大学物理课后习题答案第十二章

(1) x0 A ；
(2)过平衡位置向正向运动；
(3)过 x A 处向负向运动； 2
(4)过 x A 处向正向运动． 2
试求出相应的初位相，并写出振动方程．
解：因为
v0x0AAcosisn0 0
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
1
x Acos(2 t ) T
解：由题已知
A 24 102 m,T 4.0s
∴
2 0.5 rad s1
T
又， t 0 时， x0 A,0 0
故振动方程为
x 24 10 2 cos(0.5t)m
(1)将 t 0.5s 代入得
x0.5 24 10 2 cos(0.5t)m 0.17m
F ma m 2 x 10 10 3 ( )2 0.17 4.2 10 3 N 2
③
式中 x0 mg sin / k ，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有
I d2x (mR R ) dt 2 kxR
令 则有
2 kR2 mR 2 I
d2x 2x 0 dt 2
故知该系统是作简谐振动，其振动周期为
T 2 2
mR2 I ( 2
m I / R2 )
kR2
K
6、质量为10 103 kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按 x 0.1cos(8 2 ) 3
k并 x k1x1 k2 x2
故 同上理，其振动周期为
k并 k 1k2
T 2 m k1 k2
4. 完全相同的弹簧振子，
时刻的状态如图所示，其相位分别为多少？
k
(a
) k
v
m
(c
解：对于弹簧振子)，
时，
（a）
,故
，故
m
,
k
v
m
(b
) k
m
(d )
（b）
，故
，故
（c）
，故
，故
（d）
,故
，故
5、如图所示，物体的质量为 m ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为 ，弹簧的倔强 系数为 k ，滑轮的转动惯量为 I ，半径为 R 。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止
0.4 sin 0.3sin 5
6
6
0.4cos 0.3cos5
3 3
6
6
∴
6
其振动方程为
x 0.1cos(2t )m 6
(作图法略)
19、如图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知 x 方向的振动方程为
x 6cos2t cm ，求 y 方向的振动方程．
解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为 或 3 ；又，轨道是按顺时针方向 22
解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有 F F1 F2 ，设串联弹簧的等效
倔强系数为 K串 等效位移为 x ，则有
F k串x F1 k1x1
F2 k2 x2
又有
x x1 x2
x F F1 F2 k串 k1 k2
所以串联弹簧的等效倔强系数为
k串
k1 k 2 k1 k2
释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．
解：分别以物体 m 和滑轮为对象，其受力如题图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为 坐标原点，沿斜面向下为 x 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为 x 时，有
mg
s in
T1
m
d2x dt 2
①
T1R T2 R I
②
d2x dt 2
R
T2 k(x0 x)
动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程． 解：由动量定理，有
F t mv 0
∴
v F t 1.0 10 4 0.01 m s-1
m 10 10 3
按题设计时起点，并设向右为 x 轴正向，则知 t 0 时， x0 0, v0 0.01m s1 ＞0
∴ 0 3 / 2
又
g 9.8 3.13rad s1
律作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量，在哪些位置上动能与势能相等?
(SI) 的规
解：(1)设谐振动的标准方程为 x Acos(t 0 ) ，则知：
A 0.1m,
8 ,T
2
1 4
s,
0
2 / 3
又
vm A 0.8 m s1 2.51 m s1
置时，合力为
,以水面上某点为原点，向上为 x 轴建立坐标系，则当木块在图示位
由牛顿第二定律 故
可见，木块作简谐振动，振幅为
，
，
14、有一单摆，摆长 l 1.0m ，摆球质量 m 10 10 3 kg ，当摆球处在平衡位置时，若给
小球一水平向右的冲量 Ft 1.0 10 4 kg m s1 ，取打击时刻为计时起点 (t 0) ，求振
2
3 2
3
3
4
5 4
x Acos(2 t 3 ) T2
x Acos(2 t ) T3
x Acos(2 t 5 ) T4
8. 物 体 沿 x 轴 作 简 谐 振 动 ， 在
时刻，其坐标为
,加速度 （1）弹簧振子的角频率和周期； （2）初相位和振幅。
解：设
，则
,试求： 时
(1)
,速度
(2)
A
x02
v02 02
0.0852 0.00922 8.5 cm 23.52
tan v0 0.0092 0.00461 0 x0 23.5 (0.085 )
95.10
9、两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点 1 在
处，且向左运
动时，另一个质点 2 在
处，且向右运动。求这两个质点的相位差。
动的位相差．
解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知
A22 A12 A2 2A1 Acos30 (0.173)2 (0.2)2 2 0.173 0.2 3 / 2 0.01
∴
A2 0.1m
设角 AA1O为 ，则
A2 A12 A22 2 A1 A2 cos
即
cos A12 A22 A2 (0.173)2 (0.1)2 (0.02)2
am 2 A 63.2 m s2
(2)
Fm mam 0.63N
E
1 2
mvm2
3.16 102 J
当 Ek E p 时，有 E 2E p ，
即
1 kx2 1 (1 kA2 )
2
22
∴
x 2 A 2m
2
20
7、一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示．如 果 t 0 时质点的状态分别是：
解：由旋转矢量图可知，当质点 1 在
处，且向左运动时，相位为 ；
而质点 2 在
处，且向右运动，相位为
（如图）。所以他们的相位差为 。
10、一质量为10 103 kg 的物体作谐振动，振幅为 24cm，周期为 4.0s ，当 t 0 时位移为
24cm．求： (1) t 0.5s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到 x 12cm处所需的最短时间； (3)在 x 12cm处物体的总能量．
l 1.0
∴
A
x02
(v0 )2
v0
0.01 3.13
3.2 10 3 m
故其角振幅
小球的振动方程为
A 3.2 103 rad l
3.2 103 cos(3.13t 3 )rad 2
15、有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为 0.20m ，位相与第一振动的
位相差为 ，已知第一振动的振幅为 0.173m ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振 6
（1）劲度系数；（2）频率；（3）总机械能；（4）最大速度；（5）最大加速度。
解：当
时，
（1）劲度系数 k 不变。 （2）频率不变。
（3）总机械能
（4）最大速度
(5) 最大加速度
3、劲度系数为 k1 和 k 2 的两根弹簧，与质量为 m 的小球按题图所示的两种方式连接，试证
明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．
2
2
7.1104 J
11、图为两个谐振动的 x t 曲线，试分别写出其谐振动方程．
解：由题图(a)，∵ t
0 时，
x0
0, v0
0, 0
3 ,又, 2
A
10cm,T
2s
即
2 rad s1
T
故
xa
0.1cos(t
3 )m 2
由题图(b)∵ t
0 时， x0
A 2 ,v0
0,0
5 3
即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为 k k1k2 /(k1 k2 ) 的弹簧振子系统，故
小球作谐振动．其振动周期为
T 2 2 m 2 m(k1 k2 )
k串
k1k 2
(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有 F F1 F2 ，即 x x1 x2 ，设并联弹
簧的倔强系数为 k并 ，则有
2A1 A2
2 0.173 0.1
0
即
2
，这说明，
A1 与
A2
间夹角为
2
，即二振动的位相差为 2
.
16 、 已 知 两 简 谐 振 动 的 振 动 方 程 分 别 为
和
,试求其合成运动的振幅及初相。
解：由
，
知：
合成震动振幅为
初相为
17、试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：