麦克斯韦速率分布函数资料教程
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§2.3 麦克斯韦速率分布
• 麦克斯分布就可由上述量纲分析方法写出:
f
(v)
d
v
4
π (
2
m π kT
)3/ 2
exp
mv2 2k T
v2
d
v
（三）理想气体分子的平均速率、方均根速率、 最概然速率
• (1) 平均速率
v
0
vf (v) d v
0
4
π
2
m πk
T
3
/
2
v3
exp
mv2 2kT
d
v
利用附录2-1中的公式可得
§2.3.2 麦克斯韦速率分布
• （一）气体分子速率分布不同于分子束 中分子的速率分布。
（二）麦克斯韦速率分布
• 早在1859年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理想 气体分子在三个方向上做独立运动的假设导出了麦克 斯韦速率分布，其表达式如下：
f (v) d v 4 π(m)3/ 2来自mv2e 2kT
的概率.它等于曲线段下面的面积。
v2 v1
f (v) d v v2 v1
4
π ( 2
m π kT
)3/ 2
exp
mv2 2k T
v2
d
v
• 计算积分时，可利用教材中 附录2-1中的积分公式。
exp( ax2 ) x2 d x π a3/ 2
0
4
•整个曲线下的面积为
0
f (v) d v 0
• (4)概率密度取极大值时的速率称为最概然速率（也
称最可几速率），以 vp 表示。
• 我们只要记住麦克斯韦速率分布的函数形式为
Av2
exp
mv 2 2k T
f
(v)
d
v
4
π (
2
m π kT
)3/ 2
exp
mv2 2k T
v2
d
v
（三）理想气体分子的平均速率、方均根速率、 最概然速率
• (1) 平均速率
v
0
vf (v) d v
0
4
π
2
m πk
T
3
/
2
v3
exp
mv2 2kT
d
v
利用附录2-1中的公式可得
§2.3.2 麦克斯韦速率分布
• （一）气体分子速率分布不同于分子束 中分子的速率分布。
（二）麦克斯韦速率分布
• 早在1859年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理想 气体分子在三个方向上做独立运动的假设导出了麦克 斯韦速率分布，其表达式如下：
f (v) d v 4 π(m)3/ 2来自mv2e 2kT
的概率.它等于曲线段下面的面积。
v2 v1
f (v) d v v2 v1
4
π ( 2
m π kT
)3/ 2
exp
mv2 2k T
v2
d
v
• 计算积分时，可利用教材中 附录2-1中的积分公式。
exp( ax2 ) x2 d x π a3/ 2
0
4
•整个曲线下的面积为
0
f (v) d v 0
• (4)概率密度取极大值时的速率称为最概然速率（也
称最可几速率），以 vp 表示。
• 我们只要记住麦克斯韦速率分布的函数形式为
Av2
exp
mv 2 2k T
5麦克斯韦速率分布
2.平均速率
v
气体分子在各种速率的都有，那么 平均速率是多大呢？ 假设：速度为v1的分子有 N1 个， 速度为v2的分子有N 2 个， 平均速率为： v N1v1 N 2v2 N nvn N n
i 1
N i v i
N
§6. 麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用
N 解得：a 8v 0
a ( v 5 v 0 )dv N v0 NF ( v )
M
• 2）速率分布在2v03v0 间隔内的分子数N
N N FM ( v )dv
2 v0 3 v0 3 v0 2 v0
a
3 3adv 3av0 N 8
v0
v
§6. 麦克斯韦速率分布律/五.例题
§6. 麦克斯韦速率分布律/四.麦克斯韦速率分布律验证
例4：假想的气体分子，其速率分布如图 所示。当v>5v0时分子数为零。试求 1）根据N和v0，表示常数a的值； 2）速率在2v0到3v0间隔内的分子数； 3）分子的平均速率。
解：根据速率分布 曲线，速率分布可 表示为
NFM ( v )
3a 2a
§6. 麦克斯韦速率分布律/ 二、麦克斯韦速率分布规律
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他 的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的 经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版。 1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验 物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室， 1874年建成后担任这个实验室的第一任主任， 直到1879年11月5日在剑桥逝世。
2kT vp m
T1 T2
T2 T1
曲线的峰值右移, 由于曲线下面积 为1不变，所以峰 值降低。 o
麦克斯韦速率分布
2. 朗缪尔实验装置 v L
N
(总分子数 )
3. 实验原理
N
(v ~vv的分子数)
由于凹槽有一定宽度，因而速度选择器选择的不是某一个
速率大小，而是某一个速率范围：v ~ v+∆v
令N表示单位时间内穿过第一个凹槽进入速度选择器的总分子数 ，
∆N表示速率在v ~ v+∆v 范围的分子数，
⑵ 曲线下的细窄条面积
f (v)dv dN N
表示了分子出现在v ~ v+dv 区间段的概率
⑶ 曲线下v1 ~ v2 区间的阴影面积为：
vv12
f
(v)dv
vv12 4
(
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2dv
2 kT
2kT
表示分子速率处于v1 ~ v2 区间的概率
⑷ 对全部分子可出现的速率求和，即f(v)曲线下总面积：
这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的
19世纪伟大的英国 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 基人，气体动理论 的创始人之一。
《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。 •在气体动理论方面，他还提出气体分子
按速率分布的统计规律。
§2.3.1 分子射线束实验
用实验方法测定麦氏速率分布的实验有很多。 最早是德国物理 学家斯特恩于1920年做的银蒸气分子射线束实验。 后来不断改进， 包括1934年葛正权测定铋蒸汽分子速率分布，1955年精确验证麦氏 分布率的密勒·库士的铊蒸汽原子束实验。
dN dv N dv
例如，取 v 10m/s
ΔN /( NΔv) o
麦克斯韦速率分布函数
M
M
说明
(1) 一般三种速率用途各 不相同
f(v) T
·讨论速率分布一般用 v p ·讨论分子的碰撞次数用 v
·讨论分子的平均平动动 O
vp v
v
能用 v 2
v2
(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: v 2 v v p
例 氦气的速率分布曲线如图所示.
求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
1 f (v )dv
4π (
)3
/
§6-5 麦克斯韦速率分布律
一. 分布的概念
·问题的提出
气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞 不断地改变， 不可能逐个加以描述。
·分布的概念
例如学生人数按年龄的分布
年龄 人数按年龄的分布 人数比率按年龄的分布
15 ~16 2000 20%
17 ~18 3000 30%
19 ~20 4000 40%
1.381023 J/K
思考：
v 2 vf
v1
(v )dv
是否表示在v1
~v2 区间内的平均速率
？
2. 方均根速率
v 2
v
2
f
(v )dv
3kT
0
μ
3. 最概然速率
v2
3kT 1.73 RT
μ
M
df (v ) 0 dv v v p
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
2π kT
k = 1.38×10-23 J / K
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
经典：第四讲-速度分布函数-麦克斯韦速率
速率v的函数，称为速率分布函数。
f (v) dN Ndv
速率分布函数
理解分布函数的几个要点：
1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的； 2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv；
3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。
8
物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数
• dN/N 是 v 的函数； •当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与
区间大小成正比。
为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即 dN ，这样，比
Ndv
值 dN
Ndv
就反映出了分布随速率v的改变而改变。为此我们规定；
7
定义：处于一定温度下的气体，分布在速率v附近的
单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是
(2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
解 (2)
vp
2RT
M
RT 2 103
1000
m/s
RT
f(v)
(v p )H2 103
1.41 103 m/s
( v 2 )H2
3RT M
1.73103 m/s
He H2
1000
v
29
例2 有N 个粒子，其速率分布函数为
f (v )
(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内 的分子与总分子数的比率，所以
v v0 的分子数与总分子数的比率为
N
N
v0a
v0
2 3v 0
2 3
N 2 N
3
因此， v>v0 的分子数为 ( 2N/3 ) f (v )
f (v) dN Ndv
速率分布函数
理解分布函数的几个要点：
1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的； 2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv；
3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。
8
物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数
• dN/N 是 v 的函数； •当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与
区间大小成正比。
为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即 dN ，这样，比
Ndv
值 dN
Ndv
就反映出了分布随速率v的改变而改变。为此我们规定；
7
定义：处于一定温度下的气体，分布在速率v附近的
单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是
(2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
解 (2)
vp
2RT
M
RT 2 103
1000
m/s
RT
f(v)
(v p )H2 103
1.41 103 m/s
( v 2 )H2
3RT M
1.73103 m/s
He H2
1000
v
29
例2 有N 个粒子，其速率分布函数为
f (v )
(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内 的分子与总分子数的比率，所以
v v0 的分子数与总分子数的比率为
N
N
v0a
v0
2 3v 0
2 3
N 2 N
3
因此， v>v0 的分子数为 ( 2N/3 ) f (v )
麦克斯韦气体速率分布函数
设总粒子数为N，粒子速度在x,y,z三个方向的分量分别为v(x),v(y),v(z)。
(1)以dNv(x)表示速度分量v(x)在v(x)到v(x)+dv(x)之间的粒子数，则一个粒子在此dv(x)区间出现的概率为dNv(x)/N。
粒子在不同的v(x)附近区间dv(x)内出现的概率不同，用分布函数g(v(x))表示在单位v(x)区间粒子出现的概率，则应有dNv(x)/N=g(v(x))dv(x)系统处于平衡态时，容器内各处粒子数密度n相同，粒子朝任何方向运动的概率相等。
因此相应于速度分量v(y),v(z)，也应有相同形式的分布函数g(v(y))，g(v(z))，使得相应的概率可表示为dNv(y)/N=g(v(y))dv(y)dNv(z)/N=g(v(z))dv(z)(2)假设上述三个概率是彼此独立的，又根据独立概率相乘的概率原理，得到粒子出现在v(x)到v(x)+dv(x)，v(y)到v(y)+dv(y)，v(z)到v(z)+dv(z)间的概率为dNv/N=g(v(x))g(v(y))g(v(z))dv(x)dv(y)dv(z)=Fdv(x)dv(y)dv(z)式中F=g(v(x))g(v(y))g(v(z))，即为速度分布函数。
(3)由于粒子向任何方向运动的概率相等，所以速度分布应与粒子的速度方向无关。
因而速度分布函数应只是速度大小v=√(v(x)²+v(y)²+v(z)²)的函数。
这样，速度分布函数就可以写成下面的形式：g(v(x))g(v(y))g(v(z))=F(v(x)²+v(y)²+v(z)²)要满足这一关系，函数g(v(x))应具有C*exp(A*v(x)^2)的形式。
因此可得F=C*exp(A*v(x)²)*C*exp(A*v(y)²)*C*exp(A*v(z)²)=C³exp(Av²)下面来定常数C及A。
麦克斯韦速率分布律.pptx
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麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度，
说明下式的物理意义：
(1)nf (v)dv
f (v) dN , n N
Ndv
V
nf (v)dv
dN V
表示单位体积内分布在速率区间 v 内v的 dv
分子数。
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麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度， 说明下式的物理意义：
(2)Nf (v)dv
f (v) dN Ndv
Nf (v)dv dN
表示分布在速率区间 v v 内的dv分子数。
第5页/共20页
麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度，
说明下式的物理意义：
(3)n v2 f (v)dv
v1
f (v)
dN
,n
N
Ndv
V
n v2 f (v)dv N N N
把这些量值代入，即得
W v＝ 1 v p 50
N＝
N
4
99 100
2
e
99 100
2
1 50
1.66%
第19页/共20页
f (v ) p3
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
第15页/共20页
气体的三种统计速率
同一温度下不同种气体速率分布比较
f (v)
m1
m1 m2 m3
m2
分子质量越小，速
率大的分子数越多
。
m3
O
v
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麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度，
说明下式的物理意义：
(1)nf (v)dv
f (v) dN , n N
Ndv
V
nf (v)dv
dN V
表示单位体积内分布在速率区间 v 内v的 dv
分子数。
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麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度， 说明下式的物理意义：
(2)Nf (v)dv
f (v) dN Ndv
Nf (v)dv dN
表示分布在速率区间 v v 内的dv分子数。
第5页/共20页
麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度，
说明下式的物理意义：
(3)n v2 f (v)dv
v1
f (v)
dN
,n
N
Ndv
V
n v2 f (v)dv N N N
把这些量值代入，即得
W v＝ 1 v p 50
N＝
N
4
99 100
2
e
99 100
2
1 50
1.66%
第19页/共20页
f (v ) p3
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
第15页/共20页
气体的三种统计速率
同一温度下不同种气体速率分布比较
f (v)
m1
m1 m2 m3
m2
分子质量越小，速
率大的分子数越多
。
m3
O
v
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04麦克斯韦速率分布律-PPT文档资料
9
讨论： 1）vP与温度T的关系
f (v )
T1
2kT vp m
T2
T v p
T 2 T 1
曲线的峰值右移,由 于曲线下面积为1不变， 所以峰值降低。
o
v p1
v p2
v
f (v )
m2
2）vP与分子质量m的关系
m1
m m vp m 2 1
曲线的峰值左移,由 于曲线下面积为1不变， 所以峰值升高。
N dN Nf ( v ) dv 在 v v2区间内的分子数为 1
N v2 f (v) dv 在 v v2有限区间内的概率为 1 v 1 N v 2 v dN Nvf ( v ) dv 在 v v 区间内的总速率 1 2 v
v 1 v 1
v 2
v 2
1
4
N dN Nf ( v ) dv 在 v v2区间内的分子数为 1
1.将速率从 0 分割成很多相等的速率区间。 例如速率间隔取10m/s , 整个速率分为0—10；10—20；…等区间。 在 v v v 区间内的 分子数为 N 2.总分子数为N，
N/ N 在 v v v 区间内的概率为
2
在 v v v 区间内的 分子数为 N 2.总分子数为N，
0
vf(v)dv 平均速率： v vf(v)dv f(v)dv m e vdv 4 kT 2
0
8kT v m
0
3 /2
2 mv 2 kT 3
0
8 kT m
11
8 RT 8kT 上下同乘N 有： RT v v 1.59 A M mol M mol m
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迹
f(v)=41/2[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2.
f(t)表示在时间 t 附近的dt间 隔内，平均每单位时间间隔内 质点在运动中所通过的路程。 有时为了叙述的简便，在不致 引起误解的前提下，常常就说 f(t)表示在时间 t 附近的单位时 间间隔内质点在运动中所通过 的路程。
时间分布函数给出了质点 在运动过程中所通过的路程 对于时间的分布情况的具体 图像。由此可见，f(t)其实就 是质点运动在t时刻的瞬时速 率，因而 f(t)－t 这条时间分 布曲线正是力学中熟知的速 率－时间曲线。
考虑到这种情况，就 可以用 f(v) 类比 f(t). 既 然 f(v) 表示在速率 v 附 近的dv间隔内，平均每 单位速率间隔内的分子 数占总分子数的比率，
那我们同样也不应该问速率恰 好等于特定值 v 的分子数占总 分子数的比率是多少，因为此 时速率间隔等于零；如果非要 问速率恰好等于 v 的分子数占 总分子数的比率有多少，那就 只能说这样的比率等于零。
看来，把热学中的速率分 布函数与力学中的速率－时 间函数（即质点在运动中所 通过的路程对于时间的分布 函数）进行类比，确实有助 于正确理解和掌握速率分布 函数的概念，应该可以收到 良好的效果。
应该注意，类比推理是 一种或然性的推理方法， 通过类比推理所得到的结 论正确与否，当然还必须 经过实践的检验和证明。 没有经过检验和证明的类 比推理只是合理的猜想。
为了描述质点在运动过程 中所通过的路程对于时间的 分布情况的具体图像，则可 以取时间为横坐标值，画出 在t至 t＋t 间隔内质点运动 所通过的路程 S 的直方图 （条形统计图）。
条形的水平宽度为 t，条 形的面积为S，因此，条形 的竖直高度（纵坐标值）则 为 S/t，它就是质点在 t至 t＋t间隔内的平均速率。显 然，此高度与条形所在处时 间的取值有关，是t的函数。
f(v)表示在速率v 附近的dv间 隔内，平均每单位速率间隔内 的分子数占总分子数的比率。 有时为了叙述的简便，在不致 引起误解的前提下，常常就说 f(v)表示在速率v 附近的单位速 率间隔内的分子数占总分子数 的比率。
速率分布函数给出了气 体分子数对于速率取值的 分布情况的具体图像。
与上述情况类似，质点 在运动过程中的各个相同 的时间间隔内所通过的路 程往往并不相同。
为了更精确地描述气体分子
的速率分布情况，令v 0，
此时直方图的上沿由折线变为
光滑连续曲线，而 N/(Nv)
dN/(Ndv)，它当然仍是速率
v的函数，记为f(v)，即
f(v) = dN/(Ndv).
(1)
这就是分子数对于速 率的分布函数，或者称 为速率分布函数；(1)式 的图像就是速率分布曲 线。
exp[mv2/(2kT)]v2dv
=41/2vp-3 exp(v2/vp2)v2dv.
f(v)dv=41/2x2 exp(x2)dx =F(x)dx.
但要特别注意: F(x)=41/2x2exp(x2)
f(v).
三、速率分布函 数类比质点运动 中的时间分布函 数
类比法是一种在物理学 研究中常用的逻辑推理方 法。使用类比法时，根据 两类对象之间在某些方面 的相似或相同，来推出它 们在其他方面也可能相似 或相同.
为了更精确地描述质点运
动的时间分布情况，令 t
0，此时直方图的上沿由折线
变为光滑连续曲线，而S/t
dS/dt，它当然仍是时间 t
的函数，记为f(t)，即
f(t) = dS/dt.
(2)
这就是质点在运动中 所通过的路程对于时间 的分布函数，或者称为 时间分布函数； (2) 式 的图像就是时间分布曲 线。
前已指出，质点在t时 刻附近的t 间隔内运动 的平均速率为S/t，在 dt 间隔内运动的平均速 率（也就是t时刻的瞬时 速率）为dS/dt.
但是我们不应该问在 t 时 刻质点通过了多少路程，因 为质点只有在经历了一定的 时间间隔后才会通过一段路 程；如果非要问在 t 时刻质 点通过了多少路程，那只能 说它通过的路程等于零。
但是，在物理学的教学 中介绍早已被检验证明过 的科学知识时，直接使用 类比推理的方法却是好处 良多的。我们应该通过一 些实例来掌握这种行之有 效的逻辑推理方法。
四、随机事件 与概率
随机现象：有可 能出现多种结果的 现象。
随机事件：随机 现象的每一表现或 结果。
频率：某事件出 现次数对总次数的 比率。
通过以上的讨论可 以看出，热学中的速 率分布曲线与力学中 质点运动的速率－时 间曲线之间存在着颇 为相似的情况。
因此，如果在热学 中学习速率分布函数 时，类比力学中的速 率－时间函数，就能 够比较容易地认识到 其物理意义。
不仅如此，用 f(v) 类比 f(t)，还利于正确理解为什 么说 “不应该问速率刚 好等于特定值 v 的分子有 多少个？如果非要这样问， 那这种分子其实一个都没 有。”
概率：某事件频 率在总次数趋于无 限大时的极限。
不可能事件 的概率为零。
必然事件的 概率为一。
概率加法定理： 互不相容（互斥） 事件出现的概率的 和等于出现其中任 一事件的概率。
概率乘法定理： 互相独立事件同时 出现的概率等于各 事件单独出现时概 率的积。
五、麦克斯韦速 率分布曲线出现 极大值的点的轨
麦克斯韦速 率分布函数
及其 约化形式
一、麦克斯韦 速率分布函数
f(v)=4[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2 =4-1/2[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2.
二、麦克斯韦 速率分布函数
的约化形式
令vp=(2kT/m)1/2， x=v/vp.
f(v)dv=41/2[m/(2kT)]3/2
为了描述处于平衡态下的气体 的分子数在不同的速率间隔内的 分布情况，可以取分子速率 v 为 横坐标值，画出速率取值在v至v ＋v间隔内的分子数 N 占总分 子数 N 的比率的直方图（条形统 计图）。
条形的水平宽度为v， 条形的面积为 N/N，因 此，条形的竖直高度（纵 坐标值）则为N/(Nv). 显然，此高度与条形所在 处速率的取值有关，是 v 的函数。
f(v)=41/2[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2.
f(t)表示在时间 t 附近的dt间 隔内，平均每单位时间间隔内 质点在运动中所通过的路程。 有时为了叙述的简便，在不致 引起误解的前提下，常常就说 f(t)表示在时间 t 附近的单位时 间间隔内质点在运动中所通过 的路程。
时间分布函数给出了质点 在运动过程中所通过的路程 对于时间的分布情况的具体 图像。由此可见，f(t)其实就 是质点运动在t时刻的瞬时速 率，因而 f(t)－t 这条时间分 布曲线正是力学中熟知的速 率－时间曲线。
考虑到这种情况，就 可以用 f(v) 类比 f(t). 既 然 f(v) 表示在速率 v 附 近的dv间隔内，平均每 单位速率间隔内的分子 数占总分子数的比率，
那我们同样也不应该问速率恰 好等于特定值 v 的分子数占总 分子数的比率是多少，因为此 时速率间隔等于零；如果非要 问速率恰好等于 v 的分子数占 总分子数的比率有多少，那就 只能说这样的比率等于零。
看来，把热学中的速率分 布函数与力学中的速率－时 间函数（即质点在运动中所 通过的路程对于时间的分布 函数）进行类比，确实有助 于正确理解和掌握速率分布 函数的概念，应该可以收到 良好的效果。
应该注意，类比推理是 一种或然性的推理方法， 通过类比推理所得到的结 论正确与否，当然还必须 经过实践的检验和证明。 没有经过检验和证明的类 比推理只是合理的猜想。
为了描述质点在运动过程 中所通过的路程对于时间的 分布情况的具体图像，则可 以取时间为横坐标值，画出 在t至 t＋t 间隔内质点运动 所通过的路程 S 的直方图 （条形统计图）。
条形的水平宽度为 t，条 形的面积为S，因此，条形 的竖直高度（纵坐标值）则 为 S/t，它就是质点在 t至 t＋t间隔内的平均速率。显 然，此高度与条形所在处时 间的取值有关，是t的函数。
f(v)表示在速率v 附近的dv间 隔内，平均每单位速率间隔内 的分子数占总分子数的比率。 有时为了叙述的简便，在不致 引起误解的前提下，常常就说 f(v)表示在速率v 附近的单位速 率间隔内的分子数占总分子数 的比率。
速率分布函数给出了气 体分子数对于速率取值的 分布情况的具体图像。
与上述情况类似，质点 在运动过程中的各个相同 的时间间隔内所通过的路 程往往并不相同。
为了更精确地描述气体分子
的速率分布情况，令v 0，
此时直方图的上沿由折线变为
光滑连续曲线，而 N/(Nv)
dN/(Ndv)，它当然仍是速率
v的函数，记为f(v)，即
f(v) = dN/(Ndv).
(1)
这就是分子数对于速 率的分布函数，或者称 为速率分布函数；(1)式 的图像就是速率分布曲 线。
exp[mv2/(2kT)]v2dv
=41/2vp-3 exp(v2/vp2)v2dv.
f(v)dv=41/2x2 exp(x2)dx =F(x)dx.
但要特别注意: F(x)=41/2x2exp(x2)
f(v).
三、速率分布函 数类比质点运动 中的时间分布函 数
类比法是一种在物理学 研究中常用的逻辑推理方 法。使用类比法时，根据 两类对象之间在某些方面 的相似或相同，来推出它 们在其他方面也可能相似 或相同.
为了更精确地描述质点运
动的时间分布情况，令 t
0，此时直方图的上沿由折线
变为光滑连续曲线，而S/t
dS/dt，它当然仍是时间 t
的函数，记为f(t)，即
f(t) = dS/dt.
(2)
这就是质点在运动中 所通过的路程对于时间 的分布函数，或者称为 时间分布函数； (2) 式 的图像就是时间分布曲 线。
前已指出，质点在t时 刻附近的t 间隔内运动 的平均速率为S/t，在 dt 间隔内运动的平均速 率（也就是t时刻的瞬时 速率）为dS/dt.
但是我们不应该问在 t 时 刻质点通过了多少路程，因 为质点只有在经历了一定的 时间间隔后才会通过一段路 程；如果非要问在 t 时刻质 点通过了多少路程，那只能 说它通过的路程等于零。
但是，在物理学的教学 中介绍早已被检验证明过 的科学知识时，直接使用 类比推理的方法却是好处 良多的。我们应该通过一 些实例来掌握这种行之有 效的逻辑推理方法。
四、随机事件 与概率
随机现象：有可 能出现多种结果的 现象。
随机事件：随机 现象的每一表现或 结果。
频率：某事件出 现次数对总次数的 比率。
通过以上的讨论可 以看出，热学中的速 率分布曲线与力学中 质点运动的速率－时 间曲线之间存在着颇 为相似的情况。
因此，如果在热学 中学习速率分布函数 时，类比力学中的速 率－时间函数，就能 够比较容易地认识到 其物理意义。
不仅如此，用 f(v) 类比 f(t)，还利于正确理解为什 么说 “不应该问速率刚 好等于特定值 v 的分子有 多少个？如果非要这样问， 那这种分子其实一个都没 有。”
概率：某事件频 率在总次数趋于无 限大时的极限。
不可能事件 的概率为零。
必然事件的 概率为一。
概率加法定理： 互不相容（互斥） 事件出现的概率的 和等于出现其中任 一事件的概率。
概率乘法定理： 互相独立事件同时 出现的概率等于各 事件单独出现时概 率的积。
五、麦克斯韦速 率分布曲线出现 极大值的点的轨
麦克斯韦速 率分布函数
及其 约化形式
一、麦克斯韦 速率分布函数
f(v)=4[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2 =4-1/2[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2.
二、麦克斯韦 速率分布函数
的约化形式
令vp=(2kT/m)1/2， x=v/vp.
f(v)dv=41/2[m/(2kT)]3/2
为了描述处于平衡态下的气体 的分子数在不同的速率间隔内的 分布情况，可以取分子速率 v 为 横坐标值，画出速率取值在v至v ＋v间隔内的分子数 N 占总分 子数 N 的比率的直方图（条形统 计图）。
条形的水平宽度为v， 条形的面积为 N/N，因 此，条形的竖直高度（纵 坐标值）则为N/(Nv). 显然，此高度与条形所在 处速率的取值有关，是 v 的函数。