北京高中数学知识应用竞赛试题及参考标准答案
第十届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考答案
得 ＭＱ 一 １ ２ ３ ９ ９ ９ ９ ． ６ ｃ ｍ≈ １ ２ ． ４ ｋ ｎ ｉ ．
答： 飞机距地 面的高度约 为 １ ２ ． ４ ｋ ｎ． ｉ
２ ． （ 满分 １ ４ 分） 某工程 队共 有 ６ ０ ０ 人， 要建造一
段５ ０ ０ ０米 的高速公 路 ， 工 程需 要 把 ６ ０ ０人分 成 两 组， 一组 的任务是 完成一段 ２ ０ ０ ０米 的软土 地带 ， 另
３ ０ ０ ０÷ （ ６ ０ ０～ ｚ），
解为 知 ≈ ３ １ ５ ． ８ ．
ｆ ５ — ０ Ｘ — ２ ０ ０ ０ ， ｚ∈（ ｏ ， ３ １ ５ ． ８ ）
Ｉ Ｚ
近似 地 垂 直 于 地 面． 根 据 已 知 数
据， 因为飞机在 ９ Ｏ分钟内飞行 ９ ３ ０ ｋ ｍ（ 即９ ３ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ｃ ｍ） ， 可算 出飞行 的平均速度 为 １ ０ ３ ３ ３ ３ ３ ｃ ｍ／分 钟 ， 再 根据假设 ， 可得右 图 ， 在 ＡＭＥ Ｆ
短？
喜欢 看电视 剧的青年人 的集合 ， Ｂ为喜欢 看早 期 电 视 节 目的青年人 的集合 ， Ｃ为喜欢 周末 看电视 节 目
的青 年人 的集合 ， 用韦恩 （ Ｖ ｅ ｎ ｎ ）图表示 上Βιβλιοθήκη 集 合 ， 将集合 Ａ涂上 阴影
中调查数据看得下 图，
解 设在软土地带工作 的人数为 ｚ ， 则在硬 土 地带工作 的人数为 ６ ０ ０ 一ｚ ， 在软土 地带筑 路时间为 厂 （ ｚ ）＝ ５ ０ ｘ ２ ０ ０ ０÷ ｚ； 在硬 土 地带 筑 路 时 间 为
第４ ６卷
第５ 期
由点 Ｐ和点 Ｐ 及 点 Ｑ 和点 的对称 性知 ， Ｑ 一 Ｌｔ ０ ３— ８ ，
第二十一届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答
１ １ １ ＋ ） ＋ … ＋ （ｋ－１ ＋…＋ ｋ） ＋ …， １ ６ ２ ＋１ ２ 不难看出 ， 每一个括号内的值都大于 １ ． 这是 ２ １ １ １ ｋ ｋ －１ 因为 ，ｋ－１ ＋ ｋ－１ ＋…＋ ｋ 中有２ －２ ＋２ ２ ＋１ ２ ２
ｋ －１ 项． 除了最 后 一 项 外 ， 其它各项都大于１ ＝２ ｋ． ２
（ ） １ （ ） ２
２ ２ ２ ２ （ （ ） ｘ－ ａ ｂ ｚ－ ｃ ｒ ３ ｙ－ ３ ）＋ （ ３ ）＋ （ ３ ）＝ ３ 对这三个关 于 （ ｘ， ｚ）的 联 立 方 程 求 解 就 ｙ，
由此可以得到 １＋ １ １ … １ ＋ ＋ ＋ ｋ ２ ３ ２
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ 其中 Ａ＝ ｒ ｒ ａ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ Ｂ＝ １－ ２＋ ２－ １＋ ２－ １＋ ２－ １， ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ 便可 ｒ ｒ ａ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ １－ ３＋ ３－ １＋ ３－ １＋ ３－ １是 实 常 数， 解出用 ｚ 表示的 （ ｘ， ． ｙ）
五月 晚 ２ ０ ８ ９ １ ２ ８ １ ３ ３ ７ ０ 无 无 ３ １ １ １ １ ２ ８ ３ ０ ５ ７ ３ ８ ４ ８ ４ １ １ ９ ２ １ １ ６ １ ８ ４ ８ ７ ９ ９ ２ ２ ０ ３ ３ ４ ９ 早 ２ ４ ８ ９ ２ ６ ８ ６ ３ ９ ５ ４ 无 无 ４ ０ ５ ２ ３ ３ ６ ８ ６ ６ ５ ４ ２ ７ ２ ０ ３ ７ ２ ５ １ ５ ２ ３ ４ １ １ ９ ８ ０ ８ ７ ３ ４ ５ ９
六月 晚 ２ ２ ５ １ ４ １ １ １ １ ０ ３ ５ ４ ４ 无 无 ３ ０ ５ １ ６ ３ ７ ６ ３ ６ ０ １ ７ ２ ２ ５ ０ ４ ８ １ ３ ２ ９ ０ ８ ３ ３ ８ ４ ３ ５ ４ ９
第十八届北京高中数学应用竞赛初赛试题(PDF版)
第十八届北京高中数学知识应用竞赛初赛参考解答一、（满分20分）一片枫叶紧紧地嵌在一个矩形框内部，即矩形的各边上都有枫叶边缘上的点，如右图．假设这个矩形框的每一条边都可以伸缩，令枫叶不动，矩形框转动，依靠框的伸缩始终保持这片枫叶紧紧地嵌在它的内部，而框始终是矩形．请说明，存在一个转动位置，这时的这片枫叶恰紧紧地嵌在一个正方形的内部．解：设转动前的矩形的长和宽的长度分别为a 和b ．若a −b =0，这个矩形就是正方形．若a −b ≠0，不妨设a −b ＜0．在矩形转动时，a −b 的值也会随之变化．当旋转90º后，得到的矩形和最初的矩形重合，但a −b ＞0了．即a −b 的值是在[0,90º]上的转动角θ的连续函数，设a −b =f (θ)，于是，f (0)＜0，f (90º)＞0，由函数的零点存在定理可知，在上述转动中，一定有一个位置θ0，使f (θ0)=0，即a −b =0，这时的矩形框就是正方形框．从而这片枫叶恰紧紧地嵌在一个正方形框内部．二、（满分20分）野外失火，火势以失火点为中心，匀速的向四周呈圆形蔓延．在火情发生t 0时间后，消防队员发现火情，随即迅速开始修建防火带．（1）消防队员修建的防火带是以失火点为圆心的圆，从该圆上的某一点同时向这点的两侧分别以火蔓延的速度的4倍修建防火带，求防火带围成的最小面积S ．（2）再给出一个修建防火带的方案？使防火带围成的面积比S 小．解：（1）设修建防火带的时间为t ，火势的蔓延速度为v ，修建的圆形防火带的半径R 不小于火势蔓延的圆的半径r ．因为πR =4vt ，r =v (t 0+t )，当面积取S 时，R =r ，即04()vt v t t π=+，得04t t ππ=−，所以，S =πR 2=24()vt ππ=22216(4)v t ππ−．（2）因为04t t ππ=−≈3.65t 0，不难得出，如果（1）的方案是从A 处开始修建，那么，向失火点方向靠近一点儿取点B （比如AB =1.5t 0，如右图），从这一点向垂直于AB 的两边修建，至C 、D 后，再修建圆弧形，即整个防火带围成的形状比圆少了一个弓形，面积缩小了．（缩小面积的方案很多，只要计算无误即算正确）三、（满分20分）广发银行推出一款理财产品“广发银行薪满益足140925版网银专属版”，42天，投资起点50,000元，高于投资起点金额部分应为1000元份整数倍．销售费率0.10%—0.30%，托管费率0.03%．年化收益率预计为5.35%，发售期为2014年9月24日至2014年10月7日，收益起始日期为10月8日，收益终止日期为11月19日，单利计算利息．理财产品中途若取出，则按银行活期利率计算利息．收益公式：理财收益=申购本金×理财产品实际年化收益率×365实际理财天数其中，实际年化收益率=年化收益率−销售费率−托管费率．BA CD示例：理财本金为5万元，实际理财天数为197天，理财产品到期实际年化收益率为5.70%，则投资者的理财收益=50000×5.7%×197365=1538.22元．华夏基金公司推出一款货币型基金“华夏财富宝”，该基金的收益分配是按日结转份额的，每日收益支付方式只采用红利再投资（即红利转基金份额）方式．该货币型基金除去法定休息日外，随时可以申购和赎回，没有时间的限制．一般规定在交易日的15:00前赎回，资金到帐为2个交易日（T+2日）．日每万份基金净收益和7日年化收益率的计算方法如下：日每万份基金净收益=当日基金份额的已实现收益当日基金份额总额×100007日年化收益率（%）=365717111100% 1000010000R R⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎞⎛⎞+××+−×⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎪⎪⎩⎭⋯其中，R i为最近第i个自然日（包括计算当日）的每万份基金净收益．每万份基金净收益采用四舍五入保留至小数点后第4位，7日年化收益率采用四舍五入保留至百分号内小数点后第2位．表1为2014年10月8日至11月18日“华夏财富宝”的日每万份基金净收益和7日年化收益率．投资人手上恰有10万块钱，10月8日至11月19日期间想进行投资，请问：（1）为了获得最大收益，投资人是投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”还是“华夏财富宝”？两种投资的差额为多少？（2）投资人想尽可能地保持资金的流动性（保证尽可能多的资金随时可用），那么10万块对两种产品如何配置，能使得获得的收益介于两者中最高收益的95%与最小收益的110%之间？解：（1）“广发银行薪满益足140925版网银专属版”单利计算利息，投资42天，当销售费率为0.30%时，收益为42100000 5.35%0.3%0.03%577.64365×−−×=（）．“华夏财富宝”复利计算利息，投资42天，收益为12421000001111496.57100001000010000R R R ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞×+⋅+⋅⋅+−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⋯．因此投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”收益高．二者比较，差额为81.07元．（2）获得的收益介于两者中最高收益的95%和最小收益的110%之间，即为收益小于577.64×0.95=548.758元，大于496.57×1.1=546.227元．设分别投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”和“华夏财富宝”x 1、x 2元，列方程为1124221242546.227(5.35%0.3%0.03%)3651111548.758100001000010000100000x R R R x x x ⎧<⋅−−×⎪⎪⎪⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎨+⋅+⋅+⋅⋅+−<⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎪⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎪+=⎪⎩⋯解得1612465.43.726740x <<，但由于高于投资起点金额部分应为1000元份整数倍，因此分别投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”和“华夏财富宝”62000元和38000元，或63000元和37000元．四、（满分20分）储药柜的结构类似于书橱，从上到下有若干层横向隔板，每一层称为一个储药槽．每个储药槽内用竖向隔板隔开，形成若干个存放药盒的储药格．一个储药槽内只能摆放同一种药品．右图为并排的三个储药柜．为保证药品从储药格内顺利取出，要求放入药盒后，储药格内留有不小于2mm 的横向间隙，同时还要求药盒在储药格内放置时不会出现并排重叠（一个格内不能放两个药盒）、药盒不能在格内侧翻或水平旋转．假设药盒的长度＞宽度＞厚度，并且药盒在格内放置时要求（长×宽）面在左右，（宽×厚）面在前后，（长×厚）面在上下．为方便储药柜的制造，储药格的宽度类型越少越好．不同尺寸的药盒种类有成百上千种．表2所列的仅仅是20个不同的样品．请你就这20种药盒尺寸规格，给出能够存放这些药盒，且满足上述要求的储药格宽度类型最少的设计方案（无需考虑存放药盒的数量多少）．表2（度量单位：mm ）药盒编号长度宽度厚度药盒编号长度宽度厚度112076241195553321257220121086218312576211395553349171151413476205125722115955533612085201685464671173726171257533878652018116761691175656191001001010744740201317738解：药盒的长，宽，厚分别为记为a ,b ,c ．则有a ＞b ＞c ．假设用d 表示出药槽内竖隔板之间的宽度．欲使药盒在格内放置时不会出现并排重叠，必须有c ＜d ＜2c （1）欲使药盒不能在格内侧翻，必须有d（2）欲使药盒不能在格内水平旋转，必须有d（3）由（1）、（2）、（3），隔板之间的宽度必须满足c ＜d ＜min{2c,,（4）由于a ≥b ，再由（4），得c ＜d ＜min{2c,}（*）当b时，有2c ．由（*），隔板之间的宽度应取2c ．当c ≤b≤时，有2c=．由（*），隔板之间的宽度应．综上，隔板之间的宽度应取．这表明，在满足不会出现并排重叠和侧翻、或0+2的储药格内可以存放的药盒厚度c 的范围是c 0≤c0．由表2可知，药盒的厚度分布在10mm 至56mm 之间，于是，最少需要五种间隔，见表（2）．为了寻找S 与A 的关系，先将A =4×10k 变形为4A =10k ，两边取对数，得k =lg 4A，又2=10lg2,于是S =5×2k =5(10lg2)lg 4A =5(10lg 4A )lg2=5(4A )lg2=(lg 254)A lg2=3.29A lg2=3.29A 0.301．即物种的数量是岛屿的面积的函数，其表达式是S =3.29A 0.301．表（2）度量单位：mm 储药格宽度存储药盒的厚度14.1+210.0—14.120.0+214.1—20.028.2+220.0—28.240.0+228.2—40.056.4+240.0—56.4。
第十八届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题解答_
图２ 图３
图 １５
图４
１° 每 一 次 变 化 后，活 细 胞 的 个 数 不 发 生 变化．
２° 图 ５ 对 比 图 １，活 细 胞 的 相 对 位 置 和 分 布 的 整 体 形 态 是 一 样 的 ，只 是 向 右 下 方 走 了 一 格 ．也 就 是 说 ，活 细 胞 的 分 布 的 形 态 成 周 期 性 变 化 ，最 小 周期是４；相对于上一个 周 期，每 一 个 活 细 胞 均 向 右下方走了一格．
５４
数学通报 ２０１５年 第５４卷 第４期
高度为ｈ ＝｜ＤＯ｜＞０，以点 Ｄ 为中心质点构建的 物 体 受 力 如 图 ２ 所 示 ．为 了 保 持 物 体 的 静 态 平 衡 ，
作用在点 Ｄ 各方向分力的总和必须等于０． 试确定在圆形 平 台 边 上 的 三 个 弹 簧 一 端 Ａ、
２６５
ｂｎ
３４
３５
３６
３７
３８
３９
４０
４１
４２
４３
ａｎ＋１＝ａｎ ＋５，ａ１ ＝２２０；ｂｎ＋１＝ｂｎ ＋１，ｂ１ ＝３４． 由 此 得 ａｎ ＝２１５＋５ｎ，ｂｎ ＝３３＋ｎ．于 是 有
ｂｎ＝０．２ａｎ－１０． 如 果 将 对 应 的 脚 长 （单 位：ｍｍ）和 鞋 号 记 作
π ２
）］＝
０．
（２）
对每 一 个 弹 簧 应 用 Ｈｏｏｋｅ定 律 可 以 得 到 如
下关系：
烄ＦＤＡ ＝ｋＡｓ， 烅ＦＤＢ ＝ｋＢｓ，
（３）
烆ＦＤＣ ＝ｋＣｓ．
将式（３）带入式（２）得 ｋＢｓｉｎα ＝ｋＣｓｉｎγ ，
（４ａ）
ＷＬ ｓｈ
＝ｋＡ
＋ｋＢ
＋ｋＣ
第十五届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题和参考答案
（１）请你根据截图内的信息，判断这个结论
年 汛０
是否正确，并给出说明． （２）如果这个结论不正确，请你通过计算得 出最佳组合． 解答（１）这个结论是错误的．根据三年期 的利率５％，可以算出两个三年整存整取存款组 合的本利和为：１００００（１＋３×５％）２＝１３２２５． ｏｏ元．这个数值比程序给出的结果要好，这说 明程序的结论是错误的．
注意到Ｓ。＝ＳＥ＋Ｓ，所以
Ｓ（ｚ—ｚＤ）一ＳＥ（ｘＤ－－３Ｌ＂Ｅ）．
由此可得
ｚ一——＇一。
ＳＤｚＤ—ＳＥｚＥ
将前面分析的结果代入这个式子，化简后
如果月牙的重心位于月牙的内圆弧的Ｅ点，
３２＝ｒ－－ｒ２ｃｏｓＯ＝ｒ（１—２ｃｏｓＯ），
一ｒ
ｚ
２ｃｏｓＯ（Ｏ－－ｓｉｎＯｃｏｓＯ） ，ｒ－－２（０－－ｓｉｎＯｃｏｓＯ）。
４６
数学通报
２０１２年
第５ｌ卷
第５期
第十五届北京高中数学知识应用
竞赛决赛试题和参考答案
２０１２年３月２５日
１．（满分１６分）２０１１年国庆期间，上海新世 界购物中心策划出一套“积点购物”营销方案．即 在活动期间，商品的售价按照一定的比率全部折 算成积点，这次全场商品共分为Ａ、Ｂ、Ｃ三类， 一件Ａ类商品的售价（元）与折算成的点数比是 ｌ：１，一件Ｂ类商品的售价（元）与折算成的点 数比是１：１．５，一件Ｃ类商品的售价（元）与折 算成的点数比是１：１．９．顾客选定商品后，累 计积点．顾客按每满５００个积点付２００元的方式 付款．如果积点ａ不是５００的整数倍，口＝５００ｂ ＋ｆ，其中ｂ为正整数，ｏ＜ｃ＜５００．这时有两种 付款方式供选择．第一种付款方式是按ｂ＋１个 ５００点支付２００（ｂ＋１）元，剩余的５００一ｆ点可与 再继续购物的积点合用；第二种付款方式是支付 ２００ｂ＋ｆ元．无论哪种付款方式，顾客均在积点 购物中得到了优惠． （１）请你算一算，当每一类商品的积点都是 ５００的整数倍时，顾客分别从这三类商品中能得 到相当于多少折的优惠？ （２）有一位顾客，想买一双靴子、一件呢外 套和一条牛仔裤，靴子原价１４９９元，是Ａ类商 品；呢外套原价８９９元，是Ｂ类商品；牛仔裤 原价６９９元，是Ｃ类商品．正当她要掏钱按第一 种付款方式付款时，一位“黄牛”走过来说：“这 样做，你还要绞尽脑汁处理剩余的积点，不如直 接按Ａ类４．２折、Ｂ类６．２折，Ｃ类７．８折将货
第01届北京高中数学知识应用竞赛及解题思路和答案
3．8 第一届北京市高中数学知识应用竞赛(1997)第一届北京市高中数学知识应用竞赛初赛于1997年12月举行．【初赛试题】1．乘夏利出租汽车，行程不超过4公里时，车费为10.40元，行程大于4公里但不超过15公里时，超出4公里部分，每公里车费1.60元．行程大于15公里后，超出15公里的部分，每公里车费2.40元，途中因红灯等原因而停车等候，每等候5分钟收车费1.60元，又计程器每半公里计一次价，例如，当行驶路程x(公里)满足12≤x＜12.5时，按12.5公里计价；当12.5≤x＜13时，按13公里计价．等候时间每2.5分钟计一次价，例如，等候时间t(分钟)满足2.5≤t＜5时，按2.5分钟计价；当5≤t＜7.5时，按5分钟计价．请回答下列问题．(1)若行驶12公里，停车等候3分钟，应付多少车费？(2)若行驶23.7公里，停车等候7分钟，应付多少车费？(3)若途中没有停车等候，所付车费y(元)就是行程x(公里)的函数y ＝f(x)，画出y＝f(x)(0＜x＜7)的图象．2．某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减少到最小，假设罐装饮料筒为正圆柱体(视上、下底为平面)，上下底半径为r，高为h．若体积为V，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍，试问当r与h之比是多少时用料最少？(你可以到市场上做一下调查，看看哪些罐装饮料大体上符合你的计算结果．)3．中国人民银行前不久公布银行存款利率从97年10月23日起下调，调整后的整存整取年利率如下表：现有一位刚升入初一的学生，家长欲为其存1万元，以供6年后上大学使用．若此期间利率不变，问采用怎样的存款方案，可使6年所获收益最大？最大收益是多少？4．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图3—111所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为6米，请计算车辆通过隧道时的限制高度是多少米？(精确到0.1米)5．“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础，由人口统计年鉴，可查得我国从1949年至1994年人口数据资料如下：试估计我国1999年的人口数．6．如图3—107所示，有一条河MN，河岸的一侧有一很高建筑物AB．一人位于河岸另一侧P处，手中有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量长度的皮尺(测量长度不超过5米)．请你设计一种测量方案(不允许过河)，并给出计算建筑物的高度AB 及距离PA的公式．希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少．7．一房间的门宽为0.9米，墙厚为0.28米．今有一家具其水平截面如图3—108，问能否把此家具水平地移入房间内(说明理由)．8．现有一批长方体金属原料，其长宽高的规格为12×3×3.1(长度单位：米)．某车间要用这些原料切割出两种长方体，其长宽高的规格第一种为3×2.4×1，第二种为4×1.5×0.7．若这两种长方体各需900个，假设忽略切割损耗，问至少需多少块金属长方体原料？如何切割？此时材料的利用率是多少？(计算到小数点后面3位)9．改革开放以来，土地承包制成为基本政策，经常会遇到类似下面的阿题．北京怀柔县某村一农民承包了100亩(中低产)地．土地租用费50元/年、亩，农业税10元/年、亩；根据当地气候条件，可以种植小麦、玉米和花生，其种植周期是：10月份(秋天)收玉米后可种冬小麦，第二年6月(夏天)收割小麦，6月份收割小麦后可种玉米，10月份收割玉米，4月份种花生，10月份收割花生，收割花生后可种冬小麦．有关冬小麦、花生、玉米三种作物的收支价格及产量如下表所示．这位农民每年必须完成20000公斤小麦公粮，每年留足全家1000公斤口粮，另外根据市场预测1996年花生种植面积不宜超过20亩，1997年不宜再种花生．试问：这位农民应如何安排从1995年10月秋种至1997年10月秋收的两年生产计划，使他既能完成公粮征购任务，又能留够口粮，并且在100亩土地上取得最大收益？(为了便于计算，不妨假定从1995～1997年内各种价格不变，产量也不变，并且不计承包人自己的工资，假定卖公粮价与卖余粮价相同．)10．1997年11月8日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况．截流从8∶55开始，当时龙口的水面宽40米，水深60米．11∶50时，播音员报告宽为34.4米，到13∶00时，播音员又报告水面宽为31米．这时，电视机旁的小明说，现在可以估算下午几点合龙．从8∶55到11∶50，进展的速度每小时宽度减少1.9米，从11∶50到13∶00，每小时宽度减少2.9米，小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时速度加快1米．从下午1点起，大约要5个多小时，即到下午6点多才能合龙．但到了下午3点28分，电视里传来了振奋人心的消息：大江截流成功！小明后来想明白了，他估算的方法不好．现在请你根据上面的数据，设计一种较合理的估算方法(建立一种较合理的数学模型)进行计算，使你的计算结果更切合实际．【初赛试题解答要点与参考答案】1．(1)行驶12公里，由题设按12.5公里计价，车费为10.4＋1.6×(12.5－4)＝24(元)，等候3分钟，由题设按2.5分钟计价，等候费为合计 24＋0.8＝24.8(元)．………………………………(5分)(2)行驶23.7公里，按24公里计价．车费为10.4＋1.6×(15－4)＋2.4×(24－15)＝49.6(元)，等候7分钟，按5分钟计价．等候费为合计 49.6＋1.6＝51.2(元)．……………………………(10分)(3)据题设可得如下x与y的关系，其函数图象为图3—110．…………………………………(15分)2．易知V＝πr2h，设材料比重为ρ，侧面材料厚度为b，则用料为A＝2πr×h×b×ρ＋2πr2×2b×p…………………………………………………………(10分)这样，r与h之比是1∶4时，用料最少．………(15分)(市场上可口可乐，百事可乐等很多罐装饮料都大体符合这一结果．)此段不计分．3．解法一一年期存两次(按复利计算)获利金额为(四舍五入精确到分)P1×2＝104(1＋5.67％)2－104＝1166.15元．两年期存一次获利金额为P2＝2×104×5.94％＝1188.00元．∴ P2＞P1×2……………………………………………(5分)存一次一年期再存一次两年期的获利金额为P1＋2 ＝104(1＋5.67％)(1＋2×5.94％)－104＝1822.36元．三年期存一次获利金额为P3＝3×104×6.21％＝1863．00元．∴ P3＞P1＋2．又存一次二年期再存一次三年期的获利金额为P2+3＝104(1＋2×5.94％)(1＋3×6.21％)－104＝3272.32元．五年期存一次的获利金额为P5＝5×10 4×6.66％＝3330.00元．∴ p5＞P2+3．三年期存两次的获利金额为P3×2＝P3+3＝104(1＋3×6.21％)2－104＝4073.08元．两年期存三次的获利金额为P2×3＝104(1＋2×5.94％)3－104＝4004.17(元)∴ P3×2＞P2×3．存一次五年期再存一次一年期的获利金额为P5+1＝104(1＋5×6.66％)(1＋5.67％)－104＝4085.81(元)．∴ P5+1＞P3+3．∵ P n+m＝P m+n，(m，n∈N)∴由上述计算推知：存一次五年期一次一年期所获收益最大．为4085.81(元)．……………………………………………………(15分)解法二直接计算P1×6，P1×4+2，P1×2+2×2，P2×3，P1×3+3，P1+2+3，P3×2，P1+5进行比较，得出P1+5最大．4．以AB为x轴正方向，AB的中点为原点，建立直角坐标系，于是过点P(4，2)，Q(0，6)的抛物线在该坐标系中的方程为令x＝3，得因此货车限高＝3.75－0.5＝3.25≈3.2(米)．答：货车的限高为3.2米．………………………………………(15分)(注：答3.3米也算对)5．第一步：在直角坐标系上做出人口数的图形．…………………………………………………………………(5分)第二步：估计出这图形近似地可以看做一条直线．…………………………………………………………………(8分)第三步：用以下几种方法之一确定直线方程，并算出1999年人口数，在12.4～12.6亿之间均算正确答案．……………………………………………………………………(15分)方法一：选择能反映直线变化的两个点，例如 (1949，541.67)，(1984，1034.75)二点确定一条直线，方程为：N＝14.088t－26915.842代入t＝1999，N＝1246.07≈12.46(亿)．方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t＝1999代入，分别求出人口数，再取其算术平均值．方法三：可采用最通用的“最小二乘法”求出直线方程．这里简单地介绍一下最小二乘法．设(x1，y1)，(x2，y2)，…(x k，y k)是平面直角坐标系下给出的一组数据，若x1＜x2＜…＜x k，我们亦可以把这组数据看做是一个离散的函数．根据观察，如果这组数据图象“很像”一条直线(不是直线)，我们的问题是确定一条直线y＝bx＋a，使得它能最好地反映出这组数据的变化．这样可以使第一项、第二项分别取最小，第一项是b的一元二次函由于系数是常数，不妨令l1＝Σ(x i－x)2，l2＝Σ(y i－y)(x i－x)，l3＝Σ(y i－y)2，通过配方有用最小二乘法可以求出N＝14.51006t－27753.54649，代入t＝1999，得N≈12.52亿．…………………………………………(15分)6．常见有两种测量方案．方案1 P位于开阔地域，则测量方案如下图3—112所示，被测量的数据为PC(测角器的高)和PQ(Q为在PA水平直线上选取的另一测量点)的长度，仰角α和β．……………………………………(5分)设AB为x，PA为y，则计算公式为方案2 若P处也是一可攀登建筑物(如楼房)，则可在同一垂线上选两个测量点(见图3—113)，被测数据为PC和CD的长度，仰角α和β．……………………………………………………………(5分)设AB＝x，PA＝y，则计算公式为说明：无论哪个方案都至少要测4个数据．7．解法一如图3—114，墙厚CD＝0.28米，家具的一边AB中只要h不超过门宽0.9米，则家具可水平地搬入屋内．………(5分)从图中可见h＝AEsinθ，又AE＝AG＋GF＋FE，其中AG＝0.48，GF＝CDcosθ＝0.28cosθ，FE＝FCctgθ＝0.48ctgθ．因此h＝AEsinθ＝(0.48＋0.28cosθ＋0.48ctgθ)sinθ………………………………………………………………(10分)＝0.48(sinθ＋cosθ)＋0.28cosθsinθ…………………………………………………………………(15分)解法二在搬运家具时，为了顺利过门，家具的两个边KM、 KN紧贴C、 D，点K的运动轨迹是以CD为直径的半圆周， A点到CD的距离始终不大于AK＋KO(O是CD中点)．而AK＋KO≈0.82＜0.9．…………………………………(15分)8．把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有两种切法，见图3—115(Ⅰ)和(Ⅱ)．切法(Ⅰ)切割出12个第一种长方体和6个第二种长方体，切法(Ⅱ)切割出5个第一种长方体和18个第二种长方体．…………………………………………………………………(6分)取3块原料，2块按切法(Ⅰ)切割，1块按切法(Ⅱ)切割．得到29个第一种长方体和30个第二种长方体．因此，取90块原料，其中60块按切法(Ⅰ)切割， 30块按切法(Ⅱ)切割，共得到 870个第一种长方体和900个第二种长方体．至此，没产生任何余料，但还差30个第一种长方体．再取2块原料，按切法(Ⅲ)切割(见图)，得30个第一种长方体．每块原料剩下12×3×0.1的余料．因此，为了得到这两种长方体各 900个，至少需 90＋2＝92块原料．…………………………………………………………………(13分)此时，材料的利用率为………………………………………………………………………(15分)9．第一步：承包两年土地共需缴纳土地租用费和农业税费为2×(50＋60)×100＝12000元．第二步根据给定数据计算出每种作物收支费用表如下：第三步：两年内只能有以下两种种植模式．………………(5分)Ⅰ 1995年秋种冬小麦→夏收完种玉米→秋收完再种冬小麦→夏收完再种玉米→1997年秋收玉米．Ⅱ 1995年不种→1996年春种花生→秋收后种冬小麦→夏收后再种玉米→1997年秋收玉米．按模式Ⅰ每亩地两年纯收入1096元/亩，按模式Ⅱ每亩地两年纯收入1153元/亩．第四步：设按模式Ⅰ种x1亩，模式Ⅱ种x2亩，总收入应该为y＝f(x1，x2)＝1096x1＋1153x2－12000－2×1.68×1000．其中x1和x2应受到如下条件的限制：(1)x1≥0，x2≥0，(2)x2≤20，(3)x1＋x2＝100，(4)300x1≥21000(缴纳公粮和口粮)．………………(12分)第五步：由于模式Ⅱ获利多，所以在满足条件(3)和(4)的前提下应该尽量多地采用模式(Ⅱ)．所以只要计算一下x2＝20时，能否满足条件(4)即可．∵300×80＞21000，∴令x1＝80，x2＝20可取得最大收益．y max＝1096×80＋1153×20－12000－1680×2＝87600＋23060－12000－1680×2＝95300(元)．………………………………………………………………………(15分)(像第8题，第9题这类问题在数学上称做规划问题或整数规划问题．)10．说明：建模的合理性有以下两个评价要点：(1)回填速度应以每小时多少立方米填料计算；这样，能否建立合理的回填速度计算模型便成为第一个评价要点．(2)注意到回填速度是在逐渐加快；水流截面越大，水越深，回填时填料被冲走的就越多，相应的进展速度就越慢，反之就越快．在模型中对回填速度越来越快这一点如何作出较合理的假设，这是第二个评价要点．下面的计算模型可供参考．为简便计，回填体积可用龙口水流的截面面积代替，假设截面为等经175分钟回填后，龙口宽为34.4米．设此时截面与原截面相似(如图3—109)．则此时的水深h1满足故h1＝51.6(m)．此时尚待回填的面积A1＝17.2×51.6＝887.52(m2)到13∶00尚待回填的面积A2＝15.5×(15.5×3)＝720.75(m2)．从11∶50到13∶00回填的平均速度为比以前的速度加快了．在回填过程中，回填速度是越来越快的．可建立各种模型进行计算，下面举出两种算法．下午1∶00～2∶00，回填面积为143×1.336＝191.048．2∶00～3∶00 回填面积为143×1.336 2＝255.24．此时，待填面积为720.75－(191.048＋255.24)＝274.462．需个小时，即在下午3点48分龙口即可合龙．……………………(15分)方法二：假设回填速度v与水深l成反比．因为水深与待填面积Sm2/小时，故回填面积为224.67m2．所以下午4∶00，待填面积仅为720.75－192.36－224.67－296.33＝7.39，可认为已经合龙；也就是说，按这一模型估算，下午4点龙口即可合龙．………………………………………………………(15分)【复赛试题】1．(14分)年初小王承包了一个小商店，一月初向银行贷款10000元做为投入资金用于进货．每月月底可售出全部货物，获得毛利(当月销售收入与投入资金之差)是该月月初投入资金的20％．每月月底需要支出税款等费用共占该月毛利的60％．此外小王每月还要支出生活费300元．余款作为下月投入资金用于进货．如此继续，问到年底小王拥有多少资金？若贷款年利率为10.98％，问小王的纯收入为多少？2．(14分)某铝制品厂在边长为40cm的正方形铝板上割下四个半径为20厘米的圆形(如图3—116的阴影部分)．为节约铝材，该厂打算用余下部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒．(接缝用料忽略不计)问：(1)包装盒的最大直径是多少？(精确到0.01厘米)(2)画出你设计的剪裁图．3．(14分)一底面积为S(分米)2，高为H分米，重量为M千克重的有盖圆柱形容器，内盛液面高度为h分米的水．设容器的质地是均匀的且薄厚相同(包括盖)，问h为多少时使容器和水整体的重心最低．4．(12分)中国邮政贺年(有奖)明信片，每张明信片附有一个由六个数组成的号码，97、98年公布的获奖号码(其尾数)如下：97年98年特等奖 400656 一等奖 963639一等奖 877175 二等奖 07594二等奖 50725，20460 三等奖 7655，6839，4754三等奖 2463，5502 四等奖 090，433四等奖 626 803，796五等奖 84 624纪念奖 3 五等奖 9试问：(1)哪一年获奖的概率大？(注：发行100张明信片有5张中奖，则称获奖概率为5％)(2)若不考虑97年的纪念奖，98年的五等奖，这两年的获奖概率相差多少？5．(12分)家具厂的沙发框架装配流水线可以把锯、刨好的木料装配成沙发框架．主要有四道工序：打磨抛光，喷涂保护层，装配，贴厂名标签．按照工艺流程的要求，喷涂保护层不能安排在打磨抛光之前，而贴厂名标签必须在喷涂保护层之后进行．已知：贴标签需要1分钟；抛光需要5分钟，但装配之后再抛光则只需3分钟；喷涂需要8分钟，但装配之后再喷涂只需6分钟；如果喷涂前装配需要6分钟，否则只需4分钟．试为这条流水线安排一个加工顺序，使总加工时间最短．6．(12分)现有甲乙两个服装厂生产同一种服装，甲厂每月产成衣900套，生产上衣和裤子的时间比是2∶1，乙厂每月产成衣1200套，生产上衣和裤子的时间比是3∶2．若两厂分工合作，请安排一生产方案，其产量超过原两厂生产能力之和，求出每月生产多少套成衣？7．(污水处理问题)(12分)沿河有三城镇1、2和3，其地理位置如图3—117所示，污水需处理后方可排入河中．用Q表示污水量(吨/秒)，L 表示管道长度(公里)，按照经验公式，建污水处理厂的费用为P1＝73Q0.712(千元)，铺设管道的费用为P2＝0.66Q0.51L(千元)，已知三城镇的污水量分别为Q1＝5，Q2＝3，Q3＝5，L的数值如图所示．三城镇既可以单独建立污水处理厂，也可以联合建厂，用管道送污水集中处理只能由河流的上游城镇向下游城镇输送．试问：(1)从节约总投资的角度出发，请给出一种最优的污水处理方案；(2)如果联合建厂，各城镇所分担的污水处理费用遵循下面建议：联合建厂费按污水量之比分担；管道费用根据谁用谁投资的原则，如果联合使用则按污水量之比分担．试计算在上述建议下，各城镇所分担的费用，并讨论其合理性；(3)请你试着给出一个分担污水处理费用的合理建议．并计算各城镇的费用．8．(10分)中国足球甲级队比赛，分成甲A和甲B两组，进行主客场双循环制，1997年足协决定：12只甲B球队的前四名将升入甲A，球队排序的原则如下：(1)胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分；(2)球队的名次按积分多少排序，积分高的队排名在前；(3)积分相同的球队，按净胜球的多少排序，净胜球(踢进球数减被踢入球数)多的队排名在前．(4)若积分相同、净胜球数也相同，则按进球数排序，踢进球总数多的队排在前．以下是甲B联赛(共赛22轮)第19轮后的形势：队名胜平负得失球积分武汉雅琪 10 6 3 29/18 36深圳平安 9 5 5 34/27 32深圳金鹏 8 5 6 32/38 29河南建业 8 5 6 20/18 29广州松日 7 7 5 27/19 28沈阳海狮 7 7 5 28/23 28佛山佛斯弟 8 2 9 26/28 26辽宁双星 7 4 8 20/19 25上海浦东 7 4 8 28/23 25上海豫园 6 5 8 23/29 23天津万科 5 7 7 22/23 22火车头杉杉 2 3 14 14/48 9还剩三轮，对阵表如下：上海浦东——深圳平安广州松日——河南建业深圳平安——辽宁双星河南建业——上海浦东深圳平安——沈阳海狮上海豫园——河南建业深圳金鹏——上海豫园武汉雅琪——佛斯弟沈阳海狮——深圳金鹏天津万科——佛斯弟辽宁双星——深圳金鹏佛斯弟——杉杉杉杉——广州松日广州松日——天津万科辽宁双星——天津万科沈阳海狮——杉杉上海豫园——武汉雅琪武汉雅琪——上海浦东试问：武汉雅琪队是否一定可以提前三轮晋升甲A？说明理由．【复赛试题解答要点与参考答案】1．设第n个月月底的资金为a n元，贷款金额为a0，则a n+1＝a n·(1＋20％)－a n·20％·60％－300＝1.08a n－300，……………………………………5分又a0＝10000元，于是a1＝10500元．依题意，b＝10500，c＝1.08，d＝－300，纯收入为a12－10000(1＋10.98％)＝8390.6元．……………14分答：小王年底有资金19488.6元，纯收入为8390.6元．2．如图3—118建立直角坐标系：………………………………………………………………………3分依题意，若使圆柱底面直径最大，应如图所示剪裁．设底面半径为r，由于2r为圆柱的高，故AD＝2r，AB＝2πr，………………………………………6分于是A点的坐标为(πr，r)．⊙O′的方程为：(x－20)2＋(y－20)2＝20 2．(2) ………………………………………………………………………10分将(1)代入(2)得(πy－20)2＋(y－20)2＝20 2，求解得y1≈3.01(cm)，y2≈12.23(cm)(舍去)．……………………………………………………………………12分∴r≈3.01(cm)．于是O″(0，6.02)，O′(20，20)，而 r＋20＝23.01＜24.41，所以，在裁下矩形ABCD后，可在余下部分裁下两个半径为3.01的圆(⊙O″)．这样，每块余料做一圆柱形(直径与高相等)的包装盒，底面最大直径是6.02(cm)．………………………………………14分3．解法一容器质地均匀且薄厚相同(包括盖)，故其重心高度为设容器和水整体的重心高度为x分米，则x满足以下方程：它恰好等于水面高度h．………………………………………………………………………6分整理得 Sh2－2Shx＋MH－2Mx＝0，由于h是非负实数，所以，x2S2－M(H－2x)≥0．(2)………………………8分使重心位置最低的x一定是使(4)成立的x最小非负值．由二次不等式可知，使(2)成立的x值为因此，x的最小值为4．设发行了n张明信片，其中k张获奖，则任买一张，获奖概率为1997、1998两年明信片号码均为六个数组成，可以认为发行了10 6张．…………2分(1)由于两年发行明信片数均为n＝10 6，为了比获奖概率大小，只须比较获奖明信片张数的多少．1997年获奖明信片张数为1＋1＋20＋200＋1000＋10000＋100000＝111222．1998年获奖明信片张数为1＋10＋300＋5000＋100000＝105311．故 1997年获奖概率大于 1998年获奖概率．…… 8分相差为1.12％－0.53％＝ 0.59％……………………………12分5．我们用字母来表示工序：S—抛光；P—喷涂保护层；A—组装；N —贴厂名标签．解法一按题目的工艺流程要求，全部可能的生产流程及所用的时间可由图3—119给出．图中箭头所示方向为工艺的流程，每个箭头下方的字母为所执行的工序，上方为该工序所用的时间，方括号内为已完成的工序．………………………………………………………………………10分所有可能的流程共四条：ASPN、SAPN、SPAN、SPNA，所用的时间分别为16分钟、18分钟、18分钟、18分钟，生产流程ASPN所用时间最少．即为了使加工时间最短，应先组装，然后抛光，再喷涂保护层，最后贴厂名标签．……………………………………………12分解法二将生产流程图画成“树”(画出流程图10分，计算出时间12分)解法三按工艺流程的要求，S、P、N三个工序，只能有顺序S→P→N，而A可以在这三者前后的任意位置上，于是就得到所有可能的生产流程A→S→P→NS→A→P→NS→P→A→NS→P→N→A…………………………………………………10分计算各流程所用时间，得出最优流程．………………………12分6．甲厂只生产上衣1350件/月，甲厂只生产裤子2700件/月；乙厂只生产上衣2000件/月，乙厂只生产裤子3000件/月．………………………………………………………………………4分我们的目的是设计一种方案使总产量超过原总产量900＋1200＝2100．发挥乙厂生产上衣的优势，让乙厂全部生产上衣，共2000件，让甲这样的生产方案可生产2233套成衣，超过原总产量133套．……………………………12分7．设C i为城镇i单独建污水厂所需费用(i＝1，2，3)，则C1＝73×50.712≈230(千元)，C2＝73×30.712≈160(千元)，C3＝C1≈230(千元)．若城镇i，j合作在城镇j建厂，设C ij(i＜j)为从城i到城j铺设管道的费用(i，j＝1，2，3)，则C12＝73×(5＋3)0.712＋0.66×50.51×20＝350(千元)，C13＝73×(5＋5)0.712＋0.66×50.51×(20＋38)＝463(千元)，C23＝73×(5＋3)0.712＋0.66×30.51×38＝365(千元)．(1)按题设三城镇的污水处理只有五种方案．方案1 各城分别建厂处理污水，总费用C1＋C2＋C3＝230＋160＋230＝620(千元)……………1分方案2 城1，城2合作处理污水，城3单独处理污水，总费用C12＋C3＝350＋230＝580(千元)……………………2分方案3 城1，城3合作处理污水，城2单独处理污水，总费用C13＋C2＝463＋160＝623(千元)………………3分方案4 城2，城3合作处理污水，城1单独处理污水，总费用C23＋C1＝365＋230＝595(千元)……………………4分方案5 三厂合作在城3建厂，并铺设城1及城2到城3的管道，总费用为73×(5＋3＋5)0.712＋0.66×50.51×20＋0.66×(5＋3)0.51×38＝453.4＋30＋72.4＝555.8(千元)………………………5分方案5所用费用最少，三厂合作在城3建厂并铺设管道是最优方案．(2)三城合作建污水厂费用为73×(5＋3＋5)0.712＝453.4(千元)．按三城镇污水量的比例5∶3∶5来分担这一费用，城1，104.6(千元)，174.4(千元)．城1到城2的管道费0.66×50.51×20＝30(千元)应由城1负担，城 2到城 3的管道费0.66×(5＋3)0.51×38＝72.4(千元)按城1，城2污水量的比例5∶3，由城1，因此，城1负担费用为174.4＋30＋45.25＝249.65(千元)………………………………………………………………………6分城2负担费用为104.6＋27.15＝131.75(千元)，城3负担费用为174.4(千元)，三城总负担费用249.65＋131.75＋174.4＝555.8(千元)……………………………………………………………………… 8分但由于249.65＞230＝C1，即此时城1负担的费用比它单独建污水厂所付费用还多，这对城1是不公平的，分配方案有不合理之处．………………………………………………………………………10分(3)这小题没有标准答案，答案是开放性的，比如把总费用555.8(干元)按C1，C2，C3的比例分别负担等，只要能设计出“合理”的方案均可．………………………………………………………………12分8．使用排除法．排除法的目的是确定“是否存在一种使雅琪队无法出线的比赛结果”．排除的原则是“排除那些有利于雅琪队出线的情况，仅考虑尽量少的不利雅琪队出线的情况”．这个思想明确，可以清楚地确定出以下原则：原则1：设后三轮雅琪队均以大比分告负；原则2：除了雅琪队其余各队分为二类：第一类队在后三轮即使全胜，其积分也少于36分；第二类队后三轮全胜积分可以达到或超过36分．原则3：使第二类中尽量多的队积分达到或超过36分，为此可以任意决定第一类队的比赛结果．根据以上三原则施行如下步骤：1°根据原则2，第一类队包括排在第七位(佛斯第队)以后的各队，第二类队包括：平安队、金鹏队、建业队、松日队和海狮队．2°设第二类的队与第一类队或雅琪队的比赛中均以大比分取胜，其结果为：平安队胜浦东队和双星队，积36分；金鹏队胜豫园队和双星队，积35分；建业队胜豫园队和浦东队，积35分；松日队胜万科队和杉杉队，积34分；海狮队胜杉杉队，积31分．3°设平安队积36分便可以净胜球排在雅琪队之前，这样，平安队即使负于海狮队亦可排在雅琪队之前．这样可使海狮队从平安队处得3分．积34分．4°这样，还有两场比赛即：金鹏对海狮，松日对建业，其中金鹏积35分，海狮积34分；松日积34分，建业积35分．显然，在金鹏与海狮之间，松日与建业之间，至多有一个队可达到或超过36分．这就是说，第二类队中至多有三个队排在雅琪队之前，而甲B有四支队可晋升甲A，故雅琪队一定可以晋升甲A．注解决这类问题，还可以使用穷举法，罗列出后三轮的所有可能的比赛结果，每一种比赛的结果都可以得到一种球队的排序，如果存在着一种比赛结果的排序使雅琪队被列在第五位或低于第五位，则说明雅琪队不能“一定晋升”．否则的话，就说明无论后三轮怎样的比赛结果的排序中雅琪队都在前四名，故雅琪队“一定晋升”．这种方法是可行的方法，尤其是比赛球队不多的情况下，穷举法的核心是要保证列举出“所有可能”，做到这一点并非容易，常常借助于计算机，给出“列出所有可能”的程序，由计算机来完成罗列和判别．一般说这种方法过于繁杂，在球队很多时，即使用计算机亦难于实现．例如此题：仅就积分结果来说，还须比赛18场，每场两个结果(或分胜负，或平)，共计218种！人为列举是无法实现的，计算机也要工作一段时间．。
第二十二届北京高中数学知识应用竞赛初赛参考解答
第二十二届北京高中数学知识应用竞赛初赛参考解答一、（满分20分）从2018年10月1号我国开始执行的新的个人所得税法，使个人所得税税负水平更趋合理．（1）小王在北京某高新技术产业工作，税前收入每月15000元．执行新税法之后，小王比原来每月少交多少个人所得税？（2）有一种速算个税的办法：应税所得额×对应档的税率−对应档的“速算扣除数”．如应税所得额是10000元，它对应的所得税在旧个税方案下是：10000×25%−1005=1495（元）．请按照这一算法，算出应税所得额是10000元时，在新个人所得税法下对应的所得税是多少？（3）请计算出表2内的数X，并给出各级“速算扣除数”的递推算法的一般表达式．表1个人所得税税率表（执行至2018年9月30日）级数月应税额所在区间（对应起征额3500元）税率速算扣除数（元）1不超过1500元3%02超过1500元至4500元部分10%1053超过4500元至9000元部分20%5554超过9000元至35000元部分25%10055超过35000元至55000元部分30%27556超过55000元至80000元部分35%55057超过80000元部分45%13505表2个人所得税税率表（2018年10月1日起试行）级数月应税额所在区间（对应起征额5000元）税率速算扣除数（元）1不超过3000元3%02超过3000元至12000元部分10%2103超过12000元至25000元部分20%14104超过25000元至35000元部分25%X5超过35000元至55000元部分30%44106超过55000元至80000元部分35%71607超过80000元部分45%15160解：（1）查阅税法，“五险一金”为不计税所得，假设小王的“五险一金”是3000元．按旧税法，应税所得额D旧=15000−3000−3500=8500（元）将D按旧税率表分段，即8500=1500+3000+4000，旧个税上交额M旧=1500×3%+3000×10%+4000×20%=1145（元）；按新税法，应税所得额D新=15000−3000−5000=7000（元）按新税率表分段，即7000=3000+4000，将D新个税上交额M新=3000×3%+4000×10%=490（元）则有M新−M旧=490−1145=−655，即执行新税法之后，小王比原来每月少交个人所得税655元．（注：若不考虑“五险一金”，所得结论为M新−M旧=790−1870=−1080（元），即执行新税法之后，小王比原来每月少交个人所得税1080元．也算对．）（2）应税所得额是10000元时，在新个人所得税法下对应的所得税是10000×10%−210=790（元）（3）由上面的案例可以发现：本级的“速算扣除数”=上一级最高应纳税所得额×(本级税率−上一级税率)+上一级的“速算扣除数”由此可以得到X=25000(25%−20%)+1410=1250+1410=2660（元）一般推导如下：设a n表示应税额依次分段的端点，r n表示应税额区间(a n,a n+1)对应的所得税率，b n表示应税额区间(a n,a n+1)对应的“速算扣除数”，其中n∈{1,2,3,4,5,6}．由表2得到：n0123456a n030001200025000350005500080000r n3%10%20%25%30%35%45%设T表示应税额，T∈(a n,a n+1)，Q表示对应应交的个人所得税额，于是Q=(T−a n)r n−[(a n−a n−1)r n−1+(a n−1−a n−2)r n−2+…+(a1−a0)r0]=T·r n−[(r n−r n−1)a n+(r n−1−r n−2)a n−1+…+(r1−r0)a1]定义“速算扣除数”b n=[(r n−r n−1)a n+(r n−1−r n−2)a n−1+…+(r1−r0)a1]于是得到Q=T·r n−b n，b n=(r n−r n−1)a n+b n−1．由此算出：b1=(r1−r0)a1=7%×3000=210（元）b2=(r2−r1)a2=10%×12000+210=1410（元）b3=(r3−r2)a3=5%×25000+1410=2660（元）b4=(r4−r3)a4=5%×35000+2660=4410（元）b5=(r5−r4)a5=5%×55000+4410=7160（元）b6=(r6−r5)a6=10%×80000+7160=15160（元）．二、（满分20分）在晴空万里，蓝天白云的天气下，也许你看到的是“假蓝天”，原因是臭氧（O3）污染．城市近地层臭氧是典型的二次污染物，主要是由人类活动排放的挥发性有机物、氮氧化物和一氧化碳在太阳光的作用下经过一系列复杂的光化学反应生成的，其带来的温室效应影响着全球的臭氧浓度变化．空气中少量的臭氧使人有一种“新鲜”的感觉，因为臭氧有杀死某些细菌和微生物的能力，但是过量的臭氧对人体和生物都是有害的．王同学在网站上浏览北京综合检测值变化时，感觉到臭氧的浓度变化似乎与温度和湿度变化有关．为了研究在不同季节，温度和湿度对臭氧浓度的影响，王同学记下了2018年7月2日（代表盛夏）和2018年11月2日（代表深秋）的数据，见表1和表2．请依此回答下面的问题：（1）分别画出每一天臭氧浓度关于温度变化的散点图和臭氧浓度关于湿度变化的散点图，并分别建立回归方程；（2）在盛夏和深秋，哪个季节温度变化对臭氧浓度变化的影响大一些?哪个季节湿度变化对臭氧浓度变化的影响大一些?解：（1）臭氧浓度关于温度、湿度变化的散点图如下：表12018年7月2日北京市臭氧浓度变化与温度和湿度变化表22018年11月2日北京市臭氧浓度变化与温度和湿度变化时间臭氧浓度(μg/m 3)温度(℃)湿度(%)时间臭氧浓度(μg/m 3)温度(℃)湿度(%)2:004024762:0055803:003323823:0044824:002923854:0044835:002423845:0033876:002223846:0033897:002223787:0034878:003024758:0036799:003825729:00586611:0062267011:0017115512:0085286412:0027134913:00121295613:0033144614:00146315014:0038164315:00162305315:0041164216:00170315016:0043174317:00179315117:0033155118:00179315018:0012116519:00175305119:008107420:00178295920:00897721:00167285921:00788022:00120285922:00678423:00105276223:006782从图中可以看出，四个图的样本点均呈条状分布，臭氧浓度与温度、湿度都有比较好的线性相关关系，因此可以用回归直线y =ax +b 来近似刻画它们的关系．计算回归方程的斜率与截距的公式为：121()()()ni i i n i i x x y y a x x b y ax==⎧--⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎩∑∑设x 1为7月2日北京市的温度，x 2为7月2日北京的湿度，x 3为11月2日北京市的温度，x 4为11月2日北京市的湿度；y 1为7月2日北京市的臭氧浓度，y 2为11月2日北京市的臭氧浓度．经计算，y 1=19.42x 1−425.34（Ⅰ）y 1=−4.72x 2+408.34（Ⅱ）y 2=2.91x 3−11.52（Ⅲ）y 2=−0.80x 4+70.40（Ⅳ）（2）2018年7月2日平均臭氧浓度为105.48μg/m 3，2018年11月2日平均臭氧浓度为16.48μg/m 3．1°根据回归方程（Ⅰ）和（Ⅲ），温度每变动1℃，7月2日的臭氧浓度变化：19.42/105.48×100%=18.41%；11月2日的臭氧浓度变化：2.91/16.48×100%=17.65%．2°根据回归方程（Ⅱ）和（Ⅳ），湿度每变动1%，7月2日的臭氧浓度变化：4.72/105.48×100%=4.47%；11月2日的臭氧浓度变化：0.80/16.48×100%=4.85%．因此，就温度而言，盛夏的温度对臭氧浓度变化影响大一些；就湿度而言，深秋的湿度对臭氧浓度变化影响大一些．三、（满分20分）将一个8×8的棋盘分割成四个部分，其中两个是梯形，另外两个是三角形，如图1所示．将这四个部分重新拼接，可以得到一个5×13的长方形，多出了一个小正方形，如图2所示．（1）对这种现象你如何解释?给出解释的数学证明．（2）对于n ×n 的正方形棋盘，n 取什么正整数时，可以用这种切割重拼的方式得到一个k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n +1？举出一个例子．（3）对于n ×n 的正方形棋盘，做类似的切割和拼接，会不会出现k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n −1？如果存在，试给出一般的规律．解：（1）猜测：拼接有缝隙．为了观看清楚，将缝隙夸张地用图4所示，首先证明∠ENG ＜180°．由图3可知，tan ∠2=83，tan ∠4=−tan ∠3=−52，显然83＞52，所以∠2＞∠3；图3ABCD3412图42413EFGH MN 图1图2所以∠2+∠4=∠2+180°−∠3=180°+(∠2−∠3)＞180°．即∠ENG ＜180°．易证∠ENG =∠EMG ，即四边形EMGN 是平行四边形．S EMGN =|EN |·|NG |·sin ∠ENG =|EN |·|NG |·(−sin(∠2+∠4))=|EN |·|NG |·(−sin ∠2·cos ∠4−cos ∠2·sin ∠4)=|EN |·|NG |·(82||||EN NG ⋅−35||||EN NG ⋅)=1．（2）设分割方式同上，如图5所示，AD 边上分割点为P ，AP :PD =a :b ，则a +b =n ．同（1）的过程，得平行四边形EMGN ，令S EMGN =1，即EN |·|NG |·(||||n b a EN NG -⋅−||||b aEN NG ⋅)=1即n (b −a )−ba =1即(b +a )(b −a )−ba =1即b 2−ab −a 2−1=0显然a ≠b ,且b ＞a ．解关于b的一元二次方程得1(2b a =+．枚举得：a 1382155144b 25133489233n382155144377当n 取3,8,21,55,144,377,…时，即n 取斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…从第四项起的偶数项时，边长为n 的正方形经过切割，可以再拼接成一个k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n +1．例如55×55的正方形，将55分成21+34，拼成长方形，则正方形的面积为55×55=3025，长方形的面积为(55+34)34=3026．事实上，a ,b 取值依顺序构成从第二项起的斐波那契数列：1,2,3,5,8,13,21,34,…．（3）如果n ×n 的正方形经分割再拼接成k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n −1，应该满足以下关系：∠2+∠4＜180，即拼接时会形成重合，重合部分是一个平行四边形ENGM ，如图6．令S ENGM =1，即S EMGN =|EN |·|NG |·sin ∠ENG =|EN |·|NG |·sin(∠2+∠4)=1EN |·|NG |·(−||||n b a EN NG -⋅+||||b aEN NG ⋅)=1即−(b +a )(b −a )+ba =1即b 2−ab −a 2+1=0解关于b 的一元二次方程得1(2b a =+．枚举得：a 125133489b 1382155144n25133489233图5A BCD3412P abn 2413EFGHM N 图6当n 取2,5,13,34,89,233,…时，即n 取斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…从第三项起的奇数项时，边长为n 的正方形经过切割，可以再拼接成一个k ×m 的长方形，使得k ×m =n ×n −1．山毛榉和被害虫侵害的云杉这三种群落状态，这个林地被划分为成行成列的状态，我们可以用Z k (i ,j )表示在第k 年时林地中第i 行、第j 列的方块地区的群落状态．令Z k (i ,j )=0表示第k 年时该地块为绿叶云杉林地，Z k (i ,j )=1表示第k 年时该地块为山毛榉林地，Z k (i ,j )=2表示第k 年时该地块为被云山蚜虫危害的云杉林地．请回答下列问题：（1）依据题目给出的相互更替规则，使用Z k (i ,j )表示法给出从第k 年到第k +1年各方块林地植物群落更替的表达式，即群落更替模型；（2）根据上述模型，选择一种算法语言，写一个小程序，通过计算机计算初始状态为右图，经过一年、两年、三年更替后这个林区的群落格局．解：（1）群落更替的模型：如果Z k (i ,j )＞0，则Z k +1(i ,j )=Z k (i ,j )−1；如果Z k (i ,j )=0，则当max{Z k (i −1,j ),Z k (i +1,j ),Z k (i ,j −1),Z k (i ,j +1)}=2时，Z k +1(i ,j )=2；当max{Z k (i −1,j ),Z k (i +1,j ),Z k (i ,j −1),Z k (i ,j +1)}=0或1时，Z k +1(i ,j )=0．00000000000000000000000000000000021210000001212000000000000000000000000000000000（2）使用上述模型编制的MATLAB计算程序是>>A0=[zeros(20,20)],A1=A0,A0(10:11,9:12)=[2,1,2,1;1,2,1,2];>>For i=2:19>>For j=2:19>>B2=[A0(i-1,j),A0(i+1,j),A0(i,j-1),A0(i,j+1)]>>if A0(i,j)>0,A1(i,j)=A0(i,j)-1>>elseif max[B2]=2,A1(i,j)=A0(i,j)+2>>elseif max[B2]=0,A1(i,j)=A0(i,j),end>>end>>end根据此程序的计算，经过一年、两年、三年更替后这个林区的群落格局如下图所示：第一年后第二年后第三年后000000000000000000000002020000000000000000020000000021212000 000202000000212120000210101200 002101000002100002002100202120 000010120000200001200212020012 000020200000021212000021010120 000000000000002020000002121200 000000000000000000000000202000五、（满分20分）中国高铁发展迅速，使有些原本乘飞机到某地出行的旅客改乘高铁了．现在要模拟一次寒假与父母或亲友外出旅行，先选定一个时间，并设定一个既可以乘飞机（经济舱）到达，也可以乘高铁（二等座）到达的目的地．（1）列出影响选择交通工具的各种因素；（2）为这次模拟出行选定乘坐交通工具的方案，并说明选择的理由．解：答题要点（1）影响因素主要有两大方面，一方面是由交通工具产生的，包括乘坐交通工具的时间成本，交通工具的舒适性，安全性，正点率，价格；另一方面是由旅行者产生的，对于不同的旅行者，其价值取向不同，个人感受不同，还有个性化的需求．（2）要先调查上述影响因素在这次出行中的具体情况，将各种影响因素的情况进行主次排序，或进行量化，在多因素分析中，作出相对优化的选择，形成出行方案．（注：这个题的解答是很开放的，只要有来自实际的调查分析，逻辑清楚，比较完整，自圆其说，即看作正确．酌情给分，宜粗不宜细．）。
第16届北京市高中数学知识应用竞赛初赛答案
（1）解答：北京为东八区，阿姆斯特丹为东一区。
两者相差7小时。
我们计算时一律换成北京时间：北京起飞时为11:55，在阿姆斯特丹降落时北京时间为（15:15+7小时=22:15），故从北京到达姆斯特丹飞行了（22:15-11:55=10小时20分）。
阿姆斯特丹起飞时北京时间为（21:25+7小时=次日4:25），在北京降落时为次日14:10，故从阿姆斯特丹返回北京飞行了（14:10-4;25=9小时45分）。
由于中纬度有西风带，高空的风为自西向东吹，故从北京到达姆斯特丹为逆风，用时长。
从阿姆斯特丹返回北京为顺风，用时短。
另外从北京到达姆斯特丹和从阿姆斯特丹返回北京时飞机的航线不同对用时也会造成影响。
（2）解答：因为：库存会增加成本所以：只有在下季度的正常生产、加班生产及外协生产都要满工作量的情况下才要对本季度考虑外协生产安排，换句话来说，如果本季度进行了外协生产，且本季度末的库存不空，则下季度的正常生产、加班生产及外协生产都满工作量因为：笫三季度的需求为1 500，最大生产为750+150+200=1100所以：笫二季度末的库存最小为l500—1100=400因为：笫二季度的需求为850，最大生产为450+90+200=740所以：笫一季度末的库存最小为850+400—740=510所以：笫一季度的生产任务最小为5 10+300—250=560因为：560—450—90=20所以：笫一季度最小要进行20千克的外协生产所以：为使成本最小，则笫二、三季度的正常生产、加班生产及外协生产都要满工作量若笫三季度未有库存，则笫四季度的正常生产、加班生产及外协生产也要满工作量，但450+90+200>3 00+350，不符题意所以：笫三季度末没有库存，300+350—450—90=1 1 0，正常生产、加班生产要满工作量，外协生产的任务是110千克根据上述分析，可作如下的全年生产计划笫一季度：正常生产450千克，加班生产90千克，外协生产20千克笫二季度：正常生产450千克，加班生产90千克，外协生产200千克笫三季度：正常生产750千克，加班生产1 50千克，外协生产200千克笫四季度：正常生产450千克，加班生产90千克，外协生产11 0千克（3）解答：1.主要因素：地上路面的周边环境：决定需刷卡进站的人数人流量越大，则进站的人越多乘客的素养：决定刷卡速度素养越高，进站时速度越快地铁站管理工作：决定能同时刷卡的人数刷卡机越多，能同时刷卡的人越多2.“合理”一词的数学描述：如呆有n个人要进站，这些人进站刷卡时平均要用t秒钟，那么要设多少台刷卡机才能使这些人在限定的时间T内全部进站。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案
试题
1、（满分20分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要接着向前没行一段距离才能停住。
我们称这段距离为“刹车距离”。
刹车距离是分析事故的一个重要的因素。
在一个限速为40千米/时的路段上，先后有A、B两辆汽车发生交通事故。
事故后，交通警察现场测得A车的刹车距离超过12米，不足15米，B车的刹车距离超过11米，不足12米。
又知A、B两种车型的刹车距离S（米）与车速x（千米/时）之间有如下关系：
假如仅仅考虑汽车的车速因素，哪辆车应负责任？
2.（满分20分）北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在那个节目中曾经有如此一个抢答题：小晰蜴体长15cm，体重15g,问：当小晰蜴长到体长为20cm时，它的体重大约是多少（选择答案：20g,25g,35g,40g）?尝试用数学分析出合理的解答。
3. （满分20分）受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。
在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。
下面是某港口顺某季节每天的时刻与水深关系表：
时刻水深（米）时刻水深（米）时刻水深（米）
0:00 5.0 8:00 3.1 16:00 7.4
1:00 6.2 9:00 2.5 17:00 6.9
2:00 7.1 10:00 2.4 18:00 5.9
3:00 7.5 11:00 3.5 19:00 4.4
4:00 7.3 12:00 4.4 20:00 3.3
5:00 6.5 13:00 5.6 21:00 2.5
6:00 5.3 14:00 6.7 22:00 2.7
7:00 4.1 15:00 7.2 23:00 3.8
(1)请在坐标纸上，依照表中的数据，用连续曲线描出时刻与水深关系的函数图像；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时刻必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
4．（满分20分）2000年末，某商家迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，
连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钞票满100元（这100元能够是现金，也但是奖励券，或二者合计），就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券，满300元，就送60元奖励券；...。
当日，花钞票最多的一顾客用现金70000元，假如按照酬宾方式，他最多能得到多少优惠呢？相当于商家打了几折销售？
5．（满分20分）某都市预备进行书画展览，为了保证展品安全，展览的保卫部门预备安排保安员值班。
情况如下：
①展览大厅是长方形，内设均匀颁的m×n个长方形展区，如图所示（下图是一个3×4个展区的示意图）。
在展厅中，展览的书画被挂在每个展区的外墙上，参观者在通道上扫瞄书画。
② 保安员站在固定的位置上，不同意转身，只能监视他的左右两侧和正前方，形如“T”形的区域。
且一个保安员的正前方不安排其它保安员。
③ 不考虑保安员的轮岗、换班问题。
④ 展口的安全意味着每一个展区的四面外墙都在保安员的监视范围内。
问题：（1）关于如上图所示的展厅中，最少需要几个保安员能使展品安全？在图中标明保安员的位置（不要求证明）。
（2）假如展要有n×m个展区，最少需要多少个保安员能使展品安全？请证明你的结论。
竞赛参考答案
1.解法一：由题意得这两辆汽车的刹车距离分不满足如下的关系式：
12<<15，
11<<12，
分不求解这两个不等式，得
30<<<35，
12<<<<45.
可见，A车无责任，B车应付责任。
解法二：假如==40km/h，则能够算得=20m,=10m。
由于A车实际刹车距离没有超过它按限速行驶的刹车距离=20m；而B车实际刹车距离超过了它按限速行驶时的刹车距离=10m。
可见A车无责任，B车应付责任。
2.解：假设小晰蜴从15cm长到20cm，体形是相似的。
这时晰蜴的体重正比于它的
体积，而体积与体长的立方成正比。
记体长为l的晰蜴的体重为，因此有
合理的答案应该是35g。
3.解：（1）描点作图，设x表示时刻，y表示水深。
（2）由题目条件，水深至少为5.5米时才能保证货船驶入港口的安全。
为此在上图中。