第六讲 等熵流动
空气动力学第三章
（3.13）
γ /( γ −1)
（3.14）
⎡ ⎤ ⎥ γ +1 c ⎢ = ⎢ ⎥ c* ⎢ 2(1 + γ − 1 M 2 ) ⎥ ⎣ ⎦ 2
1/2
（3.15）
考虑能量方程：
V = 2c p (T0 − T ) = 2γ R (T0 − T ) γ −1
& m G * = ( ) max A
R (1 + γ − 1 M 2 )(γ +1)/[2(γ −1)] 2 & p γ 2 (γ +1)/(γ −1) m = *= 0 ( ) A T0 R r + 1
γ
M
A G 1 2 γ − 1 2 ( γ +1)/[ 2( γ −1)] M )] = = [( )(1 + * A G M γ +1 2
γ − 1 *2 M γ +1
马赫数和临界马赫数的关系曲线如图3.6所示：
当M<1时,M*<1; 当M=1时,M*=1; 当M>1时,M*>1; 当M趋近无穷时;
M* = r +1 r −1
• 3.4 由马赫数表示的质量流流率
& m G = = ρV A
ρ = p / RT
c = γ RT
V γ G = p( ) c RT
V2 = M2 γ RT
T0 γ −1 2 = 1+ M T 2
（3.4 ）
cp =
γR γ −1
公式（3.4）实用于绝热流动和等熵流动。
对于完全气体的等熵流动，其压力和密度与温度的关系 为： p0 T0 γ /(γ −1) ρ0 T0 1/(γ −1) =( ) =( ) T ρ p T 将上述公式与（3.4）结合起来，可以得到压力和密度由 马赫数来表示的关系式如下：
高二物理竞赛课件：流体力学的等熵流气动函数
可得
A A
＝1.03823＝
Ae A'
A'＝1.03823＝ Ae ＝ 0.003 ＝0.00289m2 1.03823 1.03823
A*’为假想的临界截面，即假想流体沿继续延伸的喷管流动，在截面积A*处 达到声速，喷管其他截面上的参数与该假想临界截面上的参数关系符合等 熵流气动函数关系。现
Ax A'
C5.4.1 截面变化对流动的影响(3-3)
2. 截面积与Ma 数关系
在拉伐尔喷管中
＋1
A A
＝
1 Ma
2＋－1
＋1
Ma
2
2－1
＝ 1 1＋0.2Ma2 3 1.728Ma
＝1.4
对每一个A/A*有两个Ma ：一个为亚声速，一个超声速。
3. 流量与Ma 数关系
m＝
R
p0 T0
Ma
1＋
时出口处出现激波，试求 pb 990、900、300、30kPa 时的流动状况。
解:（1） Ae / At 0.0035 / 0.001 3.5 ， 查等熵流动气动函数表得： Mae1 0.17，Mae2 2.8。
Mae1 0.17代表喉部为临界截面，扩张段为亚声速流 pe / p0 0.98， pe pc 980kPa；Te / T0 0.99，Te 396K。 Mae2 2.8代表扩张段为超声速流， pe / p0 0.04，pe pg 40kPa； Te / T0 0.39，Te 156K。 两种工况的质流量相等，均为最大流量。由例C5.4.2中质流量公
3. pj pb p f
超声速等熵流 4. 0 pb pj
口外膨胀
（实际记录曲线）
[例] 收缩－扩张管内的流动(2-1)
7一元等熵流动
T2 2 s2 s1 cv ln R ln T1 1
T2 p2 c p ln R ln T1 p1
p2 2 cv ln c p ln p1 1
对等墒过程：
p
const
对任意两等墒过程的参数有：
p1 1 p2 2
p1 T1 1 p2 T2
2 2
pA ( p dp) A ( d )(c u) A c A
dp d
连解上两式略去小量有： c
d 大的流体c小,该种流体易压缩， d 小的流体c大，该种流体不易压缩， d 0, c ，为不可压流体。
音速可作为表征流体压缩性的参数。
由于活塞运动是个微量，故 p、T、ρ 等 参数的变化很小，因而每个压缩过程可 看成是绝热、可逆过程，即等熵过程。 p 对于等墒过程： const
一.弱扰动的一维传播(等熵波)： 音速: 微小扰动波在气体中的传播速度 以 c（m/s）表示.
p
m
T
c
v 0 n v u
p dp d T dT
u
p
T
c
m
v c n v c u
p dp d T dT
二.音速公式:
由连续性方程: 动量方程：
vA ( d )(c u) A
1 f p a
4.能量方程：对不可压流体，能量方程 是Br-eq.，对可压缩流体，能量方程中 各项的能量种类不同，但仍满能量守恒 原理，仅是形式不同。
如图：取系统， 其体积为τ ， 表面积为 A， n是dA外法线。
→ n dA dQ
工程流体力学简答题-知识归纳整理
知识归纳整理1. 什么是黏性?当温度变化时, 黏性怎么变化?为什么？当流体内部存在相对运动时.流体内 产生内摩擦力妨碍相对运动的属性。
气体的粘性随温度的升高而升高；液体的粘性随温度的升高而降低。
分子间的引力是形成液体粘性的主要原因。
温度的升高.分子间距离增大.引力减小。
分子作混乱运动时不同流层间动量交换是形成气体粘性的主要原因。
温度的升高.混乱运动强烈.动量交换频繁.气体粘度越大2. 解释：牛顿流体、理想流体牛顿流体：切应力与速度梯度成正比的流体理想流体：没有粘性的流体3.流体静压强的两的特性是什么？流体静压强的方向是作用面内法线方向.即垂直指向作用面。
流体静压强的大小与作用面方位无关.是点坐标的函数4、画出下列曲面对应的压力体。
（4分） ★5. 分别画出下图中曲面A、B、C 对应的压力体（6分）6.写出不可压缩粘性流体总流的能量方程式.并说明各项的物理意义和应用条件。
w hz g p a z g p a +++=++22222112112gv 2g v ρρ 2gv 2a 单位分量流体的动能gp ρ单位分量流体的压能z 单位分量流体的位能 wh单位分量流体的两求知若饥，虚心若愚。
千里之行，始于足下。
断面间流动损失不可压缩粘性流体在重力场中定常流动.沿流向任两缓变流过流断面7. 什么是流线？它有那些基本特性？流场中某一瞬时一系列流体质点的流动方向线。
普通流线是一条光滑曲线、不能相交和转折定常流动中.流线与迹线重合。
8. 解释：定常流动、层流流动、二元流动。
定常流动：运动要素不随时光改变层流流动：流体分层流动.层与层之间互不混合。
二元流动：运动要素是两个坐标的函数。
9.解释：流线、迹线流线：流场中某一瞬时.一系列流体质点的平均流动方向线。
曲线上任意一点的切线方向与该点速度方向一致。
迹线：流场中一时光段内某流体质点的运动轨迹。
10. 描述流动运动有哪两种想法.它们的区别是什么？求知若饥，虚心若愚。
欧拉法.以流体空间点为研究对象拉格朗日法：以流体质点为研究对象11. 什么是量纲？流体力学中的基本量纲有哪些？写出压强、加速度的量纲。
等熵过程资料
等熵过程的理论研究进展
理论进展
• 等熵过程的理论研究包括状态方程、过程曲线等方面 • 等熵过程的理论研究可以通过热力学、统计力学等方法 进行
研究进展
• 近年来，等熵过程的理论研究在量子力学、高温气体等 方面取得进展 • 近年来，等熵过程的理论研究在多相流、燃烧等领域取 得进展
等熵过程的实验研究进展
等熵过程的定义与性质
等熵过程
• 一个热力学过程中，系统的熵保持不变的过程 • 等熵过程的一个重要性质是不可逆性 • 等熵过程的状态方程为pV^k = 常数，其中k为气体的绝 热系数
等熵过程的性质
• 过程中能量转换，但总熵保持不变 • 等熵过程可以是等温、等压、等体积等过程 • 等熵过程在理想气体和实际气体中的表现不同
等熵过程的性质
• 等熵过程是一种不可逆过程 • 等熵过程的能量转换和守恒性质
等熵过程的能量转换与守恒
能量转换
• 在等熵过程中，系统的能量可以通过热量和功的形式进行转换 • 等熵过程中的能量转换满足热力学第一定律
能量守恒
• 在等熵过程中，系统的总能量保持不变 • 能量守恒定律的表达式为ΔU + W = Q
• 在等熵过程的绝对零度时，系统的熵趋于零 • 热力学第三定律的表达式为S(T = 0) = 0
等熵过程的可逆性与不可的过程 • 可逆过程满足热力学第一定律和热力学第二定律
不可逆过程
• 无法完全恢复到初始状态的过程 • 不可逆过程满足热力学第一定律和热力学第二定律
等熵加热
• 系统在恒定压力下，吸收热量的过程 • 等熵加热过程中，系统的熵保持不变
等熵冷却
• 系统在恒定压力下，放出热量的过程 • 等熵冷却过程中，系统的熵保持不变
风力机空气动力学5.3气体一维定熵流动5.3 气体的一维定常等熵流动
2
h0
第三节 气体的一维定常等熵流动
二、滞止状态
cp
R 1
Ma2 v2 c2
c2 RT
同理
T v2 2c p
T0
T0 T
c02 c2
1 -1 Ma2
2
1
p0 1 -1 Ma2 1
p 2
0 1 -1 Ma2 -1
2
1
-1
第三节 气体的一维定常等熵流动
五、速度系数
M v ccr
当v=vmax时
M max
vmax ccr
1 -1
M*与Ma的关系
M
2
1Ma2 2 -1Ma2
Ma2
2M
2
1
1M
2
第三节 气体的一维定常等熵流动
2
第三节 气体的一维定常等熵流动 三、极限状态
气流膨胀到完全真空所能达到的最大速度
极限速度
vmax
2R 1
T0
能量方程的另一种形式
c2
v2
v2 max
c02
1 2 2 1
第三节 气体的一维定常等熵流动
四、临界状态
ห้องสมุดไป่ตู้
ccr
2 1c0
1
v 1
用速度系数表示
T T0
c2 c02
1
-
-1 1
M
2
流体力学第6章气体的一维定常流动
ccr ,Tcr , pcr , cr 在等熵流气动函数中令Ma =1可得
Tcr 2
TT 1
pcr pT
2 1
1
1
cr T
2
1
1
三、 最大速度vmax
在等熵条件下温度降到绝对零度时的速度。
vm a x
2R 1
TT
1/ 2
2021/4/10
为了得到定常流动可以设想观察者随波面mn一起以速度c向右运气体相对于观察者定常地从右向左流动经过波面速度由c降为cdv而压强由p升高到pdp密度和温度分别由加到rdr在dt时间内流入和流出该控制面的气体质量应该相等即化简后得由于压缩波很薄作用在该波上的摩擦力可以忽略不计
第六章 气体的一维定常
流动
1
第五章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体，即 使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况下， 可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压缩的程 度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在该气体中 声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。例如空气 的速度等于50m/s，这数值比常温20℃下空气中的声速343m/s 要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。所以为简化 问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近似地看作是常 数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。当气体流动的速 度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过声速时，如果气体 受到扰动，必然会引起很大的压强变化，以致密度和温度也会 发生显著的变化，气体的流动状态和流动图形都会有根本性的 变化，这时就必须考虑压缩性的影响。气体动力学就是研究可 压缩流体运动规律以及在工程实际中应用的一门科学。本章中 仅主要讨论气体动力学中一些最基本的知识。
流体力学习题2
流体力学习题一、判断题：1.由绝热流动的能量方程可知，当没有热交换时，单位质量流体所具有的总能量是一个常数。
（）2.当流体与外界有热交换时，这个总能量会增加或减少，这时滞止温度不再是常数，流动是等熵的。
（）3.当马赫数小于一时，在等截面管道中亚音速流动作加速流动。
超音速流动作减速流动。
（）4.在绝热摩擦管流中，亚音速只能加速至M＝1，超音速只能减速至M＝1。
（）5.从有热交换的能量方程可以看出，对于加热流动dq大于0，亚音速流作加速运动。
（）6.对于冷却流动dq小于0，亚音速流作减速运动，超音速流作加速运动。
（T）7.气体的比热由气体本身的性质决定的，所以对某一种气体来说，比热是常数。
（）8.液体都具有可压缩性。
（）9.一般情况下，液体的压缩性很小，可视为不可压缩流体，只有在水击现象中才考虑流体的压缩性。
（）10.如果气体流速很大超过音速的三分之一，可以忽略其压缩性。
（）11.不同的加热过程，气体具有不同的比热。
（）12.在绝热的可逆过程中，熵将不发生变化。
（）13.气体作绝热的且没有摩擦损失的流动时，称为等熵流动。
（）14.音波的传播是一个等温过程。
（）15.液体的压缩性很小，可视为不可压缩流体。
（）16.在可压缩流体中，如果某处产生一个微弱的局部压力扰动，这个和扰动将以波面的形式在流体内播，其传播的速度等于声音的速度。
（）17.陆上的交通车辆如果以超音速行驶，路上的行人将听不到疾驶过来的车辆的鸣笛声。
（T）18.在超音速流动中，扰动只能在马赫锥内传播。
（）19.亚音速流动在收缩管内不可能加速到超音速。
（）20.背压和管道出口压强永远是相等的。
（）二、填空题1.一般地说，压强和温度的变化都会引起液体的改变。
2.热力学第一定律是热现象的能量转换及定律。
3.在绝热流动中，单位质量的流体所具有的与之和是一个常数。
4.在可压缩流体中，如果产生一个微弱的局部压力扰动，这个压力扰动将以波面的形式在流体内传播，其传播速度称为。
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3、理想气体流动基本方程1）运动方程0=+VdV dpρ2）等熵方程 k C p ρ=3）状态方程RT p ρ=4）连续方程 mVA &=ρ将等熵过程关系式带入运动方程，积分得到C V p k k =+-212ρ此式为可压缩气体流动的伯努利方程。
注：绝热过程即可，不一定要求等熵流动。
5、一元气体等熵流动基本关系式1）滞止参数000,,T p ρ2）一元气体等熵流动基本关系式112012020]211[]211[211---+=-+=-+=k k kM k M k p p M k T T ρρ3）临界参数马赫数达到1时的流动参数称为临界参数，有 ***T p ρ 等。
此时，速度为音速。
基本关系式如下：634.0)12(528.0)12(833.0)12()12(110*10*0*210*=+==+==+=+=--k k kk k p p k T T k a a ρρ判断亚音速或超音速流的准则，临界一词的来源。
4）极限状态（最大速度状态） T=0的断面上，速度达到最大，m ax u T = 0，无分子运动，是达不到的。
212max00u p k k =-ρ ==> 0000max 21212i kRT k p k k u =-=-=ρ5) 不可压伯努利方程的限度 对于不可压伯努利方程 0221p u p =+ρ 既有12120=-u pp ρ对于可压缩伯努利方程...48)2(821...)21(!2)11(1)21(11)211(642222120+-+++=+----+--+=-+=-M k k M k M k M k k kk k M k k k M k p p k k由于222222212121M kp kp a u kp kp u u ===ρρ==>....24)2(41214220+-++=-M k M u p p ρ 误差： (24))2(442+-+=M k M δ当2.0≤M 时可视为不可压流体。
6、 阻塞现象及其判据634.0)12(528.0)12(833.0)12(110*10*0*=+==+==+=--k k kk k p p k T T ρρ例1：自喷管流出的空气质量流量为6kg/s 。
若kPa p C T 800,2700=︒=（绝对），出口压强kPa p e 100=（绝对），假设整个流动过程均为等熵流动，试计算喉部直径和出口处的直径，并求出口速度。
解：1、 确定出口处是否为超音速流动由于528.0125.08001000<==p p e ，又由于是等熵流，故出口处应为超音速流动，此时，在管道喉部达到1*=M 。
2、 计算管道喉部临界点处的参数2.121*0=+=k T T ===〉 K T 250*= ===〉 s m kRT V /94.316**== 893.1)21(1*0=+=-k kk p p ==〉kPa p 63.422*= ==〉3***/89.5m kg RT p ==ρ3、 计算喉部截直径d由连续性方程，有 ***A V mρ=& ===〉 2***4d V mA πρ==& ===〉 mm m d 64064.0== 4、 计算出口处的流动参数和出流速度V120)211(--+=k ke M k p p ===〉014.2=M 20211M k T T e -+= ===〉 K T e 6.165= ===〉s m kRT a e /258== 3/104.2m kg RT p eee ==ρ ==〉 s m a M V /51.519=⋅= 5、 计算出口直径24D V mA e e πρ==& ===〉 mm m D 6.830836.0==第二章 有摩擦和热交换的一元管流前提：定常，一元等截面流动研究对象：有摩擦的绝热流动 Fanno 流动 有热交换的流动 Rayleigh 流动第一节 Fanno 流动一、 基本方程1、 连续方程02211=+===ρρρρd u du Constm u u2、 能量方程220222211=+=+=+udu di i u i u i 3、 动量方程1） 在等断面管道中取微元体如图 2） 去控制体如图3） 受力分析Ddx A dp p p W πτ-+-)]([ 向右4） 动量分析uAdu u du u Q ρρ=-+])[(5） 列动量方程)]([2=⋅++=-+-AD D dx udu dp uAduDdx A dp p p W W πτρρπτ6） 达西公式dTd dudp ++ρ控制体gu D dx h f 22λ= ——dx 管段上的摩擦阻力损失Au D dx gA g u D dx Agh Ddx f W 2222ρλρλρπτ=== 7） 最后得到动量方程022=++u D dx udu dp ρλρ4、 状态方程)(ρρρTd dT R dp RTp +==二、Fanno 流动的参数关系条件：绝热、有摩擦、一元管流 对象：流动参数与M 的关系 工具：四个基本方程1、 温度 21210,,,,M M T T T伯努利方程适用于绝热流动C V RT k k =+-212则有222112211211M k M k T T -+-+=分析：亚音速 ↓↑T V)()(1212T T M M <>超音速 ↑↓T V)()(1212T T M M ><2、 压强 21210,,,,M M p p p由连续性方程，有C kRT M RTp a M RT p V m ==⋅==ρ 则有222121122112211211M k M k M M T T M M p p C T pM -+-+===3、 密度21210,,,,M M ρρρ由状态方程，有211212T T p p =ρρ 得到2121222112)211211(M k M k M M -+-+=ρρ 4、 等熵滞止压强01p 与02p定义：气流由此给定状态等熵减速到速度为0时所达到的压强。
)1(212122210102211211-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+=k k M k M k M M p p三、 壁面摩擦对流动属性的影响寻求各参量的微分（相对）变化关系VdVM dM TdT d pdp 22ρρ1、 基本关系 1）状态方程 TdT d p dp +=ρρ （1） 2）马赫数T dTV dV M dM kRTV M -==222222（2）3）能量方程 C V i =+22由于 T C i p = ==> 0)2(2=+V d dT C p 由于 1-=k kRC p ==> 021222=-+V dV M k T dT （3） 4）连续方程02122=+==V dV d C V m ρρρ （4） 5）动量方程022=++V D dx VdV dp ρλρ将上式各项通除p ，考虑到2222kpM pk aV V ==ρρρ得到0222222=++DdxkM V dV kM p dp λ （5）2、 寻求微分变化关系将（3）（4）式带入（1）式，得到2222)1(1VdV M k p dp -+-= 再与（5）式联解，得到D dx M M k kM p dp λ)1(2])1(1[222--+-= （6） 类似地，有D dx M M k kM M dMλ222221)211(--+= （7） DdxM kM V dV λ)1(222-= （8）D dxM M k k T dT λ)1(2)1(24---= （9） Ddx M kM d λρρ)1(222--= （10） Ddx kM p dp λ2200-= （11）3、 摩擦对流动的影响前提：（1）dx 以沿流动方向为正；（2）0>λ，剪应力与流动方向相反。
1）等熵滞止压强必定减小壁面摩擦降低了所有各类流体机械的效能。
2）分母有 )1(2M -，表明连续地由亚音速转变为超音速或由超音速连续地转变为亚音速都是不可能的。
3）气流属性的变化方向取决于M 是否大于1。
亚音速 超音速↓↓↑↓↑↓↓↑↓↑↑↓0p TV M p ρ4）壁面摩擦的结果使M 总是趋向于1。
注意：1、摩擦使亚音速流加速！ 2、摩擦使亚音速流压强增大！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。