麦克斯韦速率分布函数的物理意义
北京化工大学 普通物理学 习题课上(热学).
致冷机的致冷系数定义为：
A Q1 Q2 1 Q2
Q1
Q1
Q1
e Q2 A
Q2 Q1 Q2
七、热力学第二定律的两种表述 不可能从单一热源吸取热量，使它完全变为有用功
而不引起其它变化（即热全部变为功的过程是不可能 的） 热力学第二定律的开尔文表述。
不可能把热量从低温物体自动传到高温物体而不引 起其它变化（即热量不可能自动地从低温物体传向高 温物体） 热力学第二定律的克劳修斯表述。
dQp dT
i2 2
R
迈耶公式：
比热容比：
C p,m CV ,m R
Cp,m i 2
CV ,m
i
CV ,m
1
dE dT
i 2
R
C p,m
i2 2
R,
i
i
2
单原子气体：
CV ,m
3R 2
双原子气体：
CV ,m
5R 2
单原子分子气体: CV ,m 12.47
卡诺循环的效率： T1 T2 1 T2
T1
T1
卡诺致冷机的致冷系数：e Q2 T2
Q1 Q2 T1 T2
七、热力学第二定律
四种热力学过程的主要公式
过程 过程方程 E2 E1
等体 p C
T
M Mm
CV
(T2
T1)
等压 V C
T
M Mm
CV
(T2
T1)
1.25 20.81J 0.028
929J
所以气体在这一过程中所吸收的热量为
211-麦克斯韦速率分布律、三种统计速率
211麦克斯韦速率分布律、三种统计速率1、选择题1，麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A ，B 两部分面积相等，则该图表示 （A ）0v 为最概然速率（B ）0v 为平均速率 （C ）0v 为方均根速率（D ）速率大于和小于0v 的分子数各占一半[ ]2，麦克斯韦速率分布函数)(v f 的物理意义是 （A ）它是气体分子处于v 附近单位速率区间的概率 （B ）它是气体分子处于v 附近的频率（C ）它是气体分子处于dv v v +~速率区间内的分子数（D ）它是气体分子处于dv v v +~速率区间内的相对分子数[ ]3，气体的三种统计速率：最概然速率p v 、平均速率v 、方均根速率2v ，它们之间的大小关系为 （A ）2v v v p >> （B ）2vv v p ==（C ）2vv v p << （D ）无法确定[ ]4，设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N ，其中速率在dv v v +~区间内的分子数为dN ，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为 （A ）NdN v f =)( （B ）dv dN N v f 1)(= （C ）vdvdN N v f 1)(=（D ）dvv dNN v f 21)(=[ ]5，空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为 （A ）22O N v v > （B ）22O N v v = （C ）22O N v v < （D ）无法确定 [ ]6，已知n 为单位体积分子数，)(x v f 为麦克斯韦速度分量的分布函数，则xx dv v nf )(表示为（A ）单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数（B ）单位体积内速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数 （C ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数占总分子数的比率 （D ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数[ ]7，设氢分子在温度为300 K 时的平均速率为1v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的平均速率为2v ，则平均速率1v 和2v 的大小分别为 （A ）211069.1⨯=v m/s ，321079.1⨯=v m/s （B ）311079.1⨯=v m/s ，221069.1⨯=v m/s （C ）211083.1⨯=v m/s ，221093.1⨯=v m/s （D ））311058.1⨯=v m/s ，321050.1⨯=v m/s ，[ ]8，设氢分子在温度为300 K 时的最概然速率为1p v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的最概然速率为2p v ，则最概然速率1p v 和2p v 的大小分别为 （A ）211069.1⨯=p v m/s ，321078.1⨯=p v m/s （B ）311078.1⨯=p v m/s ，221069.1⨯=p v m/s （C ）311057.1⨯=p v m/s ，221049.1⨯=p v m/s （D ））211050.1⨯=p v m/s ，321058.1⨯=p v m/s ，[ ]9，设氢分子在温度为300 K 时的方均根速率为21v ，在温度为2.7 K （星际空间温度）时的方均根速率为22v ，则方均根速率21v 和22v 的大小分别为 （A ）3211078.1⨯=v m/s ，2221069.1⨯=v m/s （B ）3211058.1⨯=v m/s ，2221050.1⨯=v m/s（C ）3211093.1⨯=v m/s ，3221083.1⨯=v m/s（D ））3211093.1⨯=v m/s ，2221083.1⨯=v m/s ，[ ]（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）5.00 m/s [ ]11，理想气体的温度由27︒C 升高到927︒C ，其最概然速率将增大到原来的 （A ） 2倍 （B ） 4倍 （C ） 6倍 （D ） 34倍[ ]12，已知n 为单位体积的分子数，)(v f 为麦克斯韦速率分布函数，则)(v nf 表示 （A ） 速率v 附近，dv 区间内的分子数（B ） 单位体积内速率在dv v v +~区间内的分子数 （C ）速率v 附近，dv 区间内的分子数占总分子数的比率（D ） 单位时间内碰到单位器壁上，速率在dv v v +~区间内的分子数[ ]13，已知一定量的某种理想气体，在温度为1T 和2T 时分子的最概然速率分别为1p v 和2p v ，分子速率分布函数的最大值分别为)(1p v f 和)(2p v f ，已知1T >2T ，则在下列几个关系式中正确的是（A ） 1p v >2p v ，)(1p v f >)(2p v f （B ） 1p v <2p v ，)(1p v f >)(2p v f （C ） 1p v >2p v ，)(1p v f <)(2p v f （D ） 1p v <2p v ，)(1p v f <)(2p v f[ ]则其方均根速率为（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）2.41 m/s[ ]15，某理想气体处于平衡状态，其速率分布函数为)(v f ，则速率分布在速率间隔21~v v 内的气体分子的算术平均速率的计算式为（A ）⎰⎰=2210)()(v v v dvv f dvv vf v （B ）⎰⎰∞=121)()(v v v dv v f dvv vf v（C ）⎰⎰∞=)()(21dvv f dv v vf v v v （D ）⎰⎰=2121)()(v v v v dvv f dvv vf v[ ]（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）0.68 m/s [ ]2、判断题1，理想气体分子的最概然速率，就是麦克斯韦速率分布曲线峰值对应的速率。
热学-统计物理3 第3章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
v v pv v 2
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
下面哪种表述正确？
（A） vp 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） vp 是速率最大的速度值. （C） vp 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
例1 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均
M
3.方均根速率 v2
v2
N
0
v2dN N
0
v2Nf N
(v)dv
o
v
v2 v2 f (v)dv 4 ( m )3 2 e mv2 2kT v4dv
0
2 kT
0
v4ev2 dv 3
0
8 5
v2 3kT m
v2 3kT 3RT
2kT
v
麦克斯韦速率分布函数的物理意义： f (v) dNv
Nd v
既反映理想气体在热动平衡条件下，分布在速率 v 附近单
位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，又表示任意
一分子的速率出现在 v附近单位速率区间内的概率。
如果以速率为横坐标轴，速率分布函数为纵坐标轴，画 出的一条表示f(v) —v之间关系的曲线，称为气体分子的麦 克斯韦速率分布曲线。 ，它形象地描绘出气体分子按速率 分布的情况。
大量分子的速率的算术平均值叫做分子的平均速率.
v
vNf (v)dv
0
vf (v)dv
v 4 (
m
)3 e2 mv2 2kT v2dv
N
0
0
热学补充题
热学补充题热学补充题一、单一选择题：1.下列关于平衡态的说法中，正确的是A.系统状态参量不随时间变化的状态B.系统内各处均匀一致的状态C.热力学系统的宏观性质不随时间变化的状态D.系统在不受外界影响的条件下，宏观性质不随时间变化的状态2.金属杆的一端与沸水接触，另一端与冰接触，当沸水和冰的温度都维持不变时，杆的温度虽然不同，但不随时间改变，下面说法中正确的是A.杆处于平衡状态，因为杆各处的温度不随时间改变B.杆不处于平衡状态，因为杆的温度各处不同C.杆不处于平衡状态，因为杆受外界影响D.不能确定杆是否处于平衡态3.一个水银温度计，一个酒精温度计，两者都在冰点校正了零度，在水的沸点校正了100度，然后在0度和100度之间等分成100份，现在分别用这两个温度计测量两个物体的温度，结果它们都指示在30度处，则知两物体的温度A.相同B.不一定相同C.一定不相同D.无法判断4. 理想气体状态方程pV = RT适用于A.1cm3的理想气体B.任意体积的理想气体C.1g 的理想气体D.1mol 理想气体5.相等质量的氢气和氧气被密封在一粗细均匀的玻璃管内，并由一水银滴所隔开，当玻璃管平放时，氢气柱和氧气柱的长度比为A.16:1B.1:1C.1:16D.32:16. 1mol 的范德瓦耳斯方程为A. (p－a / V m2)( V m－b) = RTB. (p + a / V m 2)( V m—b) = RTC. (p + a / V m 2)( V m + b) = RTD. (p－a / V m 2)( V m+ b) = RT7.范德瓦耳斯方程(p + a / V m 2)( V m—b) = RT 中的V m是A.气体可被压缩的体积B.气体分子自由活动的体积C.容器的容积D.气体分子本身的体积8.按麦克斯韦速率分布率，一个分子精确的具有一定速率的比率是A. 1B. 0.5C.0 D. 比0.5大9.在一定速率v 附近，麦克斯韦速率分布函数f (v ) 的物理意义是：一定量的气体在给定的温度下处于平衡时的A.速率为v 的分子数B.分子数随速率v 的变化C.速率为v 的分子数占总分子数的百分比D.速率在v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比10. f (v )为麦克斯韦速率分布函数，那么⎰21)(v v dv v f 表示A.速率在v 1～v 2之间的分子数B.速率在v 1～v 2 之间的分子数占总分子数的百分比C.速率在 v 1～v 2 之间的平均速率D.无明确的物理意义 11.根据能量均分定理，理想气体分子的平均总能量为A.()kT v r t 221++ B.()RT v r t 221++C.()kT v r t ++21D.()kT v r t 223++12.如果氢气和氦气的温度相同，摩尔数也相同，则这两种气体的A.平均动能相同B.平均平动动能相同D.内能相等 C.势能相等13.理想气体等压过程中，其分子的平均碰撞平率Z 与温度T 的关系是A. T Z ∝B. T Z 1∝ C. T Z ∝D. TZ 1∝ 14.体积固定的容器中有一定量的气体，设分子有效直径不变，当温度逐渐升高时,分子的平均碰撞平率和平均自由程的变化为 A.Z 增大，λ增大 B.Z 增大，λ减小 C.Z 增大,λ不变 D.Z 和λ均保持不变15.如果每立方厘米约有3×1019个分子，空气分子的有效直径为2×109s -1cm ，则在00C 和1atm下，空气分子的平均自由程的量值是A. 2×105cmB. 2×10-6cmC.2×10-5cm D. 2.1×10-2cm16.如果空气分子的平均速率为1×105cm·S -1,而平均自由程的量值为1×10-5cm ，那么空气碰撞频率为A. 1s -1B. 1×1010 s-1 C.1×10-10s -1 D. 1×10-5s -117.下列有关热量的说法,哪些是正确的A.热是一种特殊物质B.热传递是改变系统内能的一种方式C.热量是表征系统固有属性的物理量D.系统温度越高,所含热量越多18.在p －V 图上理想气体系统由平衡态I 到达平衡态II ，如图1所示，无论经历过什么样的过程系统必然 A.对外作功 B.内能增加 C.吸收热量 D.放出热量19.如图1所示，一系统从同一初态E 分别经过三个不同过程R 1，R 2，R 3变化到相同末态下,则在三个系统中对外作的功的关系为A . W 1 < W 2 < W 3B .C . W 2 < W 3 < W 1D . 20.内能相等的1mol VO 图1 . . I Ip V O 图1气A.热接触时，它们之间会发生热传递B.质量必定相等C.温度必定相等D.温度可能相等，也可能不等21.一定量的某种理想气体作如图2所示的循环,则下列说法正确的是A .气体在2-3过程中气体不作功B .在4-1过程中气体不作功C .整个循环中气体所作的功为负值D .气体在1-2过程中及3-4过程中所作的功数值相同 22.如图3所示,p -V 图上有两条曲线 abc 和adc,由此知 A .其中一条是绝热线,一条是等温线B .两过程吸收的热量相等C .两过程中系统对外作的功相等D .两过程中系统内能变化相等23.理想气体经历了一个由等温过程、绝热过程和等压过程组成的逆循环，在此循环过程中，理想气体p VO 1 234 图2 图3 V p O a b c dA .从外界吸收热量 B.向外界放出热量C.对外界作功D.内能减少24.绝热过程的过程方程是A.=-γγ/)1(Tp恒量 B.=-T p //)2(γγ恒量 C.=--γγT p1恒量 D.=γpT 恒量25.设热源的热力学温度是冷源的热力学温度的n 倍，则一卡诺循环中，气体将把从热源得到的热量交给冷源A. n 倍B. (n –1)倍C. 1/n 倍 D. (n +1) / n 倍26.卡诺热机的效率A.仅依赖于高温热源的温度B.仅依赖于低温热源的温度C.仅依赖于高温热源和低温热源的温度D.仅依赖于高温热源与低温热源的温度差27.在327 0C 的高温热源和27 0C 的低温热源间工作的热机,理论上的最大效率是A. 100%B. 92%C. 50%D. 25%28.在327 0C 的高温热源和27 0C 的低温热源间工作的热机，理论上的最大效率是A. 100%B. 92%C. 50%D. 25%29.在功与热的转变过程中，下列叙述中不正确的是A.不可能制成一种循环动作的热机，它只从一个热源吸取热量，使之完全变为有用功，而其他物体不发生任何变化。
麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布律、三种统计速率1、选择题题号：21111001分值：3分难度系数等级：1麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A，B两部分面积相等，则该图表示<A）为最概然速率<B）为平均速率<C）为方均根速率<D）速率大于和小于的分子数各占一半[ ]答案：< D ）题号：21111002分值：3分难度系数等级：1麦克斯韦速率分布函数的物理意义是，它是气体分子<A）处于附近单位速率区间的概率 <B）处于附近的频率<C）处于速率区间内的概率 <D）处于速率区间内的相对分子数[ ]答案：< A ）题号：21111003分值：3分难度系数等级：1气体的三种统计速率：最概然速率、平均速率、方均根速率，它们之间的大小关系为<A） <B）<C） <D）无法确定[ ]答案：< C ）题号：21111004分值：3分难度系数等级：1设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为，其中速率在区间内的分子数为，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为b5E2RGbCAP<A） <B）<C） <D）[ ]答案：< B ）题号：21112005分值：3分难度系数等级：2空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为<A） <B） <C） <D）无法确定[ ]答案：< A ）题号：21112006分值：3分难度系数等级：2已知n为单位体积分子数，为麦克斯韦速度分量的分布函数，则表示为<A）单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量处于区间的分子数<B）单位体积内速度分量处于区间的分子数<C）速度分量在附近，区间内的分子数占总分子数的比率<D）速度分量在附近，区间内的分子数[ ]答案：< B ）题号：21112007分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K时的平均速率为，在温度为2.7 K<星际空间温度）时的平均速率为，则平均速率和的大小分别为p1EanqFDPw<A） m/s， m/s<B） m/s， m/s<C） m/s， m/s<D）） m/s， m/s，[ ]答案：< B ）题号：21112008分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K时的最概然速率为，在温度为2.7 K<星际空间温度）时的最概然速率为，则最概然速率和的大小分别为DXDiTa9E3d<A） m/s， m/s<B） m/s， m/s<C） m/s， m/s<D）） m/s， m/s，[ ]答案：< C ）题号：21112009分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K时的方均根速率为，在温度为2.7K<星际空间温度）时的方均根速率为，则方均根速率和的大小分别为RTCrpUDGiT<A） m/s， m/s<B） m/s， m/s<C） m/s， m/s<D）） m/s， m/s，[ ]答案：< D ）题号：21112018分值：3分难度系数等级：2设有一群粒子按速率分布如下：粒子数速率则其最概然速率为<A）3.18 m/s <B）3.37 m/s <C）4.00 m/s <D）5.00 m/s5PCzVD7HxA[ ]答案：< C ）题号：21113011分值：3分难度系数等级：3理想气体的温度由27︒C升高到927︒C，其最概然速率将增大到原来的<A） 2倍 <B） 4倍 <C）6倍 <D）34倍[ ]答案：< A ）题号：21113012分值：3分难度系数等级：3已知为单位体积的分子数，为麦克斯韦速率分布函数，则表示<A）速率附近，区间内的分子数<B）单位体积内速率在区间内的分子数<C）速率附近，区间内的分子数占总分子数的比率<D）单位时间内碰到单位器壁上，速率在区间内的分子数[ ]答案：< B ）题号：21113013分值：3分难度系数等级：3已知一定量的某种理想气体，在温度为和时分子的最概然速率分别为和，分子速率分布函数的最大值分别为和，已知>，则在下列几个关系式中正确的是jLBHrnAILg<A）>，><B）<，><C）>，<<D）<，<[ ]答案：< C ）题号：21113014分值：3分难度系数等级：3设有一群粒子按速率分布如下：粒子数速率则其方均根速率为<A）3.18 m/s <B）3.37 m/s <C）4.00 m/s <D）2.41 m/sxHAQX74J0X[ ]答案：< B ）题号：21113015分值：3分难度系数等级：3某理想气体处于平衡状态，其速率分布函数为，则速率分布在速率间隔内的气体分子的算术平均速率的计算式为<A） <B）<C） <D）[ ]答案：< D ）题号：21113016分值：3分难度系数等级：3设有一群粒子按速率分布如下：粒子数速率则其平均速率为<A）3.18 m/s <B）3.37 m/s <C）4.00 m/s <D）0.68 m/sLDAYtRyKfE[ ]答案：< A ）题号：21114017分值：3分难度系数等级：4如右下图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，和分别表示氧气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是Zzz6ZB2Ltk<A）图中表示氧气分子的速率分布曲线，且<B）图中表示氧气分子的速率分布曲线，且<C）图中表示氧气分子的速率分布曲线，且<D）图中表示氧气分子的速率分布曲线，且[ ]答案：< C ）题号：21114018分值：3分难度系数等级：4如右图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，和分别表示氧气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是dvzfvkwMI1<A）图中表示氧气分子的速率分布曲线，且<B）图中表示氢气分子的速率分布曲线，且<C）图中表示氧气分子的速率分布曲线，且<D）图中表示氢气分子的速率分布曲线，且[ ]答案：< D ）题号：21114019分值：3分难度系数等级：4一氧气瓶的容积为，充了气未使用时的压强为，温度为，使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为，则使用前后分子热运动平均速率之比为 rqyn14ZNXI<A） <B） <C） <D）[ ]答案：< B ）题号：21115020分值：3分难度系数等级：5处于平衡状态的理想气体，其分子的速率分布曲线如图所示，设表示最概然速率，表示速率分布在之间的分子数占总分子数的百分比，当温度降低时，则EmxvxOtOco<A）减小，也减小 <B）增大，也增大<C）减小，增大 <D）增大，减小[ ]答案：< C ）2、判断题题号：21121001分值：2分难度系数等级：1理想气体分子的最概然速率，就是麦克斯韦速率分布曲线峰值对应的速率。
麦克斯韦速率分布
exp(
mv
2
) v dv
2
2kT
⑶ N个分子的气体处于平衡态，以容器为参考系速率在v ~ v+dv 间的分子占总分子数N的百分比（概率）
dN N f (v )dv 4 ( m 2 kT
3 )2
exp(
mv
2
2kT
) v dv 概率
2
2. 麦氏速率分布函数曲线： ⑴
但速率很大 或很小的分子数较少
N
( v ~ v v的分子数 )
则在总分子中分子速率介于
v ~ v+∆v 的分子的概率为：
N N
Pv v v
当∆v→0 时，即得分子速率分布的概率密度函数：
F (v ) dN N dv
相应地，分子速率介于v ~ v+dv的概率即为：
d Pv v d v F ( v ) d v
（三）最概然速率vp：
vp 2kT m
2 RT Mm
vrms
f (v )
v
2
3kT m
3 RT Mm
（四）三种速率之比：
v p : v : v rms 1 : 1 . 128 : 1 . 224
v
o
v p v v2
1. 前面讨论理想气体 和 P 时曾用到 vrms v
v rms v 1.085 误差 8.5%
2 RT Mm
vp
意义： 若把整个可能的速率范围分为许多等间隔的小区间， 则在最可几速率vp所在区间中分子数所占比率最大。
3. 称概率密度取极大值时的速率为 最概然速率vp，也称最可几速率
vp
vp
速率分布
1、选择题题号： 分值：3分 难度系数等级：1麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A ，B 两部分面积相等，则该图表示 （A ）0v 为最概然速率 （B ）0v 为平均速率 （C ）0v 为方均根速率（D ）速率大于和小于0v 的分子数各占一半[ ] 答案：（ D ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：1麦克斯韦速率分布函数)(v f 的物理意义是 （A ）它是气体分子处于v 附近单位速率区间的概率 （B ）它是气体分子处于v 附近的频率（C ）它是气体分子处于dv v v +~速率区间内的分子数 （D ）它是气体分子处于dv v v +~速率区间内的相对分子数[ ] 答案：（ A ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：1气体的三种统计速率：最概然速率p v 、平均速率v 、方均根速率2v ，它们之间的大小关系为 （A ）2v v v p >> （B ）2v v v p == （C ）2v v v p << （D ）无法确定[ ] 答案：（ C ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：1设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N ，其中速率在dv v v +~区间内的分子数为dN ，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为（A ）N dNv f =)( （B ）dv dNN v f 1)(= （C ）vdvdNN v f 1)(= （D ）dvv dNN v f 21)(=[ ] 答案：（ B ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：2空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为（A ）22O N v v > （B ）22O N v v = （C ）22O N v v < （D ）无法确定 [ ] 答案：（ A ） 题号：分值：3分 难度系数等级：2已知n 为单位体积分子数，)(x v f 为麦克斯韦速度分量的分布函数，则x x dv v nf )(表示为（A ）单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量x v 处于x x x dv v v +~区间的分子数（B ）单位体积内速度分量x v 处于x x xdv v v +~区间的分子数（C ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数占总分子数的比率 （D ）速度分量在x v 附近，x dv 区间内的分子数[ ] 答案：（ B ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K 时的平均速率为1v ，在温度为 K （星际空间温度）时的平均速率为2v ，则平均速率1v 和2v 的大小分别为（A ）211069.1⨯=v m/s ，321079.1⨯=v m/s （B ）311079.1⨯=v m/s ，221069.1⨯=v m/s （C ）211083.1⨯=v m/s ，221093.1⨯=v m/s （D ））311058.1⨯=v m/s ，321050.1⨯=v m/s ，[ ] 答案：（ B ） 题号： 分值：3分难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K 时的最概然速率为1p v ，在温度为 K （星际空间温度）时的最概然速率为2p v ，则最概然速率1p v 和2p v 的大小分别为 （A ）211069.1⨯=p v m/s ，321078.1⨯=p v m/s （B ）311078.1⨯=p v m/s ，221069.1⨯=p v m/s （C ）311057.1⨯=p v m/s ，221049.1⨯=p v m/s （D ））211050.1⨯=p v m/s ，321058.1⨯=p v m/s ，[ ] 答案：（ C ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：2设氢分子在温度为300 K 时的方均根速率为21v ，在温度为 K （星际空间温度）时的方均根速率为22v ，则方均根速率21v 和22v 的大小分别为 （A ）3211078.1⨯=v m/s ，2221069.1⨯=v m/s （B ）3211058.1⨯=v m/s ，2221050.1⨯=v m/s （C ）3211093.1⨯=v m/s ，3221083.1⨯=v m/s （D ））3211093.1⨯=v m/s ，2221083.1⨯=v m/s ，[ ] 答案：（ D ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：2设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数i N 2 4 6 8 2 速率i v （m/s ）则其最概然速率为（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）5.00 m/s [ ] 答案：（ C ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：3理想气体的温度由27C 升高到927C ，其最概然速率将增大到原来的 （A ） 2倍 （B ） 4倍 （C ） 6倍 （D ） 34倍[ ] 答案：（ A ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：3已知n 为单位体积的分子数，)(v f 为麦克斯韦速率分布函数，则)(v nf 表示 （A ） 速率v 附近，dv 区间内的分子数（B ） 单位体积内速率在dv v v +~区间内的分子数 （C ）速率v 附近，dv 区间内的分子数占总分子数的比率（D ） 单位时间内碰到单位器壁上，速率在dv v v +~区间内的分子数[ ] 答案：（ B ）分值：3分 难度系数等级：3已知一定量的某种理想气体，在温度为1T 和2T 时分子的最概然速率分别为1p v 和2p v ，分子速率分布函数的最大值分别为)(1p v f 和)(2p v f ，已知1T >2T ，则在下列几个关系式中正确的是 （A ） 1p v >2p v ，)(1p v f >)(2p v f （B ） 1p v <2p v ，)(1p v f >)(2p v f （C ） 1p v >2p v ，)(1p v f <)(2p v f （D ） 1p v <2p v ，)(1p v f <)(2p v f[ ] 答案：（ C ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：3设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数i N 2 4 6 8 2 速率i v （m/s ）则其方均根速率为（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）2.41 m/s [ ] 答案：（ B ）分值：3分 难度系数等级：3某理想气体处于平衡状态，其速率分布函数为)(v f ，则速率分布在速率间隔21~v v 内的气体分子的算术平均速率的计算式为（A ）⎰⎰=2210)()(v v v dv v f dvv vf v （B ）⎰⎰∞=121)()(v v v dv v f dvv vf v（C ）⎰⎰∞=0)()(21dv v f dvv vf v v v （D ）⎰⎰=2121)()(v v v v dvv f dvv vf v[ ]答案：（ D ） 题号： 分值：3分难度系数等级：3设有一群粒子按速率分布如下：则其平均速率为（A ）3.18 m/s （B ）3.37 m/s （C ）4.00 m/s （D ）0.68 m/s [ ] 答案：（ A ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：4如右下图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，2)(o p v 和2)(H p v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是（A ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且4)()(22=H p O p v v（B ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且4)()(22=Hp O p v v （C ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且41)()(22=H p O p v v （D ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且41)()(22=Hp O p v v [ ] 答案：（ C ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：4如右图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，2)(o p v 和2)(H p v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是（A ）图中a 表示氧气分子的速率分布曲线，且2000)(2=O p v m/s （B ）图中a 表示氢气分子的速率分布曲线，且2000)(2=H p v m/s （C ）图中b 表示氧气分子的速率分布曲线，且2000)(2=O p v m/s （D ）图中b 表示氢气分子的速率分布曲线，且2000)(2=H p v m/s[ ] 答案：（ D ）题号： 分值：3分 难度系数等级：4一氧气瓶的容积为V ，充了气未使用时的压强为1p ，温度为1T ，使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为2p ，则使用前后分子热运动平均速率之比21v v 为 （A ）212p p （B ）212p p （C ）122p p （D ）122p p [ ] 答案：（ B ） 题号： 分值：3分 难度系数等级：5处于平衡状态的理想气体，其分子的速率分布曲线如图所示，设p v 表示最概然速率，p N ∆表示速率分布在v v v p p ∆+~之间的分子数占总分子数的百分比，当温度降低时，则（A ）p v 减小，p N ∆也减小 （B ）p v 增大，p N ∆也增大 （C ）p v 减小，p N ∆增大 （D ）p v 增大，p N ∆减小[ ] 答案：（ C ）2、判断题题号： 分值：2分难度系数等级：1理想气体分子的最概然速率，就是麦克斯韦速率分布曲线峰值对应的速率。
经典：第四讲-速度分布函数-麦克斯韦速率
f (v) dN Ndv
速率分布函数
理解分布函数的几个要点：
1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的； 2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv；
3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。
8
物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数
• dN/N 是 v 的函数； •当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与
区间大小成正比。
为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即 dN ，这样，比
Ndv
值 dN
Ndv
就反映出了分布随速率v的改变而改变。为此我们规定；
7
定义：处于一定温度下的气体，分布在速率v附近的
单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是
(2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
解 (2)
vp
2RT
M
RT 2 103
1000
m/s
RT
f(v)
(v p )H2 103
1.41 103 m/s
( v 2 )H2
3RT M
1.73103 m/s
He H2
1000
v
29
例2 有N 个粒子，其速率分布函数为
f (v )
(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内 的分子与总分子数的比率，所以
v v0 的分子数与总分子数的比率为
N
N
v0a
v0
2 3v 0
2 3
N 2 N
3
因此， v>v0 的分子数为 ( 2N/3 ) f (v )
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在平衡状态下,当分子的相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间v～v+△v间的分子数dN 占总分子数N的比率（或百分比）为dN / N .
dN / N是v 的函数,在不同速率附近取相等的区间,此比率一般不相等.当速率区间足够小时（宏观小,微观大）,dN / N 还应与区间大小成正比：
其中f(v)是气体分子的速率分布函数.分布函数f(v)的物理意义是：速率在v 附近,单位速率区间的分子数占总分子数的比率.
分布函数f(v)满足归一化条件：
大量分子的系统处于平衡态时,可以得到速率分布函数的具体形式：
式中T是热力学温度,m为分子质量,k为玻尔兹曼常数.上式就是麦克斯韦速率分布律.
麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布,也是它的最概然分布.大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态,其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布,其根源在于分子间的频繁碰撞.
上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)示意图,曲线下面宽度为dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N .
我们可以看到：同一种理想气体在平衡状态下,温度升高时速率分布曲线变宽、变平坦,但曲线下的总面积不变.随着温度的升高,速率较大的分子在分子总数中的比率增大.同一温度下,分子质量m越小,曲线越宽越平坦,在分子总数中速率较大的分子所占比率越高.。