费米分布和热容
费米系统与费米气体的性质
姓名：学号：班级：费米系统与费米气体的性质一、费米系统：1.费米子与费米系统相关的简单介绍自然界中微观粒子可分为两类：玻色子和费米子。
在“基本”粒子中，自旋量子数为半整数的是费米子；自旋量子数是整数的是玻色子。
在原子核、原子和分子等复合粒子中，由玻色子构成的复合粒子和由偶数个费米子构成的复合粒子都是玻色子；由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。
由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利（PauLi ）不相容原理：即在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。
由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束，即由多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个体量子态的玻色子数目是不受限制的。
由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻尔兹曼系统。
2. 从微观上看费米系统设一系统由大量全同近独立粒子组成，具有确定粒子数N 、能量E 和体积V 。
以l ε（l=1,2,…）表示粒子的能级， l ω表示能级l ε的简并度。
N 个粒子在各能级的分布可以描述如下：能 级 1ε，2ε，…， l ε，… 简并度 1ω，2ω，…，l ω，… 粒子数 1a ，2a ，…，l a ,…即能级1ε上有1a 个粒子，能级2ε上有2a 个粒子，……，能级l ε上有l a 个粒子，……。
为书写方便起见，以符号｛l a ｝表示数列1a ，2a ，…，l a ,…，称为一个分布。
显然，对于具有确定的N ，E ，V 的系统，分布｛l a ｝必须满足条件：N all=∑， E a ll l =∑ε才有可能实现。
对于玻尔兹曼系统，与分布｛l a ｝相应的系统的微观状态数 B..M Ω： （1）则可推导出费米系统的微观状态数为 ： （2）ωlB M allllN a ∏∏=!!..Ω∏-=ll l l a )!1(!!F.D.ωωΩ3.费米系统的最概然分布：对（2）式取对数，得（其中∑l对粒子的所有量子状态求和）（3）假设l a >>1，l ω>>1，1>>-l l a ω，上式可近似为（4）根据上式的Ωln ，用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然分布为（5） （5）式称为费米-狄拉克分布，简称费米分布，拉氏乘子α和β由式（6） 在许多问题中，也往往将β当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的第二式确定系统的内能；或将α和β都当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的两式确定系统的平均总粒子数和内能。
6.1电子气的费米能和热容量
均势能的势场中运动)； (3)价电子服从费米—狄拉克分布。
g n e( EEF ) kBT 1
2.费米分布函数
在热平衡时，能量为E的状态被电子占据的概率是
1 f ( E ) e(EEF ) kBT 1
EF---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意 义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。 它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。
2
3 5
EF0
π2 4
(kBT )2 EF0
2.每个电子对热容量的贡献
CV
E T
V
π2 2
kB
kBT EF0
π2 2
T TF0
kB
TF0 EF0 kB
CV
π2 2
T TF0
kB
在常温下晶格振动对热容量的贡献的量级为J/mol·k2而
第六章 金属自由电子论
电子气的费米能和热容量 接触电势差 玻尔兹曼方程 驰豫时间的统计理论 金属电导率
§6.1 电子气的费米能和热容量
自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用 的 、遵从泡利原理的电子气。
一 费米能量
1.模型(索末菲)ห้องสมุดไป่ตู้
(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；
(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平
kBT TF0
2
当温度升高时，EF 降低。
在金属熔点以下,T<< TF0 , EF与 EF0 差别不大。
二 金属中电子气的热容量
1.每个电子的平均能量
第六章总结
1 E EF 1 f (E) E EF 2 0 E EF
a. T 0
E E F 1 f ( E ) 陡变 E E F 0 E EF
2.费米能
2 0 EF 3 nπ 2 2m
23
k F 3nπ
f 的方程。 f t t f ＋ t 碰 0
漂
f t
漂
f k f r r k
f t
＝b a
碰
' dk a f ( k , t ) 1 f ( k , t ) ( k , k ) k ( 2 π)3 ' dk b f ( k , t ) 1 f ( k , t ) ( k , k ) k ( 2 π)3
2 x
如果金属电子的等能面是球面
ne F m
2
m 2 ne F
作业： 思考题1、4
f (E) 1 e
( E E F ) k BT
1
2 0 EF 3 nπ 2 2m
23
2 13
π 2 kBT 0 E F E F 1 0 12 TF
2
3 每个电子对热容量的贡献
π2 T 0 kB CV 2 TF
常温下电子对与热容量的贡献很小。这是因为在常温下， 费米球内部的电子从晶格振动获取的能量不足以使其跃迁到 费米面附近或以外的空状态，只有费米面附近kBT范围的电子
的电子被散射的总的概率，因而上式说明弛豫时间就是电子的 自由碰撞时间。 式中(1-cos)因子的作用可作如下分析： 若散射是小角度的，即k’与k接近，角很小，(1-cos)值也
费米分布
2
CV AT BT 3
e
1
E
E F E F [1
EF
0
0
2 k BT
12 E F (
2 ) ], 0
E F 是绝对零度时的费米能 级.
T=0K时费米分布函数
f(E)
（2）金属中自由电子的能级与能级密度 • 模型：金属中的传导电子是中一定深度 的势阱中运动的自由电子。
V
0 x L 0 y LV 0 0 z L x 0, x L y 0, y LV z 0, z L
（1）费米分布
• 即自由电子气处于热平衡时能量为E的能 1 级被电子占据的几率：f ( E )
E EF BT
• 其中，EF具有能量量纲，称为费米能级。 绝对零度时，费米函数具有如下性质：
1）F(E)=1，若E<EF； F(E)=0，若E>EF。
（EF是绝对零度时最高的电子填充能级） 2） T>0K时，f(EF)=1/2，即费米能级是被子电子占 据的几率等于不被电子占据的几率。
能量本征值：
特点：分立能级
2 2 2 1 2 2 2 E (k x k y k z2 ) (nx n2 n ) y z 2m 2m L2
能级密度：
4V ( 2m ) N (E) 3
3
2
E
（3）电子比热容
k BT CV kB ( 0 ) 2 EF
（I）常温下，电子比热可忽略。大多数电子基本上不 参与热激发，仅有EF0附近的kBT范围内的电子才能激发。 这部分电子仅占全部电子的kBT/EF0。
金属费米能级随温度的变化
金属费米能级随温度的变化金属可以看作是由大量金属原子组成的晶体，其中的电子充分利用晶格的周期性位势而形成能带结构。
在近零温度下，金属内部的电子分布受费米能级的限制，只有能量低于费米能级的电子可以填充到空位中。
但是，随着温度的升高，金属内部的电子分布会发生变化，费米能级也会相应地发生变化。
费米能级是指在零温度下，库仑排斥力和泡利不相容原理共同作用下，电子互相排斥并填充能量较低的能级，最后达到一个最高的能级，这个能级就是费米能级。
费米能级的特征是，它将电子分成两个部分，一部分位于费米能级以下，另一部分位于费米能级以上。
费米能级以下的电子称为“价电子”，能参与导电和化学反应，而费米能级以上的电子称为“导电电子”，几乎不参与化学反应。
随着温度升高，金属内部的电子会获得更多的热能，同时，库仑排斥力和泡利不相容原理的作用也会逐渐减弱。
这就导致费米能级发生了一定程度的移动，而且移动的方向取决于温度和金属的电子性质。
对于一些低温超导体，随着温度升高，费米能级会从价带中逐渐移向导带中，因此导电性会随着温度的升高而变弱。
而对于大多数金属，费米能级则会从导带中向下移动，这就导致导电性和热传导性随着温度的升高而变强。
这种现象可以用来解释为什么金属在高温下容易发生熔化和形变，因为Costello效应减弱了金属的塑性和硬度。
相反，当电子能级随温度升高而下降时，金属的硬度增加，使其更加耐磨和耐热。
对于一些很少见的金属，如一些稀-earth元素和转变金属，费米能级的变化比较独特。
由于这些金属的内部结构比较特殊，它们的费米能级会发生小幅度的变化，而且其他电子属性也可能随之发生变化，这包括电阻、热容量和霍尔系数等等。
为了更好地理解费米能级随温度的变化，我们需要深入研究金属电子的结构和运动规律，以及金属的热物理性质。
这将帮助我们在高温下更有效地利用金属，从而促进工业和科技的发展。
总结本文讨论了在金属中发生的费米能级随温度的变化。
随着温度的升高，费米能级会向上或向下移动，这取决于金属的电子性质。
固体物理第一章第二节 自由电子气体的热性质
2
6
Q( )(k BT ) 2
准确到二级近似，略去高次项得：
I Q( )+
2
6
Q( )(k BT ) 2
取：
H g ( )
则：I = n
此外,我们已知,化学势 和T0时的费米 能量0F非常接近,所以，我们可以将Q()在0F 附近展开，即
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
此外,对于I=n有：
0 F
H ( ) g ( )
0 F
（1） 代入下式，并只取到一级近似
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
0 0 0 Q F H ( F ) g ( F )
d Q( ) Q( ) ( g ( )) 0 F d
0 F
代入
I Q( )+
Q( )(k BT ) 2 得到： 6
2 0 F
2
其中
d 2 u u0 ( ) g ( ) [ g ] 0 (kBT ) F 6 d
0 F 0 F
1.计算单位体积电子的能量
自由电子气体在一般温度下单位体积的总能 量（内能）为：
u g ( ) f ( )d
０
这又是费米积分形式
I H ( ) f ( )d
０
且我们已知上式近似为
I Q( )+
0 F
2
6
0 F
Q( )(k BT ) 2
半导体物理简并半导体费米分布
半导体物理简并半导体费米分布
半导体物理中的简并半导体费米分布是指，在某些情况下，费米能级可以接近导带底或价带顶，甚至会进入导带或价带中。
此时，导带中量子态被电子占据或价带中量子态被空穴占据的概率非常小，必须考虑泡利不相容原理的限制，因此玻耳兹曼分布函数不再适用，而必须应用费米分布函数来分析能带中的载流子统计分布问题。
在含施主杂质的n型半导体中，当掺杂浓度较高时，在低温弱电离区，费米能级随温度的增加而上升，并在某个温度下达到最大值，这个最大值可能会超过导带底并进入导带中。
在含受主杂质浓度较高的P型半导体中，同理，费米能级也有可能在某个温度下达到最小值，并进入价带中。
发生载流子简并化的半导体称为简并半导体，简并半导体表现得更接近金属，常见于杂质浓度较高的情况。
在实际应用中，需要根据具体情况选择适当的半导体材料和掺杂浓度，以满足不同的应用需求。
4-4 费米统计1
2 (
f )d
第一项积分为1，第二项由于被积函数为奇，对称区域积分为0。
f 1 1 2 2 ( )d e 1 e 1 d 20 e 1 e 1 d 2
2 2e (1 2e 3e 2 ....)d
关于二价金属的费米面
X射线发射谱
• 阴极射线打击原子内层电子产生激发空出内层能级，价电 子向内层跃迁发射光子，表现为X射线的连续谱，谱线强 度取决于能态密度和发射几率。
• T>0K时，随温度升高，靠近费米面 EF0（几个kBT范围）的电子部分跃 迁到费米面之上，EF略小于EF0。
N f ( E ) N ( E )dE f ( E )Q( E ) 0 Q( E )(
• 只有当温度大于绝对零度时，由于热激发，费米面附 近的电子才可能跃迁到费米海以上的空态，但是费米 海深处的电子由于泡利原理的限制，如果没有足够的 能量是不可能跃迁到费米海以上的。当然费米面附近 电子的激发可以是其它形式的能量。
四、电子热容量
电子总能量U Ef ( E ) N ( E )dE f ( E ) R ( E ) 0
1 ds V 4k 2 m V 2m E 2 CE K E 4 3 2 k 2 2 m • 以近自由电子为例，周期性势场的影响主要表现在布里渊区边界 附近，在其它地方只对自由电子情况有较小的修正。因此，第一 布里渊区的等能面从原点向外，开始基本上保持为球面，在接近 布里渊区边界时，同样的 k，E(k)减小了，等能面将向边界凸出， 达到同样的E，需要更大的k。当E 超过在边界上的A 点的能量EA， 一直到 E接近于在顶角 C点的能量 EC，即第一能带顶时，等能面 将不再是完整的闭合面，而成为分割在各个顶角附近的曲面。 N(EA)取极大值，而N(EC)将为零。
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2
自由电子：
V 2m g (E) 2 2 2
3/ 2
E
1/ 2
d dE
ln g ( E )
1 2E
EF EF 0
2
6
(k BT )
2
1 2 EF 0
2 k BT 2 EF EF 0 1 ( ) 12 EF 0
上面结果类似级数展开。室温下(kBT/EF0)2项仅104数量级，所以 EF和EF0十分接近。但EF随温度升高的轻微降低往往有重要的影响。
EF 0
3 N 2m V
2
2/3
2
2m
3 n
2
2/3
•n=N/V为价电子浓度，T=0k时的费米能EF0仅仅依赖电子浓度n。
•对一般金属，n=102223/cm3，m=10-27g，EF0=1.511eV。
某些金属的费米能
金属
EF0/eV
Li
4.72
3 2
ln E F 0 C
3 dE 2 EF 0
g ( EF 0 )
dN dE
3N 2 EF 0
11
二维正方格子金属费米面
•二维自由电子近似下费米面的半径kF： kF 2n
•当kF远小于/a，即费米面远离布里源区边界。自由电子：球形；近自由 电子近似：球形（略微畸变）
自由电子和近自由电子
E
3/ 2
dE
V 2m 2 2 5
3
EF 0
3/ 2
5/ 2
V 2m 2 2 5 3
E
3/ 2 F0
EF 0
3 5
NEF 0
因此每个自由电子的平均能量为：
E U0 N 3 5 EF 0
4
T0K时的费米能级EF
•有限温度下的费米能级EF不等于EF0！！
能带电子的经典近似
已知能谱E(k)
k 1 E (k ) k
能带电子速度：
能带电子运动方程： 能带电子牛顿方程：
v
F
d (k ) dt
F m a
*
能带电子有效质量：
m
*
2
2 2
E (k ) / k
1
能态密度 g(E)
能态密度定义为单位能量间隔内的状态数，用g(E) 表示。考虑能量在EE+dE之间的状态数为G，则 g(E) 定义为：
(k ) F
2mE ( n) 3
0 F 2
1/ 3
10
费米面附近电子的速度称为费米速度vF:
vF 2 EF m
0
k F m
m
3 n
2
1/ 3
对一般金属，n=102223/cm3，m=10-27g，vF108cm/s。 费米面附近电子气体的能态密度，称费米能态密度:
9
费米面附近的电子状态非常重要！有必要重点讨论。又因为在 kBT << EF0的情况下，EF对EF0偏差很小，故认为EF EF0。
费米能级EF0： EF 0
2
2m
3 n
2
2/3
费米面对应的电子的波矢量称费米波矢kF：
k F ( n) 3
2
1/ 3
费米面电子的动量称费米动量：
g( E)dE
0
g (E) s (E)
'
EF E F 0
2
6
(k BT )
2
g ( EF0 ) g ( EF0 )
8
'
EF E F 0
2
6
(k BT )
2
g ( EF0 ) g ( EF0 )
'
EF 0
d (k BT ) ln g ( E ) 6 dE EF 0
5
EF的确定
N
f ( E)g( E) dE
0 0
g( E)
e
( E EF ) / k BT
1
dE
引入一个函数：
s( E)
E
g( E)dE
0
0
g (E) s (E)
'
s(E)表示0E范围内量子态的总数。
N
f ( E)d[s( E)]
0
f ( E)s( E)
s( E)(
0
f E
)dE
第一项显然等于0，因为当E0时，s(E)0；当E时，f()0。
N s( E)(
0
f E
)dE
6
f (E) e
f ( E) E 1
1
( E E F ) / k BT
1
1
( E EF ) / k BT
k BT [e
N s ( EF )
6
2
(k BT ) s" ( EF )
2
上式右端在EF0处作(EF-EF0)级数展开：
N s ( EF0 ) s ( EF0 )( EF EF 0）
'
6
2
(k BT ) s" ( EF0 )
2
EF 0
s ( EF0 )
g ( E ) dE
•当费米面接近第一布里源区边界（即kF /a）。自由电子近似：由于周 期势作用，布里渊区边界存在能隙，将使费米面畸变。费米面几乎总是垂 直布里渊区边界，并且尖角圆滑化。
•当kF> /a此时，费米面穿过第一布里渊区进入第二布里渊区。形状更为复 杂。 12
f(E)
EF必须满足：
N
f ( E)g( E) dE e
0 0
g( E)
( E EF ) / k BT
1
dE
•假设T升高，EF不变(=EF0)。 热激发使电子在EF0以下能级占 据几率减小， EF0以上能级几率增加，对称变化。 •自由电子，g(E)随E递增，总电子数增加。故EF必须降低。
Na
3.12
K
2.14
Cs
1.53
Al
11.8
Zn
11.0
Cu
7.04
Ag
Au
3
5.51 5.54
“导带电子系统”的基态能量：
U 0 Ef ( E ) g ( E )dE
0 EF 0
Eg ( E )dE
0
EF 0
0
V 2m 2 2 2
3/ 2
3/ 2
0
EF 0
s ( EF0 )( EF EF 0）
'
6
2
(k BT ) s" ( EF0 ) 0
2
N f ( E ) g ( E ) dE
0
g ( E )dE
0
EF EF0
2
6
(k BT )
2
s" ( EF0 ) s ' ( EF0 )
E
s( E)
g ( EF 0 ) V 2m 2 2 2
3/ 2
EF 0
1/ 2
EF 0
2
2m
3 n
2
3/ 2
g ( EF 0 )
mV
2/3
2
2
3 n
2
1/ 3
V 2m 2 2 3
3/ 2
EF 0 N
dN N
ln N
g ( E ) lim G E
E 0
2
设体积V内金属价电子总数为N，则：
f ( E ) g ( E )dE N
V 2m 2 2 3
2
3/ 2
0
EF 0 N
3/ 2
EF 0
0
V 2m 2 2 2
3/ 2
E
1/ 2
dE N
( E EF ) / k BT
1][e
1]
(f/E)特点：非零值集中于EF附 近kBT范围内，且是(EEF)的偶函 数，具有类似函数的特征 。
N s ( E )(
0
f E
)dE
s( E )( E )dE
f
积分的主要贡献来自EF附近的E，积分下限改为-不改变结果。 7