八年级数学上册 2.7.2 二次根式(第2课时)教学设计 (新版)北师大版
2024年北师大版八年级上册教学设计第二章2.7 二次根式
第1课时二次根式及其性质课时目标1.了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式.2.通过对二次根式的性质的探究,提高数学探究能力和归纳表达能力.3.经历在具体情境中发现二次根式的过程,体会引入二次根式的必要性.4.经历观察、交流、总结等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,让学生体现发现的快乐,并提高应用的意识.学习重点了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式化简为最简二次根式.学习难点对二次根式的性质的探究.课时活动设计问题引入思考:用带根号的式子填空,观察这些结果有什么特点?(1)图1的画框为正方形,若面积为8 dm2,则边长为√8dm;若面积为S dm2,则边长为√S dm.,土地的面积为13 m2,则它的长(2)图2是一块长方形的土地,若宽是长的35为√65m.3图1图2设计意图:通过实际问题,让学生用带根号的式子填空,为下面探究二次根式的特征作准备.知识回顾1.什么叫做平方根?2.什么叫做算术平方根?3.什么数有算术平方根?设计意图:回顾平方根和算术平方根的定义,为本节课要学习的内容作准备.探究新知探究1二次根式的概念教师提出问题,学生思考并解答,最后教师总结.,这些式子分别问题1:问题引入中的问题,我们得到的结果分别是√8,√S,√653表示什么意义?解:这些式子分别表示8,S,65的算术平方根.3问题2:非负数b,m+n,t2-2的算术平方根怎么表示?解:算术平方根分别是√b,√m+n,√t2-2.问题3:什么样的数才有算术平方根?解:只有非负数才有算术平方根.问题4:这些式子有什么共同特征?解:①含有“√”;①被开方数为非负数.总结二次根式的概念:一般地,形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数.(注意:a可以是数,也可以是式子.)二次根式的两个必备特征:①外貌特征,含有“√”;①内在特征,被开方数a≥0.探究2二次根式中字母的取值范围学生思考,小组交流,回答下列问题.问题1:使二次根式√m-2在实数范围内有意义的m的取值范围是.分析:要使二次根式在实数范围内有意义,即需满足被开方数≥0,列不等式求解即可.解:由m -2≥0,得m ≥2.①当m ≥2时,√m -2在实数范围内有意义. 问题2:使式子√a -1在实数范围内有意义的a 的取值范围是 .分析:若二次根式为分母时,应同时考虑分母不为零. 解:由a -1≥0,得a ≥1. 又①√a -1为分母,①√a -1≠0. ①a -1≠0,即a ≠1. ①当a >1时,√a -1在实数范围内有意义.总结 二次根式中字母的取值范围的依据: (1)形如√m 的二次根式有意义的条件:m ≥0. (2)二次根式作为分式的分母时,如√m有意义的条件:m >0.探究3 二次根式的性质观察下列式子,你发现了什么?学生思考,小组交流讨论. √4×9=6;√4×√9=6;√49=23;√4√9=23;√2549=57;√25√49=57. 问题1:你有什么猜想?解:√a·b =√a ·√b (a ≥0,b ≥0),√a b =√a√b (a ≥0,b >0).问题2:根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证一下吧.(结果精确到0.000 1)(1)√6×7= ,√6×√7= ;(2)√67=√6= .解:(1)6.480 7 6.480 7 (2)0.925 8 0.925 8 验证猜想:√6×7=√6×√7,√67=√6√7.总结 二次根式的性质:(1)积的算术平方根等于算术平方根的积;(2)商的算术平方根等于算术平方根的商.√a·b =√a ·√b (a ≥0,b ≥0),√a b =√a√b (a ≥0,b >0).探究4 最简二次根式 问题:化简下列二次根式.(1)√81×64; (2)√25×6; (3)√59. 解:(1)√81×64=√81×√64=9×8=72. (2)√25×6=√25×√6=5√6. (3)√59=√5√9=√53.交流:观察化简结果5√6,√53,这些数有什么特点呢? 解:被开方数中都不含分母,也不含能开得尽的因数或因式.小结 最简二次根式定义:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.设计意图:引领学生自主探索二次根式的性质,从特殊数入手,希望学生获得一定的感性经验,再进一步强化这样的经验和猜测,最后经由学生交流,总结、归纳出二次根式的性质.典例精讲 例1 化简:(1)√81×64; (2)√25×6; (3)√59. 解:(1)√81×64=√81×√64=9×8=72. (2)√25×6=√25×√6=5√6. (3)√59=√5√9=√53.例2 化简:(1)√50; (2)√27; (3)√3.解:(1)√50=√25×2=√25×√2=5√2.(2)√27=√2×77×7=√2×7√7×7=√147. (3)√3=√3√3×√3=√33. 设计意图:通过例题,学生进一步理解二次根式的概念、性质和熟练掌握将二次根式化为最简二次根式.巩固训练1.下列各式是最简二次根式的是( C )A.√-7B.√23C.√3D.√25 2.下列各式正确的是( B )A.√a·b =√a ·√bB.√2×3=√2×√3C.√(-2)×(-3)=√-2×√-3D.√827=23 3.填空. (1)√4−a√a -1有意义的a 的取值范围为 1<a ≤4 .(2)已知√x +3+√2y -4=0,则xy 的值为 -6 .(3)当x = -12 时,√2x +1+6有最小值,最小值为 6 . 4.化简:(1)√5; (2)√3.6; (3)√8×36.解:(1)√5=√5√5×√5=3√55. (2)√3.6=√185=√18×55×5=√18×5√5×5=3√105. (3)√8×36=√8×√36=2√2×6=12√2.设计意图:让学生在练习中联系相关知识分析、说明解决问题的想法,获得成功的体验;考查学生的知识应用能力,培养学生独立完成练习的习惯.课堂小结1.二次根式的概念是什么?怎样判断一个式子是否是二次根式?2.二次根式具有怎样的性质?3.怎样把一个二次根式化简成最简二次根式?设计意图:总结回顾本节课学习的重点内容,帮助学生巩固课堂知识.课堂8分钟.1.教材第43页习题2.9第1,2,3题.2.七彩作业.第1课时二次根式及其性质1.二次根式定义.2.二次根式性质.3.最简二次根式.4.练习.教学反思第2课时二次根式的运算课时目标1.掌握二次根式的乘、除法运算法则,并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.2.会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.3.用类比的方法,引入实数的运算法则、运算律,并能用这些运算法则、运算律在实数范围内正确计算,培养类比学习的能力.4.增强学生的符号、应用意识,培养学生合作交流、合情推理和表达的能力.学习重点掌握二次根式的乘、除法运算法则,并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.学习难点会用二次根式的四则运算法则解决简单的数学问题.课时活动设计回顾复习1.二次根式有什么特征?2.求使在实数范围内有意义的x的取值范围.√x-13.二次根式的性质是什么?4.什么叫最简二次根式?设计意图:通过回答二次根式的特征、求二次根式中字母的取值范围以及最简二次根式的定义等问题,学生对所学知识进行回顾与复习,重点让学生复习回顾二次根式的性质,为本节课的学习打下基础.问题导入思考:长方形的面积是√20,它的长是√5,宽是多少?教师追问:该怎么计算呢?提示:根据之前学过的二次根式的性质来解决二次根式的四则运算问题.设计意图:通过思考问题,引出二次根式的除法,从而切入正课:如何进行二次根式的运算.探究新知探究1同类二次根式教师提出问题,学生思考,小组交流,最后总结.化简下列二次根式,观察他们的特点,并进行分类:√8; √18; √80; √0.5; √18; √20. 解:分别化简为2√2; 3√2; 4√5;√22; √24; 2√5. 分成两组:一组是2√2,3√2,√22,√24;另一组是4√5,2√5. 问题:这样分类的依据是什么呢?解:将二次根式中带有相同根式的分为一组,如第一组中都含有√2,第二组中都含有√5.小结:化简后,被开方数相同的二次根式被称为同类二次根式. 探究2 二次根式的乘除运算根据二次根式的性质,等号的左边与右边对换,就能得到二次根式的乘法法则和除法法则.二次根式的性质1:√a·b =√a ·√b (a ≥0,b ≥0); 二次根式的乘法法则:√a ·√b =√a·b (a ≥0,b ≥0). 二次根式的性质2:√a b =√a √b (a ≥0,b >0);二次根式的除法法则:√a√b =√ab (a ≥0,b >0).追问:问题导入中的长方形的宽该如何计算呢? 解:宽=√20√5=√5√5=2. 问题:从上面的运算中,你发现了什么?总结:二次根式的乘法法则:√a ·√b =√a·b (a ≥0,b ≥0);二次根式的除法法则:√a √b=√a b (a ≥0,b >0). 提示:在二次根式的运算中,最后结果一般要求写成最简的二次根式的形式. 探究3 二次根式的分母有理化问题:√5是最简二次根式吗?如果不是,如何化简呢?解:不是.√5=√5√5×√5=√55. 总结:形如m √n 的式子,分子、分母同乘以√n ,可以使分母不含根号.思考:√5+√3如何化简呢?解:√5+√3=√5-√3(√5+√3)(√5-√3)=√5-√32. 总结:形如m√a±n √b的式子,分子、分母同乘以m √a ①n √b ,构成平方差公式,可以使分母不含根号.探究4 二次根式的加减运算问题1:你能直接写出下列式子的结果吗? (1)3x 2+4x 2;(2)x 2+3x 2+y. 解:(1)7x 2.(2)4x 2+y.问题2:类比合并同类项的方法,想想如何计算√80-√45? 解:√80-√45=4√5-3√5=√5.问题3:√3+√5能不能再进行计算?为什么?解:不能,因为它们都是最简二次根式,被开方数不相同,所以不能合并. 二次根式的加法、减法法则:(1)先化为最简二次根式;(2)再合并同类二次根式.提示:在二次根式的运算中,最后结果一般要求写成最简的二次根式的形式. 探究5 二次根式的四则混合运算计算下列式子,观察运算过程,你从中发现了什么?(1)3√2×2√3;(2)√12×√3-5;(3)(√5+1)2;(4)(√13+3)(√13-3); (5)(√12-√13)×√3;(6)√8+√18√2. 解:(1)3√2×2√3=3×2×√2×3=6√6. (2)√12×√3-5=√12×3-5=√36-5=6-5=1. (3)(√5+1)2=(√5)2+2√5+12=5+2√5+1=6+2√5. (4)(√13+3)(√13-3)=(√13)2-32=13-9=4. (5)(√12-√13)×√3=√12×√3-√13×√3=√36-√1=6-1=5. (6)√8+√18√2=√8√2+√18√2=√82+√182=√4+√9=2+3=5.总结:实数的运算律同样适用于二次根式,我们在进行二次根式的混合运算时,可以用到乘法交换律、结合律和分配律,也可以用到完全平方公式和平方差公式.探究6 二次根式化简求值化简(√1a -√b )·√ab ,其中a =3,b =2.你是怎么做的? 解:方法一(先代入,后化简):把a =3,b =2代入代数式中, 原式=(√13-√2)·√3×2=√13×3×2-√2×3×2=√2-2√3. 方法二(先化简,后代入):原式=√1a ·√a ×b -√b ·√a ×b =√b -b √a , 把a =3,b =2代入代数式中,原式=√2-2√3. 追问:哪种方法更简便?归纳 二次根式化简求值的方法:解决二次根式的化简求值问题时,直接代入求值比较麻烦,可先化简已知条件,再用乘法公式变形,最后代入求值即可.设计意图:给出问题,激发学生思考,小组讨论,教师引导学生从数学现象发现数学规律.通过探究中具体例题的学习,获得二次根式加减乘除运算的有关技能.典例精讲 例1 计算:(1)√48+√3;(2)√5-√15;(3)(√43+√3)×√6.解:(1)√48+√3=√16×3+√3=√16×√3+√3=4√3+√3=5√3. (2)√5-√15=√5-√525=√5-√55=45√5.(3)(√43+√3)×√6=√43×6+√3×6=√8+√18=2√2+3√2=5√2.例2 已知a =√5-2,b =√5+2,求√a 2+b 2+2. 分析:先化简已知条件,再利用乘法公式变形,即a 2+b 2=(a +b )2-2ab ,最后代入求解.解:①a =√5-2=√5+2(√5-2)(√5+2)=√5+2,b =√5+2=√5-(√5+2)(√5-2)=√5-2, ①a +b =2√5,ab =1,①√a 2+b 2+2=√(a +b)2-2ab +2=√(2√5)2-2+2=√20=2√5.设计意图:通过例题,学生进一步理解二次根式的运算法则.巩固训练1.下列各式正确的是( B )A.√(-2)2=-2B.√(-2)×(-2)=2C.3√2-√2=3D.√8+√2=√10 2.填空.(1)计算√2×√3= √6 ;√36×9= 18 .(2)长方形的宽为√3,面积为2√6,则长方形的长为 2√2 .(3)计算(√48-3√27)÷√3= -5 .(4)若两个最简二次根式√5和√2m -5能够合并,则m = 5 .3.计算:(1)(√6-√38)×√2;(2)(2+√2)(2-√2);(3)√27×√3=√100;(4)√183+√32-15√50. 解:(1)(√6-√38)×√2=√6×√2-√38×√2=√6×2-√38×2=2√3-√32=3√32. (2)(2+√2)(2-√2)=22-(√2)2=4-2=2. (3)√27×√3-√100=3√3×√3-10=3×3-10=-1.(4)√183+√32-15√50=√2+4√2-√2=4√2. 设计意图:通过实时练习,学生在系统归纳整理了二次根式四则运算的相关知识的基础上,进一步加深了对二次根式四则运算法则的理解,提高学生解决问题的能力,并培养学生的应用意识.课堂小结1.二次根式的四则运算法则是什么?2.二次根式化简求值的方法有哪些?设计意图:总结回顾本节课学习的重点内容,帮助学生巩固课堂知识.课堂8分钟.1.教材第45页习题2.10第1,2题,第48页习题2.11第1,2,3题.2.七彩作业.第2课时二次根式的运算1.二次根式乘除法法则.2.同类二次根式.3.例题:4.练习:教学反思。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2.7节的内容，本节主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式是中学数学中的重要内容，它不仅出现在代数、几何等领域，还是学习高中数学的基础。
本节内容为学生提供了理解二次根式的基础知识，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学概念和运算有一定的理解。
但二次根式作为一种新的数学对象，其概念和性质与已有知识有很大的不同，需要学生进行一定的适应和理解。
同时，学生需要掌握二次根式的运算方法，这需要他们在课堂上进行充分的练习和思考。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够应用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、案例教学法、练习法、小组合作学习法等。
通过具体的例子和练习，让学生理解和掌握二次根式的概念、性质和运算方法。
六. 教学准备1.PPT课件；2.练习题；3.小组讨论工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，例如：“一个正方形的对角线长为8cm，求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题，引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT课件展示二次根式的图形和性质，让学生理解和掌握二次根式的基本概念和性质。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，提供一些练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生应用二次根式的概念和运算方法，巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）讲解二次根式在实际问题中的应用，提供一些实际问题，让学生思考如何运用二次根式解决这些问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生回顾和巩固所学知识。
北师大版八年级上册数学 2.7 第2课时 二次根式的运算 优秀教案
第2课时 二次根式的运算1．会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算；(重点) 2．灵活运用二次根式的乘法公式．(难点) 一、情境导入 下面正方形的边长分别是多少？这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算律解释它？二、合作探究探究点一：二次根式的乘除运算 【类型一】二次根式的乘法计算：(1)3×5； (2)13×27； (3)2xy ×1x； (4)14×7. 解：(1)3×5＝15； (2)13×27＝13×27＝9＝3； (3)2xy ×1x＝2xy×1x＝2y ；(4)14×7＝14×7＝72×2＝7 2.方法总结：几个二次根式相乘，把它们的被开方数相乘，根指数不变，如果积含有能开得尽方的因数或因式，一定要化简．【类型二】 计算结果是( )A.－a －2 B ．－－a －2 C.a －2 D ．－a －2解析：原式＝a 2－2aa＝a（a －2）a＝a －2.故选C.方法总结：利用a b＝ab (a ≥0，b>0)可以进行二次根式的化简、计算，化去根号内的分母．探究点二：二次根式的加减运算计算： (1)23－63；(2)80－20＋5；(3)239x ＋6x4－2x 1x. 解析：(1)直接把二次根式合并，(2)、(3)先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数中相同的二次根式合并． 解：(1)23－63＝(2－6)3＝－43；(2)80－20＋5＝45－25＋5＝(4－2＋1)5＝35；(3)239x ＋6x4－2x 1x＝2x ＋3x －2x ＝3x.方法总结：将各二次根式化简为最简二次根式，然后将被开方数相同的项合并．探究点三：二次根式乘法公式 计算：(23＋32－6)(23－32＋6)．解析：将括号内的各项重新结合，构成平方差公式，再结合完全平方公式展开并化简．解：原式＝[23＋(32－6)][23－(32－6)]＝(23)2－(32－6)2＝12－(18－123＋6)＝123－12.方法总结：结合题目特点使用适当的运算方法，可以减少计算量．三、板书设计二次根式的运算⎩⎪⎨⎪⎧乘除法则加减法则乘法公式通过对公式的逆运用，达到化简的目的．学会这种特殊的思考方法．在合作探究过程中，提升学生探究能力和合作意识．通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．。
北师大版八年级数学上册：2.7二次根式教学设计
在学习二次根式的性质与运算法则时，教师可设计具有启发性的问题，引导学生自主探究。在此基础上，组织学生进行小组讨论，分享学习心得，提高学生对二次根式的认识。
3.精讲精练，突破难点
对于二次根式的化简、应用等难点，教师应进行详细的讲解和示范，让学生掌握解题方法和技巧。同时，设计梯度性、层次性的练习题，让学生在练习中逐步突破难点。
1.学生对二次根式定义的理解程度，是否能够熟练运用二次根式表示实际问题中的数量关系。
2.学生在解决二次根式相关问题时，对性质与运算法则的掌握情况，是否存在混淆或错误。
3.学生在运用二次根式解决几何问题时，空间想象能力和直观想象能力的表现，是否能够将二次根式与几何图形有机结合。
4.学生的学习兴趣和动机，对二次根式的学习是否存在恐惧或抵触情绪。
4.拓展延伸，提高能力
结合二次根式的几何应用，设计拓展性题目，提高学生解决问题的能力。同时，引导学生从不同角度思考问题，培养学生的创新意识和数学思维能力。
5.课堂小结，巩固提升
通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识体系。同时，鼓励学生提出疑问，及时解答，巩固所学知识。
6.课后作业，分层设计
-教师应及时批改作业，给予反馈，帮助学生发现和纠正错误，巩固所学知识。
-关注学生作业完成情况，根据学生的表现调整教学策略，确保教学效果。
难点：二次根式的化简，特别是含有分母、能开尽方的二次根式的化简；二次根式在几何图形中的应用。
2.重点：培养学生运用二次根式解决问题的能力，提高数学思维。
难点：引导学生将二次根式与几何图形相结合，解决实际问题，培养学生的空间想象能力和直观想象能力。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
八年级数学上册 2.7.2 二次根式教案 (新版)北师大版
课题：2.7.2二次根式教学目标：1．通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法．2．在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识．3．通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．教学重、难点：重点：1．二次根式乘除法则的运用， 即b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)； b a ba = (a ≥0，b ＞0)．2．能运用实数的运算解决简单的实际问题．难点：灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算．课前准备：多媒体课件 教学过程：一、复习导入，提出问题活动内容：问题1：积的算术平方根和商的算术平方根分别等于什么？问题2：计算下列各数：4813问题328？处理方式：问题1学生先用语言叙述，然后用公式表达，为本节课学习算术平方根的积和商做好铺垫；问题2的解决由学生独立完成，既巩固问题1，也为问题3的解决进行热身；问题3，预习较好的学生会尝试逆用上节课学习的知识，但是仍有部分学生让同学不知道如何处理，可以自然的引入本节课要研究的主要内容．活动目的：通过对上节课内容的复习达到引入新课的目的，让学生带着疑问去走进课堂，明白本节课的任务，可以更好地完成教学目标．二、合作探究，交流互动 活动内容1：问题1：计算下列各数 94⨯＝ ，94⨯＝ ； 2516⨯＝ ，2516⨯＝ ；94＝ ，94＝ ； 2516＝ ，2516＝ ． 问题2：借助计算器完成以下各题，看谁完成得又对又快：（课件展示）76⨯＝ ，76⨯＝ ；76＝ ，76＝ ． 问题3：你有哪些发现？如何正确表述你的发现？处理方式：问题1、2学生通过计算独立完成，然后老师多媒体展示答案．94⨯＝2×3=6，94⨯＝36=6；2516⨯＝4×5=20，2516⨯＝400=20； 94＝32，94＝32； 2516＝54，2516＝54． 76⨯≈2.449×2.646≈6．480，76⨯＝42≈6.480；76≈646.2449.2≈0.9255， 76≈0.9255． 问题3学生能够发现其中的规律，也能够用字母表示b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0， b ＞0），但是其中的字母a ，b 有限制条件吗？学生很少能考虑到，需要老师在讲课中特别点拨，让学生总结出公式成立的条件．设计意图：让学生挖掘新知识和已有知识之间的区别与联系，将有助于巩固旧知识，学习新知识．引导学生观察，归纳，概括出二次根式乘除法计算公式，并用语言表述，有利于培养学生的观察能力，猜想能力，抽象能力和表述能力活动内容2：例题学习（多媒体展示）下面运用我们总结出的这两个法则，完成下面例题：（课件展示）例3 计算：（1）326⨯； （2）236⨯ ； （3）52． 处理方式: 先给学生时间观察例3各式的特点，再分别口述解题过程，教师板书．在学生口述过程中，教师可进行有针对性的提问，让学生明确公式中的a 、b 在326⨯、236⨯、52中分别指什么．学生完成后教师可借助多媒体展示下图，让学生进一步理解并规范如何使用公式进行计算．（多媒体出示，同时给学生半分钟时间反思体会）解：（1）24326326==⨯=⨯； （2）39236236236==⨯=⨯=⨯ ； （3）51055255252=⨯⨯==. 设计意图：通过例题巩固应用运算公式，同时指导学生应用公式计算各题，不可操之过急，熟练后才可省略中间步骤，让学生逐步熟练运算技能，加深对二次根式乘除法的计算公式的印象．活动内容3：简单的二次根式的混合运算问题1：什么是实数？问题2：实数的运算有哪些？我们所学过的有关运算法则、运算律在实数范围内是否适用？处理方式：问题1、2由学生口答完成，教师在此基础上引入二次根式的加减乘除的运算特点，即实数范围内的有关运算法则、运算律在二次根式在仍然适用．例4计算：（1）3322⨯ ； （2）5312-⨯； （3）2)15(+；（4）)313)(313(-+；（5）3)3112(⨯-；（6）2188+． 处理方式：六名学生板演，其余学生在练习本上完成．教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．参考答案解：（1）3322⨯=32⨯⨯32⨯=66；（2）5312-⨯＝5312-⨯＝536-＝6－5＝1；（3）2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52；（4）)313)(313(-+＝223)13(-＝4；（5）3)3112(⨯-516136331312=-=-=⨯-⨯=； （6）2188+5329421828=+=+=+= 设计意图：本例仍侧重于二次根式乘除法运算，只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用了（如交换律、结合律、分配率、乘法公式等）；教学中，注意体会这些题目之间的层次性，教学中务必循序渐地开展相关技能训练，让更多的学生感受到成功的喜悦，循序渐进地发展学生的学力；同时注意发现学生出现的问题，为下一步的教学做准备.活动内容4：二次根式的合并通过以上解题过程，我们发现在二次根式的运算结果中，有时会出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并．我们解决下面的问题．(多媒体展示例题)例5 计算：（1（2）515-；（3）解：（1；（2）515-＝2555-＝2555-＝555-＝554；（3）====处理方式：教师板演第1题，其它题目由两名学生板演，其余学生在练习本上完成．完成后，让学生对板演的同学进行评价，教师及时点评表扬．并引出下面的判断题．活动内容5：问题1：大家看这两个等式成立吗？（课件展示）（1）5234949=+=+=+ ；(2) 1234949=-=-=-.处理方式：学生很容易发现等是不成立，让学生进一步体会刚学习的公式只对两二次根式相乘除时成立．课堂练习：化简：（1）128； （2）9000； （3）48122+.解： (1)2828264264128=⨯=⨯=⨯=； (2)1030103010900109009000=⨯=⨯=⨯=；(3)48122+＝2224=⨯383434=+=；设计意图：让学生体会二次根式的加减乘除运算的相关技能训练，让学生感受到成功的喜悦，循序渐进地发展学生的学力，同时注意发现学生出现的问题，为下一步的教学做准备．三、总结归纳、收获感悟问题1：这节课很快就要结束了，请同学们回顾一下学习过程，谈谈你有哪些收获？ 问题2：哪位同学还有要补充的吗？问题3：请同学们以小组为单位交流讨论一下，我们这节课用过哪些数学方法呢？ 处理方式：学生畅谈自己的收获！设计意图：让学生对所学知识进行回顾、梳理，既巩固了本节课的有关知识，有培养了学生的良好学习习惯．四、达标检测，反馈提高师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成达标检测题． （同时多媒体出示）1．下列计算是否正确：（1）532=+ （ ）（2）2222=+ （ ）（3=（ ） 2．计算：（1 （2； （3）)32)(31(-+； （4）2)132(-.3 处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．五、布置作业，课堂延伸必做题：课本45页，习题2．10，知识技能第1题；选做题：课本46页，习题2．10，问题解决第3题．板书设计：。
北师大版八年级上册 第二章 2.7.2 二次根式 教案
2.7.2二次根式教学目的知识与技能：1.经历二次根式的运算法那么的探究过程,理解有理数的运算律在实数范围内仍然适用.2.会进展二次根式简单的四那么运算.过程与方法1.从详细实例出发,通过类比把有理数的运算律推广到实数范围.2.通过例题和练习,熟悉和稳固无理数的运算律.情感态度与价值观：在探究与合作活动中,开展探究才能和合作意识,感受数学的严谨性以及数学结论确实定性.教学重难点【重点】会进展二次根式简单的四那么运算.【难点】正确应用二次根式的运算法那么进展四那么运算.教学准备【老师准备】料想学生构建知识体系遇到的困难.【学生准备】复习二次根式的性质.教学过程一、导入新课导入一:[过渡语]前面学习了二次根式的性质,我们复习一下.【问题】二次根式的性质是什么?用公式如何表示? 【问题解决】积的算数平方根,等于算数平方根的积.商的算数平方根,等于算数平方根的商.√ab=√a·√b(a≥0,b≥0), √ab =√a√b(a≥0, b>0).[设计意图]借助复习,在稳固旧知识的同时,导入新课.导入二:装风筝的包装盒是一个底为正方形的长方体盒子,正方形的边长为30 cm,长方体盒子的高为5 cm,长方体盒子在包装时需用彩带沿正方形的对角线进展包装,那么所需要彩带的长度最少是多少厘米?【问题】由于长方体盒子要用彩带沿正方形的对角线进展包装,所以彩带的长最少应为4×(对角线长+高),而正方形对角线的长可以根据勾股定理求得,即√302+302,那么如何计算4(√302+302+5)呢?二、新知构建（1）活动探究思路一：[过渡语]将上节课探究的公式√ab=√a·√b(a≥0,b≥0), √ab =√a√b(a≥0, b>0)等号的左边与右边对换,可以得到二次根式的乘法法那么和除法法那么:√a·√b=√ab(a≥0,b≥0),√a√b = √ab(a≥0,b>0).思路二：计算以下各式,你能得到什么猜测? √16×√25= ,√16×25= ;√9√25= , √925= .√16×√25=4×5=20,√16×25=√400=20,所以√16×√25=√16×25.√9√25=35, √925=35,所以√9√25= √925.我们可以得到二次根式的乘法法那么和除法法那么: √a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0),√a√b = √ab (a ≥0,b >0).〔2〕例题讲解(教材例3)计算.(1)√6× √23; (2)√6×√3√2; (3)√2√5.〔解析〕 常常要把被开方数的分子与分母同时乘以一个适当的数,使得分母成为一个平方数,然后把分母开出来.解:(1)√6× √23= √6×23=√4=2.(2)√6×√3√2=√6×3√2= √6×32=√9=3.(3)√2√5= √25= √2×55×5=√105. (教材例4)计算.(1)3√2×2√3;(2)√12×√3-5;(3)(√5+1)2; (4)(√13+3)(√13-3);(5)(√12-√13)×√3;(6)√8+√18√2. 〔解析〕二次根式也可以进展加减运算,以前学过的有理数的运算法那么、运算律仍然适用.当然,假如运算结果中出现某些项,它们各自化简后的被开方数一样,那么应该将这些项合并.第(3)(4)题要用到乘法公式中的完全平方公式和平方差公式.解:(1)3√2×2√3=3×2×√2×3=6√6. (2)√12×√3-5=√12×3-5=√36-5=6-5=1. (3)(√5+1)2=(√5)2+2√5+1=5+2√5+1=6+2√5. (4)(√13+3)(√13-3)=(√13)2-32=4.(5)(√12-√13)×√3=√12×√3- √13×√3=√36-√1=6-1=5.(6)√8+√18√2=√8√2+√18√2=√4+√9=2+3=5.[设计意图] 从本例开场,正式进展二次根式的加、减、乘、除运算,设计时注意了题目的梯度.本例侧重于乘、除运算,只是已经开场考虑有关运算律和公式的运用(如交换律、结合律、分配律、乘法公式等)了.教学中,注意体会这些题目之间的层次性,教学中务必循序渐进地开展相关技能训练,让更多的学生感受到成功的喜悦.(教材例5)计算.(1)√48+√3;(2)√5- √15;(3)(√43+√3)×√6.〔解析〕 把二次根式化为最简二次根式,能合并的要合并. 解:(1)√48+√3=√16×3+√3=√16×√3+√3=4√3+√3=5√3.(2)√5- √15=√5- √525=√5-√5√25=√5-√55=45√5. (3)(√43+√3)×√6= √43×6+√3×6=√8+√18=2√2+3√2=5√2.[知识拓展] 1.二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.2.在√a ·√b =√ab 中,a ,b 必须满足a ≥0,b ≥0,否那么√a ,√b 就没有意义.3.二次根式的乘法法那么可以推广到多个二次根式相乘的运算,如√x ·√y ·√z =√xyz (x ≥0,y ≥0,z ≥0).4.二次根式的除法法那么中被开方数的取值范围:由于b 为分母,因此被开方数a ,b 的取值范围分别是a ≥0,b >0.5.二次根式的除法法那么中的a ,b 既可以是数,也可以是代数式.6.在运算中应注意约分要彻底. 三、课堂总结二次根式的乘法法那么和除法法那么:√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0),√a√b =√ab (a ≥0,b >0).二次根式也可以进展加减运算,实数的运算法那么、运算律仍然适用.四、课堂练习1.化简.(1)√5× √25; (2)√2√8;(3)2√12+√48; (4) √29+√50-√32;(5)3√20-√45- √15; (6)(√6-√2)2.解:(1)√5× √25=√5×25=√2.(2)√2√8= √28=12.(3)2√12+√48=2√4×3+√16×3=2×√4×√3+√16×√3=2×2×√3+4×√3=4√3+4√3=8√3.(4) √29+√50-√32=√2√9+√25×2-√16×2=√23+√25×√2-√16×√2=√23+5√2-4√2=43√2.(5) 3√20-√45- √15=3√4×5-√9×5-√525=3×√4×√5-√9×√5-√5√25=6√5-3√5-√55=145√5.(6)(√6-√2)2=(√6)2-2√6·√2+(√2)2=6-2√12+2=8-4√3. 2.化简.(1) 7√3-√13; (2)√12+√27√3; (3)√12·√6√8; (4)(√5+√3)(√5-√3).解:(1) 7√3-√13= 7√3-√33=20√33. (2)√12+√27√3=√3+3√3√3=5.(3) √12·√6√8=√22√2=3. (4)(√5+√3)(√5-√3)=(√5)2-(√3)2=5-3=2. 五、板书设计2.7.1 二次根式二次根式的乘法法那么和除法法那么:√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0),√a√b = √ab (a ≥0,b >0).例3 例4 例5 六、布置作业〔1〕教材作业【必做题】教材第45页随堂练习.【选做题】教材第46页习题2.10第4题.〔2〕课后作业【根底稳固】1.化简√5×√45的结果是()A.25B.2C.√2D.√222.以下计算错误的选项是()A.√2×√3=√6B.√2+√3=√6C.√12÷√3=2D.√8=2√23.化简√23×√12=;√(-15)×(-27)=.4.化简.(1) √12×√13;(2) (1-√6)(1+√6).5.计算.(1)3√3×√3;(2)√0.5×√24;(3)√45×32√2 3.【才能提升】6.化简(√3+√2)2021(√3-√2)2021.【拓展探究】7.x =√3+√2,y =√3-√2,求x 2+xy+y 2x+y-(x +y ).【答案与解析】1.B2.B3.2√2 9√54.解:(1) √12× √13= √123=√4=2.(2)(1-√6)(1+√6)=12-(√6)2=1-6=-5.5.解:(1)3√3×√3=9. (2)√0.5×√24=2√3. (3)√45×32 √23=32√30.6.解:(√3+√2)2021(√3-√2)2021=[(√3+√2)(√3-√2)]2014(√3-√2)=√3-√2. 7.解:x 2+xy+y 2x+y-(x +y )=x 2+xy+y 2-(x+y)2x+y=-xy x+y=√3+√2)(√3-√2)√3+√2+(√3-√2)=2√3=-√36.教学反思本节课推导出二次根式的乘法法那么和除法法那么,通过不同形式的练习,学生掌握较好,理解了法那么,并会应用法那么进展计算.本节课的教学设计中未考虑学生的层次不同,对知识的要求也不同.增加知识拓展的内容,供层次高一些的学生及班级选用. 教材习题答案随堂练习(教材第45页)1.解:(1)原式= √5×920= √94=32. (2)原式=√3×√6√3=2√6. (3)原式=2+2√3-√3-3=√3-1. (4)原式=(2√3)2-4√3+1=13-4√3. (5)原式=√81+1=10. (6)原式=√9-√4=1. (7)原式=3√3-5√3=-2√3.(8)原式=2√9-2√98×23=-103. 2.解:(1)不正确. (2)不正确. (3)不正确. 习题2.10(教材第45页)1.提示:(1)1. (2)3. (3)7+2√10. (4)-1. (5)√5-1. (6)-14√2. (7)203√3. (8)52√10.2.解:(1)两个有理数相加、相减、相乘、相除,结果一定是有理数. (2)两个无理数相加、相减、相乘、相除,结果不一定是无理数.如(1+√2)+(1-√2)=2,√3-√3=0,(√5+1)(√5-1)=4,√6√6=1,结果都是有理数.3.解:S ΔABC =3×4-12×2×4-12×3×1-12×3×1=5.4.解:√3√2=√62≈2.4492=1.2245. 素材同学们,我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2,你一定纯熟掌握了吧!如今,我们又学习了二次根式,那么所有的非负数都可以看做是一个数的平方,如3=(√3)2,5=(√5)2.先阅读理解,再答复以下问题.(√2-1)2=(√2)2-2·1·√2+12=2-2√2+1=3-2√2,反之,3-2√2=2-2√2+1=(√2-1)2,所以3-2√2=(√2-1)2,所以√3−2√2=√2-1.(1)求√3+2√2;(2)求√4+2√3;(3)你会算√4−√12吗?(4)假设√a±2√b=√m±√n,那么m,n与a,b的关系是什么?并说明理由.解:(1)√3+2√2=√(√2+1)2=√2+1.(2)√4+2√3=√(√3+1)2=√3+1.(3)√4−√12=√(√3-1)2=√3-1.(4)由√a±2√b=√m±√n,得a±2√b=m+n±2√mn,那么a=m+n,b=mn.。
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教学设计（新版北师大版）一. 教材分析二次根式的运算是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行教学的。
这一节的内容主要包括二次根式的加减乘除运算，以及如何化简二次根式。
通过这一节的学习，学生能够进一步理解和掌握二次根式的运算规则，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式有一定的了解。
但是在实际操作中，部分学生可能会对二次根式的化简和运算规则理解不深，导致在解决问题时出现困难。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况进行讲解，引导学生理解和掌握二次根式的运算规则。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握二次根式的加减乘除运算规则，能够熟练地进行二次根式的运算。
2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，学生能够掌握二次根式的化简方法，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生能够积极主动地参与数学学习。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减乘除运算规则。
2.难点：二次根式的化简方法。
五. 教学方法采用讲解法、引导法、练习法进行教学。
通过实例分析，引导学生理解和掌握二次根式的运算规则，通过练习，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次根式运算的教学课件，用于辅助教学。
2.练习题：准备一些有关二次根式运算的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的运算。
例如：一个正方形的对角线长为8cm，求这个正方形的面积。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减乘除运算规则，并通过实例进行分析。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一些变式练习，巩固学生对二次根式运算规则的理解。
5.拓展（5分钟）讲解二次根式的化简方法，并进行一些化简练习。
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教案 新版北师大版
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教案新版北师大版一. 教材分析二次根式的运算是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握二次根式的加减乘除运算，以及能够熟练运用二次根式进行实际问题的解决。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的运算方法，并能够灵活运用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，具备了一定的数学基础。
但是，对于二次根式的混合运算，部分学生可能会感到困难，需要通过实例和练习来进一步巩固。
三. 教学目标1.使学生掌握二次根式的加减乘除运算方法。
2.培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的加减运算。
2.二次根式的乘除运算。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲练结合的方法，通过实例和练习，引导学生掌握二次根式的运算方法。
同时，注重培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.练习题。
3.教学黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的运算。
例如：一个圆的半径为根号2，求这个圆的面积。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减乘除运算方法，并通过PPT课件展示实例。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些二次根式的运算练习题，教师进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，巩固学生对二次根式运算的掌握。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式在实际问题中的应用，让学生能够运用二次根式解决实际问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，使学生对二次根式的运算有一个清晰的认识。
7.家庭作业（5分钟）布置一些二次根式的运算练习题，让学生进行巩固。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和公式，方便学生复习。
教学过程每个环节所用时间：导入5分钟，呈现10分钟，操练10分钟，巩固10分钟，拓展10分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。
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第二章 实数
7．二次根式（第2课时）
一、学生起点分析
在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），b
a b a
=（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。
二、教材任务分析
二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础．本节课的教学目标是：
1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法．
3.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识．
4.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
三．教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；
第一环节：复习引入
内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？
这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明
本节课研究课题
意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。
第二环节：知识探究
1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），b
a b a
=（a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？
例3 计算：
（1）326⨯
；（2）236⨯；（3）52。
解：
（1）略
（2）2
3
6⨯＝236⨯＝236⨯＝9＝3 （3）52＝＝52＝5552⨯⨯=5
10 说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数．
第三环节：巩固练习
例4 计算：
（1）3322⨯（2）5312-⨯；（3）2)15(+；（4）)313)(313(-+；
（5）3)3112(⨯-；（6）2
188+。
解：（1）3322⨯=32⨯⨯
32⨯=66；
（2）5312-⨯＝5312-⨯＝536-＝6－5＝1；
（3）2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52；
（4）)313)(313(-+＝223)13(-＝4；
（5）3)3112(⨯-51613633
1312=-=-=⨯-⨯=； （6）2
188+5329421828=+=+=+=。
意图：从本例开始，正式进行二次根式的加减乘除运算，但设计时注意了题目的梯度。
本例还侧重于乘除法运算，只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用了（如交换律、结合律、分配率、乘法公式等）；教学中，注意体会这些题目之间的层次性，教学中务必循序渐地开展相关技能训练，让更多的学生感受到成功的喜悦，循序渐进地发展学生的学力。
例5 计算：
（1；（2）515-；（3）
解：（1；
（2）515-＝2555-＝25
55-＝555-＝554；
（3）==== 课堂练习1：
1.化简：（1）18；（2）
2
5；（3）7533-；（4）2112-．（5）6)334(⨯+ 第四环节：知识拓展
﹡课堂练习2：
化简：（1）128； （2）9000； （3）48122+；
（4）325092-+； （5）5145203--； （6）3
223+． 解：（1）2828264264128=⨯=⨯=⨯=；
（2）1030103010900109009000=⨯=⨯=⨯=
； （3）48122+ ＝34322316342316342⨯+⨯⨯=⨯+⨯⨯=⨯+⨯
383434=+=；
（4）
32509
2-+ ＝23
4242532216225322162259
2
=-+=⨯-⨯+=⨯-⨯+； （5）5
145203-
- ＝55145553562555954325559543=--=-⨯-⨯⨯=-
⨯-⨯；
（6）66536269
64696463223=+=+=+=+．
第五环节：课堂小结
在进行根式乘除运算时，你有哪些体会与收获？
五、教学反思
本节课提出了最简二次根式，给出了二次根式化简成最简二次根式的常用方法．同学们需通过练习认真体会各类方法，做到能灵活运用．为今后的学习打下基础．本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识的要求也不同，因此增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用．。