麦克斯韦-玻耳兹曼分布
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
T2 T1
vHale Waihona Puke 66.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
4
3.曲线下面的总面积
S f (v )dv
0
N
0
dN 1 N
f (v )
dN f (v ) Ndv
dS
归一化条件
0
f v dv 1
4.曲线极大值的意义
o
f (v )
v dv
v
●速率值在 vP 附近的分子数占 总分子数的比率最大。
●或者说一个分子的速率取值 在vP 附近的概率最大。 ●速率 vP —最概然速率。
8
2.平均速率 v
●气体分子速率的统计平均值
dN f (v )dv N
v ~ v dv 内分子数：dN Nf (v )dv
dN 个分子速率总和：vdN vf (v ) Ndv
v
N
0
vdN N
0
vNf v dv N
vf v dv
0
●求分子速率的各种统计平均值的一般方法:
二、麦克斯韦速率分布律 ⒈ 速率分布函数 ★对某一个分子来说，其速度大小和方向完全是偶 然的。但就大量分子整体而言，在一定条件下，其 速度分布遵从一定的统计规律。 设 N 个分子，速率分布于 v ~ v + dv 区间的分子数为 dN ，则
84麦克斯韦玻尔兹曼分布
3
f v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2
2kT
m ——分子的质量 T ——热力学温度 k ——玻耳兹曼常量
3
f v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2
2kT
麦克斯韦速 率分布曲线
f (v)
面积= dN/N
f (v)
N
0
dN N
0
f vdv
1
归一化条件
速率分布曲线
2、麦克斯韦速率分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，
分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占总分子数
的比率为
3
dN v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2dv
N
2kT
麦克斯韦速率分布函数
圆盘的时间不一样，只有速率满足下式的分子才能
通过S达到D
l v
v l
3、实验结果
•分子数在总分子数中所占 的比率与速率和速率间隔的 大小有关； •速率特别大和特别小的分 子数的比率非常小； •在某一速率附近的分子数 的比率最大； •改变气体的种类或气体的 温度时，上述分布情况有所 差别，但都具有上述特点。
解：
f (v) d N
N dv
1. f (v)dv dN N
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数
占总分子数的比率。
2.Nf (v)dv dN
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v速率区间内的分子数。
3.nf (v)dv N dN dN VN V
—— 单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数。
大学物理第8章第5节-麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)dv
f (v)dv
a
2v 0
v0 v0
f (v)dv
f (v)dv 1
2v 0
0
v0
2v0
v
0
(a v0 )vdv
2v0
v0
[2a (a v0 )v]dv 0dv 1
2v0
a 1 v0
(3) 由图可知, 分布曲线在 v 0 处取极大
0
a v v dv 2 0
7 v0 0.778v0 9
说明: (4)、(5)、(6)中有误.
麦克斯韦速度分布律
2 2 2 m(vx v y vz ) dN m dvx dv y dvz exp N 2 k T 2 k T B B 在 vx ~ vx dvx , vy ~ vy dvy , vz ~ vz dvz 区 32
值
2a
f (v)
a
0
v0
2v0
v
v p v0
(4) N 个粒子的平均速率
v vf (v)dv
0
v0
(a v0 )v 2 dv v[2a (a v0 )v]dv v 0dv v0
0 v0 2v 0
2v 0
(5) 0~ v0 2 内的粒子数
v0 2
N
0
v0 2
dN
0
v0 2
Nf (v)dv
0
N a N vdv v0 8
(6) v0 2 ~ v0 内分子的平均速率
统计力学中的玻尔兹曼分布与麦克斯韦速度分布
统计力学中的玻尔兹曼分布与麦克斯韦速度分布统计力学是一门物理学的分支，它研究的是大量微观粒子所组成的系统在宏观上的行为。
而玻尔兹曼分布和麦克斯韦速度分布是统计力学中的两个重要概念。
首先，让我们来了解一下玻尔兹曼分布。
玻尔兹曼分布是描述非简并理想气体平衡态的分布函数。
简单来说，它告诉我们在热力学平衡状态下，不同能级上粒子的数目与相应能级的能量成正比。
根据玻尔兹曼分布定律，粒子在不同能级上的分布可以通过玻尔兹曼因子来描述，玻尔兹曼因子等于自然对数的底e与能级对应的能量除以系统的热力学温度的乘积。
玻尔兹曼分布的重要性在于，它提供了理论上求解热力学平衡态下系统宏观性质的方法。
正是基于玻尔兹曼分布，我们可以计算出气体的压强、体积、温度等宏观物理量的统计平均值。
接下来，我们来探讨一下麦克斯韦速度分布。
麦克斯韦速度分布描述了气体分子在各个速度范围内的分布情况。
根据麦克斯韦速度分布定律，气体中分子的速度分布服从高斯分布，也就是正态分布。
在一维情况下，麦克斯韦速度分布可以用以下公式表示：f(v) = (m/2πkT)^(1/2) * exp(-mv^2/2kT)其中，f(v)表示速度为v的分子的分布函数，m为分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为系统的热力学温度。
麦克斯韦速度分布告诉我们，气体分子的速度在不同范围内服从不同的分布。
更具体地说，分子的速度大致呈正态分布，而且随着速度的增大而逐渐减小。
这个分布曲线在速度较小的情况下逐渐上升，然后在速度达到峰值后迅速下降。
麦克斯韦速度分布的重要性在于，它可以帮助我们理解气体的热运动性质。
通过麦克斯韦速度分布，我们可以计算出气体中分子的平均速度、平均动能等重要参数，进而推导出气体的热力学性质。
总结一下，统计力学中的玻尔兹曼分布和麦克斯韦速度分布是描述非简并理想气体平衡态的重要工具。
玻尔兹曼分布告诉我们系统中不同能级上粒子的分布情况，而麦克斯韦速度分布描述了气体分子的速度分布。
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布
什么是玻尔兹曼分布？
麦克斯韦-玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。
玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。
玻尔兹曼分布的应用：
麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导（参见麦克斯韦-玻尔兹曼统计）。
它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。
由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。
在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。
例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。
如果在这个情况下应用麦克斯韦-玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。
另外一个不适用麦克斯韦-玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布
O
v p
v
v2
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
同一气体不同温度下速率分布比较
f (v)
f (v ) p1
f (v ) p2
f (v ) p3
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
同一温度下不同种气体速率分布比较
大时， v 的统计平均值可表示为
Nivi
v i N
因为速率连续分布， 所以有
v 0 vdNv N
关于 v 的任意函数 g(v) 在 v1 v2 速率区间的统计平均值为
v2 g(v)dN v2 g(v) f (v)dv
g(v) v1 v2 dN v1 v2 f (v)dv
麦克斯韦
3
f
(v)
4
m
2k T
2
e mv2
v ( 2kT ) 2
T ——热力学温度
m ——单个分子的质量
k ——玻尔兹曼常量
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
f (v)
O v vp
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
麦克斯韦速率分布曲线
v
p
v
v
p
vp 100
v
p
vp 100
vp 50
在此利用vp ，引入W=v/ vp ，把麦克斯韦速率
分布律改写成如下简单形式：
玻尔兹曼分布
在一个封闭的空间中，温度为T，里面只有两种能级，粒子的总数为N，且两种能级对应的个数分别为：,所以能级的粒子总和为。
那么N个粒子的不同状态组合数记为,且为：通过组合数计算一下熵，熵是来源热力学的概念，熵是衡量物质的混乱程度的量，通常和物质的状态有关，我们知道当物质的能量越高时混乱程度也越高，能量越低时混乱程度也越低，这和我们的常识认知是一致的（这里希望大家能彻底搞懂什么是熵，这个概念很重要，熵在自然语言处理中会大量的使用，大家先看看维基百科，然后在自己学习一下，熵我打算在自然语言处理中在详细讲解），下面给出熵的定义：其中是玻尔兹曼常数，取log就是熵的来源。
把带进上式的：现在我给空间增加少了的能量，此时封闭的空间的低能级的粒子就会越变到高能级，也就是说会有少量的变为即：，其中是变化的粒子数，由此我们从新计算熵为：得到：我们知道上式的分子和分母项是一样多的，同时在封闭的空间中是足够大的，是很小的，因此可以把化简为：然而从热力学角度，熵的变化量和温度以及加入的能量有关（参考维基百科），因此有如下的公式;联立和两式的到：化简得到为：从上式我们看到，不同能级的比值和能量、温度T、玻尔兹曼常数都有关系，且上式等式右边的指数和我们的退火算法很像，同时上式就称为玻尔兹曼分布。
好，从上面我们推倒了玻尔兹曼分布的来历。
他是来源于热力学，大家通过我讲的简单型的可以完全理解了，掌握这些东西就够用了，如果对此感兴趣的同学可以看看完整版的玻尔兹曼分布，那里比这里稍微复杂一点，但是有这里的基础，看完整版的就会很容易了，好了，玻尔兹曼分布到此结束，下一节我们将模拟退火算法、玻尔兹曼分布和Hopfield神经网络结合起来，构建一个新的神经网络即随机神经网络或者说是玻尔兹曼机。
玻尔兹曼常量系热力学的一个基本常量，记为“K”，数值为：K=1.3806505×zhi10^-23J/K，玻尔兹曼常量可dao以推导得到，理想气体常数R等于玻尔兹曼常数乘以阿伏伽德罗常数。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律
麦克斯韦波尔茨曼分布定律麦克斯韦波尔茨曼分布定律是统计物理学中的一个基本定律，用于描述粒子在热平衡态下能量分布的概率。
该定律是从统计力学的角度推导出来的，可以用来解释气体分子速度分布、能量分布等现象。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律是描述粒子速度分布的定律之一。
它指出，在热平衡状态下，理想气体中的粒子速度分布服从麦克斯韦波尔茨曼分布。
这个分布的特点是，速度较小的粒子数目多，速度较大的粒子数目少，呈现出“钟形曲线”的形状。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律的推导过程相对复杂，涉及到统计力学的相关知识。
但是我们可以从直观的角度来理解这个分布定律。
首先，我们知道在一个封闭的系统中，粒子的速度是随机的，存在着各种不同的速度。
其次，由于热运动的存在，粒子的速度会在一定范围内变化，即存在一定的速度分布。
最后，根据统计力学的理论，证明了这个分布的概率密度函数是一个关于速度的二次函数，也就是麦克斯韦波尔茨曼分布定律。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律可以用来解释一些重要的物理现象。
首先是气体分子的速度分布。
根据这个定律，我们可以知道在热平衡状态下，气体分子的速度分布是呈现出一定规律性的。
速度较小的分子数目多，速度较大的分子数目少，符合高斯分布的特点。
这也就解释了为什么我们观察到的气体分子速度分布呈现出“钟形曲线”的形状。
其次是能量分布。
根据麦克斯韦波尔茨曼分布定律，粒子的能量分布也是符合一定规律的。
能量较低的粒子数目多，能量较高的粒子数目少。
这个定律的应用非常广泛，可以用来解释气体的热力学性质，如内能、压强等。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律的应用不仅限于理想气体，还可以推广到其他粒子系统。
例如，可以用来描述固体晶格中的声子的能量分布，以及等离子体中电子的能量分布等。
在这些系统中，粒子的速度分布和能量分布也会服从麦克斯韦波尔茨曼分布。
总结起来，麦克斯韦波尔茨曼分布定律是统计物理学中的一个重要定律，用于描述粒子在热平衡状态下的速度分布和能量分布。
它的应用范围广泛，可以解释气体分子速度分布、能量分布等现象。
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ii
Ng je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
按能级分布与按量子态分布
Nl
el /(kT )
N
q
q
eh /(kT )
h
3.粒子全同性的修正
平动能不能为零，必须有外部限制作用，才能 使粒子定域，所以不可能有独立的定域子，但 特定条件下，定域子可以简化为独立子（12.9 节）。定域子可以通过其所处位置与其他定域 子区分，不需要全同性修正。
gj Nj
N
j
N j Nj
ln
j
gj Nj
N
j
0
N
jNj
N
N
j
j
0
E
j jN j E
j
jN
j
0
拉格朗日未定乘数法
ln j
gj Nj
N
j
0
N
N
j
j
0
E
j
jN
j
0
j ln
gj Nj
j
N j
0
ln
g0 N0
0
N0
ln
g1 N1
1
N1
ln
ii
0, 1, 2,
Ng je j /(kT ) q
N e
( v 0 ) kT
N0
h
e kT
例：一维简谐振子的振动能 v
1 2
h 。一定温
度下已知处于振动第二激发能级的分子数与基态分
子数之比为0.01，则处于振动第一激发能级的分子
数与基态分子数之比是多少？
解：
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
e
xp
i
kT
j
6 1
e
xp
h2(14 3)
8m a2kT
6exp 0.1kT 11 1.99 kT
例1 设HCl分子可看作线型刚性转子，计算它在 300K时分子按转动能级的分布
解：
r J (J 1)h2 /(82 I )
J 0, 1, 2,
gr 2J 1
N j
12-5 麦克斯韦玻耳兹曼分布
1.独立子系统的三种最概然分布
麦克斯韦-玻耳兹曼分布（MB分布） 适用于由经典粒子组成的独立子系统。
同种粒子间相互可以区别。
玻色-爱因斯坦分布（BE分布） 适用于波函数为对称的粒子组成的独立子系统。
同种粒子间相互不可区别，多个粒子可以具有相同量子态。
费米-狄拉克分布（FD分布） 适用于波函数为反对称的粒子组成的独立子系统。
粒子可分辨时，微观状态数为 N !
Nj!
j
粒子可分辨时，在一量子态中有哪些粒子会对状态波函数
产生影响，粒子不可分辨时，由于波函数的对称性，不产
生影响，所以对于上述给定的量子态分布，不可辨粒子系
统的微观状态数为
1
了解一下，不作要求！
按能级分布
能
级 0 1 2 ··· j ···
能级简并度 g0 g1 g2 ··· g j ···
g2 N2
2
N2
ln
g3 N3
3
N3
L
ln
gj Nj
j N j L
0
拉格朗日未定乘数法
j ln
gj Nj
j
N j
0
ln
gj Nj
j
0
N
N
j
j
0
E
j
jN
j
0
j 0, 1, 2, 3,
N j, ,
求取未定乘数 和
ln
gj Nj
j
0
N j g jee j
6
用N!修正粒子的全同性过头了
当体系中粒子的密度非常低，且温度足够高，以致 没有两个粒子处于一个量子态上的情况出现，用N! 修正粒子的全同性就恰好不多不少。
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
ii
Ng je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
下关系： h2 8ma 2
0.1kT
，试计算平动量子数分别为1，
2， 3的能级与平动量子数分别为1，1，1的能级的粒子
分布数比值。
解：
1,2,3
h2 8ma
2
12 22 32
14h2 8ma 2
1,1,1
h2 8ma
2
12 12 12
3h2 8ma 2
Ni Nj
gi gj
ω
分布
N j
0 N j
N j j , g j
2.麦克斯韦-玻耳兹曼分布
求最概然分布
能
级 0 1 2 ··· j ···
能级简并度 g0 g1 g2 ··· g j ···
粒子分布数 N0 N1 N2 ··· N j ···
N!
(
gNj j
)
j N j!
求最概然分布
N!
N
q
q i giei
子配分函数
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
ii
Ng je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
条件 平衡，可分辨的独立子 能量形式不限
Nj/N
粒子处于j 能级的概率
g j 越大， N j / N 越大
j 越大， N j / N 越小
gi
)/
kT ] 1
了解一下，不作要求！
玻色-爱因斯坦凝聚 玻色-爱因斯坦分布
Ni
exp[( i
gi
)/
kT ] 1
N i 0 exp[( i ) / kT ] 1 i 0 0(基 态 )
温度下降，化学位上升，当化学位接近基态能级 时，N0 + ，系统中的粒子集中处于基态，这 也是一种相变，称为玻色-爱因斯坦凝聚，普通导 体到超导的转变、普通流体到超流的转变都可以 认为是系统发生了BE凝聚。
同种粒子间相互不可区别，粒子的量子态互不相同。
1.独立子系统的三种最概然分布
麦克斯韦-玻耳兹曼分布（MB分布）
适用于由可分辨粒子组成的独立子系统。
同种粒子间相互可以区别，经典粒子都是可分辨的。
修正：利用量子统计 ➢量子统计指建立在量子力学原理上的统计力学 方法，它区别于经典统计的关键在于量子力学的 基本假定之一：全同性原理。 ➢如果体系实际上由全同粒子构成，相互之间不 可分辨，就要对经典统计作出修正。真实世界是 量子的，所以真实气体中的同种分子都是不可分 辨的，全同性修正是必不可少的。
N
j N j e
j g je j
e N
j g je j
E
j N j j N
j g j je j
j g je j
玻耳兹曼常数
kR L
1 / (kT )
麦克斯韦–玻尔兹曼分布
e N
j g je j
N j gie e j
Ng je j i giei
Ng je j q
N j g je j
独立的离域子系统
N !
(
gNj j
)
j Nj!
温度不太低，密度不太高， 子的质量不太小 (gj>>Nj)
x
x( N ,E ,V )
N
!
x
(
N
,
E
,V
)
j
gNj j
N j ! x
gNj j
j N j!
x
x ( N ,E ,V )
x( N ,E ,V )
j
gNj j
N j ! x
例1 设HCl分子可看作线型刚性转子，计算它在 300K时分子按转动能级的分布
J N j / N0
0
1
1 2.71
3 3.80
6 1.54
例2 设I2可看作单维谐振子，计算I2蒸气分子在 300K时按振动能级的分布
解： v ( 1 / 2)h
gv 1
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
(
gNj j
)
j N j!
ln = lnN! j N jlng j j lnN j!
斯特林近似式 N 1时 ，ln N ! N ln N N
N!
2
N
N
N
exp(
N
)
1
1 12 N
1 288N 2
ln NlnN N j N jlng j j ( N jlnN j N j )
ii
Ng je j /(kT ) q
N
( v 0 )
e kT
h
e kT
N0
N2
2h
e kT
0.01
N0
N1
h
e kT
0.1
N0
了解一下，不作要求！
4.玻色-爱因斯坦分布和费米-狄拉克分布
按量子态分布
子量子态
0 1 2 … j …
能量
0 1 2 ··· j ···
某一时刻
N 0 N1 N 2 ··· N j ···
粒子分布数 N0 N1 N2 ··· N j ···
玻色-爱因斯坦统计 玻色-爱因斯坦分布 费米-狄拉克统计 费米-狄拉克分布
( N i gi 1)! i N i !( gi 1)!
Ni
exp[( i
gi
)/
kT ] 1
gi !
i N i !( gi N i )!