积元素乘以角度元素dθ（从0到π）并积分，以得到总的体积元素dV_total：dV_total = ∫(v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv)·dθ·dt由于cos²(θ)·sin(θ)是关于θ的偶函数，而在0到π的范围内积分，它的积分结果为零。
为了解决这个问题，我们需要考虑在速度方向上的微小位移。
在速度方向上的微小位移为v·cos(θ)·dt，因此，在dt时间内，具有速率v的分子在速度方向上的微小体积元素为dV_v = v·cos(θ)·dv·dt。
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
T2 T1
vHale Waihona Puke 66.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
4
3.曲线下面的总面积
S f (v )dv
0
N
0
dN 1 N
f (v )
dN f (v ) Ndv
dS
归一化条件
0
f v dv 1
4.曲线极大值的意义
o
f (v )
v dv
v
●速率值在 vP 附近的分子数占 总分子数的比率最大。
●或者说一个分子的速率取值 在vP 附近的概率最大。 ●速率 vP —最概然速率。
8
2.平均速率 v
●气体分子速率的统计平均值
dN f (v )dv N
v ~ v dv 内分子数：dN Nf (v )dv
dN 个分子速率总和：vdN vf (v ) Ndv
v
N
0
vdN N
0
vNf v dv N
vf v dv
0
●求分子速率的各种统计平均值的一般方法:
二、麦克斯韦速率分布律 ⒈ 速率分布函数 ★对某一个分子来说，其速度大小和方向完全是偶 然的。但就大量分子整体而言，在一定条件下，其 速度分布遵从一定的统计规律。 设 N 个分子，速率分布于 v ~ v + dv 区间的分子数为 dN ，则
第四章麦克斯韦波尔兹曼分布律
x
又
dI p m ni v ix 2 dAdt i
_____ 2 x
v
n1v1 x 2 n2 v 2 x 2 n1 n2
2 n v i ix i
表示vx2对所有 分子求平均值
p mn v
_____ 2 x
在平衡态时 v
v
_____ 2 x _____ 2 y
right :
整理可得
f (v 2 ) df (v 2 ) v 2 df (v 2 ) 2v x 2 v x dv v x dv 2
df (v 2 ) df (v x ) f (v y )f (v z ) 2 dv 2v x dv x
df (v x ) = f (v y )f (v z ) 2 dv x
若 f (v ) 已知，可求得分布任一区间内 v1 v2 的分子 数△N占总分子数的比率，即
v2 N f (v )dv v1 N
计算过程中的积分问题－误差函数（详见课本P127~128） vz
三、麦克斯韦速率分布律
由速度直角坐标系中，如图，分 子热运动速度出现在速度 v 空间 体积元 dv内的概率为
(v x 2 v y 2 v z 2 )
分布函数必满足归一化条件，即
f (v x ,v y ,v z )dv x dv y dv z 1
可得
32 C ( ) 3 2 (v f (v )=f (v x ,v y ,v z )=( ) e 32 v ( ) e
在速度区间 v ~ v dv ,
其中dv dv x dv y dv z
高二物理竞赛课件：麦克斯韦–玻耳兹曼能量分布律 重力场中粒子按高度的分布(14张PPT)
10-6…… 50 ……
若超过了容器的线度 l, >> l ----真空。 在这种情况下,可以认为 l 。
12 返回 退出
例 已知： O2，d 3.6×10-10m， T = 273K、 p = 1atm
求： z ? ?
解： v 8RT 425m/s
πM
n p 2.691025 /m3 kT
0
m0 2π kT
3
2 m0v2
e 2kT
4π
v2dv
1
可得：
Ep
dNB n0e kT dxdydz
玻耳兹曼分布律
上式表示位置处于 x x+dx, y y+dy, z z+dz 内 的分子数(包括各种速度的分子)。
返回 退出
二、重力场中粒子按高度的分布
Ep
dNB n0e kT dxdydz
z u n π d 2nu
v v 碰撞夹角 有各种可能（0 — 180）
u
90 u 2v
z 2 π d 2nv
1 返回 退出
平均自由程与压强、温度的关系
一个分子在相邻两次碰撞之间的平均
路程称为平均自由程，记作 。
v v 1
z 2 π d 2 vn 2 π d 2n
1
2 πd 2n
O2
1.94
3.19 1013 4.62 1012
N2
1.39
CO2
1.45
5.45 1012 5.34 1012
z 分子在碰撞中可视为球形
返回 退出
ln P g h
P0
RT
P
gh
e RT
P0
RT P h ln
g P0
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m ——分子的质量 T ——热力学温度 k ——玻耳兹曼常量
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3
f v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2
2kT
麦克斯韦速 率分布曲线
f (v)
面积= dN/N
f (v)
o dv
v
曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速 率区间内的分子数占总分子数的概率dN/N 。
•定义：
大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。
•计算：
v＝ Nivi Nivi
Ni
N
v vdN
N
dN Nf (v)dv
v
vdN N
＝
vNf (v)dv N
vf
(v)dv
v 8kT 8RT 1.60 RT
m M
M
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3、方均根速率
•定义：
大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。
通过圆盘一次，由于分子的速率不一样，分子通过
圆盘的时间不一样，只有速率满足下式的分子才能
通过S达到D
l v
v l
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3、实验结果
•分子数在总分子数中所占 的比率与速率和速率间隔的 大小有关； •速率特别大和特别小的分 子数的比率非常小； •在某一速率附近的分子数 的比率最大； •改变气体的种类或气体的 温度时，上述分布情况有所 差别，但都具有上述特点。
v1
N (v1 )
v1 ~ v2 内的分子数。
6.0 f (v)dv 1 7. v2 f (v)dv v2
0
—— 分布在 0 ～ ∞ 速率区间 内的分子数占总分子数的比率。 （ 归一化条件）
—— v2 的平均值。
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四、玻尔兹曼能量分布律
麦克斯韦速度分布函数
3
dN v xv yvz N
m
2kT
2
e m
v
2 x
v
2 y
v
2 z
2kT dv xdv ydvz
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
•他提出了有旋电场和位移电流概念， 建立了经典电磁理论，预言了以光 速传播的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世， 这是一本划时代巨著，它与牛顿时 代的《自然哲学的数学原理》并驾 齐驱，它是人类探索电磁规律的一 个里程碑。
N
0
dN N
0
f vdv
1
归一化条件
速率分布曲线
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2、麦克斯韦速率分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，
分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占总分子数
的比率为
3
dN v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2dv
N
2kT
麦克斯韦速率分布函数
3
f v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2
•都含有统计的平均意义，反映 大量分子作热运动的统计规律。
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说明下列各量的物理意义：
1. f (v)dv
2.Nf (v)dv
3.nf (v)dv
4. v2 f (v )dv v1
5. v2 Nf (v)dv v1
6.0 f (v)dv
7. v 2 f (v)dv 0 第15页/共25页
dN f (v)dv N
速率分布函数
f (v) dN Ndv
第5页/共25页
物理意义： 速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总 分子数的概率，或概率密度。
f (v)dv dN N
N ＝ v2 f (v)dv N
v1
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率
表示速率分布在v1→v2内的分 子数占总分子数的概率
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二、麦克斯韦气体分子速率分布律
1、速率分布函数
速率分布函数的定义： 一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在 某区间 v~v+dv内的分子数， dN/N表示分布在此 区间内的分子数占总分子数的比率。
实验规律：
•dN/N 是 v 的函数； •当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与区间大小成正比。
T2 T1
T2
T1
f (v)
m
1
m1 m2
o vP1 vP2
v
m2
o vP1 vP2
v
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•三种速率的大小顺序为
v p v vrms
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•三种速率的意义 •讨论速率分布时——用最 概然速率 •讨论分子碰撞时——用平 均速率 •讨论分子平均平动动能 时——用方均根速率
•在气体动理论方面，他还提出气体 分子按速率分布的统计规律。
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一、测定气体分子速率的实验 1、实验装置
O——蒸汽源 S ——分子束射出方向孔 R ——长为 l 、刻有螺旋形细槽的铝钢滚筒 D ——检测器，测定通过细槽的分子射线强度
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2、实验原理
当圆盘以角速度ω转动时，每转动一周，分子射线
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三、三种统计速率
1、最可几速率
•定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最 概然速率。
•物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等 的小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率 最大。
• vP的值： df v 0
dv
2kT 2RT
RT
vp
m
1.41
M
M
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2、平均速率
—— 单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数。
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4. v2 f (v)dv N (v2 ) dN
v1
N N (v1 )
—— 分布在有限速率区间 v1 ~ v2 内的分子数占总分 子数的比率。
5. v2 Nf (v)dv N (v2 ) dN —— 分布在有限速率区间
解：
f (v) d N
N dv
1. f (v)dv dN N
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数
占总分子数的比率。
2.Nf (v)dv dN
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v速率区间内的分子数。
3.nf (v)dv N dN dN VN V
•计算：
v2
N ivi2
N ivi2
Ni
N
v2dN v2 Nf (v)dv
v2
v2 f (v)dv
N
N
vrms
v2
3kT m
3RT 1.73 RT
M
M
第11页/共25页
4、讨论
2kT 2RT
RT
vቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
1.41
M
M
•vp 随 T 升高而增大， 随m 增大而减小。
f (v)