小奥数论1-整除和余数知识点总结及经典例题

1.数论---- 数的整除和余数

2.1基本概念和基本性质

2.1.1定义

整数a除以整数b （b旳），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

2.1.2表达式和读法

b I a,读着b能整除a;或a能被b整除；b i a,不能整除；

2.1.3基本性质

①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的

倍数；

②加减性：如果a|b、a|c，那么a|（b c）;

③因数性：如果ab|c，那么a|c, b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c;

④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，

且ab互质，则ab的积能整除c;

⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

2.2数的整除的判别法

221末位判别法

2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）

各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。

173652乜:1+7+3+6+5+2 的和除以3 或9;

简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9;如果x> 9,则余数为x-9;如果x< 9,则余数为X。

2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）

从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；

81729033-11:奇数位和为6,偶数位和为27;如果奇数位和比偶数位和小，

则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。

224三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）

2.2.4.1基本用法

从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除;

女口，86372548，奇数段的和为（548+86 ），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7,直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。

2.2.4.2特殊用法

①一般求空格数

如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。

395864 □ 82365，答案为5

463925 □ 01234，答案为1 和8

②特殊求空格数

根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、

77、91、143整除，因为：

7X11 X13=1001;

77X13=1001;

99 X11=1001；

7X 143=1001;

根据=A .. X 1001；

能被7整除的空格数

225有关9系列截判法（用以判别能否被 9/99/999整除）

除数是几位数就可以从右往左几位一截， 将截取的段位数相加再截取，直至 不能再截取，看相应的数能否被相应的除数 9/99/999整除。

除数是11时，也可以用两位一截判别法，因为根据整数的因数性，能被 99

整除的数，肯定能被11整除。

例如：

=「X 1001；求

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2.3余数的判别法

2.3.1余数的定义和性质

① 整除是余数为0的情况。aF=c …..0;

此时，a= b X c;b= a p

② 有余数的情况：a^b=c …..d (0< d < b );

此时，a=b X c+d;b=(a-d) P ; c=(a-d) -Hb 记着：a =d(modb)

2.3.2余数的判别法(与整除相同)

【注意】：当被除数是比除数小的非零自然数，则被除数为余数；当被除数比余数大，则减 去除数的倍数所得比除数小的数即为余数。

序号

除数

余数判别法 特别要点

1 2和5 末1位判断法；

看末1位能否被2整除；尾是0、2、4、6、8能； 看末1位能被5整除；尾是0、5能；

2 4和25 末2位判断法 末2位数是4 (或25)的倍数即能被 4或25整除

3 8 和 125 末3位判断法； 末3位数是8 (或125)的倍数

4 16 和 62

5 末4位判断法； 末4位数是1

6 (或625)的倍数

5

3或9

数字和法； 弃3 (9)法；

各数位上数字的和是 3或9的倍数，则能被3或9整除。

利用整除的加减性，可以去掉

1个或多个9 (包括几个数