麦克斯韦速率分布函数
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§2[1].3麦克斯韦速率分布
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∫ vdN = v=
∞
2.方均根速率: v2 方均根速率: 方均根速率
v =
2
v2dN ∫ N
=
2
v2 Nf (v)dv ∫ N
= ∫ v2 f (v)dv =
0
∞
3kT 3RT = m µ
3kT 3RT RT v = = ≈1.73 . m µ µ
3.三种速率之比: v p : v : v 2 = 1 : 1.128 : 1.224 三种速率之比: 三种速率之比 它们三者之间相差不超过 23%,而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大 右图表示了麦克斯韦速率分布 中的三种速率的相对大小. 中的三种速率的相对大小. 在§1.6理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 证明中曾用到近似条件 v ≅ v 2
三.用麦克斯韦速率分布律求平均值
1.平均速率: 平均速率: 平均速率 (1)定义:大量分子速率的算术平均值. 定义:大量分子速率的算术平均值. 定义
(2)计算:* 计算:* 计算
由平均速率定义: 由平均速率定义:
∑ v ∆N v =
i
i
N
得:
∞ vNf (v)dv ∫0 N = ∫0 vf (v)dv N 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 8kT R 8RT RT v= ∵k = ∴v = ≈1.60 . πm NA πµ µ
l A S S ω B
φ P C
由于分子的速度大小不同,分子自 由于分子的速度大小不同,分子自B 到C 所需的时 间也不同,所以并非所有通过B 盘的分子,都能通过C 间也不同,所以并非所有通过 盘的分子,都能通过 盘狭缝射到P上 设分子的速率为v 盘狭缝射到 上.设分子的速率为 ,自B 到C 所需的时 间为 t ,
5麦克斯韦速率分布
2.平均速率
v
气体分子在各种速率的都有，那么 平均速率是多大呢？ 假设：速度为v1的分子有 N1 个， 速度为v2的分子有N 2 个， 平均速率为： v N1v1 N 2v2 N nvn N n
i 1
N i v i
N
§6. 麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用
N 解得：a 8v 0
a ( v 5 v 0 )dv N v0 NF ( v )
M
• 2）速率分布在2v03v0 间隔内的分子数N
N N FM ( v )dv
2 v0 3 v0 3 v0 2 v0
a
3 3adv 3av0 N 8
v0
v
§6. 麦克斯韦速率分布律/五.例题
§6. 麦克斯韦速率分布律/四.麦克斯韦速率分布律验证
例4：假想的气体分子，其速率分布如图 所示。当v>5v0时分子数为零。试求 1）根据N和v0，表示常数a的值； 2）速率在2v0到3v0间隔内的分子数； 3）分子的平均速率。
解：根据速率分布 曲线，速率分布可 表示为
NFM ( v )
3a 2a
§6. 麦克斯韦速率分布律/ 二、麦克斯韦速率分布规律
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他 的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的 经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版。 1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验 物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室， 1874年建成后担任这个实验室的第一任主任， 直到1879年11月5日在剑桥逝世。
2kT vp m
T1 T2
T2 T1
曲线的峰值右移, 由于曲线下面积 为1不变，所以峰 值降低。 o
麦克斯韦速率分布
2. 朗缪尔实验装置 v L
N
(总分子数 )
3. 实验原理
N
(v ~vv的分子数)
由于凹槽有一定宽度，因而速度选择器选择的不是某一个
速率大小，而是某一个速率范围：v ~ v+∆v
令N表示单位时间内穿过第一个凹槽进入速度选择器的总分子数 ，
∆N表示速率在v ~ v+∆v 范围的分子数，
⑵ 曲线下的细窄条面积
f (v)dv dN N
表示了分子出现在v ~ v+dv 区间段的概率
⑶ 曲线下v1 ~ v2 区间的阴影面积为：
vv12
f
(v)dv
vv12 4
(
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2dv
2 kT
2kT
表示分子速率处于v1 ~ v2 区间的概率
⑷ 对全部分子可出现的速率求和，即f(v)曲线下总面积：
这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的
19世纪伟大的英国 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 基人，气体动理论 的创始人之一。
《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。 •在气体动理论方面，他还提出气体分子
按速率分布的统计规律。
§2.3.1 分子射线束实验
用实验方法测定麦氏速率分布的实验有很多。 最早是德国物理 学家斯特恩于1920年做的银蒸气分子射线束实验。 后来不断改进， 包括1934年葛正权测定铋蒸汽分子速率分布，1955年精确验证麦氏 分布率的密勒·库士的铊蒸汽原子束实验。
dN dv N dv
例如，取 v 10m/s
ΔN /( NΔv) o
大学物理麦克斯韦分子速率分布定律资料
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
11
例: 设有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0 0
)
0 0 0
求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根；
(3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3
之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图
2 1300
N
dN
0
3 Nf ( )d
0
0 3
0
N
6
3 0
(0
)d
7N 27
13
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~0 3
0
3 dN
0 0
0 3
0
N
6 v03
2
(
0
)d
30
7N 27
14
3 dN 0
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率
的计算是
2f ( )d
1~2
1
2 f ( )d
1
而非
1 ~2
2f ( )d
1
14
作业题
设. 有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
f
v
Av 30 v
0
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率
（3）N个粒子的平均速率 v
15
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。
只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
11
例: 设有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0 0
)
0 0 0
求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根；
(3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3
之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图
2 1300
N
dN
0
3 Nf ( )d
0
0 3
0
N
6
3 0
(0
)d
7N 27
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(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~0 3
0
3 dN
0 0
0 3
0
N
6 v03
2
(
0
)d
30
7N 27
14
3 dN 0
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率
的计算是
2f ( )d
1~2
1
2 f ( )d
1
而非
1 ~2
2f ( )d
1
14
作业题
设. 有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
f
v
Av 30 v
0
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率
（3）N个粒子的平均速率 v
15
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。
只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
7-(4-5)麦克斯韦速率分布
(1) 不同温度下的同种气体
f (v)
T 1
T2 > T 1
T2
v
T > T2 , orT < T2 ? 1 1
vp1 = 2RT 1
vp1 vp2
2RT2
µ
vp2 =
µ
vp1 < vp2
T < T2 1
第六章 气体动理学理论 (2) 同温度下的不同种气体
f (v)
O2 , H2 ?
1
2RT
2
v
vp1 vp2
对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下，气体分子速率 出现在v附近 单位速率区间内的分子数dN 附近、 出现在 附近、单位速率区间内的分子数
说出下列各式的物理意义
第六章 气体动理学理论
(4)∫ f (v)dv= ∫
v1
v2
v2
v1
∆Nv1 →v2 dN dv = Ndv N
对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率 占总分子数N的百分比 概率 概率)。 v1～v2区间内的分子数△N占总分子数 的百分比 (概率 。 占总分子数
(5)∫ Nf (v)dv = ∫
v1
v2
dN N = ∆Nv1→v2 N
对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下，气体分子速率 v1～v2区间内的分子数△N。 。
一、分子速率分布函数
速率分布： 速率分布：各种不同速率范围内的分子数占总分子数的 百分比为多大。 百分比为多大。
伽 耳 顿 板
第六章 气体动理学理论
f (v)
T 1
T2 > T 1
T2
v
T > T2 , orT < T2 ? 1 1
vp1 = 2RT 1
vp1 vp2
2RT2
µ
vp2 =
µ
vp1 < vp2
T < T2 1
第六章 气体动理学理论 (2) 同温度下的不同种气体
f (v)
O2 , H2 ?
1
2RT
2
v
vp1 vp2
对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下，气体分子速率 出现在v附近 单位速率区间内的分子数dN 附近、 出现在 附近、单位速率区间内的分子数
说出下列各式的物理意义
第六章 气体动理学理论
(4)∫ f (v)dv= ∫
v1
v2
v2
v1
∆Nv1 →v2 dN dv = Ndv N
对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率 占总分子数N的百分比 概率 概率)。 v1～v2区间内的分子数△N占总分子数 的百分比 (概率 。 占总分子数
(5)∫ Nf (v)dv = ∫
v1
v2
dN N = ∆Nv1→v2 N
对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下，气体分子速率 v1～v2区间内的分子数△N。 。
一、分子速率分布函数
速率分布： 速率分布：各种不同速率范围内的分子数占总分子数的 百分比为多大。 百分比为多大。
伽 耳 顿 板
第六章 气体动理学理论
大学物理04麦克斯韦速率分布律
子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算分子 的平均平动动能时，要用到方均根速率。
第13页/共13页
13
3
f v 4 m 2 emv2 2kT v2
2kT
第5页/共13页
5
讨论：
1. f(v)~v曲线
v 0时 f (v) 0 v 时 f (v) 0
3
f v 4 m 2 emv2 2kT v2
2kT
2.在 dv 速率区间内分子出现的概率
3
f (v) dN Ndv
f (v)dv dN 4 m 2 emv2 2kT v2dv N 2kT
例如速率间隔取100m/s , 整个速率分为0—100；100—200；…等区间。
2.总分子数为N，在v v v区间内的分子数为N
在v
v
v区间内的概率为N 第1页/共13页
i
/
N
1
2.总分子数为N，在v v v区间内的分子数为N
在v v v区间内的概率为 N i / N
则可了解分子按速率分布的情况。
式：
g (v )
0
g(v)f (v)dv
利用此公式还可计算分子的方均根速率、分子的平均
平动动能等。
第11页/共13页
11
3.方均根速率 v 2
利用方均根速率可计算分子的平均平动动能。利 用计算统计平均值公式：
g(v
)
0
g(v)f (v)dv
v 2 0 v 2 f (v )dv
利用广义积分公式
0
x
围内， 取v1 0, v2 ,则有 :
f (v)dv
0
N dN 1 0
N 第3页/共13页
归一化条件
第13页/共13页
13
3
f v 4 m 2 emv2 2kT v2
2kT
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5
讨论：
1. f(v)~v曲线
v 0时 f (v) 0 v 时 f (v) 0
3
f v 4 m 2 emv2 2kT v2
2kT
2.在 dv 速率区间内分子出现的概率
3
f (v) dN Ndv
f (v)dv dN 4 m 2 emv2 2kT v2dv N 2kT
例如速率间隔取100m/s , 整个速率分为0—100；100—200；…等区间。
2.总分子数为N，在v v v区间内的分子数为N
在v
v
v区间内的概率为N 第1页/共13页
i
/
N
1
2.总分子数为N，在v v v区间内的分子数为N
在v v v区间内的概率为 N i / N
则可了解分子按速率分布的情况。
式：
g (v )
0
g(v)f (v)dv
利用此公式还可计算分子的方均根速率、分子的平均
平动动能等。
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3.方均根速率 v 2
利用方均根速率可计算分子的平均平动动能。利 用计算统计平均值公式：
g(v
)
0
g(v)f (v)dv
v 2 0 v 2 f (v )dv
利用广义积分公式
0
x
围内， 取v1 0, v2 ,则有 :
f (v)dv
0
N dN 1 0
N 第3页/共13页
归一化条件
麦克斯韦速率分布函数的物理意义
速率分布函数[1]是一个描述分子运动速率分布状态的函数。
一个符合玻尔兹曼分布的粒子体系，如理想气体，其体系中粒子运动速率的分布可以用如下的速率分布函数来描述：通常速率分布函数也采用依动量和依动能分布的形式，虽然形式上有所不同但因为动量动能和速率的相关关系，这些表达方式本质上和依速率表示的速率分布函数还是一样的在处理某些特殊体系的情况下可能会用到二维和一维的速率分布函数，如固体表面吸附的理想气体就可以看做是在二维平面上运动的一个二维独立粒子体系，当处理这个体系有关分子运动速率的问题的时候就要用到二维速率分布函数在平衡状态下,当分子的相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间v～v+△v间的分子数dN占总分子数N的比率（或百分比）为dN / N .dN / N是v 的函数,在不同速率附近取相等的区间,此比率一般不相等.当速率区间足够小时（宏观小,微观大）,dN / N 还应与区间大小成正比：其中f(v)是气体分子的速率分布函数.分布函数f(v)的物理意义是：速率在v 附近,单位速率区间的分子数占总分子数的比率.分布函数f(v)满足归一化条件：大量分子的系统处于平衡态时,可以得到速率分布函数的具体形式：式中T是热力学温度,m为分子质量,k为玻尔兹曼常数.上式就是麦克斯韦速率分布律.麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布,也是它的最概然分布.大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态,其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布,其根源在于分子间的频繁碰撞.上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)示意图,曲线下面宽度为dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N .我们可以看到：同一种理想气体在平衡状态下,温度升高时速率分布曲线变宽、变平坦,但曲线下的总面积不变.随着温度的升高,速率较大的分子在分子总数中的比率增大.同一温度下,分子质量m越小,曲线越宽越平坦,在分子总数中速率较大的分子所占比率越高.。
麦克斯韦速率分布函数
当 x 很大时，可以 使用教科书 105 页给 出的渐近展开式进行 计算，但要注意式中 的 (x)1/2 有误，应该 改为1/2x后再计算。
七、在计算分子 通量的公式中应 用类比法的实例
类比法是一种在科学研究 中常用的逻辑推理方法。使 用类比法时，根据两类对象 之间在某些方面的相似或相 同，来推出它们在其他方面 也可能相似或相同。
由此可得：
vpf(vp)=41/2e1 =常量。
这是一条双曲线 的方程。
用麦克斯韦速率分 布函数的约化形式来 求速率分布曲线出现 极大值的点的轨迹， 似乎更简便。
x=v/vp， dx/dv=1/vp. f(v)=F(x)dx/dv
=F(x)/vp =41/2x2 exp(x2)/vp.
f(vp)=F(1)/vp =41/2e1/vp.
的函数，记为f(t)，即
f(t) = dS/dt.
(2)
这就是质点在运动中 所通过的路程对于时间 的分布函数，或者称为 时间分布函数； (2) 式 的图像就是时间分布曲 线。
f(t)表示在时间 t 附近的dt间 隔内，平均每单位时间间隔内 质点在运动中所通过的路程。 有时为了叙述的简便，在不致 引起误解的前提下，常常就说 f(t)表示在时间 t 附近的单位时 间间隔内质点在运动中所通过 的路程。
时间分布函数给出了质点 在运动过程中所通过的路程 对于时间的分布情况的具体 图像。由此可见，f(t)其实就 是质点运动在t时刻的瞬时速 率，因而 f(t)－t 这条时间分 布曲线正是力学中熟知的速 率－时间曲线。
通过以上的讨论可 以看出，热学中的速 率分布曲线与力学中 质点运动的速率－时 间曲线之间存在着颇 为相似的情况。
f(v).
三、速率分布函 数类比质点运动 中的时间分布函 数
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说明
(1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。
(2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用。
(3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能很好的符合。
2. 麦克斯韦速率分布曲线
·由图可见，气体中 速率很小、速率很 大的分子数都很少。
vp~vp+Δv 区间内的分子数与温度 T成反比( 设Δv 很小)
证 将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有
f (v ) 4π ( )3/ 2 ev2 / 2kTv 2
2π kT
4 π
v p3ev 2
v /v
2 p
2
f (v p )
v v0 的分子数与总分子数的比率为
N N
v0a
v0
2 3v0
2 3
因此，v>v0 的分子数为 ( 2N/3 )
N 2 N 3
同理 v<v0 的分子数为 ( N/3 )
例 根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值 (1) 。 v
解 根据平均值的定义，速率倒数的平均值为
(1)
v1
N
·曲线下面的总面积， 等于分布在整个速
f(v) T
率范围内所有各个
速率间隔中的分子
数与总分子数的比
率的总和
O
vp
v
( 速率分布曲线 )
f (v )dv 1 (归一化条件)
0
·最概然速率v p
f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率
·不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系
f(v) T
·在dv 间隔内, 曲线下 的面积表示速率分布
O
vv·1 v·＋vd2v
v
在v～v+ dv 中的分子
( 速率分布曲线 )
数与总分子数的比率
f (v)dv dN N
·在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间
的分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
例如气体分子按速率的分布
速率
v1 ～ v2 v2 ～ v3 … vi ～ vi +Δv
…
分子数按速率
的分布
ΔN1
ΔN2
…
ΔNi
…
分子数比率 按速率的分布 ΔN1/N
ΔN2/N
…
ΔNi/N
…
｛ ΔNi ｝就是分子数按速率的分布
二. 速率分布函数 f(v) 设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区
RT 2 103
1000 m/s
(v p )H2
RT 103
1.41103m/s
( v 2 )H2
3RT M
1.73103m/s
f (v)
He H2
O 1000
v (m/s)
例 有N 个粒子，其速率分布函数为
f (v)
av v0 0 v v0
a
v0 v 2v0
由于曲线下的面积不变,由此可见 ① μ 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动 ② T 一定, μ 越大, v p 越小, 这时曲线向左移动
f(v) T1
T2(> T1)
f(v) μ2(> μ1) μ1
O
v p1 v p2
vO
v p2 v p1
v
五. 分子速率的三种统计平均值
1. 平均速率
0
v 2v0
求 (1) 作速率分布曲线并求常数 a
(2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数
解 (1) 由归一化条件得
f (v )
a
v0 av dv 2v0 adv 1
0 v0
v0
1v 2
0a
v0a
1
a 2 3v 0
O v0
2v 0 v
(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 与总分子数的比率，所以
1 f (v )dv
4π (
)3
/
2
e
2kT
v
2
vdv
v 0v
0 2π kT
4π (
)3/ 2 ( kT )
v
e 2kT
2
d(
v
2
)
2π kT
0
2kT
2 π μ 4 4
π kT 8kT π π v
例 根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率
v
v
dN N
1 N
0 v Nf
(v )dN
v
v
f
(v )dN
8kT 1.59
RT
0
π
M
式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量
k
R N0
8.31 6.022 1023
1.381023 J/K
思考：
v 2 vf
v1
(v )dv
是否表示在v1
~v2 区间内的平均速率
·讨论分子的平均平动动 O
vp v
v
能用 v 2
v2
(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: v 2 v v p
例 氦气的速率分布曲线如图所示.
求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
解 (2) v p
2RT M
通过改变角速度ω的大小，
选择速率v
(3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间
v
L 2
v
(4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率
下的分子数
四. 麦克斯韦速率分布定律
1. 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下分子的速率分布函数
f (v ) 4 ( )3/ 2v 2ev2 / 2kT ( 麦克斯韦速率分布函数 )
2π kT
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
k = 1.38×10-23 J / K
理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间
内的分子数与总分子数的比率为
dN f (v )dv 4π ( )3/ 2v 2ev2 / 2kT dv
N
2π kT
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律
？
2. 方均根速率
v 2
v
2
f
(v )dv
3kT
0
μ
3. 最概然速率
v2
3kT 1.73 RT
μ
M
df (v ) 0 dv v v p
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
M
M
说明 f(v)
(1) 一般三种速率用途各
不相同
T
·讨论速率分布一般用 v p ·讨论分子的碰撞次数用 v
间内分子数的比率为
dN N
f
(v ) dv
f(v) 称为速率分布函数
f (v) dN Ndv
意义： 分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总
分子数的比率。
三. 气体速率分布的实验测定
1. 实验装置 2. 测量原理
(1) 能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件
L v
v L