2017全国高考复数复习专题
高考数学专题复习：复数的三角表示
高考数学专题复习：复数的三角表示一、单选题1．1-的三角形式是（ ） A ．ππ2cos isin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．7π7π2cos isin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭2．已知复数z 满足4z z ⋅=且0z z +=，则19312021z +的值为（ ） A ．19762-B ．39522-C ．19762D ．395223．设n 是正整数，分别记方程1n x =、()611x -=的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为A 与B ．若存在1Z A ∈，当2Z 取遍集合B 中的元素时，所得12OZ OZ ⋅的不同取值个数有5个，则n 的值可以是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．34．复数的(12i )6+(11i i -+)9虚部为（ ）A ．﹣iB ．iC ．1D ．﹣15．已知复数z 对应的向量为OZ (O 为坐标原点)，OZ 与实轴正向的夹角为120︒，且复数z 的模为2，则复数z 为（ ）A ．1B ．2C ．1--D ．1-6．复数sin50cos50z i =-的辐角主值是（ ）A ．50B ．220C ．310D ．3207．已知复数z 对应的向量为OZ (O 为坐标原点)，OZ 与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为（ ）A ．1B ．2C ．(1-D ．－18．把复数3对应向量按顺时针方向旋转23π，所得向量对应复数为（ ）A ．B ．－C ．－3D ．39．已知复数2i +和3i --的辐角主值分别为α、β，则()tan αβ+等于（ ）A B ．C ．1-D ．110．如果非零复数有一个辐角为74π-，那么该复数的（ ） A ．辐角唯一 B ．辐角主值唯一 C ．辐角主值为74π-D ．辐角主值为74π 11．复数isin10z =︒的三角形式为（ ） A ．cos10isin10︒+︒ B ．isin10︒C ．()sin10cos90isin90︒︒+︒D ．()sin10cos0isin0︒︒+︒12．已知复数1z -的辐角为56π，1z +的辐角为3π，则复数z 等于（ ）A ．12B ．12-C ．12D ．12-二、填空题13．若复数1z 2cos isin 33ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21cos isin 244z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12z z 的辐角的主值为______．14．在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为1Z ，2Z ，3Z ，O (其中O 是原点)，已知1Z 对应复数11z =.则1Z 和3Z 对应的复数的乘积13z z =________. 15．如果向量OZ 对应复数2i,OZ -绕原点O 按顺时针方向旋转4π后再把模变为原来的32倍得到向量1OZ ，则1OZ 对应的复数是________.16．设1z ，2z ，3z 复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，()312z =+．若11z =，21z z z =，32z z z =，则四边形OABC 的面积为______．三、解答题17．已知复数12sin z θ=，()212cos i z θ=+，ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若12z z ⋅为实数，求角θ的值；（2）若复数1z ，2z 对应的向量分别是a ，b ，存在θ使等式()()0a b a b λλ+⋅+=成立，求实数λ的取值范围.18．计算：（1）8(cos6π+i sin 6π)•2(cos 4π+i sin 4π)； （2）[12(cos74π+i sin 74π)]4；（3+i +i sin60°)； （4）244cosisinππ+.19．若z C ∈，4233z z i +=+，sin cos (i ωθθθ=-为实数，i 为虚数单位． （1）求复数z ；（2）求||z ω-的取值范围．20．求复数1cos isin (2)z θθπθπ=++<<的模与辐角主值.21．（1101012i ⎛+- ⎝⎭⎝⎭；（2）若复数z 满足112z z -=，1arg 3z z π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求复数3(2||)2z z z --.22．如图，分别以ABC 的两边AC BC ，为边向外作正三角形ACE 及BCD △，设AD BE ，交于F 用复数证明：AD BE =且60AFE ︒∠=.参考答案1．B【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式． 【详解】解：122122cos isin 233ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭． 故选：B ． 2．D 【分析】首先根据条件求得复数z ，再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复数的值. 【详解】设i x,y R z x y ∈=+（），()()22i i 4z z x y x y x y ⋅=+-=+=，即2z ==，020z z x +=⇔+，解得：x =224x y +=，y ∴=当z =时，3i 43322cos sin i 244z e πππ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则39523i 193120213952i2964422ze e ππ+⎛⎫== ⎪⎝⎭()()39522cos 2964isin 2964ππ=+⎡⎤⎣⎦()395239522cos0isin02=+=，当z =时，i 422cos sin i 244z e πππ⎫⎛⎫=-=-+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则3952i 193120213952i988422ze e ππ+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()()39522cos 988isin 988ππ=+⎡⎤⎣⎦()395239522cos0isin02=+=，故选：D 3．B 【分析】根据题意，结合复数的乘方与开方，表示出集合B ，再把选项中的值分别代入计算得到集合A ，一一判断即可求解.【详解】由()611x -=，得()61cos 0isin 0x -=+， 即221cosisin 66k k x ππ-=+，故22cos 1isin 66k k x ππ=++，k =0，1，2，4，5，因此集合()311320,,,,,,2222B ⎧⎫⎛⎛⎛⎛⎪⎪= ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，.当3n =时，同理得()111,0,,,22A ⎧⎫⎛⎛⎪⎪=-- ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭， 此时不存在1Z A ∈，当2Z 取遍集合B 中的元素时，所得12OZ OZ ⋅的不同取值个数有5个， 同理可知4n =，6n =时，也不满足题意，故ACD 错； 当5n =时，得：()224466881,0,cos ,sin,cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 55555555A ππππππππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，当122cos ,sin 55OZ ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，当2Z 取遍集合B 中的元素时，所得12OZ OZ ⋅的不同取值个数有5个，故B 正确. 故选B. 4．D 【分析】分别计算661()()233cos isin ππ=+=cos2π+i sin2π=1，2221(1)()[]111i i i --==++(﹣i )2=﹣1，即可得出. 【详解】∵661()()233cos isin ππ=+=cos2π+i sin2π=1，2221(1)()[]111i i i --==++(﹣i )2=﹣1， ∴9411()(1)11i i i i --⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭i . ∴原式=1﹣i ，其虚部为﹣1. 故选：D 5．D【分析】设复数z x yi =+，根据题意可得cos120||x OZ =︒，sin120||y OZ =︒，即可解决. 【详解】设复数z x yi =+，∵向量OZ 与实轴正向的夹角为120︒且复数z 的模为2，∴1cos12021||2x OZ ⎛⎫=︒=⨯-=- ⎪⎝⎭，sin1202||y OZ =︒==∴1z =-． 故选:D. 6．D【分析】利用诱导公式化简可得出复数z 的辐角主值. 【详解】()()sin 50cos50cos 9050sin 9050cos 40sin 40z i i i =-=---=- ()()cos 36040sin 36040cos320sin 320i i =-+-=+，因此，复数z 的辐角主值为320. 故选：D. 7．D 【分析】由复数对应向量与x 轴正向夹角，及复数的模，应用复数的三角表示写出对应坐标，进而写出复数z 代数形式.【详解】设复数z 对应的点为(x ,y )，则1||cos1202()12x z =︒=⨯-=-，||sin1202y z =︒==∴复数z对应的点为(1-，∴1z =-． 故选：D. 8．C 【分析】将复数3化成三角形式为11113[cos()sin()]66z i ππ=+，从而得到其对应向量绕原点O 按顺时针方向旋转23π后，所得向量对应的复数． 【详解】因为111133[cos()sin()]66i ππ=+， 其对应向量绕原点O 按顺时针方向旋转23π后，所得向量对应的复数为： 1121123[cos()sin()]6363i ππππ-+-3=-.故选：C ． 【点睛】复数乘法的几何意义：复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的．在用到复数的三角表示式时，要先算出复数的模和辐角．求解时注意向量旋转的方向． 9．D【分析】根据题意，得到11tan ,tan 23==αβ，结合两角和的正切公式，即可求解.【详解】由题意，复数2i +和3i --的辐角主值分别为,αβ，则11tan ,tan 23==αβ，所以 11tan tan 23tan()1111tan tan 123αβαβαβ+++===--⨯. 故选：D. 10．B【分析】由给出的非0复数有一个辐角为74π-，结合辐角主值的概念得答案． 【详解】解：辐角主值的范围是[0，2)π，任何一个复数都有唯一的辐角主值， ∴非0复数有一个辐角为74π-，则该复数有唯一的一个辐角主值4π． 故选：B ． 11．C【分析】根据复数的三角形式直接写出结果即可. 【详解】因为isin10z =︒，所以sin10z =︒，辐角为90︒，所以复数isin10z =︒的三角形式为()sin10cos90isin90︒︒+︒，故选：C. 12．B【分析】设()i ,z a b a b R =+∈，根据辐角的定义得到方程组，解得即可； 【详解】解：设()i ,z a b a b R =+∈， 因为11i z a b -=-+的辐角为56π，所以5tan 61b a π==- 因为11i z a b +=++的辐角为3π，所以tan 31ba π=+解得12a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12z =-故选：B 13．712π. 【分析】首先求出12z z ，然后根据复数三角形式下的几何意义即可求出辐角主值. 【详解】1212cos isin cos isin 33244z z ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=cos isin cos isin 3344ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2cos cos i cos sin isin cos i sin sin 34343434ππππππππ=+++cos cos sin sin cos sin sin cos i 34343434ππππππππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎭⎝=⎪⎝⎭1277cos sin i 12ππ+=，所以12z z 的辐角的主值为712π. 故答案为：712π.14．2i - 【分析】根据11z =判断点1Z 与x 轴正半轴的夹角，得到点3Z 与x 轴正半轴的夹角，即得复数3z ，再利用复数的乘法运算计算31z z 即可. 【详解】设3Z 对应的复数为3z ，可得312z z ==，复平面上点1Z 与x 轴正半轴的夹角为π3，则点3Z 与x 轴正半轴的夹角为5π6，所以35π5π2cos i sin i 66z ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，所以()()13i 12i z z ==-.故答案为：2i -.15． 【分析】先求出复数2i -的三角形式，然后利用三角形式变换求解1OZ 对应的复数 【详解】解：因为332i 2cos isin 22ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， 所以由题意可得1OZ 对应的复数为3332cos isincos isin 22244ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦333cos isin 2424ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦553cos isin44ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭=，故答案为：16 【分析】根据题意，将复数z 改写成三角形式，结合已知条件分别算出OB 、AOB ∠、OC 、和BOC ∠，即可求解. 【详解】由11z =，得1OA =，由()312z =，得3cos isin 33z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因21z z z =，所以213cos isin 33z z ππ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，即3OB =，且3AOB π∠=，又因32z z z =，所以323cos isin 33z z ππ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，即9OC =，且3BOC π∠=,因此11sin sin 2323OABC AOB BOCS S SOA OB OB OC ππ=+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=..17．（1）π3θ=；（2）2λ≤-20λ-≤.【分析】（1）首先根据复数三角形式的乘法运算化简，再根据复数的类型得到方程，解得即可； （2）首先表示出a 、b 的坐标，即可得到22a b +，a b ⋅，再根据平面向量数量积的运算律得到()()2812sin 0λλθθ++-=，参变分类，根据正弦函数的性质得到212021λλ-≤≤+，解得即可；【详解】解：（1）()()()(122sin 12cos i 2sin 2sin 2i z z θθθθθ⋅=+=++∈⎡⎤⎣⎦R ， 12z z ⋅为实数∴sin 2θ=又ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π2π3θ≤≤，∴22π3θ=，即π3θ=. （2）因为12sin z θ=，()212cos i z θ=+，所以(2sin ,a θ=，()1,2cos b θ=，所以22224sin 314cos 8a b θθ+=+++=2sin a b θθ⋅=-，()()()()22210a b a b a b a b λλλλ+⋅+=+++⋅=. 得()()2812sin 0λλθθ++-=， 整理得22πsin 13λθλ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭. 因为ππ0,36θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 0,32θ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.只要212021λλ-≤≤+即可，解得2λ≤-20λ-≤≤.18．（1）i ；（2）﹣20736；（3；（4. 【分析】利用棣莫佛定理､三角函数求值即可得出.【详解】（1）原式12iii . （2）原式=124(cos7π+i sin7π)=﹣20736.（3）原式(cos300°+i sin300°)=(12)=. （4）原式)()()111i i i -====+-. 19．（1）1i 2z =+；（2）[]0,2.【分析】 (1)根据复数写出它的共轭复数，结合相等复数的性质即可得出结果.(2)根据求模公式求出||z ω-. 【详解】（1）设i(,)z a b a b R =+∈，则i z a b =-.因为42i z z +=，所以4(i)2(i)i a b a b ++-=，即62i i a b +=，因此621a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1i 2z =+． （2）由（1）知：1i 2z =+，而sin i cos ωθθ=-⋅（θ为实数）因此1||i (sin i cos )|2z ωθθ-=--⋅1|sin )(cos )i |2θθ=-++=1sin()16πθ-≤-≤，022sin()46πθ∴≤--≤， 0||2z ω∴≤-≤，故||z ω-的取值范围是[]0,2．20．2cos 2r θ=-，arg 2z θπ=+ 【分析】把复数化为三角形式后可得结论．【详解】因为2πθπ<<，所以1cos isin z θθ=++22cos i 2sin cos 2cos (cos isin )222222θθθθθθ=+⋅=+2cos (cos isin )2cos cos isin 222222θθθθθθππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 此时2cos 02θ->，[0,2)2θππ+∈． 所以2cos2z θ=-，arg 2z θπ=+． 21．（112+；（233cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭； 【分析】（1)cos sin 44i i ππ+=+，1cos sin 266i i ππ⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合复数的三角形式的乘方运算即可求值；（2）由题意得11(cos sin )233z i z ππ-=+，进而得到 z 、z 代入目标式化简后转化为三角形式即可.【详解】（11010101011)22i i i i ⎛⎫⎛+-=-+++- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而)1010101011cos sin cos sin 24466i i i i i i ππππ⎫⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-=-+++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭∴原式55551cos sin cos sin 22332i i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）由题意知：11(cos sin )233z i z ππ-=+，所以 1z =，1z =，∴()3332cos sin 244z z z i ππ⎫--+⎪⎭【点睛】本题考查了复数的三角形式，利用复数三角形式的乘方运算化简求值，并由已知复数的模、复角求目标复数的三角形式.22．证明见解析【分析】设向量CB 对应复数()1cos sin z a i θθ=+，向量CE 对应复数()2cos sin z b i αα=+，分别表示出向量BE 与AD ，利用复数的运算法则即可得到结论.【详解】证明：设向量CB 对应复数为()1cos sin z a i θθ=+，则向量CD 对应的复数为()()cos 60sin 60a i θθ︒︒⎡⎤+++⎣⎦； 设向量CE 对应复数为()2cos sin z b i αα=+，则向量CA 对应的复数为()()cos 60sin 60b a i a ︒︒⎡⎤+++⎣⎦；∴向量BE CE CB =-对应复数为()()()()cos sin cos sin cos cos sin sin b i a i b a b a i ααθθαθαθ+-+=-+-， (BE b ∴===同理，2AD a ==AD BE ∴=.由BE 对应的复数为()()cos cos sin sin b a b a i αθαθ-+-，DA 对应的复数为()()()()60cos 6060sin 60bcos a a bsin a a i θθ︒︒︒︒⎤⎡⎤+-+++-+⎦⎣⎦，且两复数模相等，易知DA 对应复数是由BE 对应复数逆时针旋转60︒得到的，又由图可知BE 对应复数逆时针旋转AFE ∠可得DA 对应复数，60AFE ︒∴∠=.【点睛】本题考查复数的三角形式，复数的模，复数的运算法则，属于难题.。
热点23复数2017年高考数学二轮核心考点总动员(无答案)
2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点23 复数【热点考法】本热点考查形式为选择或者填空题，主要考查复数的概念、四则运算、几何意义等等复数知识，考查运算求解能力，为基础题，分值为5分. 【热点考向】 考向一 复数的概念 【解决法宝】 1.复数的有关概念 (1)复数的概念：设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若b ≠0且a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ；a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0. (3)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数，复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i.2.复数的概念问题，关键在理解概念的基础上，利用复数的有关概念解题. 例1【2017届安徽省合肥市高三第一次模拟考】已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为（ ）A.B.C.D.【分析】 【解析】考向二 复数的运算 【解决法宝】复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R)，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d ) i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋bc －dc ＋dc －d＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． (2)复数加法的运算定律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．例2【2017届湖北省武汉市武昌区高三1月调研】已知复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【分析】 【解析】考向三 复数的几何意义【解决法宝】1.复数z ＝a ＋b i←――→一一对应有序实数对(a ，b )←――→一一对应点Z (a ，b )． 2.一般情况下复数不能比较大小。
2017高考十年高考文数分项版(新课标2专版)专题14 复数(解析版) 含解析
一．基础题组1。
【2014全国2，文2】131i i +=-（ ）A.12i +B. 12i -+ C 。
12i - D 。
12i --【答案】B【解析】由已知得，131i i +-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ．2。
【2013课标全国Ⅱ，文2】21i +＝（ )．A ．22B ．2C ．2D ．．1【答案】：C【解析】：∵21i +＝1－i,∴21i +＝｜1－i ｜＝2.3. 【2012全国新课标，文2】复数3i2i z -+=+的共轭复数是（ ）A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i【答案】D4。
【2010全国新课标,文3】已知复数z 23(13)ii +－，则｜z |等于（）A 。
14 B.12 C ．1 D ．2【答案】B5. 【2015新课标2文数】若为a 实数，且2i 3i 1ia +=++,则a =（ ） A ．4- B ．3- C ．3 D ．4【答案】D【解析】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ，故选D 。
【考点定位】本题主要考查复数的乘除运算，及复数相等的概念。
【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容，一般以客观题形式出现,属得分题。
高考中复数考查频率较高的内容有：复数的几何意义,共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是2i1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性。
6。
【2016新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-,则z =（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C【考点】复数的运算,共轭复数【名师点睛】复数i(,)a b a b +∈R 的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此先化简再计算即可。
高考数学压轴专题专题备战高考《复数》真题汇编及答案
【高中数学】数学《复数》复习知识点一、选择题1．设i 是虚数单位，则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】因为734ii ++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i ii i i +--==-+-，所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D. 2．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】D【解析】【分析】【详解】 因,故由题设, 故,故选D ．考点：复数的概念与运算.3．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．1-D ．i -【答案】A【解析】()12i z i +=22(1)112ii i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A.4．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R ），且23z +=1y x -的最大值为（）A 3B 6C ．26+D ．26【答案】C【解析】【分析】根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，1y x -表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解.【详解】∵复数i z x y =+（x ，y ∈R），且2z +==()2223x y ++=. 设圆的切线l ：1y kx =+=化为2420k k --=，解得2k =∴1y x-的最大值为2 故选:C.【点睛】 本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.5．已知复数z 满足121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2 CD 【答案】D【解析】【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z .【详解】 21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.6．已知i 是虚数单位，则复数242i z i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi7．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.【详解】 因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D【解析】【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选：D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -【答案】A【解析】【分析】 根据欧拉公式求出2cossin 22i z e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .10．设2i 2i 1i z =++-，则复数z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．2i + D ．2i -【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．【详解】 由题意，可得复数()()()2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．11．在复平面内，复数121i z i -=+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】 试题分析：1213122i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故选C ．考点：复数的代数运算及几何意义．12．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12D ．12- 【答案】A【解析】【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】 ()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.13．（2018江西省景德镇联考）若复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2BC ．1 D．【答案】B【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a a z i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212a a z i -=⇒==-，,z ==,故选B.14．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4ii e e ππ表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】 根据欧拉公式计算4i i e e ππ，再根据复数几何意义确定象限.【详解】因为444iie cos isincos isineππππππ+===+，所以对应点22-（，，在第二象限，选B.【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.15．设复数z a bi=+（i为虚数单位，,a b∈R），若,a b满足关系式2ab t=-，且z在复平面上的轨迹经过三个象限，则t的取值范围是( )A．[0,1]B．[1,1]-C．(0,1)(1,)⋃+∞D．(1,)-+∞【答案】C【解析】【分析】首先根据复数的几何意义得到z的轨迹方程2xy t=-，再根据指数函数的图象，得到关于t的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩，即2xy t=-，因为z在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x=时，11t-<且10t-≠，解得0t>且1t≠，即t的取值范围是()()0,11,+∞U.故选：C【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.16．设复数4273izi-=-，则复数z的虚部为（）A．1729-B．1729C．129-D．129【答案】C【解析】【分析】根据复数运算法则求解1712929z i=-，即可得到其虚部.【详解】 依题意，()()()()427342281214634217173737358582929i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+ 故复数z 的虚部为129-故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.17．下列命题中，正确命题的个数是( )①若，，则的充要条件是；②若，且，则； ③若，则． A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.考点：复数的有关概念.18．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425iC ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得选项.【详解】 1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425- ，z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.19．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则21z z +=-（ ） A ．1i --B ．1i +C ．312i -D ．312i + 【答案】D【解析】 21z z +=-323122i i i -=+- ，选D.20．复数52i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 【答案】C【解析】【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】 因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.。
2017年高考试题分类汇编(复数)
2017年全国各省市高考试题选（复数）考点1 复数的有关概念1.（2017·全国卷Ⅰ·理科）设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1R z∈，则z R ∈； 2:p 若复数z 满足2z R ∈，则z R ∈； 3:p 若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =； 4:p 若复数z R ∈，则z R ∈. 其中的真命题为A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p2.（2017·全国卷Ⅰ·文科）下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．2(1)i i +B ．2(1)i i -C ．2(1)i +D ．(1)i i +3.（2017·天津卷·文理科）已知a R ∈，i 为虚数单位，若i 2ia -+为实数，则a 的值为 .4.（2017·浙江卷）已知,a b R ∈，234a bi i +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = .考点2 复数的运算1.（2017·全国卷Ⅱ·文科） (1)(2)i i ++=A.1i -B.13i +C.3i +D.33i +2.（2017·山东卷·文科）已知i 是虚数单位,若复数z 满足1zi i =+,则2z =A.2i -B.2iC.2-D.23.（2017·全国卷Ⅱ·理科）31i i+=+ A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -考点3 复数的模1.（2017·全国卷Ⅲ·理科）设复数z 满足(1)2i z i +=，则z =A ．12B ．2C ．22.（2017·山东卷·理科）已知a R ∈，i 是虚数单位，若z a =，4z z ⋅=，则a =A ．1或1-B ．3.（2017·上海卷）已知复数z 满足30z z+=，则||z = 4.（2017·江苏卷）已知复数(1)(12)z i i =++,其中i 是虚数单位，则z 的模是 . 考点4 复数的几何意义1.（2017·全国卷Ⅲ·文科）复平面内表示复数(2)z i i =-+的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（2017·北京卷·文理科）若复数(1)()i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A.(,1)-∞B.(,1)-∞-C.(1,)+∞D.(1,)-+∞。
高考数学《复数与极限》专题复习
复数与极限一、17届 一模 一、复数 1、（崇明县2017届高三第一次模拟）复数(2)i i +的虚部为 ． 2、（虹口区2017届高三一模）已知i iz+=-21，则复数z 的虚部为 ． 3、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）若复数z 满足i 1=12z -（i 为虚数单位），则z =_________． 4、（静安区2017届向三上学期期质量检测）若复数z 为纯虚数， 且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 ．5、（闵行区2017届高三上学期质量调研）若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a = ( )(A) 1- (B) 0 (C) 1 (D) 26、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）若复数()()12ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =____________．7、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）已知复数i z +=2（i 为虚数单位）， 则=2z8、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知a b R ∈、，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则 2()a bi += ▲ ．9、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）若复数z 满足：i z i ⋅=（i 是虚数单位），则z =______．10、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）294z z i +=+（i 为虚数单位），则||z =________． 11、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）设i 为虚数单位，在复平面上，复数2)2(3i -对应的点到原点的距离为__________．12、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）若1-（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）（A ）2,3b c == （B ）2,1b c ==- （C ）2,1b c =-=- （D ）2,3b c =-=13、（奉贤区2017届高三上学期期末）已知复数z 满足2)1(=-i z ,其中i 是虚数单位，则z =____________. 14、（金山区2017届高三上学期期末）若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =复数参考答案：1、22、13、1+2i4、215、B6、37、34i -8、34i -9、2 10、5 11、【解析】复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：12、D 13、1i + 14、12i - 二、极限1、（宝山区2017届高三上学期期末）23lim1n n n →∞+=+2、（崇明县2017届高三第一次模拟）已知无穷数列{}n a 满足1*1()2n n a a n N +=∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞= ．3、（虹口区2017届高三一模）数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2limnn nS a →∞= ．4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）在数列{}n a 中，若对一切*n ∈N 都有13n n a a +=-，且2462lim()n n a a a a →∞++++92=，则1a 的值为 . 5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）在无穷等比数列{}n a 中，21)(lim 21=+⋅⋅⋅++∞→n n a a a ，则1a 的取值范围是【 】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛210，；B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛121，； C ．()10，； D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，⎪⎭⎫ ⎝⎛121， 6、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若*12()n n n a a n N +-=∈，且21{}n a -是递增数列、2{}n a 是递减数列，则212limn n na a -→+∞= ▲ ．7、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）25lim1n n n →∞-=+____________．8、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）设常数0a >，9()a x x+展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_______．9、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）若数列}{n a 的所有项都是正数，且n n a a a n 3221+=+++ （*N ∈n ），则=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→1321lim212n a a a n n n _____________．10、（金山区2017届高三上学期期末）若n a 是(2)n x +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=参考答案：1、解析：23lim 1n n n →∞+=+32lim 11x n n→∞++＝2 2、4 3、14 4、－12 5、D6、12-7、2 8、12 9、【解析】∵++…+=n 2+3n （n ∈N *），∴n=1时，=4，解得a 1=16．n ≥2时，且++…+=（n ﹣1）2+3（n ﹣1），可得：=2n +2，∴a n =4（n +1）2．=4（n +1）．∴（）==2．10、2二模一、填空题1、（崇明县2016届高三二模）设复数z 满足 (4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的虚部 为2、（奉贤区2016届高三二模）若()1i bi +是纯虚数，是虚数单位，则实数b =_______．3、（虹口区2016届高三二模）已知虚数1+2i 是方程20()x ax b a b R ++=∈、的一个根，则_______.a b +=4、（静安区2016届高三二模）设复数z 满足(34i)5z -=（i 为虚数单位），则z = .5、（闵行区2016届高三二模）若复数1i 11i 2b ++-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数b 的值为 6、（浦东新区2016届高三二模）已知复数z 满足(1)2z i i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z = . 7、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）若复数z 满足1,ii z-=-其中i 为虚数单位，则z =________________．8、（杨浦区2016届高三二模）若复数1234,12z i z i =+=-，其中i 是虚数单位，则复数12||z z i+的虚部为9、（闸北区2016届高三二模）如果复数z 满足||1z =且2z a bi =+，其中,a b R ∈，则a b +的最大值是 10、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知i 为虚数单位，复数z 满足i 11=+-zz，则=||z __________．二、选择题1、（黄浦区2016届高三二模）若1m iz i+=-（,m R i ∈为虚数单位）在复平面上的点不可能是位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限三、解答题1、（闵行区2016届高三二模）复数21sin i cos2z x x =+⋅，22sin i cos z x x =+⋅（其中x ∈R ，i 为虚数单位）. 在复平面上，复数1z 、2z 能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由． 1、（静安区2016届高三二模）算法流程图如图所示，则输出的k 值是复数参考答案 一、填空题1、3-2、03、34、3455i + 5、2 62 7、1i - 8、－3 92 10、1二、选择题 1、D三、解答题1、解：设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos2cos x x = ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-， ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==； ……………9分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-； ……………11分综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分二、16届一模1、（宝山区2016届高三上学期期末）已知:(1-2)5+10i z i =（i 是虚数单位 ），则z = .2、（崇明县2016届高三上学期期末）已知 z ＝(a −i )(1+i )（a ∈R ，i 为虚数单位），若复数 z 在复平面内对应的点在实轴上，则a ＝3、（奉贤区2016届高三上学期期末）复数()1i i +（i 是虚数单位）的虚部是__________4、（虹口区2016届高三上学期期末）若复数z 满足201520161zi i i=++（i 为虚数单位），则复数z =______. 5、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知复数z ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 [答] ( B )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 6、（长宁区2016届高三上学期期末）若复数z 满足z 2 －z ＋1 ＝0，则｜z ｜＝ __________ 7、（金山区2016届高三上学期期末）若复数z 满足i21i43-+=z (i 为虚数单位)，则z = 8、（静安区2016届高三上学期期末）已知复数z 满足28z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z = 9、（闵行区2016届高三上学期期末）若复数z满足i i z =（i 为虚数单位），则||z = .10、（浦东新区2016届高三上学期期末）若复数z 满足1012ii z=-（i 为虚数单位），则z = 11、（青浦区2016届高三上学期期末）已知32i -是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，则实数p q +=_____________12、（青浦区2016届高三上学期期末）复数1a i z i-=+(a R ∈, i是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于………（ ）.（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限13、（松江区2016届高三上学期期末）若复数1z ai =+（i 是虚数单位）的模不大于2，则实数a 的取值范围是 ▲14、（徐汇区2016届高三上学期期末）设12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=_______________15、（杨浦区2016届高三上学期期末）已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________16、（徐汇区2016届高三上学期期末）设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数(2)(52)i x y x y -+--的实部大于0，虚部不小于0，则复数z x yi ＝＋在复平面上的点集用阴影表示为下图中的---------------------------------------（ ）17、（长宁区2016届高三上学期期末）关于x 的不等式的解集为.（1）求实数a ,b 的值； （2）若为纯虚数，求tan α的值.参考答案：1、-3-4i2、13、14、25、B6、17、58、17z =9、2 10、5 11、34 12、a 13、]3,3[- 14、-2 15、5 16、A 17、。
专题2.1复数的概念(七个重难点突破)高考数学
故答案为：④.
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试卷讲评课件
2 + 2i/2i + 2
6.以2 + i的实部为虚部，2i + 1的虚部为实部的复数为_____________.
【分析】依题意分别确定实部与虚部，即可得解.
【详解】因为 + 的实部为2， + 的虚部为2，故所求复数为 + .
及正切型函数的值域，即可求得参数的范围.
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试卷讲评课件
【详解】∵ 是实数， ∈ , ，�� ≠ ，∴ + − = ，
即 =
−
恒成立.
−
又
∴
=
【详解】由
，解得 = −，故 = −.
+≠
故答案为： = −
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试卷讲评课件
8.已知x是实数，则“复数x x − 1 + i是纯虚数”的充分不必要条件是“
x = 0(或x = 1)
_______________”.
【分析】根据复数的概念、复数的代数形式以及复数的分类即可求解.
高考数学《平面向量与复数》备考策略
复习建议
基于以上分析及我校学生实际情况，个人建议复习不必 加深难度，主要以考查平面向量的线性运算、平面向量基本定 理、向量的模、向量的数量积、向量的夹角及向量的平行与垂 直的充要条件，尤其以向量的坐标表示的题目为主，强化学生 对这些基础知识的掌握与运用，并以选择、填空题为主加强学 生对这部分内容的过关练习，基础好的学生可适当增加以向量为 载体的综合性题目，从而让绝大多数的学生能在这一模块中得分。
5.向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
二、主要考点
1.平面向量的加、减、数乘的几何运算及向量相等的几何意义 2.平面向量基本定理 3.平面向量加、减、数乘及模的坐标表示 4.平面向量数量积及其坐标运算，会用数量积求非零两个向量的夹角 5.平面向量的平行和垂直的充要条件及其坐标表示
2. （ 2016全国卷2卷）设 (1 i)x 1 yi ,其中 x, y 是实数，则 x yi =( )
A.1
B. 2
C. 3 D.2
分析考点简析：主要考查复数的相等，和复数的模的概念
2.（ 2016全国卷3卷）若 z 1 2i ，则 4i （
）
zz 1
A.1
B.-1
iC.
D. i
考点简析：主要考查共轭复数及复数的四则运算
上的三点，若
AO
1 2
AB AC
，则
AB 与 AC 的夹角为_______．
考点简析：本题主要以向量为载体考查圆的知识
4.（ 2014全国卷2卷）设向量 a, b 满足 a b 10, a b 6 ，则 a b （ ）
A.1
B.2
C.3
D.5
三年高考()高考数学试题分项版解析 专题23 复数 文
专题23 复数1.【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C【考点】复数运算，复数基本概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 2.【2017课标II ，文2】(1i)(2i)++=A.1i -B.13i +C.3i +D.33i + 【答案】B【解析】由题意2(1)(2)2313i i i i i ++=++=+，故选B. 【考点】复数运算【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.++=-++∈a b i c d i a c b d a d b c i a b c d R. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R (,)a b 、共轭为.-a bi 3.【2017课标3，文2】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C. 【考点】复数运算【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.++=-++∈a b i c d i a c b d a d b c i a b c d R. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R (,)a b 、共轭为.-a bi 4.【2017北京，文2】若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ 【答案】B【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ .5.【2017山东，文2】已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A 【解析】试题分析：由i 1i z =+得22(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A.【考点】复数的运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i,1－i 1＋i ＝－i.则20,25a a +==-. 【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可，或者设22a ib a i b bi i-=⇒-=++，根据两边复数相等，求解. 6.13.【2017天津，文9】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2-【解析】 试题分析：()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 14. 【2017浙江，12】已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ．【答案】5，2【考点】复数的基本运算和复数的概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R (,)a b 、共轭为.-a bi 【2016，2015，2014高考】1. 【2014高考广东卷.文.2】已知复数满足()3425i z -=,则z =( )A .34i --B .34+i -C .34i -D .34i +【答案】D【解析】解法一：由题意得()()()()25342534253434343425i i z i i i i ++====+--+,故选D . 解法二：设(),z a bi a b R =+∈,则()()()()()3434343425i z i a bi a b b a i -=-+=++-=,由复数相等得3425340a b b a +=⎧⎨-=⎩,解得34a b =⎧⎨=⎩,因此34z i =+,故选D .【考点定位】本题考查复数的四则运算,属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是复数的除法运算，属于容易题．解题时一定注意分子和分母同时乘以34i -的共轭复数，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的除法运算，即2222a bi ac bd bc ad i c di c d c d++-=++++，21i =-．2. 【2016高考新课标1文数】设()()12i i a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A考点：复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.3.【2015高考广东，文2】已知是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．C ．2i -D ．2i 【答案】D【解析】()221121212i i i i i +=++=+-=，故选D ． 【考点定位】本题主要考查的是复数的乘法运算【名师点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算，属于容易题．解题时一定注意()21i +的展开，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的乘法运算，即()2222a bi a b abi +=-+，21i =-．4. 【2016高考新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-，则=（ ）（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C 【解析】试题分析：由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C. 考点： 复数的运算，共轭复数.【名师点睛】复数(,R)a bi a b +∈的共轭复数是(,R)a bi a b -∈，两个复数是共轭复数，其模相等.5.【2015高考湖南，文1】已知2(1)i z-=1i +（为虚数单位），则复数z = ( )A 、1i +B 、1i -C 、 1i -+D 、1i --【考点定位】复数的运算【名师点睛】在对复数之间进行乘法运算时，直接利用多项式的乘法分配律进行计算，在最后一步的计算中，根据21i =-，最后根据复数的加法原则，实部与实部相加，虚部与虚部相加便可得到最终结果；在进行复数的除法运算时，首先将分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数，分子的运算遵循复数的乘法运算法则，从而得到相应的结果.6. 【2014山东.文1】 已知i R b a ,,∈是虚数单位，若,2bi i a -=+则()2bi a +（ ）（A ）i 43- （B ）i 43+ （C ） i 34- （D ）i 34+ 【答案】A【解析】由已知得，2,1a b ==-，即2a bi i +=-，所以22()(2)34,a bi i i +=-=-选A . 考点：复数的四则运算，复数相等的定义.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，利用共轭复数的实部相等、虚部互为相反数，求得a,b ，再求(a ＋b i)2.本题属于基础题，注意运算的准确性. 7. 2016高考新课标Ⅲ文数]若43i z =+，则||zz ＝（ ） （A ）1 （B ）1-（C ）43i 55+（D ）43i 55- 【答案】D 【解析】 试题分析：43i ||55z z =-，故选D ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 8.【2015高考山东，文2】若复数Z 满足1zi-i =，其中为虚数单位，则Z=( ) （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【考点定位】1.复数的运算；2.共轭复数.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.9.【2014高考陕西版文第3题】已知复数2z i =-，则z z ⋅的值为（ ）.5A B .3C D 【答案】A 【解析】试题分析：由2z i =-得2z i =+，所以(2)(2)5z z i i ⋅=-⋅+=，故选A . 考点：共轭复数；复数的运算.【名师点晴】本题主要考查的是共轭复数及复数的运算，属于容易题.解题时由共轭复数的定义，求出复数2z i =-的共轭复数，然后由复数乘法的运算法则就可求出z z ⋅的值 10. 【2016高考四川文科】设为虚数单位，则复数2(1)i +=( ) (A) 0 (B)2 (C)2 (D)2+2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C. 考点：复数的运算.【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可． 11. 【2014全国2，文2】131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i -- 【答案】B 【解析】由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B 【考点定位】复数的运算.【名师点睛】本题考查了复数的除法运算，本题属于基础题，复数的除法的关键是在分子分母同时乘以分母的共轭复数，将除法转化为乘法来做，注意运算的准确性.12. 【2016高考北京文数】复数122ii+=-（ ） A. B.1i + C.i - D.1i - 【答案】A考点：复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化13. 【2016高考山东文数】若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则=（ ） （A ）1+i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i【答案】B 【解析】试题分析：22(1)1,11(1)(1)i z i z i i i i +===+∴=---+，选B. 考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一. 14. 【2014全国1，文3】设i iz ++=11，则=||z ( ) A.21B. 22C. 23D. 2【答案】B【解析】根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222i i z i i i i i i i --=+=+=+=-++-，由模的运算可得：||2z ==. 考点：复数的运算【名师点睛】本题主要考查了复数的运算公式，在应用复数的乘法运算公式时，一定要注意2i 的运算结果，本题很好的考查了考生的基本运算能力.15.【2015高考新课标1，文3】已知复数满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +【答案】C【考点定位】复数运算【名师点睛】本题考查复数的运算，先由(1)1z i i -=+解出z ，再利用复数的除法运算法则求出复数z ，本题也可以设出复数z ，利用两个复数相等的充要条件，解出复数z ，解复数题目的关键熟悉复数的相关概念，掌握复数的运算法则.16. 【2014高考重庆文第1题】实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【答案】B 【解析】试题分析：实部为-2，虚部为1的复数在复平面对应的点坐标为()-21，，位于第二象限， 故选B. 考点：复平面.【名师点睛】本题考查了复数的几何意义及相关概念，本题属于基础题. 17. 【2014，安徽文1】设是虚数单位，复数321iii++= （ ） A ．i - B ． C ． 1- D ． 【答案】D ． 【解析】 试题分析：由题意3222(1)11(1)(1)i i i ii i i i i i i -+=-+=-+-=++-，故选D ． 考点：1．复数的运算．【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，要记住复数中44142431,,1,k k k k i i i i i i +++===-=-.18.【2015高考安徽，文1】设是虚数单位，则复数()()112i i -+=（ ） （A ）3+3i （B ）-1+3i （3）3+i （D ）-1+i 【答案】C【考点定位】本题主要考查复数的乘法运算公式.【名师点睛】在应用复数的乘法运算公式时，一定要注意22i -的运算结果，本题很好的考查了考生的基本运算能力.19.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. B. 1- C. D.i - 【答案】B 【解析】 试题分析：因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选B. 考点：复数的运算，容易题.【名师点睛】本题考查了复数的四则运算，属容易题. 其难度虽然不大，但仍能较好的考查复数的基本概念和基本运算法则，充分体现了高考始终坚持基本概念、基本操作和基本技能的考查，注重基础，强调教材的重要性.20. 【2015高考湖北，文1】为虚数单位，607i =（ ）A ．i -B ．C ．1-D ．1 【答案】A . 【解析】因为6072303()ii i i =⋅=-，所以应选A .【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.21.【2014福建,文2】复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A iB iC iD i ---+-+【答案】B考点：复数的四则运算.【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.22.【2015高考福建，文1】若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ）A ．3,2-B ．3,2C ．3,3-D ．1,4- 【答案】A【解析】由已知得32i a bi -=+，所以3,2a b ==-，选A ． 【考点定位】复数的概念．【名师点睛】本题考查复数相等的充要条件和复数运算，利用复数相等可以确定参数的取值，属于基础题，但是要注意运算准确． 23. 【2015新课标2文2】若为实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ． D ． 【答案】D【解析】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 【考点定位】本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.24. 【2014辽宁文2】设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 【答案】A【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，其解答利用方程思想，采用分母实数化求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.25. (2014课标全国Ⅰ，文3)设1i 1iz =++，则|z |＝( )．A ．12B ．2C ．2D ．2 答案：B 解析：因为11i 1i 11i=i i i 1i 1i 1i 222z --=++=+=++(+)(-)，所以11i 222z =+==，故选B. 名师点睛：本题考查复数的运算、复数的模，复数),(R ∈+=b a bi a z 的模22||b a z +=.考查计算能力，容易题.二、填空题1. 【 2014湖南文11】复数23i i +（为虚数单位）的实部等于_________. 【答案】3- 【解析】由题可得233i i i +=--,3i --的实部为3-,故填3-. 【考点定位】复数【名师点睛】在对复数之间进行乘法运算时，直接利用多项式的乘法分配律进行计算，在最后一步的计算中，根据21i =-，最后根据复数的加法原则，实部与实部相加，虚部与虚部相加便可得到最终结果；在进行复数的除法运算时，首先将分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数，分子的运算遵循复数的乘法运算法则，从而得到相应的结果.2. 【2014四川，文12】复数221i i-=+ . 【答案】2i -.【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3. 【2015高考四川，文11】设i 是虚数单位，则复数1i i -＝_________.【答案】2i 【解析】12i i i i i -=+=【考点定位】本题考查复数的概念，复数代数形式的四则运算等基础知识.【名师点睛】解决本题的关键取决于对复数运算的熟练程度，也就是＝－i 的运算，容易误解为＝i ，从而导致答案错误.一般地，i 4n ＝1，i4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，而＝i －1＝－i .属于容易题4. 【2014年.浙江卷.文11】设已知是虚数单位，计算21(1)i i -=+________. 【答案】1122i -- 【解析】 试题分析：因为211111(1)2222i i i i i i --+===--+-. 考点：复数的运算，容易题.【名师点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．有关复数的运算应该注意：(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．5. 【2016高考天津文数】i 是虚数单位，复数满足(1)2i z +=，则z 的实部为_______.【答案】1考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈，a bi c di ac bd ad bc i abcd R 22()(),(,,.)+++-=∈++，a bi ac bd bc ad i a b c d R c di c d. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R .-a bi6. 【2015高考重庆，文11】复数(12i)i +的实部为________.【答案】-2【解析】由于2(12i)i 22i i i +=+=-+,故知其实部为-2，故填：-2.【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，利用复数的乘法法则进行求解.本题属于基础题，注意复数实部的概念.7. 【2014高考北京文第9题】若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = .【答案】2【解析】由题意知：112xi i -=-+，所以由复数相等的定义知2x =.考点：本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.8. 【2015高考北京，文9】复数()1i i +的实部为 ．【答案】1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-.【考点定位】复数的乘法运算、实部.【名师点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算和复数的概念，属于容易题．解题时要抓住重要字眼“实部”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的乘法运算和复数的概念，即()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++，21i =-，若z a bi =+（、R b ∈），则复数的实部是，虚部是．9.【2014上海,文2】若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z +z ⋅=___________.【答案】6【考点】复数的运算.【名师点睛】设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b i c －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题23复数文20171101142
专题23 复数1.【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C【考点】复数运算，复数基本概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 2.【2017课标II ，文2】(1i)(2i)++=A.1i -B.13i +C.3i +D.33i + 【答案】B【解析】由题意2(1)(2)2313i i i i i ++=++=+，故选B. 【考点】复数运算【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R (,)a b 、共轭为.-a bi 3.【2017课标3，文2】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C. 【考点】复数运算【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R (,)a b 、共轭为.-a bi 4.【2017北京，文2】若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ 【答案】B【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .5.【2017山东，文2】已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A 【解析】试题分析：由i 1i z =+得22(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A.【考点】复数的运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i,1－i 1＋i ＝－i.则20,25a a +==-. 【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可，或者设22a ib a i b bi i-=⇒-=++，根据两边复数相等，求解. 6.13.【2017天津，文9】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2- 【解析】 试题分析：()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 14. 【2017浙江，12】已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ．【答案】5，2【考点】复数的基本运算和复数的概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R (,)a b 、共轭为.-a bi 【2016，2015，2014高考】1. 【2014高考广东卷.文.2】已知复数满足()3425i z -=,则z =( )A .34i --B .34+i -C .34i -D .34i +【答案】D【解析】解法一：由题意得()()()()25342534253434343425i i z i i i i ++====+--+,故选D .解法二：设(),z a bi a b R =+∈,则()()()()()3434343425i z i a bi a b b a i -=-+=++-=,由复数相等得3425340a b b a +=⎧⎨-=⎩,解得34a b =⎧⎨=⎩,因此34z i =+,故选D .【考点定位】本题考查复数的四则运算,属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是复数的除法运算，属于容易题．解题时一定注意分子和分母同时乘以34i -的共轭复数，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的除法运算，即2222a bi ac bd bc ad i c di c d c d++-=++++，21i =-． 2. 【2016高考新课标1文数】设()()12i i a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A考点：复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.3.【2015高考广东，文2】已知是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．C ．2i -D ．2i 【答案】D【解析】()221121212i i i i i +=++=+-=，故选D ．【考点定位】本题主要考查的是复数的乘法运算【名师点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算，属于容易题．解题时一定注意()21i +的展开，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的乘法运算，即()2222a bi a b abi +=-+，21i =-．4. 【2016高考新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-，则=（ ）（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C 【解析】试题分析：由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C. 考点： 复数的运算，共轭复数.【名师点睛】复数(,R)a bi a b +∈的共轭复数是(,R)a bi a b -∈，两个复数是共轭复数，其模相等.5.【2015高考湖南，文1】已知2(1)i z-=1i +（为虚数单位），则复数z = ( )A 、1i +B 、1i -C 、 1i -+D 、1i -- 【答案】D【考点定位】复数的运算【名师点睛】在对复数之间进行乘法运算时，直接利用多项式的乘法分配律进行计算，在最后一步的计算中，根据21i =-，最后根据复数的加法原则，实部与实部相加，虚部与虚部相加便可得到最终结果；在进行复数的除法运算时，首先将分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数，分子的运算遵循复数的乘法运算法则，从而得到相应的结果.6. 【2014山东.文1】 已知i R b a ,,∈是虚数单位，若,2bi i a -=+则()2bi a +（ ）（A ）i 43- （B ）i 43+ （C ） i 34- （D ）i 34+ 【答案】A【解析】由已知得，2,1a b ==-，即2a bi i +=-，所以22()(2)34,a bi i i +=-=-选A .考点：复数的四则运算，复数相等的定义.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，利用共轭复数的实部相等、虚部互为相反数，求得a,b ，再求(a ＋b i)2.本题属于基础题，注意运算的准确性. 7. 2016高考新课标Ⅲ文数]若43i z =+，则||zz ＝（ ）（A ）1 （B ）1-（C ）43i 55+（D ）43i 55- 【答案】D 【解析】 试题分析：43i ||55z z ==-，故选D ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 8.【2015高考山东，文2】若复数Z 满足1zi-i =，其中为虚数单位，则Z=( ) （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ 【答案】A【考点定位】1.复数的运算；2.共轭复数.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.9.【2014高考陕西版文第3题】已知复数2z i =-，则z z ⋅的值为（ ）.5A B .3C D 【答案】A 【解析】试题分析：由2z i =-得2z i =+，所以(2)(2)5z z i i ⋅=-⋅+=，故选A . 考点：共轭复数；复数的运算.【名师点晴】本题主要考查的是共轭复数及复数的运算，属于容易题.解题时由共轭复数的定义，求出复数2z i =-的共轭复数，然后由复数乘法的运算法则就可求出z z ⋅的值 10. 【2016高考四川文科】设为虚数单位，则复数2(1)i +=( ) (A) 0 (B)2 (C)2 (D)2+2【答案】C 【解析】试题分析：由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C. 考点：复数的运算.【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可． 11. 【2014全国2，文2】131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i -- 【答案】B 【解析】由已知得，131i i +-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B 【考点定位】复数的运算.【名师点睛】本题考查了复数的除法运算，本题属于基础题，复数的除法的关键是在分子分母同时乘以分母的共轭复数，将除法转化为乘法来做，注意运算的准确性. 12. 【2016高考北京文数】复数122ii+=-（ ） A. B.1i + C.i - D.1i - 【答案】A考点：复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化13. 【2016高考山东文数】若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则=（ ） （A ）1+i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i【答案】B 【解析】试题分析：22(1)1,11(1)(1)i z i z i i i i +===+∴=---+，选B. 考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.14. 【2014全国1，文3】设i iz ++=11，则=||z ( ) A.21 B. 22 C. 23 D. 2 【答案】B【解析】根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222i i z i i i i i i i --=+=+=+=-++-，由模的运算可得：||2z ==. 考点：复数的运算【名师点睛】本题主要考查了复数的运算公式，在应用复数的乘法运算公式时，一定要注意2i 的运算结果，本题很好的考查了考生的基本运算能力.15.【2015高考新课标1，文3】已知复数满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +【答案】C【考点定位】复数运算【名师点睛】本题考查复数的运算，先由(1)1z i i -=+解出z ，再利用复数的除法运算法则求出复数z ，本题也可以设出复数z ，利用两个复数相等的充要条件，解出复数z ，解复数题目的关键熟悉复数的相关概念，掌握复数的运算法则.16. 【2014高考重庆文第1题】实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【解析】试题分析：实部为-2，虚部为1的复数在复平面对应的点坐标为()-21，，位于第二象限， 故选B. 考点：复平面.【名师点睛】本题考查了复数的几何意义及相关概念，本题属于基础题. 17. 【2014，安徽文1】设是虚数单位，复数321iii++= （ ） A ．i - B ． C ． 1- D ． 【答案】D ． 【解析】 试题分析：由题意3222(1)11(1)(1)i i i ii i i i i i i -+=-+=-+-=++-，故选D ． 考点：1．复数的运算．【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，要记住复数中44142431,,1,k k k k i i i i i i+++===-=-. 18.【2015高考安徽，文1】设是虚数单位，则复数()()112i i -+=（ ） （A ）3+3i （B ）-1+3i （3）3+i （D ）-1+i 【答案】C【考点定位】本题主要考查复数的乘法运算公式.【名师点睛】在应用复数的乘法运算公式时，一定要注意22i -的运算结果，本题很好的考查了考生的基本运算能力.19.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. B. 1- C. D.i - 【答案】B试题分析：因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选B. 考点：复数的运算，容易题.【名师点睛】本题考查了复数的四则运算，属容易题. 其难度虽然不大，但仍能较好的考查复数的基本概念和基本运算法则，充分体现了高考始终坚持基本概念、基本操作和基本技能的考查，注重基础，强调教材的重要性.20. 【2015高考湖北，文1】为虚数单位，607i =（ ）A ．i -B ．C ．1-D ．1 【答案】A .【解析】因为6072303()i i i i =⋅=-，所以应选A . 【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.21.【2014福建,文2】复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A iB iC iD i ---+-+【答案】B考点：复数的四则运算.【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.22.【2015高考福建，文1】若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ）A ．3,2-B ．3,2C ．3,3-D ．1,4-【答案】A【解析】由已知得32i a bi -=+，所以3,2a b ==-，选A ． 【考点定位】复数的概念．【名师点睛】本题考查复数相等的充要条件和复数运算，利用复数相等可以确定参数的取值，属于基础题，但是要注意运算准确． 23. 【2015新课标2文2】若为实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ． D ． 【答案】D【解析】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 【考点定位】本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.24. 【2014辽宁文2】设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 【答案】A【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，其解答利用方程思想，采用分母实数化求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性. 25. (2014课标全国Ⅰ，文3)设1i 1iz =++，则|z |＝( )．A ．12 B ．2 C ．2D ．2 答案：B解析：因为11i 1i 11i=i i i 1i 1i 1i 222z --=++=+=++(+)(-)，所以11i 222z =+==，故选B.名师点睛：本题考查复数的运算、复数的模，复数),(R ∈+=b a bi a z 的模22||b a z +=.考查计算能力，容易题. 二、填空题1. 【 2014湖南文11】复数23ii+（为虚数单位）的实部等于_________. 【答案】3- 【解析】由题可得233ii i +=--,3i --的实部为3-,故填3-. 【考点定位】复数【名师点睛】在对复数之间进行乘法运算时，直接利用多项式的乘法分配律进行计算，在最后一步的计算中，根据21i =-，最后根据复数的加法原则，实部与实部相加，虚部与虚部相加便可得到最终结果；在进行复数的除法运算时，首先将分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数，分子的运算遵循复数的乘法运算法则，从而得到相应的结果. 2. 【2014四川，文12】复数221ii-=+ . 【答案】2i -.【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3. 【2015高考四川，文11】设i 是虚数单位，则复数1i i-＝_________. 【答案】2i【解析】12i i i i i-=+=【考点定位】本题考查复数的概念，复数代数形式的四则运算等基础知识.【名师点睛】解决本题的关键取决于对复数运算的熟练程度，也就是＝－i 的运算，容易误解为＝i ，从而导致答案错误.一般地，i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，而＝i －1＝－i .属于容易题4. 【2014年.浙江卷.文11】设已知是虚数单位，计算21(1)ii -=+________.【答案】1122i -- 【解析】试题分析：因为211111(1)2222i i i i i i --+===--+-.考点：复数的运算，容易题.【名师点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．有关复数的运算应该注意：(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 5. 【2016高考天津文数】i 是虚数单位，复数满足(1)2i z +=，则z 的实部为_______. 【答案】1考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈，a bi c di ac bd ad bc i abcd R 22()(),(,,.)+++-=∈++，a bi ac bd bc ad ia b c d R c di c d . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R .-a bi6. 【2015高考重庆，文11】复数(12i)i +的实部为________. 【答案】-2【解析】由于2(12i)i 22i i i +=+=-+,故知其实部为-2，故填：-2. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，利用复数的乘法法则进行求解.本题属于基础题，注意复数实部的概念.7. 【2014高考北京文第9题】若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 【答案】2【解析】由题意知：112xi i -=-+，所以由复数相等的定义知2x =.考点：本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.8. 【2015高考北京，文9】复数()1i i +的实部为 ． 【答案】1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 【考点定位】复数的乘法运算、实部.【名师点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算和复数的概念，属于容易题．解题时要抓住重要字眼“实部”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的乘法运算和复数的概念，即()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++，21i =-，若z a bi =+（、R b ∈），则复数的实部是，虚部是．9.【2014上海,文2】若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=___________. 【答案】6【考点】复数的运算.【名师点睛】设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i(c ＋d i≠0)．。
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复数一、复数的概念及运算： 1、复数的概念： （1）虚数单位i ；（2）实部：a ，虚部：b ；（3）复数的分类(bi a z +=)()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈⎩⎨⎧≠=≠⎩⎨⎧=R b a a a b b ,)0()0()0()0(非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数； （4）相等的复数：2、复数的加、减、乘、除法则：（1）加减法具有交换律和结合律； （2）乘法具有交换律、结合律、分配律； （3）除法：)0(2222≠++-+++=++di c i d c adbc d c bd ac di c bi a 。
3、复数的共轭与模：共轭复数: 复数的模:复平面:复数bi a z +=与点()b a Z ,是一一对应关系，另：z 与z 关于x 轴对称，z 表示z 对应点与原点的距离。
二、复数中的方程问题：1、实系数一元二次方程的根的情况：对方程02=++c bx ax （其中R c b a ∈,,且0≠a ），令ac b 42-=∆， 当0>∆时，方程有两个不相等的实数根。
当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当0<∆时，方程有两个共轭虚根：2,221ib x i b x ∆---=∆-+-=。
2、一元二次方程的根与系数的关系：若方程02=++c bx ax （其中R c b a ∈,,且0≠a ）的两个根为21x x 、，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a cx x a b x x 2121； 考点1：复数的基本运算1.等于2. 已知复数z3i ）z ＝3i ，则z ＝3. 3(1－i)2＝4.复数(1+i)21－i等于5. 复数4)11(i+的值是考点2：复数的模长运算1.已知复数z =，则z 等于2. 已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是考点3：复数的实部与虚部1. 复数3(1)i -的虚部为考点4：复数与复平面内的点关系1. 在复平面内，复数1ii+对应的点位于2. 在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在复平面内，复数ii+-12对应的点位于 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4. 若()()i x x x x z 653222+-+--=对应的点在虚轴上，则实数=x考点5：共轭复数1.复数512i+的共轭复数是2. 若2a bi -+与3a i -互为共轭复数，则实数a 、b 的值分别为3. 把复数z 的共轭复数记作z ，已知i z i 34)21(+=+,则z 等于考点6：复数的周期1.已知()n n f n i i -=-()n N ∈，则集合{}()f n 的元素个数是 （）A．2 B. 3 C. 4 D. 无数个考点7：复数相等1. 已知21(1)()x y i x y x y i -++=-+--，求实数x 、y 的值。
2. 已知,x y R ∈，且511213x y i i i+=+++，求x 、y 的值。
3. 设2(1)3(1)2i i z i++-=+，若21z az b i ++=+，求实数a 、b 。
4. 已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11考点8：复数比较大小1.使得不等式222(3)(43)10mm m i m m i --<-++成立的实数的值为_______考点9：复数的各种特殊形式1. 已知i 是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)z m i m i i =+-+-+，当m 取什么实数时，z 是（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）零。
2. 如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =考点10：复数的综合问题1. 若342z i ++≤，则z 的最大值是2. 下列各式不正确的是 （ ） A ．12=iiB.ii 1=- C. 2--=⋅i i i D i i -<--13. 对于两个复数i 2321+-=α，i 2321--=β，有下列四个结论：①1=αβ；②1=βα；③1=βα；④233=+βα，其中正确的结论的为（ ）个4. 设12()1,23,5,=-=+=-f z z z i z i 则12()-=f z z5．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是6. 设复数--⋅=+=+=∈z z q z z p i a z R a ,,,,，则q p 、的关系是 （ ）A ．不能比较大小B ．q p =C ．q p ≥D ． q p ≤7.在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是8.已知ABC ∆中，AC ,AB 对应的复数分别为,i 32,i 21--+-则BC 对应的复数为9.在复平面内，复数i i 32,56+-+对应的点分别为B A ,,若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是10. 复数221(23)()()2z a a a a i a R =-+--+∈在复平面内对应点位于 象限11. 已知复数Z 满足1z =，求1z ++的最值四、精选例1：已知40323222=--+++i z i z ，求z ；例2：已知()()104232212343ii i z -⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=，求z ；例3：设z 为虚数，zz 1+=ω为实数，且21<<-ω。
（1）求z 的值及z 的实部的取值范围； （2）证明：zzu +-=11为纯虚数；例4：已知关于t 的方程)(022R a a t t ∈=+-有两个根21t t 、，且满足3221=-t t 。
（1）求方程的两个根以及实数a 的值；（2）当0>a 时，若对于任意R x ∈，不等式()k mk k a x a 22log 22-+-≥+对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,2k 恒成立，求实数m 的取值范围。
例5：已知复数1z 满足i a z i z i --=+-=+2,51)1(21，其中i 为虚数单位，R a ∈，若121z z z <-，求a 的取值范围。
例6：设虚数z 满足1052+=+z z 。
（1）求z 的值； （2）若zmm z +为实数，求实数m 的值； （3）若()z i 21-在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上，求复数z 。
例7：已知方程02=++p x x 有两个根1x 和2x ，R p ∈。
（1）若321=-x x ，求实数p ； （2）若321=+x x ，求实数p ；例8：已知复数),(*∈+=R b a bi a z 是方程0542=+-x x 的根，复数)(3R u i u ∈+=ω满足52<-z ω，求u 的取值范围。
例9：关于x 的方程0)2(2=-+--bi a x bi a x 有实根，求一个根的模是2，求实数b a ,的值。
例10：设两复数21,z z 满足0422402121=+-z a z z a z x（其中0>a 且1≠a ，R x ∈），求1z z是虚数。
（1）求证：21z z 是定值，求出此定值； （2）当*∈N x 时，求满足条件的虚数21z z 的实部的所有项的和。
例11：设两个复数21z z 、满足()R k z kz z z ∈=+212221100，并且12z z 是虚数，当*∈N k 时，求所以满足条件的虚数12z z 的实部之和。
例12：计算：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin 6cos 312sin12cos2ππππi i （2）55sin 5cos 3⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππi（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin 6cos 63sin3cos 12ππππi i例13：给定复数z ，在z ，222,,,,,,z z z z z z z z ⋅这八个值中，不同值的个数至多是___________。
例14：已知下列命题（1）R z z z ∈⇔=；（2）z z z ⇔-=为纯虚数；（3）21210z z z z >⇔>-；（4）0002121==⇔=⋅z z z z 或；（5）00212221==⇔=+z z z z ；（6）2222z z z z ===. 其中正确的命题是____________；例15：是否存在复数z 同时满足条件：①6101≤+<z ；②z 的实部、虚部为整数。
若存在，求出复数z ，若不存在，说明理由。
例16：设1z 是已知复数，z 为任意复数且1,1z z z z -==ω，则复数ω对应的点的轨迹是( ) A 、以1z 的对应点为圆心、1为半径的圆； B 、以1z -的对应点为圆心，1为半径的圆；C 、以121z 的对应点为圆心、21为半径的圆； D 、以121z -的对应点为圆心，21为半径的圆；例17：满足方程1Re =+z z 的复数z 对应的点的轨迹是 ( )。
A 、圆 B 、椭圆 C 、双曲线 D 、抛物线例18：复平面内，满足2)1()1(=--++-i z i z 的复数z 所对应的点的轨迹是 ( ) A 、椭圆 B 、双曲线 C 、一条线段 D 、不存在例19：满足方程016152=--z z 的复数z 对应的点的轨迹是 ( ) A 、四个点 B 、四条直线 C 、一个圆 D 、两个圆例20：设复数R a x i a a z xx∈+++=-、,)2()2(，当x 在()+∞∞-,内变化时，求z 的最小值()a g 。
例21：若复数1z 和2z 满足：)0(12>=a i az z ，且2482112+=-++z z z z 。
1z 和2z 在复平面中对应的点为1Z 和2Z ，坐标原点为O ，且21OZ OZ ⊥，求21Z OZ ∆面积的最大值，并指出此时a 的值。
例22：已知复数()()010,,,,,z mi m z x yi a bi x y a b ω=->=+=+∈R ，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0,2z z z ωω=⋅=。
（1）试求m 的值，并分别写出a 和b 用x 、y 表示的关系式；（2）将(),x y 作为点P 的坐标，(),a b 作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ，当点P 在直线1y x =+上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。
例23：已知复数i z ni m z 22,21-=+=和yi x z +=，其中y x n m ,,,均为实数，且21z i z z -=。