麦克斯韦速度分布律就是正态分布
§2[1].3麦克斯韦速率分布
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∫ vdN = v=
∞
2.方均根速率: v2 方均根速率: 方均根速率
v =
2
v2dN ∫ N
=
2
v2 Nf (v)dv ∫ N
= ∫ v2 f (v)dv =
0
∞
3kT 3RT = m µ
3kT 3RT RT v = = ≈1.73 . m µ µ
3.三种速率之比: v p : v : v 2 = 1 : 1.128 : 1.224 三种速率之比: 三种速率之比 它们三者之间相差不超过 23%,而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大 右图表示了麦克斯韦速率分布 中的三种速率的相对大小. 中的三种速率的相对大小. 在§1.6理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 证明中曾用到近似条件 v ≅ v 2
三.用麦克斯韦速率分布律求平均值
1.平均速率: 平均速率: 平均速率 (1)定义:大量分子速率的算术平均值. 定义:大量分子速率的算术平均值. 定义
(2)计算:* 计算:* 计算
由平均速率定义: 由平均速率定义:
∑ v ∆N v =
i
i
N
得:
∞ vNf (v)dv ∫0 N = ∫0 vf (v)dv N 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 8kT R 8RT RT v= ∵k = ∴v = ≈1.60 . πm NA πµ µ
l A S S ω B
φ P C
由于分子的速度大小不同,分子自 由于分子的速度大小不同,分子自B 到C 所需的时 间也不同,所以并非所有通过B 盘的分子,都能通过C 间也不同,所以并非所有通过 盘的分子,都能通过 盘狭缝射到P上 设分子的速率为v 盘狭缝射到 上.设分子的速率为 ,自B 到C 所需的时 间为 t ,
关于广义正态分布性质的研究
一、引言正态分布是由德国著名数学家高斯首先得到的，所以也常常称为高斯分布。
正态分布在数学、物理、化学及工程中都具有非常重要的地位，尤其在统计学中有着重大的影响力。
事实上，正态分布是应用最为广泛的一种分布，它存在于人们生产生活的各个方面。
例如，同一机器生产出的大量产品的质量分布；同一年龄段人类的身高、体重分布；某一地区年降水量的分布；科学实验中测量同一物体的误差分布，理想气体的速度分布等等。
现在人们知道，正态分布是由中心极限定理保证的。
实际应用中，还存在一些其他形式的分布，例如t分布、F分布等，其实，这些分布也是由正态分布直接导出的。
正态分布可以用来估计频数分布，制定参考值范围，质量控制等等。
然而，我们知道，作为保证正态分布的中心极限定理，是以大数法则为前提的，具体地说，事件的数目越多，中心极限定理越严格，才能保证趋向于正态分布。
理论上讲，事件的数目为无穷大时，中心极限定理才严格正确，分布才是正态分布。
实际生活中，事件的数目显然不是无穷大，因此正态分布实际上并不能准确无误地表示分布规律。
在本篇文章中提出以广义正态分布代替传统正态分布，可以很有效地解决这一矛盾。
二、广义正态分布及其运算法则传统正态分布的分布函数可表示为：p（x）=12√πσe（x-μ）2σ（1）从上式可以看出，正态分布的核心是自然指数e，是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值约为2.71828……，它是一个超越数。
自然指数在整个数学史上都具有非常重要的地位。
自然指数是由一个重要极限给出的。
即当n趋于无限时lim n→x（1+1/n）n=e。
以自然指数为底数的对数叫做自然对数，一般用ln表示。
自然对数的含义是在单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。
所谓广义正态分布，就是在传统的正态分布基础上，增加上一个量q，该量称为非广延参数，已经被广泛应用于物理、化学、生物、工程、经济、计算机科学等各个领域中。
它的正确性已经得到了广泛承认。
麦克斯韦气体速率分布律
麦克斯韦气体速率分布律Maxwell Velocity Distribution大家知道，由气体的温度公式可以得出气体分子的方均根速率。
例如在时，氦气。
氧气。
但我们要注意的是，方均根速率仅是运动速率的一种统计平均值，并非气体分子都以方均根速率运动。
事实上，处于平衡状态下的任何一种气体，各个分子均以不同的速率、沿各个方向运动着。
有的速率大于方均根速率，有的速率小于方均根速率，它们的速率可以取零到无穷大之间的任意值。
而且由于气体分子间的相互碰撞，每个分子的速度也在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。
然而就大量分子整体而言，在平衡状态下，分子的速率分布遵守一个完全确定的统计性分布规律又是必然的。
下面我们介绍麦克斯韦应用统计理论和方法导出的分子速率分布规律。
气体分子按速率分布的统计规律，最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中也导出该规律。
由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到本世纪二十年代才实现。
1920年斯特恩（O.Stern首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年密勒（Mlier和库士（Kusch测出钍蒸汽分子的速率分布。
斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验。
限于数学上的原因和本课程的要求，我们不推导这个定律，只介绍它的一些基本内容。
*麦克斯韦（J. C. Maxwell，1831—1879）英国物理学家，经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。
他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，这个理论包括电磁现象的所有基本定律，并预言了以光速传播的电磁波的存在。
1873年，他的《电磁学通论》问世，这本书凝聚着杜费、富烂克林、库仑、奥斯特、安培、法拉第……的心血，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。
04麦克斯韦速率分布律
速率分布函数
速率分布函数的物理意义： 附近， 速率分布函数的物理意义：表示在速率 v 附近，单位 速率区间内分子出现的概率， 速率区间内分子出现的概率，或单位速率区间内分子 数占总分子数的百分比。 数占总分子数的百分比。
由于全部分子百分之百地分布在由0到 由于全部分子百分之百地分布在由 到∞的整个速率范 围内， 取v = 0, v → ∞, 则有 : 围内， 1 2 ∞ N dN 归一化条件
dNv m 2 −mv2 2kT 2 π =4 v dv e N π 2 kT
3 2
麦克斯韦速率分布函数
m π f (v) = 4 e π 2 kT
−m 2 v
2kT 2
v
6
讨论： 讨论： 1. f(v)~v曲线 曲线
v = 0时 f (v) = 0 v → ∞时 f (v) → 0
M
∆N1v1 + ∆N 2 v2 + L + ∆N N v N n ∆N ivi 平均速率： 平均速率：v = =∑ i =1 N N N vdN ∞ dN Q = f (v) dv ∴ v = ∫ vf (v)dv v = ∫1 0 N N 11
v = ∫ vf (v)dv = ∫0
利用积分公式 ∫
麦克斯韦速率分布率
1
气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完 全是偶然的，但就大量分子的整体来看， 全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条 件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 这个规律也叫麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布律。 这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。
∆N N∆v
4. ∆v → dv 速率间隔很小， 速率间隔很小， 该区间内分子数为dN， 该区间内分子数为 ， 在该速率区间内分子的概率
7-6麦克斯韦气体分子速率分布律
dS
dN = f (v)dv = dS N
v
4
o
v v + dv
物理学 教程
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
f ( v)dv物理意义
dN f ( v )d v = N
的平衡状态下， 表示在温度为 T 的平衡状态下，速 附近单位速率区间 率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总 数的百分比 .
∞
15
物理学 教程
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
例
设气体分子速率分布遵循的规律为： 设气体分子速率分布遵循的规律为： Av 2 dv 0 ≤ v ≤ vm dN = 式中A为常数 为常数。 式中 为常数。 N v > vm 0 定出常数A；（ 求平均速率和方均根速率。 ；（2） （1）用vm定出常数 ；（ ）求平均速率和方均根速率。 ） 解：（1）由归一化条件 ）
9
物理学 教程
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
三 三种统计速率
（1）最概然速率 vp ）
df ( v) =0 dv v=vp
根据分布函数求得
f max
f (v)
o
vp
v
2kT kT vp = ≈ 1.41 m m ∴ vp = 2kT ≈ 1.41 RT
m M
10
QM = mNA , R = NA k
(4)
∫
v2
v1
1 mv 2 Nf ( v ) dv ——表示速率区间 1 —v2 内的 表示速率区间v 表示速率区间 2 分子平动动能之和 平动动能之和。 分子平动动能之和。
21
物理学 教程
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
(5) 某气体的方均根速率 v 2 =450m/s, 压强 压强p=7×104pa, ×
chap5-6麦克斯韦速率分布律
v
M H 0.002kg mol
M o 0.032kg mol
1
1
R 8.31J K mol T 300K
1
1
3RT v M
氢气分子 氧气分子
v 1.93 10 m s
3
1
v 483m s
-1
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
发展了M.法拉第关于电、磁相互作用必须
通过中间媒质的思想，并把这种中间媒质称为
以太 (后来研究表明，不存在所谓的以太，这 种中间媒质实际上是电磁场)，并在此基础上 提出了位移电流的概念 。 1868年继W.韦伯等之后，他以更高的精确 度测定了电荷的静电单位对电磁单位的比值，
并证实了它就等于光速。
在气体运动理论、光学、热力学和弹性理论 方面的重要贡献 1860年得出了理想气体分子按速度的统计分 布律，计算了分子的自由程。
N 1 N 1 d N 分布函数 f ( v) lim lim v0 Nv N v0 v N dv
f ( v)
物理意义
dS
o
v v dv
v
dN f ( v)dv dS N
归一化条件
表示在温度为 T 的平衡 状态下，速率在 v 附近单位 速率区间的分子数占总数的 百分比 . 表示速率在 v v dv 区间的分子数占总分子数的 百分比
2kT vp m
f ( v)
T1 300K
8kT v πm
f ( v)
O2
3kT v m
2
T2 1200K
H2
o
v p1 v p 2
v
o
vp 0 vpH
-麦克斯韦速率分布律
0
x x x
x
太原理工大学物理系
一、 速率分布函数
o
+
把速率分成很多相等的间隔
统计出每个间隔内的分子数N
N + 间隔内分子数与分子总数N之比 N
某 处单位速率间隔内分子数与总数之比 N 1 N v
N 1 N v 只与速率v有关，只是v 的函数。
vp
取 v v 2 ，并注意到
v2
3kT m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 2
2kT m
3 2
v
2 p
太原理工大学物理系
f ( v2 )
概率之比为
4
3
1
3
e2
2 vp
f (vp )dv
f (vp )
2
e
1 2
1.10
f ( v2 )dv f ( v2 ) 3
太原理工大学物理系
四、分子速率的实验测定
速率分布函数 f(v)可写为
f (v) 4 (
m
)3
2
v2e
mv2 2kT
2 kT
4
1
3
2
v2 v3p
ev2
v
2 p
4
2
v v2
v
2 p
e 3
vp
太原理工大学物理系
f (v)
4
2
v ev2
v
2 p
v
3 p
在上式中取v=vp ,得
f (vp )
4 1 e1
mol用于讨论速率分布用于计算分子的平均平动动能三种速率的使用场合地球形成之初大气中应有大量的氢氦但很多分子和he原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率112kms故现今地球大气中已没有氢和氦了
麦克斯韦速度分布律
m
vP v v2，与 T 成正比，与 m 成反比。
v 用于碰撞和输运过程的统计规律，v2 用于
温度和压强的统计规律。
【例8.8】计算温度为 300K 时，空气分子的最 概然速率、平均速率和方均根速率。
解 空气分子的平均质量 m = 47.98×1027 kg
vP
2kT m
21.381023 300 47.98 10 27
1859年，麦克斯韦首先用碰撞概率方法导出。
8.5.2 麦克斯韦速率分布律
1. 速率分布函数
f (v) dN (v) Ndv
物理意义：速 率 出 现 在v附近的单位速率区间 的分子数，占系统分子 总数的百分比。
或，一个分子的速率出现在v附近的单位速 率区间的概率 速率分布的概率密度
归一化条件： f (v)dv 1
0
2. 麦克斯韦速率分布律
分子在速度空间分布 概率密度为 FM (vx ,vy ,vz )， 分子速率处于球壳内的概 率：
dN (v) N
4πv2dv FM(vx ,vy ,vz )
速率分布函数可写成
fM (v)
dN (v) Ndv
4π v2FM
(vx
,vy
,vz
)
平衡态系统中分子的速率分布函数：
415
m s1
v 8kT 469 m s1 πm
v2 3kT 509 m s1 m
相当于子弹从枪口射出的速度！
8
π a5
8.5.1 麦克斯韦速度分布律 1. 速度分布函数
F (vx
,vy
,vz
)
dN (vx ,vy ,vz ) Ndv xdv y dv z
物理意义：速度出
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麦克斯韦认为：在任何方向，在单位速度间隔v~v + dv
内的分子数dN与总分子数N0的比值的分布规律为
dN F(v) ( m )1/2 exp( mv2 )
N0dv
2πkT
2kT
其中，k是玻尔兹曼常数k = 1.38×10-23J/K，T是热力学温度，m
是分子的质量，v是某方向的速度。F(v)就称为麦克斯韦速度分
氖气、氮气、氧气和氟气分子的分子量分别为2、4、20、28、
32和38，这些气体分子在300K时的速度分布曲线有什么异同？
[解析](2)在温度一定的情况下，不同分子的质量是参数，麦克 斯韦速度分布的函数曲线会随质量这个参数的改变而有所改变。
温度取300K，不论 分子质量如何，各种 气体分子的速度分布 曲线都是对称的。
布律。(1)氧气分子的分子量为32，氧气分子在300K到600K时
(温度间隔为100K)，速度分布曲线有什么异同？(2)氢气、氦气、
氖气、氮气、氧气和氟气分子的分子量分别为2、4、20、28、
32和38，这些气体分子在300K时的速度分布曲线有什么异同？
[解析](1)伽尔顿板实验中，当间隔分为 很多时，二项式分布就接近于正态分布。
麦克斯韦速度分布律就是正态分布。
{范例8.3} 麦克斯韦速度分布律
麦克斯韦认为：在任何方向，在单位速度间隔v~v + dv
内的分子数dN与总分子数N0的比值的分布规律为
dN F(v) ( m )1/2 exp( mv2 )
N0dv
2πkT
2kT
mv2/2是分子的动能，kT也具有能量的量纲， 对麦克斯韦速
当气体温度一定 时，分子的质量 越大则峰值越高， 说明：在相同的 速度间隔内，速 度小的分子数目 越多，速度大的 分子数目越少。
也就是说：在 相同温度下， 质量较大的分 子运动的剧烈 程度较小。
度间隔内， 分子数比较 多，速度很 大的分子比 较少。
温度升高则峰 值降低，说明： 在相同的速度 间隔内，速度 小的分子减少 了，速度大的 分子增加了， 分子运动得剧 烈些。
{范例8.3} 麦克斯韦速度分布律
麦克斯韦认为：在任何方向，在单位速度间隔v~v + dv
内的分子数dN与总分子数N0的比值的分布规律为
是所有分子一个自由度平均平动动能的2倍。 度分布律积分
1 dN ( m )1/2 exp( mv2 )dv
N0
2πkT
2kT
ห้องสมุดไป่ตู้
左边积分是总分子 数，因而左边为1。
设 x
mv 2kT
因而得 1 ( 1 )1/2 exp(x2 )dx
π
可以证明 exp(x2 )dx 1 π
0
2
可知：( m )1/2 2πkT
是归一 化常数。
F(v)的单位是速度单位的倒数，即s/m。
质量一定的分子，温度是参数，麦克斯韦速 度分布函数的曲线形状由温度这个参数决定。
以氧气为例，不论 温度如何，分布函 数按速度的变化曲 线都是对称的，说 明：在任何速度附 近，在相等的速度 间隔内，运动速度 曲线的中间 方向相反的分子数 有一个峰值， 同样多，因而分子 说明在速度 的平均速度为零。 接近零的速
dN F(v) ( m )1/2 exp( mv2 )
N0dv
2πkT
2kT
其中，k是玻尔兹曼常数k = 1.38×10-23J/K，T是热力学温度，m
是分子的质量，v是某方向的速度。F(v)就称为麦克斯韦速度分
布律。(1)氧气分子的分子量为32，氧气分子在300K到600K时
(温度间隔为100K)，速度分布曲线有什么异同？(2)氢气、氦气、