麦克斯韦速率分布
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§2[1].3麦克斯韦速率分布
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∫ vdN = v=
∞
2.方均根速率: v2 方均根速率: 方均根速率
v =
2
v2dN ∫ N
=
2
v2 Nf (v)dv ∫ N
= ∫ v2 f (v)dv =
0
∞
3kT 3RT = m µ
3kT 3RT RT v = = ≈1.73 . m µ µ
3.三种速率之比: v p : v : v 2 = 1 : 1.128 : 1.224 三种速率之比: 三种速率之比 它们三者之间相差不超过 23%,而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大 右图表示了麦克斯韦速率分布 中的三种速率的相对大小. 中的三种速率的相对大小. 在§1.6理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 证明中曾用到近似条件 v ≅ v 2
三.用麦克斯韦速率分布律求平均值
1.平均速率: 平均速率: 平均速率 (1)定义:大量分子速率的算术平均值. 定义:大量分子速率的算术平均值. 定义
(2)计算:* 计算:* 计算
由平均速率定义: 由平均速率定义:
∑ v ∆N v =
i
i
N
得:
∞ vNf (v)dv ∫0 N = ∫0 vf (v)dv N 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 8kT R 8RT RT v= ∵k = ∴v = ≈1.60 . πm NA πµ µ
l A S S ω B
φ P C
由于分子的速度大小不同,分子自 由于分子的速度大小不同,分子自B 到C 所需的时 间也不同,所以并非所有通过B 盘的分子,都能通过C 间也不同,所以并非所有通过 盘的分子,都能通过 盘狭缝射到P上 设分子的速率为v 盘狭缝射到 上.设分子的速率为 ,自B 到C 所需的时 间为 t ,
§2.3 麦克斯韦速率分布
• 麦克斯分布就可由上述量纲分析方法写出:
f
(v)
d
v
4
π (
2
m π kT
)3/ 2
exp
mv2 2k T
v2
d
v
（三）理想气体分子的平均速率、方均根速率、 最概然速率
• (1) 平均速率
v
0
vf (v) d v
0
4
π
2
m πk
T
3
/
2
v3
exp
mv2 2kT
d
v
利用附录2-1中的公式可得
§2.3.2 麦克斯韦速率分布
• （一）气体分子速率分布不同于分子束 中分子的速率分布。
（二）麦克斯韦速率分布
• 早在1859年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理想 气体分子在三个方向上做独立运动的假设导出了麦克 斯韦速率分布，其表达式如下：
f (v) d v 4 π(m)3/ 2来自mv2e 2kT
的概率.它等于曲线段下面的面积。
v2 v1
f (v) d v v2 v1
4
π ( 2
m π kT
)3/ 2
exp
mv2 2k T
v2
d
v
• 计算积分时，可利用教材中 附录2-1中的积分公式。
exp( ax2 ) x2 d x π a3/ 2
0
4
•整个曲线下的面积为
0
f (v) d v 0
• (4)概率密度取极大值时的速率称为最概然速率（也
称最可几速率），以 vp 表示。
• 我们只要记住麦克斯韦速率分布的函数形式为
Av2
exp
mv 2 2k T
f
(v)
d
v
4
π (
2
m π kT
)3/ 2
exp
mv2 2k T
v2
d
v
（三）理想气体分子的平均速率、方均根速率、 最概然速率
• (1) 平均速率
v
0
vf (v) d v
0
4
π
2
m πk
T
3
/
2
v3
exp
mv2 2kT
d
v
利用附录2-1中的公式可得
§2.3.2 麦克斯韦速率分布
• （一）气体分子速率分布不同于分子束 中分子的速率分布。
（二）麦克斯韦速率分布
• 早在1859年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理想 气体分子在三个方向上做独立运动的假设导出了麦克 斯韦速率分布，其表达式如下：
f (v) d v 4 π(m)3/ 2来自mv2e 2kT
的概率.它等于曲线段下面的面积。
v2 v1
f (v) d v v2 v1
4
π ( 2
m π kT
)3/ 2
exp
mv2 2k T
v2
d
v
• 计算积分时，可利用教材中 附录2-1中的积分公式。
exp( ax2 ) x2 d x π a3/ 2
0
4
•整个曲线下的面积为
0
f (v) d v 0
• (4)概率密度取极大值时的速率称为最概然速率（也
称最可几速率），以 vp 表示。
• 我们只要记住麦克斯韦速率分布的函数形式为
Av2
exp
mv 2 2k T
5麦克斯韦速率分布
2.平均速率
v
气体分子在各种速率的都有，那么 平均速率是多大呢？ 假设：速度为v1的分子有 N1 个， 速度为v2的分子有N 2 个， 平均速率为： v N1v1 N 2v2 N nvn N n
i 1
N i v i
N
§6. 麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用
N 解得：a 8v 0
a ( v 5 v 0 )dv N v0 NF ( v )
M
• 2）速率分布在2v03v0 间隔内的分子数N
N N FM ( v )dv
2 v0 3 v0 3 v0 2 v0
a
3 3adv 3av0 N 8
v0
v
§6. 麦克斯韦速率分布律/五.例题
§6. 麦克斯韦速率分布律/四.麦克斯韦速率分布律验证
例4：假想的气体分子，其速率分布如图 所示。当v>5v0时分子数为零。试求 1）根据N和v0，表示常数a的值； 2）速率在2v0到3v0间隔内的分子数； 3）分子的平均速率。
解：根据速率分布 曲线，速率分布可 表示为
NFM ( v )
3a 2a
§6. 麦克斯韦速率分布律/ 二、麦克斯韦速率分布规律
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他 的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的 经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版。 1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验 物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室， 1874年建成后担任这个实验室的第一任主任， 直到1879年11月5日在剑桥逝世。
2kT vp m
T1 T2
T2 T1
曲线的峰值右移, 由于曲线下面积 为1不变，所以峰 值降低。 o
麦克斯韦速率分布定律
麦克斯韦速率分布定律的说明说明：1> 条件：理想气体、平衡态2> 下式意义：对于曲线1，dv v v N dN dv v f +→=~)(这个区间内分子数dN 占总分子数N 的百分比。
对上式两端求积分v v f NN dv Ndv dN dv v f v v v v ∆≈∆==⎰⎰)()(2121，其物理意义是v 1到v 2这个速率区间内所含的分子数。
若取速率0~∞的积分归一化条件→===⎰⎰∞1)(0NN N dN dv v f N （曲线下的面积为1） 通过归一化条件可知，分布曲线并不一定是只有曲线1这一种分布，还可以有类似于曲线2这种分布，通过对比可知曲线峰值高的，速率区间宽度肯定会较窄，其原因就是两个曲线下的总面积都为1 。
三种特征速率1. 最可几速率p υ：由0)(=dv v df 、)(v f 最大值对应的v ，MRT M RT m kT v p 41.122≈==，其中m 为分子质量，M 为摩尔质量。
其物理意义：若把速率区间分成许多相等的区间，p υ所在的区间内分子数占总数的百分比最大。
需要注意：p υ不是最大速率，而是与分布曲线峰值对应的速率。
2. 平均速率v ：M RT M RT dv v vf N dN v N N v N N v N v v Niii 60.18)(02211≈===∆=+∆+∆=⎰⎰∑∞π ， 物理意义：在平衡状态下，气体分子速率的算术平均值，注意：平均速率不是平均速度。
因为分子都是作物规则的运动，所以其平均速度0=v 。
3. 方均根速率2v ：MRT M RT v 73.132≈=，物理意义：在平衡状态下，气体分子热运动速率的另一种统计平均值。
注意：22v v v v =∙≠，方均根速率是每个分子的速率平方后再累加求平均值。
4. 说明：1> 三种速率均由麦氏速率 分布率求得（理想气体 平衡态），2> 具有统计意义——属于大量分子整体，均正比与MRT ，且2v v v p <<。
麦克斯韦速率分布
2. 朗缪尔实验装置 v L
N
(总分子数 )
3. 实验原理
N
(v ~vv的分子数)
由于凹槽有一定宽度，因而速度选择器选择的不是某一个
速率大小，而是某一个速率范围：v ~ v+∆v
令N表示单位时间内穿过第一个凹槽进入速度选择器的总分子数 ，
∆N表示速率在v ~ v+∆v 范围的分子数，
⑵ 曲线下的细窄条面积
f (v)dv dN N
表示了分子出现在v ~ v+dv 区间段的概率
⑶ 曲线下v1 ~ v2 区间的阴影面积为：
vv12
f
(v)dv
vv12 4
(
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2dv
2 kT
2kT
表示分子速率处于v1 ~ v2 区间的概率
⑷ 对全部分子可出现的速率求和，即f(v)曲线下总面积：
这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的
19世纪伟大的英国 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 基人，气体动理论 的创始人之一。
《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。 •在气体动理论方面，他还提出气体分子
按速率分布的统计规律。
§2.3.1 分子射线束实验
用实验方法测定麦氏速率分布的实验有很多。 最早是德国物理 学家斯特恩于1920年做的银蒸气分子射线束实验。 后来不断改进， 包括1934年葛正权测定铋蒸汽分子速率分布，1955年精确验证麦氏 分布率的密勒·库士的铊蒸汽原子束实验。
dN dv N dv
例如，取 v 10m/s
ΔN /( NΔv) o
04麦克斯韦速率分布律
速率分布函数
速率分布函数的物理意义： 附近， 速率分布函数的物理意义：表示在速率 v 附近，单位 速率区间内分子出现的概率， 速率区间内分子出现的概率，或单位速率区间内分子 数占总分子数的百分比。 数占总分子数的百分比。
由于全部分子百分之百地分布在由0到 由于全部分子百分之百地分布在由 到∞的整个速率范 围内， 取v = 0, v → ∞, 则有 : 围内， 1 2 ∞ N dN 归一化条件
dNv m 2 −mv2 2kT 2 π =4 v dv e N π 2 kT
3 2
麦克斯韦速率分布函数
m π f (v) = 4 e π 2 kT
−m 2 v
2kT 2
v
6
讨论： 讨论： 1. f(v)~v曲线 曲线
v = 0时 f (v) = 0 v → ∞时 f (v) → 0
M
∆N1v1 + ∆N 2 v2 + L + ∆N N v N n ∆N ivi 平均速率： 平均速率：v = =∑ i =1 N N N vdN ∞ dN Q = f (v) dv ∴ v = ∫ vf (v)dv v = ∫1 0 N N 11
v = ∫ vf (v)dv = ∫0
利用积分公式 ∫
麦克斯韦速率分布率
1
气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完 全是偶然的，但就大量分子的整体来看， 全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条 件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 这个规律也叫麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布律。 这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。
∆N N∆v
4. ∆v → dv 速率间隔很小， 速率间隔很小， 该区间内分子数为dN， 该区间内分子数为 ， 在该速率区间内分子的概率
2.3麦克斯韦速率分布
S
o
v1 v2
v2
v
v2
N ( v1 v2 ) S N
v2
v1
F ( v)dv
速率位于 v1 v2 内分子数
N
v1
NF (v)dv N F (v)dv
v1
0
NF ( v)dv = N F ( v)dv N
0
二、麦克斯韦速率分布 说明：真空加热炉中金属分子蒸汽的速率分布f(v)dv 与从真空 加热炉壁小孔溢出的分子束中的分子速率分布F(v)dv 并非一 回事， 前者为“静态”的速率分布，后者为“动态”的速率分 布，但可以证明：
v N 2rms 508m / s v H 2rms 1900m / s
2.根据分子平均速率可以研究早期星系原始 大气。 根据万有引力定律，分子摆脱地球引力的最小速度vmin ：
GM E m GM E 1 2 mvmin 0 若 g 2 2 RE RE
8RT v M
vmin 2 gRE 11.2 10 m/s
2 2
ve
ve
原始地球大气为氢气和氦气，而如今氢气的体积百分含量仅占 5×10-5 %，说明H2易脱离（K值较小），而N2的K=22，可以长留， 但N2在地球上的来源不是很清楚。物理学不只是研究地球气体成 分，还研究其它星体成分。
麦克斯韦速率分布可以用于 定性分析行星原始大气组成， 但仅是定性分析而已。
m f (v)d v 4π( ) e 2πkT
3 2 mv2 2 kT
v2 d v
麦克斯韦速率分布 f(v)dv 反映理想气体在热动平衡条件下， 各速率区间分子数占总分数的百分比的规律。 分子速率分布概率密度 f(v) 与处 于平衡态的温度及分子种类有关， 函数曲线大致如右图所示：
麦克斯韦速率分布
一般气体、液体、固体及在恒定外场中的经典系统，
只要系统的能量可写成：
分子的动量分量
E
3N
i 1
Pi2 2m
U
(q1 , q2 ,
qi
,
)
广义坐标
分子间相互作用的能量及在外场中的势能之和
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年 在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中导 出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦速率分布律。
但由前面 u2 u2 知，vrms v 总成立
例1．速率分布函数 f 的v物理意义为：
（Ａ）具有速率v 的分子占总分子数的百分比． （Ｂ）速率分布在v 附近的单位速率间隔中的
分子数占总分子数的百分比．
（Ｃ）具有速率v 的分子数． （Ｄ）速率分布在 v 附近的单位速率间隔中
的分子数．
3
)2
exp(
m1v12 2kT
)
v12dv1
注意
dN 2 N2
f (v2 )dv2
4
(
m2
2 kT
3
)2
exp(
m2v22 2kT
)
v22dv2
混合气中各组分的麦氏分布率不一样，但有一点一定相同：
混合气达到平衡后，各组分的温度T必然相同。
7. 统计物理证明，麦氏分布率不仅适用于理气，也适用于
速率分布函数为：
麦克斯韦速率分布概率密度
f (v) 4 (
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2
2 kT
2kT
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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v(m/s)
o
500 1000
不同温度下，氧气分子的速率分布曲线
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7
5.5 麦克斯韦速率分布
f (v )
O2 N2
2 RT vp M
o
v
同一温度下、不同气体分子的速率分布曲线
前页 后页 目录
8
5.5 麦克斯韦速率分布
(2)平均速率
v 0
0
N
vdN N
dN f (v )dv N
f (v ) 取极大值的速率
df ( v ) 0 dv
2kT 2 RT RT vp 1.41 m0 M M
得
意义：速率在vp附近的单位速率区间的分子数占总 分子数的比率最大。 某一分子处于速率vp附近的概率最大。
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6
5.5 麦克斯韦速率分布
f (v )
73K 273K
2 RT vp M
0
f (v )dv 1
前页 后页 目录
3
5.5 麦克斯韦速率分布
速率分布曲线下面积的物理意义
v1
v2
N f (v )dv N
f (v )
速率在v1~v2之间 的分子数占总分子数 的比率。
dN f (v )dv N
0
f (v )dv 1
总面积为1
o
v1 v2
v
前页 后页 目录
p n0
m gz 0 kTe kT
p0 RT z ln( ) gM p
本节完
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12
5.5 麦克斯韦速率分布
5.5 麦克斯韦速率分布
一. 分子速率的实验测定 G v dv d v
M
2R t v
dv 2 R
v
2 R
葛正权实验装置
前页 后页 目录
1
2
d
5.5 麦克斯韦速率分布
二. 速率分布函数 v~v+dv的分子数 占总分子数的比率
dN N 或某一分子处于 v~v+dv 的概率
f (v )
f (v )
o
v
v dv
v
dN f (v ) Ndv
速率分布曲线
前页 后页 目录
2
5.5 麦克斯韦速率分布
速率分布函数 （概率密度）
dN f (v ) Ndv
dN f (v )dv N
物理意义：v附近单位速率区间的分子数占总 分子数的比率。 或某一分子处于速率v附近的概率。 归一化条件
4
5.5 麦克斯韦速率分布
三. 麦克斯韦速率分布函数
3 m0 v 2 2 2 kT 2 e v
m0 f (v ) 4 π 2 π kT
式中m0 是分子质量，T 是热力学温度，k 是 玻尔兹曼常数。 麦克斯韦速率分布曲线
前页 后页 目录
5
5.5 麦克斯韦速率分布
(1)最概然速率 令
v f (v )dv
v
8kT RT 8 RT 1.60 π m0 M πM
前页 后页 目录
9
5.5 麦克斯韦速率分布
(3)方均根速率
v
2
0
N
v 2d N N
f (v )dv
2 v 0
3kT RT 3 RT v 1.73 m0 M M
2
前页 后页 目录
10
5.5 麦克斯韦速率分布
f (v )
vp v v
2
o
vp v
v
2
v
三个速率统计值比较前页 后页 目录11来自5.5 麦克斯韦速率分布
四. 玻尔兹曼分布
F ( x) e
E kT
重力场中分子的数密度
气体压强随高度的变化
n n0
m gz 0 e kT
p p0e
Mgz RT
p nkT