麦克斯韦—玻尔兹曼分布(M—B分布)
麦克斯韦-玻耳兹曼分布
ii
Ng je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
按能级分布与按量子态分布
Nl
el /(kT )
N
q
q
eh /(kT )
h
3.粒子全同性的修正
平动能不能为零，必须有外部限制作用，才能 使粒子定域，所以不可能有独立的定域子，但 特定条件下，定域子可以简化为独立子（12.9 节）。定域子可以通过其所处位置与其他定域 子区分，不需要全同性修正。
gj Nj
N
j
N j Nj
ln
j
gj Nj
N
j
0
N
jNj
N
N
j
j
0
E
j jN j E
j
jN
j
0
拉格朗日未定乘数法
ln j
gj Nj
N
j
0
N
N
j
j
0
E
j
jN
j
0
j ln
gj Nj
j
N j
0
ln
g0 N0
0
N0
ln
g1 N1
1
N1
ln
ii
0, 1, 2,
Ng je j /(kT ) q
N e
( v 0 ) kT
N0
h
e kT
例：一维简谐振子的振动能 v
1 2
h 。一定温
度下已知处于振动第二激发能级的分子数与基态分
子数之比为0.01，则处于振动第一激发能级的分子
数与基态分子数之比是多少？
解：
N j
麦克斯韦速率分布规律
麦克斯韦速度分布律任何宏观物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。
这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。
然而，对于大量粒子来说，如果系统处于或接近处于平衡，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例。
它以詹姆斯麦克斯韦和路德维希玻尔兹曼命名。
1定义气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。
这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。
2历史1859年，麦克斯韦首先获得气体分子速度的分布规律，尔后，又为玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。
处于平衡状态下的理想气体分子以不同的速度运动，由于碰撞，每个分子的速度都不断地改变，使分子具有各种速度。
因为分子数目很大，分子速度的大小和方向是无规的，所以无法知道具有确定速度υ的分子数是多少，但可知道速度在υ1与υ2之间的分子数是多少。
麦克斯韦首先得到，在平衡状态下，当气体分子间相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间υ~υd υ内的分子数与总分子数的比率为：麦克斯韦速率分布函数。
3内容在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v~vdv的分子数占总分子数的比率为: 麦克斯韦速率分布函数。
4速率分布函数按统计假设，各种速率下的分子都存在，可以用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比来表示分子按速率的分布规律。
1）将速率从0→∞分割成很多相等的速率区间。
例如速率间隔取100m/ ,整个速率分为0-100;100-200;…等区间。
2）总分子数为N，在v→v△v区间内的分子数为△N在v→v△v区间内的概率为△Ni/N。
则可了解分子按速率分布的情况。
3）概率错误!△Ni/N与v有关，不同v附近概率不同。
错误!△Ni/N与△v有关，速率间隔大概率大。
→dv速率间隔很小，该区间内分子数为dN，在该速率区间内分子的概率dN/N∝dv写成等式fv=dN/Ndv表示分布在v→vdv区间内的分子数占总分子数的比率或百分比。
3.5三种统计法(24)好
1.设有N个粒子，能级为εi，每个能级的简并度为gi。 2.假设某一种分布为：εi能级上分布粒子数为ni，求出此分布下的热力学概率， 即所包含的总的微观状态的数目。（经典粒子，玻色子、费米子） 3.求出包含微观状态数最多，即热力学概率最大的一种分布。 4.热力学量的统计表达式。
一、麦克斯韦-玻尔兹曼(M-B)统计
熵的统计意义：Boltzmann提出熵与体系 微观状态数的关系为：
S=k㏑=klnWmax ? Wmax: 最可几分布具有的微观状态数。
4. 定域体系热力学量的统计表达式 利用宏观量是相应微观量的统计平均值和玻尔兹曼分布公式可求出
ni
N Z1
giei
Z1 giei
i
1
KT
S K ln
A N kTlnq
宏观体系的热力学平衡态拥有数目极其巨大的微观运动状态。这些微观运动状 态存在于各种不同的分布中。
自然界的微观粒子分为两大类: 玻色子(Bose particle)：不遵守保利不相容原理，遵从全同性原理，交换任何两
粒子构成系统新的微观状态，任一单粒子态对填充的粒子数无限制。 费米子(Fermi particle)：遵守保利不相容原理，任一单粒子态最多只能被一个粒
直可以完全忽略不计。 • 最可几分布出现的几率仍很小，且随体系粒子数目的增多出现几率更
小，但若把最可几分布和其紧邻分布加在一起，出现几率就非常接近 于1了。
若令 N=6×1023，偏差 10 10
几 率
则
t e e 10 最可几
610231010
6000
2605
t/
表明即使与最可几分布相差很小的分布，与最
分三步考虑：
1.若粒子与隔板都全不相同，则全排列为：(ni+gi-1)! 2.设全同粒子变成不同，排列方式应增大ni!倍。 3.同样，若把隔板也换成完全不同，则排列方式应增大(gi-1) !倍。
84麦克斯韦玻尔兹曼分布
三、三种统计速率
1、最可几速率
•定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最 概然速率。 •物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等 的小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率 最大。
• vP的值： df v 0
dv
vp
2kT m
2RT 1.41 M
RT M
2、平均速率
•定义：
大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。
法国物理学家佩兰据此测量了玻耳兹曼常数进 而得到了阿伏伽德罗常数，于1922年获得了诺 贝尔物理奖。
五、重力场中等温气压公式
假设：大气为理想气体 不同高度处温度相等
利用：p = nkT
可得:
n n0emgh kT n0e Mgh RT
p p0e Mgh RT p0emgh kT
每升高10米，大气压强降低133Pa。近似符合实际，
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
•他提出了有旋电场和位移电流概念， 建立了经典电磁理论，预言了以光 速传播的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世， 这是一本划时代巨著，它与牛顿时 代的《自然哲学的数学原理》并驾 齐驱，它是人类探索电磁规律的一 个里程碑。
占总分子数的比率。
2.Nf (v)dv dN
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v速率区间内的分子数。
3.nf (v)dv N dN dN VN V
—— 单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数。
4. v2 f (v)dv N (v2 ) dN
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
T2 T1
vHale Waihona Puke 66.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
4
3.曲线下面的总面积
S f (v )dv
0
N
0
dN 1 N
f (v )
dN f (v ) Ndv
dS
归一化条件
0
f v dv 1
4.曲线极大值的意义
o
f (v )
v dv
v
●速率值在 vP 附近的分子数占 总分子数的比率最大。
●或者说一个分子的速率取值 在vP 附近的概率最大。 ●速率 vP —最概然速率。
8
2.平均速率 v
●气体分子速率的统计平均值
dN f (v )dv N
v ~ v dv 内分子数：dN Nf (v )dv
dN 个分子速率总和：vdN vf (v ) Ndv
v
N
0
vdN N
0
vNf v dv N
vf v dv
0
●求分子速率的各种统计平均值的一般方法:
二、麦克斯韦速率分布律 ⒈ 速率分布函数 ★对某一个分子来说，其速度大小和方向完全是偶 然的。但就大量分子整体而言，在一定条件下，其 速度分布遵从一定的统计规律。 设 N 个分子，速率分布于 v ~ v + dv 区间的分子数为 dN ，则
理想气体的状态方程和分子动理论
理想气体的状态方程和分子动理论理想气体是指分子之间不存在相互作用力，分子体积可以忽略不计的气体。
它是研究气体行为和性质的理想化模型。
在研究理想气体时，我们通常采用状态方程和分子动理论来描述其性质和行为。
一、状态方程理想气体的状态方程描述了气体的压强、体积和温度之间的关系。
根据研究者的不同，有多种不同形式的理想气体状态方程。
其中最常用的是以下三个状态方程：理想气体状态方程、范德瓦尔斯方程和麦克斯韦-玻尔兹曼分布方程。
1. 理想气体状态方程理想气体状态方程由理想气体的压强、体积和温度三个物理量之间的关系构成。
它可以表示为：PV = nRT其中，P表示气体的压强，V表示气体的体积，n表示气体的物质的量，R为气体常数，T表示气体的温度。
2. 范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程是对理想气体状态方程的修正，考虑了分子之间存在的相互作用力和分子体积，可表示为：(P + an^2/V^2)(V - nb) = nRT其中，a和b为范德瓦尔斯方程的修正参数，能够更精确地描述气体的行为。
3. 麦克斯韦-玻尔兹曼分布方程麦克斯韦-玻尔兹曼分布方程描述了气体分子的速率分布。
根据该方程，气体分子的速率服从麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布律，可表示为：f(v) = 4π((m/(2πKT))^3/2) * v^2 * exp(-mv^2/(2KT))其中，f(v)表示分子的速率分布函数，m为分子的质量，K为玻尔兹曼常数，T为气体的温度。
二、分子动理论分子动理论是研究气体分子运动及其性质的理论。
它基于分子的运动理论，解释了气体的压强、温度和体积等宏观性质。
1. 分子速率和平均速度根据分子动理论，气体分子的速率是不同的，呈速率分布。
根据麦克斯韦-玻尔兹曼分布方程，可以计算出气体分子的平均速度。
平均速度与气体的温度相关。
2. 分子碰撞和压强分子动理论认为，气体分子之间发生的碰撞会产生压强。
气体的压强由分子的碰撞频率和平均碰撞力决定。
根据分子动理论，压强与气体分子的速率和密度有关。
Maxwell-Boltzmann分布律
Maxwell-Boltzmann分布律
对于N,V,E确定平衡态体系，有很多可及的能级分布， 根据等几率假设，微观状态数最大的分布出现的概率也最大， 这种分布称为最概然分布
状态7 A: n=1 B: n=0 C: n=3
B: n=1
C: n=3
E 11/2h
9/2h n=0,E=1/2h n=1,E=3/2h 7/2h
n=2,E=5/2h
n=3,E=7/2h n=4,E=9/2h n=5,E=11/2h …… 3/2h 5/2h
1/2h
状态8 A: n=3 B: n=1
i
i ! i (i 1) (i ni 1) in tM B tF D ni ! N! i ni !(i ni )! i i ni !
玻色子分布与费米子分布在非简并条件趋向相同，都趋向 于麦-玻分布，显然N！是粒子不可分辨性代入的校正因子
状态9 A: n=1 B: n=3 C: n=0
状态10 A: n=0 B: n=2 C: n=2
状态11 A: n=2 B: n=0 C: n=2
状态12
A: n=2 B: n=2 C: n=0
状态13 A: n=2 B: n=1 C: n=1
状态14 A: n=1 B: n=2 C: n=1
状态15 A: n=1 B: n=1 C: n=2
Lagrange不定乘数α,β由守恒条件确定
N ni i e i
i i
（ 8）
E ni i ii e i
i i
10.2麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
dN ) v f (vmv N m dv
2 2 kT RT v 2
§10.2
麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v )
平均速率
O
v
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
(3)方均根速率： 气体分子速率平方的平均值的平方根。
v
2
v
2
N dN f ( v ) m 1. 73 f (v ) 4 N e dv 2kT
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
1.分子热运动的基本特征 分子热运动的基本特征是永恒的运动与频繁 的相互碰撞。它与机械运动有本质的区别，故不 能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。
(1)无序性 某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的； 各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正 是热运动与机械运动的本质区别。
§10.2
麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
统计方法： 气体动理论中，求出大量分子的某些微观量 的统计平均值，用它来解释实验中测的宏观量， 故可从实测的宏观量了解个别分子的真实性质。
统计方法同时伴随着起伏现象。 如对气体中某体积内的质量密度的多次 测量，各次测量对平均值都有微小的偏差。当气 体分子数很大时，起伏极微小，完全可忽略；当 气体分子数较小时，起伏将与平均值可比拟，不 可忽略。故统计规律只适用于大量分子的整体。
3 2
mv
2 2 kT v 2
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v )
最 概 然 速 率
O
vp
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
(2)平均速率：气体分子速率的算术平均值。
v
N
0
08-2麦克斯韦-玻尔兹曼统计
麦克斯韦-玻尔兹曼统计
例如，气体分子平动能的公式为：
i
h2
8mV3/2
(nx2ny2nz2)
式中 nx , ny和nz分别是在 x, y和z轴方向的平动量
子数，当
i
h2 8mV 3/ 2
3
则 nx1,ny1,nz1,
只有一种可能的状态，则 g i 1 ，是非简并的。
2019/7/26
物理化学II
10
统计热力学基础
麦克斯韦-玻尔兹曼统计
当i8mhV23/26
nx ny
nz
11 2
12 1 21 1
这时，在 i 相同的情况下，有三种不同的微观 状态，则 g i 3 。
2019/7/26
物理化学II
11
统计热力学基础
麦克斯韦-玻尔兹曼统计
麦克斯韦-玻尔兹曼统计
(一) 麦克斯韦-玻尔兹曼（M-B） 统计法 (二) 麦克斯韦-玻尔兹曼（M-B ）统计规律
i
i
k B [N ln N n i(ln g iln n i)] i
lngilnni*i
kB [N lnN n i(+i)] i
Sk B [N ln N N U ]
ni*i U
i
2019/7/26
物理化学II
22
统计热力学基础
麦克斯韦-玻尔兹曼统计
g ni i
i n1!
Wn 1,n2, ,ni, ,nk
改变ni ( i = 1,2,3…k )，求 W 最大
ln W = 0
lW n ln W 1 nn 1 ln W 2 nn 2 ln W inn i 0(1)
高二物理竞赛麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律PPT(课件)
16
理想气体内能
内能：气体内所有分子的动能、分子内的势能与分子间的 相互作用势能的总和。
理想气体内能： • 对理想气体，分子间的势能为0； • 对刚性分子，分子内的势能为0。
k R 波尔兹曼常数
NA
理想气体内能是其所有分子的平均动能之和。
刚性分子：无内部相对运动。
• 单原子分子： (He氦、Ne氖、…)
i t 3
• 双原子分子： (O2、H2、CO…)
• t=3 • r=2 • 绕轴转动自由度无意义
i tr 5
• 多原子分子： (H2O 水蒸气、CO2、…)
i tr 6
14
能量均分定理(按自由度)
在温度为T 的平衡态下，气体分子
每个自由度所对应的平均动能都等于
双原子分子： (O2、H2、CO…)
1 kT 2
1. 平动情况： 重力场中粒子按高度的分布
6* 麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律
重力场中粒子按高度的分布
1 3 6* 麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律
由平均平动动能： mv kT 重力场中粒子按高度的分布
2 2 对刚性分子，分子内的势能为0。
2 k
9* 真实气体 范德瓦耳斯方程
统计物理学的奠基人之一.
每个平动自由度的平均平动动能：
经典名著：《气体理论讲义》 dN /(N ·dv)：某 v 处单位速率间隔内分子数与总数N之比。
重力场中粒子按高度的分布
玻耳兹曼
1844年～1906年
5. 气体动理论
5.1 热运动的描述 理想气体模型和状态方程 5.2 分子热运动和统计规律 5.3 气体动理论的压强和温度公式 5.4 能量均分定理 理想气体的内能 5.5 麦克斯韦速率分布律 5.6* 麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律