第三章费米分布及玻耳兹曼分布

E EF 5kT时, f (E) 0.007 E EF 5kT时, f (E) 0.993
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3.2.2 玻耳兹曼分布函数
低掺杂半导体中， 载流子统计分布 通常遵顺玻耳兹 曼统计分布。这 种电子系统称为 非简并性系统。
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高掺杂半导体， 载流子服从费米 统计，这样的电 子系统称为简并 性系统。
3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
电子按量子态分 布(费米或玻耳兹 曼分布)
第三章 半导体中载流子的统计分布
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本章要点
理解费米分布和玻尔兹曼分布的前提条件，及费米函数的性质。 熟悉导带电子和价带空穴浓度的分析推导过程。 掌握杂质半导体费米能级随杂质浓度和温度的变化关系。 掌握本征、杂质半导体中载流子浓度的计算。 简并半导体的简并化条件及简并情况下载流子浓度的计算。 热平衡态下半导体中载流子浓度满足关系式。
E
EF kT
－1
ห้องสมุดไป่ตู้
exp(- E - EF kT
)
即这时电子的费米分布函数转化为电子的玻耳兹曼分布函数：
fBE
exp
E EF k0T
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3.2.2 玻耳兹曼分布函数
2. 空穴的玻耳兹曼分布函数
类似地，若 EF E kT时, exp [(EF-E)/kT] 1 此时,空穴的费米分布函数近似为
T=0K： 若E<EF，则 f(E)=1； 若E>EF，则 f(E)=0。 T>0K： 若E= EF ， 则f(E) =1/2 ； 若E< EF ， 则f(E) >1/2 ； 若E> EF ， 则f(E) <1/2 ；
费米分布函数与温度的关系
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3.2.1 费米分布函数
温度升高，能量比EF高的量子态被电子占据的概率上升。 E EF 5kT时, f (E) 0.007 E EF 5kT时, f (E) 0.993
对硅， 导带底共有6个对称状态，m dn 1.08m0; 对锗，s 8，m dn 0.56m0
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.3 状（能）态密度的总结
3.1.3 状（能）态密度的总结
3.2 费米能级和载流子的统计分布
热平衡状态下，电子按能量大小，具有一定的统计分布规律性。 电子是费米子，遵从费米分布。
－1
f
V F
E
1＋exp
EF k
T
E
exp(- EF - E ) kT
这时空穴的费米分布函数转化为空穴的玻耳兹曼分布：
f
V B
E
exp
EF k0T
E
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3.2.2 玻耳兹曼分布函数
非简并系统和简并系统
通常将可以用玻尔兹曼分布描述的系统称为非简并系统，而 必须用费米分布描述的系统称为简并系统。
gc (E)
dZ dE
4V
s(8mxm*ym*z )1/ 2 (E h3
EC )1/ 2
若等能面为旋转椭球面，即 m*x m*y mt ; m*z ml
并令： mn* mdn s2/3 (ml mt2 )1/3
则：
gc (E)
4V
(2mn )3/ 2 h3
(E
EC )1/ 2
mdn : 导带底电子状态密度有 效质量。
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引言
热平衡状态: 在一定的温度下，给定的半导体中载 流子的产生和复合同时存在，最后达到一动态平 衡。
热平衡载流子浓度：当半导体处于热平衡状态时， 半导体导带电子浓度和价带空穴浓度都保持恒定 的值，这时的电子或空穴的浓度称为热平衡载流 子浓度。
3
3.1 状态密度
4
3.1.1 三维情况下的自由电子运动
3.1.1 三维情况下的自由电子运动
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
假定有s个相同椭球，可得到状态密度：
3.2.1 费米分布函数
绝对温度T 下的物体内，电子达到热平衡状态时，一个 能量为Ｅ的独立量子态，被一个电子占据的几率f(E）为：
fnE
1
EEF
电子的费米分布函数
1 e k0T
K0为玻尔兹曼常数。 EF为一个类似于积分常数的一个待定常数，称为费米能级。
3.2.1 费米分布函数
它描述了在热平衡状态下，在一个费米粒子系统（如电子系统）中 属于能量E的一个量子态被一个电子占据的概率。
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3.2.1 费米分布函数
空穴的费米分布函数：
f
V
(E)
1－f
E
1＋exp
EF k0T
E
－1
fV(E)与1-f(E)是关于EF是对称的，即为电子-空穴几率对称性。
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3.2.1 费米分布函数
费米能级在能带中的位置： 对于金属晶体，价电子只能部分填满最外的导带，费 米能级位置在导带中。
对于电子系统，当填充的能级的位置都能满足: E-EF>>kT 时，可以用玻尔兹曼分布来计算电子的填充几率， 此时的电子系统是非简并的； 对于空穴系统，当填充的能级的位置都能满足: EF-E>>kT 时，可以用玻尔兹曼分布来计算空穴的填充几率 ，此时的空穴系统是非简并的。
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
意义：当粒子系统中的微粒子非常稀少时，粒子必须遵守的泡 利不相容原理自动失去意义。即系统中每一个量子态不存在多 于一个粒子占据的可能性。
除去在EF附近的几个kT处的量子态 外，在 E EF kT 处，量子态为 电子占据的几率很小。即在 E EF kT 的条件下，泡里不相容原理失去作 用，费米分布和波耳兹曼分布这两 种统计的结果是相同的。
对于半导体晶体，价电子填满了价带，最外的导带是 空的，费米能级位置在禁带内，且随其中的杂质种类、杂 质浓度以及温度的不同而改变。
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3.2.2 玻耳兹曼分布函数
1. 电子的玻耳兹曼分布函数 E EF kT时, exp [(E-EF )/kT] 1
此时,电子的费米分布函数近似为
f F E
1＋exp
可见，温度主要影响费米能级附近的电子状态。
关于费米能级的几个要点： 1、一般可以认为，在温度不太高时，能量大于EF 的电子态基本 上没有被电子占据；能量小于EF 的电子态，基本上被电子所占据， 而电子占据E=EF能态的几率在各种温度下总是1/2；
2、EF 标志了电子填充能级的水平， EF位置越高，则填充在较高 能级上的电子就越多。