2.4麦克斯韦速度分布
§2.4 麦克斯韦速度分布
• 前面已指出，麦克斯韦是先导出速度分布，然后再从
速度分布得到速率分布的。
• 本节中介绍麦克斯韦速度分布。
• 为了说明速度分布的含义，先介绍速度空间的概念。
§2.4.1 速度空间
§2.4.2 麦克斯韦速度分布
麦克斯韦最早用概率统计的方法导出了理想气体分 子的速度分布，它可表示为
*§2.4.5 绝对零度时金属中自由电子的 速度分布与速率分布 费米球
一速度分布律一般适用于平衡态的理想气体。
*§2.4.3 相对于vp 的速度分量分布 与速率分布 误差函数
*§2.4.4 从麦克斯韦速度分布导出速率分布
（一）以极坐标表示的射击点分布
按极坐标表示的射击点分布。
若用相等的Δr为间隔，
在靶板上画出很多个同心圆，
数出每个圆环中的黑点数ΔN。 以ΔN/NΔr 为纵坐标， r为横坐标画出竖条，如右下图所示。 令Δr 0，得到光滑曲线，
d
Nv
4π
N ( m )3/2 2 π kT
exp(
mv 2 ) v2 2kT
dv
d
Nv
4π
N ( m )3/2 2 π kT
exp(
mv 2 ) v2 2kT
dv
d Nv f (v) d v 4 π( m )3/2 exp( mv 2 ) v2 d v
N
2 π kT
2kT
• 这就是麦克斯韦速率分布.
d
vx
• x 方向速度分量的概率分布曲线如图所示：
•它对称于纵轴，图中打上斜线狭条面积即
f
(vx ) d vx
d
N (vx ) N
( m )1/ 2 2 π kT
第二章分子动力学理论的平衡态理论
这种在大量随机事件的 集合中出现的规律性叫统计 规律性。
少数分子无规律性
大量分子的统计分布 7
二、等概率性与概率的基本性质
1、概率的定义
概率：在总次数趋于无限大时，某事件出现次数对总次数的比率。
No Image
离散变量xi
P(xi)N li m N Ni
连续变量x , x-x+dx区间
d(N x)
§2.3 麦克斯韦速率分布
要深入研究气体的性质，不能光是研究一些平均值，
如t ，V2
等，还应该进一步弄清分子按速率和按能量等的分布情 况。
个别分子的运动是杂乱无章的，但大量分子运动的 集体表现存在着一定的统计规律。
统计物理关心两件事：
1. 平均值; 2. 分布;
几个要用的积分公式 高斯积分
Q xn e a2d x ,x (a0 ,n0 ,1 ,2 ,3 , ) 0
一、分子射线束实验
实验装置
接抽气泵
No Image
No Image
No Image
金属蒸汽
狭缝
No Image
No Image
显
No Image
示
屏
19
二 . 麦克斯韦速率分布函数 1859年麦克斯韦导出了理想气体在无外场的平衡态下，
分子速率分布函数为：
f(v)4(
m3/2 m 2v/2kT 2 m——分子的质量 ) e v T——热力学温度
分子平动动能的平均值
讨论 速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
v2 f (v)dv
v1
vv1~v2
v2 v f(v)dv
麦克斯韦速度分布
麦克斯韦速度分布在物理学中，麦克斯韦速度分布是一种描述气体分子速度分布的概率分布函数，由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦于1860年提出。
该速度分布函数在气体动力学研究中具有重要的意义，可以用来解释多种气体现象和性质。
麦克斯韦速度分布的推导基于经典统计力学，并假设气体分子间的相互作用力很小，即考虑理想气体模型。
根据这个假设，我们可以将气体分子视为质点，并忽略其体积。
此外，麦克斯韦还假设气体分子间没有相对于其平均速度的内在速度趋势，即分子在各个方向上的速度是等概率分布的。
根据这些假设，我们可以得到麦克斯韦速度分布的数学表达式。
设气体分子的速度为v，麦克斯韦速度分布f(v)表示在速度范围v到v+dv 内的气体分子的概率密度。
根据麦克斯韦的推导，麦克斯韦速度分布可以表示为：f(v) = 4πv²(N/mπkT)^(3/2) * exp(-mv²/2kT)其中，N为气体分子数目，m为分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T 为气体的绝对温度。
这个表达式可以解释为在速度v附近的各个方向上，单位速度范围内所含的分子数。
麦克斯韦速度分布的数学形式是一个关于速度的二次函数，在速度较低时概率密度逐渐增加，而在速度较高时概率密度逐渐降低。
这个分布函数的特点在于它不仅仅与气体分子的质量有关，还与气体的温度相关。
温度越高，麦克斯韦速度分布函数的峰值越低，峰值处对应的速度越高。
而在相同温度下，分子的质量越大，麦克斯韦速度分布函数的峰值越高，峰值处对应的速度越低。
麦克斯韦速度分布不仅仅可以用来描述气体分子的速度分布，还可以应用于解释气体分子的速度平均值、最概然速度、均方根速度等方面的问题。
例如，在给定温度下，气体分子的平均速度随着分子质量的增大而减小。
最概然速度是速度分布函数的峰值所对应的速度，它对应了气体分子的最有可能的速度值。
均方根速度则是速度分布曲线下方的面积跟速度相关的加权平均速度。
麦克斯韦速率分布
exp(
mv
2
) v dv
2
2kT
⑶ N个分子的气体处于平衡态，以容器为参考系速率在v ~ v+dv 间的分子占总分子数N的百分比（概率）
dN N f (v )dv 4 ( m 2 kT
3 )2
exp(
mv
2
2kT
) v dv 概率
2
2. 麦氏速率分布函数曲线： ⑴
但速率很大 或很小的分子数较少
N
( v ~ v v的分子数 )
则在总分子中分子速率介于
v ~ v+∆v 的分子的概率为：
N N
Pv v v
当∆v→0 时，即得分子速率分布的概率密度函数：
F (v ) dN N dv
相应地，分子速率介于v ~ v+dv的概率即为：
d Pv v d v F ( v ) d v
（三）最概然速率vp：
vp 2kT m
2 RT Mm
vrms
f (v )
v
2
3kT m
3 RT Mm
（四）三种速率之比：
v p : v : v rms 1 : 1 . 128 : 1 . 224
v
o
v p v v2
1. 前面讨论理想气体 和 P 时曾用到 vrms v
v rms v 1.085 误差 8.5%
2 RT Mm
vp
意义： 若把整个可能的速率范围分为许多等间隔的小区间， 则在最可几速率vp所在区间中分子数所占比率最大。
3. 称概率密度取极大值时的速率为 最概然速率vp，也称最可几速率
vp
vp
2.4麦克斯韦速度分布
以直角坐标表示的速度空间
●以速度分量vx、vy、vz为坐标轴，
以从原点向代表点所引矢量来表示分子 速度方向和大小的坐标称为速度空间。
●速度空间是人们想像中的空间坐标，所 描述的不是分子的空间位置，而是速度 的大小与方向。
。
二、速度空间中代表点的分布
• ●若把某一瞬时所有分子所对应的速度 矢量代表点都标在速度空间中，就构成 代表点在速度空间中的一种分布图形， 如图所示
•若要求出分子速度x方向分量小于某一数值的 分子数所占的比率，则可对上式积分
v x dN (v ) ux N (0 v x ) 1 2 x ( ) exp(u x )dux 0 0 N N
•引入误差函数erf(x),
erf ( x) (
2
) exp( x 2 )dx
mv x m 1/ 2 m 1/ 2 N( ) exp( )dv x ( ) 2kT 2kT 2kT
2 m vy m vz 2 m exp ) exp dvy ( dvz 2kT 2kT 2kT
到vz+dvz区间内 划出一个体积为dvxdvydvz的微分元，如图所示。 ●数出在这微分元中的代表点的数目 dN（vx、vy、vz）， 并把
f (v x , v y , v z ) dN(v x , v y , v z ) Ndvx dvy dvz
到vy +dvy ，vz
称为坐标为vx、vy、vz处的麦克斯韦速度分布概率密度， ●它表示在dvxdvydvz小体积元 中代表点的相对密集程度。 我们可以这样来求出 dN（vx 、vy 、vz ）
最后说明，由于麦克斯韦在导出麦克斯韦速 度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相 互作用，故这一速度分布律一般适用于平衡 态的理想气体。
热学--麦克斯韦速度分布
p1 T1
p2 T2
热分子压差现象
n1 T2
n2 T1
热流逸现象
质量小的分子易于逸出小孔。这就为同位素分离提 供了一种十分有用的方法。 设容器中充满质量分别为m1和m2的两种分子所组成 的混合理想气体，其分子数密度分别为n1及n2。 若m1＜m2，则容器中m1分子减少的速率大于 m2分子 n1 减少的速率，从而使容器中的 n 2 逐步减小，说明 质量大的相对富度将增加。而另一容器中质量小的 同位素相对富度增加。
T=0 K时铜中自由电子平均速率
v 3 3 2E F vF 1.2 10 6 m s 1 4 4 me
§2.5 气体分子碰撞数及其应dt
dA o y vzdt vydt z vy
0
vz
单位体积内的分子数n ,单位面积为dA， 求单位时间内碰在单位面积上的总分子数。
2exp2221zyxidvktmvktmvfiii???二麦克斯韦速度分布三从速度分布导出速率分布二麦克斯韦速度分布三从速度分布导出速率分布ovxvyvzvdv2exp242232ktmvktmndvdvdvdnvddvvvddnzyxvv???dvvktmvktmdvvfndnv????22232exp24金属自由电子模型指出金属中的价电子是无相互作用的自由电子
三、从速度分布导出速率分布
dNv D(v) 4v 2 dv dNv m 3/ 2 mv D (v ) N( ) exp( ) dvx dvy dvz 2kT 2kT
2
vz
v o v
x
vy d v
dNv m 3/ 2 m v2 f (v)dv 4 ( ) exp( ) v 2 dv N 2kT 2kT
麦克斯韦速度分布定律
麦克斯韦速度分布定律麦克斯韦速度分布定律是研究理想气体分子速度分布的重要理论依据。
它是由苏格兰物理学家詹姆斯·麦克斯韦于19世纪中期提出的，对于理解气体分子的运动规律具有重要意义。
麦克斯韦速度分布定律描述了气体分子在给定温度下的速度分布特征，为热力学和统计物理领域的研究提供了极为宝贵的工具。
麦克斯韦速度分布定律的推导基于统计学和概率论的原理，它假设了分子之间的相互作用可以忽略不计。
在这个假设下，理想气体中各个分子的速度是相互独立的，并且服从正态分布。
这意味着，在给定温度下，气体分子的速度存在一个平均值和一个标准差，而速度的分布则呈现出钟形曲线。
根据麦克斯韦速度分布定律，气体分子的速度分布与温度有关，即温度越高，分子的平均速度越大。
具体来说，根据麦克斯韦速度分布定律，一个单原子理想气体的速度分布函数可以表示为：f(v) = 4π(μ/2πkT)^(3/2) * v^2 * exp(-μv^2 / 2kT)其中，f(v)表示速度分布函数，v表示分子速度，μ表示分子的质量，k表示玻尔兹曼常数，T表示温度。
从这个函数的表达式可以看出，速度分布函数是一个关于速度的概率密度函数，可以用来计算速度在某个范围内的概率。
对于正常的气体条件，速度的平均值与大多数分子的速度接近，而速度的标准差则反映了分子速度的分散程度。
麦克斯韦速度分布定律的应用范围非常广泛。
首先，它在热力学和统计物理中被广泛用于描述气体分子的运动和能量分布。
通过分析分子速度的分布特征，可以推导出气体的热力学性质，如压强、内能和热容等。
其次，麦克斯韦速度分布定律还在化学动力学研究中有着重要的应用。
通过对反应物分子的速度分布进行分析，可以预测反应速率和反应机理。
此外，该定律还可以应用于材料科学、天体物理学和等离子体物理学等领域。
尽管麦克斯韦速度分布定律是从理想气体模型出发推导得出的，但它在实际气体中的适用性相当广泛。
实际气体的分子间相互作用虽然不能完全忽略，但在适当条件下，可以将其近似看作理想气体，并利用麦克斯韦速度分布定律进行研究。
2.4 麦克斯韦速度分布律
v x v x dv x 在三维速度空间中， y v y dv y 内这一条件，表示所指的是这 v v v dv z z z
样一些分子，它们的速度矢量的端点都在一定体积元：速度空间， 体积元—微分元 dV dvx dvy dvz 数出这微分元中代表点的数目 dN( v x v y v z )
问题的提出：计算速度分量（速率）为某一定值，介于某一给 定范围内的分子数，即v或vx（vy，vz）的某一 给定范围内的分子 数。 1、相对于vp的速度分量分布的约化形式
具体算vx在0~ vx范围内的分子数 速度分量vx在vx ~ vx+d vx范围内的分子数
速度分量的相对速率
vx 令x v x vp dv x dN v
dN ( v x , v y , v z ) N
f ( v x , v y , v z )dvx dv y dvz
f ( v x , v y , vz )
dN( v x , v y , v z ) Ndvx dvy dvz
（2.31）
dN (v x ) 表示分子处于 N
v x v x dvx
N f ( v x）dvx f（v y）dv y f（v z）dvz
f ( v x , v y , v z )dvx dv y dvz
概率相乘法则：同时或依次发生的，互不相关（或相互 统计独立）事件发生的概率等于各个事件概率之乘积。 §2.4.2 麦克斯韦速度分布（Maxwell velocity distribution）
用速度分量表达： m f ( vk ) e 2kT
m( vx2 v y2 ) 2 kT
dvx dv y
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•
dN（vy）/N = f(vy)dvy • dN（vz）/N = f(vz)dvz 分别表示y及z方向速度分量的概率分布函
数。
●根据处于平衡态的气体的分子混沌性 假设，分子速度没有择优取向，故
f（vx）、f（vy）、f（vz）应具有相同形
• ●分子处于速度空问任一微小范围dvxdvydvz内
的概率是
• f（vx ，vy，vz）与dvxdvydvz的乘积。
§2.4.2 麦克斯韦速度分布 （Maxwell velocity distribution）
麦克斯韦最早用概率统计的方法导出了理想气 体分子的速度分布，这一分布可表示为
• f（vx ，vy，vz）dvxdvydvz=
以从原点向代表点所引矢量来表示分子 速度方向和大小的坐标称为速度空间。
●速度空间是人们想像中的空间坐标，所 描述的不是分子的空间位置，而是速度 的大小与方向。
。
二、速度空间中代表点的分布
• ●若把某一瞬时所有分子所对应的速度 矢量代表点都标在速度空间中，就构成 代表点在速度空间中的一种分布图形， 如图所示
2m kT 3/2ex p m (vx22 k vy 2T vz 2) dxd vyd vzv
•因为f（vx ，vy，vz)=
•
f(vx)dvxdvx·f(vy)dvy·f(vz)dvz
•麦克斯韦速度分布有
f(vi)div 2m kT 1/2ex pm 2ki2T v div
其中i 可分别代表x、y、z。
• ● vz任欲意求的分分子子速数度d的N(xv分x)量, 在vx 到vx+dvx内而vy、、 • 这就是速度空间中垂直于x 轴的无穷大薄平板中
的代表点数，显然可对vy、vz积分后求出：
d( v N x ) N ( v x ) f d x v f( v y ) d y v f( v z) d z
●把分子的速度矢量沿x、y、z方向的投影vx、 vy、vz作直角坐标图，
把所有分子速度矢量的起始点都平移到公共原 点O上。 ●在平移时，矢量的大小、方向都不变。 ●平移后，仅以矢量的箭头端点的点来表示这一 矢量，而把矢量符号抹去。 ●这样的点称为代表点。
如图中的P点所示。
以直角坐标表示的速度空间
●以速度分量vx、vy、vz为 就是所要求的概率
• ●因为vx ，vy，vz相互独立，故
•
dN（vx、vy、vz）/N
•
=f(vx)dvx·f(vy)dvy·f(vz)dvz
• ●显然，速度分布概率密度f（vx ，vy，vz） 是分子分别按速度的x、y、z方向分量分布的
概率密度f(vz)、f(vy)、f(vz)的乘积。
最后要问，分子速度分量处于
vx
到
vx+dvx，vy 到vy+dvy，vz 到vz+dvz范围内的
概率是多少？
•●只需在图中再作一
垂 直 于 vz 轴 的 、 厚 度 为dvz的无穷大薄平板
平板与柱体相交截得一体积为dvxdvydvz的小
立方体，计算出在小立方体中的代表点数
• dN（vx、vy、vz）
条中。
• ●因为分子落在垂直于dvx轴的平板内的概率 是f（vx）dvx，分子落在垂直于vy轴的平板内 的概率是f（vy）dvy。
• ●由相互独立的同时事件概率相乘法则可知，
• 分子落在方柱体内的概率为方柱体内代表点数
dN（vx，vy）与总分子数N的比值
•（
3
）
f(vx)dxv f(vy)dy v d( N v N x,vy)
式。
速度空间中一根截面积为dvx dvy的无穷长
的方条中的概率
（ 2 ） 进 一 步 问 ， 分 子 速 率 介 于 vx 到 vx+dvx，vy 到vy+dvy，而vz在任意的范围 内的分子数 dN（vx，vy）是多少？
●显然这些分子的代表点都落在一根平行
于vz轴、截面积为dvx dvy的无穷长的方
分量如何，只要速
度 x 分 量 在 vx 到 vx+dvx 范 围 内 ， 则
所有这些分子的代
表点都落在此很薄
的无穷 大平板中.
• ●若设此平板中代表点数为dN（vx）， 则dN（vx）/N 表示分子的速度处于vx 到vx+dvx而vy、vz为任意值范围内的概率。
• ●显然这一概率与板的厚度dvx成比例。 • ●并有dN（vx）/N = f(vx)dvx • 称分子x方向速度分量概率分布函数
2.4麦克斯韦速度分布
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§2.4.1速度空间 • 一、速度矢量、速度空间中的代表点 • （1 ) 速度矢量 • ●要描述气体分子的速度大小和方向，
需引入速度矢量这一概念，
• 速度矢量的方向和大小恰与此瞬时该分 子速度的大小、方向一致。
• ●一个分子仅有一个速度矢量。
（1) 速度空间中的代表点
到vz+dvz区间内 划出一个体积为dvxdvydvz的微分元，如图所示。
● 数 出 在 这 微 分 元 中 的 代 表 点 的 数 目 dN（vx、vy、vz），
并把
f(vx,vy,vz)d N N (v d x xd ,v vv y yd ,vz v z)
称为坐标为vx、vy、vz处的麦克斯韦速度分布概率密度，
速度空间中代表点分布与靶板上靶点分布类似：
●前面已指出，在图2.2（a）中，靶点位于x 到 x+dx，y 到y+dy范围内的概率是以
f（x，y）dxdy来表示的，其中dxdy为这一区域 大小，f（x，y）是黑点分布的概率密度。
（1）速度空间中小立方体dvxdvydvz中的概率
●在三维速度空间中，在vx 到vx+dvx，vy 到vy+dvy，vz
●它表示在dvxdvydvz小体积元
中代表点的相对密集程度。
我们可以这样来求出
dN（vx、vy、vz）
（2）速度空间中厚为dvx 无限大平板中的概率
首先问，在N个分子中速度 x分量落在vx 到
vx+dvx范围内而vy ,vz 在任意的范围内的分
子数 dN（vx）是多少？, 在速度空间中划出一个垂直于vx轴的厚度为 dvx的无穷大平板，如图所示. ● 不 管 速 度 的 y、z
N (2 m k)1 T /2ex 2 m k p x)T d ( v xv (2 m k)1 T /2