2021-2022年高二上学期10月月考数学(理)试题(学生用)
2020-2021学年黑龙江省鹤岗市一中高二上学期10月月考数学(理)试题及答案
2020-2021学年黑龙江省鹤岗市一中高二上学期10月月考数学（理）试题★祝考试顺利★(含答案)一、单选题1．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+2．直线1:210l ax y +-=与()22:10l x a y a +-+=平行,则a =（ ）A ．1-B ．2C ．1-或 2D ．0 或 13．已知l ,m ,n 为不同的直线,α,β,γ为不同的平面,则下列判断错误的是（ ）A ．若m α⊥,n β⊥,//αβ．则//m nB ．若m α⊥,n β⊥,//m n ,则//αβC ．若l αβ=,m βγ=,n γα=,//l γ,则//m nD ．若αγ⊥,βγ⊥,则//αβ4．直线1:(0)l y kx b kb =+≠和直线2:1xyl k b +=在同一坐标系中可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 是棱1DD 的中点,则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（ ）A ．B ．C ．D ．56．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限,那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,给出下列四个命题：①对角线1AC 被平面1A BD 和平面11B CD 、三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为1:2:3；③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是16；④正方体与以A 为球心,1为半径的球的公共部分的体积是6π．其中正确的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．①②③D ．①②④ 8．直线l 经过点A (1,2),在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3),则其斜率的取值范围是（ ）A ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ．()1,,51⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭9．设直线1:370l x y +-= 与直线2:10l x y -+=的交点为P ,则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为( )A B ．4 C ．D 10．如图,在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为11A D 的中点,Q 为11A B 上任意一点,E 、。
福建省漳州市漳州康桥高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
bn
8
1 bn
3
，数列 cn 的前
n
项和为
Sn
，定义 x
为不超过
x
的最大整数，
例如 0.2 0 ，3.4 3，求Sn 的前 n 项和 Tn .
试卷第 4页，共 4页
福建省漳州市漳州康桥高级中学 2023-2024 学年高二上学期 10 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在等差数列an 中，首项为 a1 1，公差为 d 1 ，则 a4 （ ）
A．2
B．0
A．153
B．171
C．190
试卷第 1页，共 4页
D．210
8．已知数列an 满足 a1
1，an1
an an
2, n 2k, k N 3, n 2k 1, k N
，若 bn
a2n1 ，则 b5
（
）
A．28
B．26
C．21
D．16
二、多选题 9．下列命题是错误的是（ ）
A．等比数列的单调性只与 q 的正负有关
21．在数列 an 中， a1 6 ，且 an1an an1 3an .
(1)证明：
1
1
是等比数列.
an 2
试卷第 3页，共 4页
(2)求数列
n an
的前
n
项和
Sn
.
22．已知数列
an
的前
n
项积为
bn
，且
2 bn
1 an
1.
(1)证明：bn 是等差数列；
(2)设 cn
2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考(文、理)数学试题(解析版)
2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考（文、理）数学试题一、单选题1．已知a ，b ∈R ，且a b >，则下列各式中一定成立的是（ ） A ．11a b <B ．33a b >C ．2ab b >D ．22a b >【答案】B【分析】利用特殊值判断A 、C 、D ，根据幂函数的性质判断B ； 【详解】解：因为a ，b ∈R ，且a b >， 对于A ：若1a =，1b，显然11a b>，故A 错误； 对于B ：因为函数3y x =在定义域R 上单调递增，所以33a b >，故B 正确； 对于C ：若0b =，则20ab b ==，故C 错误； 对于D ：若1a =，1b ，则22a b =，故D 错误；故选：B2…，则 ）项． A ．6 B ．7C ．9D ．11【答案】D【分析】根据前几项写出数列的通项公式，由此可判断.【详解】，…，由此可归纳数列的通项为：n a，所以11n =，所以11项， 故选：D.3．若数列{an }满足：a 1＝19，an ＋1＝an －3，则数列{an }的前n 项和数值最大时，n 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【分析】先判断数列{an }为等差数列，写出通项公式，若前k 项和数值最大，利用10,0,k k a a +≥⎧⎨≤⎩，解出k .【详解】∵a 1＝19，an ＋1－an ＝－3，∴数列{an }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴an ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n ，则an 是递减数列．设{an }的前k 项和数值最大，则有10,0,k k a a +≥⎧⎨≤⎩ 即()2230,22310,k k -≥⎧⎨-+≤⎩∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7． ∴满足条件的n 的值为7． 故选：B【点睛】求等差数列前n 项的最大（小）的方法： （1）由2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n 的值； （2）利用an 的符号①当a 1>0，d <0时，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为Sn 的最大值，其n 的值由an ≥0且an+1≤0求得；②当a 1<0，d >0时，数列前面有若干项为负，此时所有负项的和为Sn 的最小值，其n 的值由an ≤0且an+1≥0求得.4．在等差数列{}n a 中，若38137a a a ++=，2111414a a a ++=，则8a 和9a 的等比中项为（ ） A．BC．D【答案】A【解析】根据等差数列的性质计算出89,a a ，再根据等比中项的定义即可求出答案 【详解】由题意得：3813837a a a a ++==，所以873a =，211149314a a a a ++==，所以9143a =.89989a a ⋅=，所以8a 和9a的等比中项为故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质（若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+），以及等比中项，属于基础题。
2021-2022学年重庆市清华中学高二(上)第一次月考数学试卷(10月份) (解析版)
2021-2022学年重庆市清华中学高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．直线的倾斜角为（）A．60°B．30°C．45°D．120°2．已知向量，，且，那么x等于（）A．﹣4B．﹣3C．0D．13．点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（）A．B．C．4D．64．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知＝，＝，＝，＝，则＝（）A．﹣+B．++C．﹣﹣+D．﹣﹣+5．在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），平面BCD的一个法向量是（1，1，0），则直线AB与平面BCD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6．若入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．7．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1内一动点，则•的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[﹣1，0]D．[﹣，0]8．已知直线l1：x﹣y﹣1＝0绕与x轴交点旋转过程中始终与动直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，当直线l1逆时针旋转75°时，则直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（）A．B．C．或D．或二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．设直线l1：3x+2ay﹣5＝0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2＝0．若l1与l2平行，则a的值可以为（）A．﹣B．C．0D．610．对于直线l：x＝my+1，下列说法正确的是（）A．直线l恒过定点（1，0）B．直线l斜率必定存在C．m＝时，直线l的倾斜角为60°D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A．B．BD⊥平面ACC1C．向量与的夹角是60°D．直线BD1与AC所成角的余弦值为12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在线段AC上移动，点M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的有（）A．D1O∥平面A1BC1B．∠D1OM的大小可以为90°C．异面直线D1O与A1C1的距离为定值D．存在实数λ∈[0，1]，使得成立三、单空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13．若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x＝．14．已知四点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（1，1，1），则点P面ABC（填写“∈”或者“∉”中的一个）．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝A1B1＝A1C1＝4，点E是棱CC1上一点，且，则异面直线A1B与AE所成角的余弦值为．16．m∈R，动直线l1：x+my﹣1＝0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知直线l经过点P（1，2）．（1）求在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；（2）求与第（1）问中斜率小于零的直线l距离等于的直线l1的方程．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，点E，F分别为棱CC1，AA1的中点．（1）求证：D1F∥平面BDE；（2）求直线D1F到平面BDE的距离．19．已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），且它的圆心在直线2x+y＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求圆D的标准方程．20．在△ABC中，A（5，4），边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，边AB上的中线CM所在的直线方程为5x﹣2y﹣10＝0．（1）求点C坐标；（2）求直线BC的方程．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为2，PO⊥CD，PA＝PC，且∠ABC＝60°．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）当异面直线PB与CD所成的角为60°时，在线段CP上是否存在点M，使得直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，请求出线段CM的长，若不存在，请说明理由．22．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2，CF＝1．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A'EFD'，使平面A'EFD'与平面BCFE垂直，若在线段EB上有动点H．（1）从以下两个条件中任选一个作为已知条件_____，以确定点的位置，①若四点A'，D'，C，H共面，②若三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的；（2）在第（1）问基础上，在线段A'D'上有一动点P，设二面角P﹣HF﹣E的平面角为θ，求cosθ的最大值．参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线的倾斜角为（）A．60°B．30°C．45°D．120°【分析】因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，所以先找出直线的斜率，根据特殊角的三角函数值得到倾斜角的度数．解：设直线的倾斜角为α，0＜α＜180°，由直线的斜率为得到：tanα＝，所以α＝60°故选：A．2．已知向量，，且，那么x等于（）A．﹣4B．﹣3C．0D．1【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：向量，，且，∴＝x﹣1＝0，解得x＝1．故选：D．3．点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（）A．B．C．4D．6【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．解：点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为＝，故选：B．4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知＝，＝，＝，＝，则＝（）A．﹣+B．++C．﹣﹣+D．﹣﹣+【分析】利用空间向量加法法则求解．解：因为在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，＝，＝，＝，＝，所以＝（+）＝﹣+（+）＝﹣++＝﹣+（﹣）+（﹣）＝﹣++＝﹣+．故选：A．5．在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），平面BCD的一个法向量是（1，1，0），则直线AB与平面BCD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【分析】记平面BCD的一个法向量＝（1，1，0），设直线AB与平面BCD所成的角为θ，根据sinθ＝|cos＜，＞|，求解即可．解：在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），＝（1，2，2），记平面BCD的一个法向量＝（1，1，0），设直线AB与平面BCD所成的角为θ，直线AB与平面BCD所成的角的正弦值sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．则直线AB与平面α所成角θ为45°．故选：B．6．若入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．【分析】经x轴反射的两条光线的斜率互为相反数，再求出入射光线与x轴的交点，然后由点斜式即可写出反射光线所在直线的方程．解：由题意知，反射光线所在直线的斜率为﹣，在直线中，令y＝0，则x＝，所以入射光线所在直线与x轴的交点坐标为（，0），所以反射光线所在直线的方程是y﹣0＝﹣（x﹣），即y＝﹣x+4．故选：B．7．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1内一动点，则•的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[﹣1，0]D．[﹣，0]【分析】由题意画出图形，建立适当的空间直角坐标系，求出•的表达式，再由配方法求解．解：如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．则A（1，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，1），则0≤x≤1，0≤y≤1．∴，，∴＝．由二次函数的性质可得：当x＝y＝时，•取最小值为；当x＝0或x＝1，且y＝0或y＝1时，•取得最大值为1．∴•的取值范围是[，1]．故选：A．8．已知直线l1：x﹣y﹣1＝0绕与x轴交点旋转过程中始终与动直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，当直线l1逆时针旋转75°时，则直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（）A．B．C．或D．或【分析】根据题意先求出l2的直线方程，再对直线进行平移即可．解：直线l1：x﹣y﹣1＝0的斜率k＝1，倾斜角为45°，将直线l1逆时针旋转75°，可得直线的倾斜角为45°+75°＝120°，所以旋转后直线的斜率k1＝tan120°＝﹣，因为旋转后的直线与直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，所以﹣×＝﹣1，所以a＝，所以l2：x﹣y﹣2﹣0，因为||＝＝2，所以将直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（x+2）﹣（y+2）﹣2＝0或（x﹣2）﹣（y﹣2）﹣2＝0，即x﹣y﹣6＝0或x﹣y+2＝0；故选：D．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．设直线l1：3x+2ay﹣5＝0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2＝0．若l1与l2平行，则a的值可以为（）A．﹣B．C．0D．6【分析】对a是否等于0分情况讨论，利用两直线平行的斜率关系即可求出a的值．解：①当a＝0时，直线l1：x＝，直线l2：x＝﹣2，此时两直线平行，符合题意．②当a≠0时，直线l1：y＝，直线l2：y＝，若l1与l2平行，则＝，解得：a＝﹣，综上所述，a＝0或﹣，故选：AC．10．对于直线l：x＝my+1，下列说法正确的是（）A．直线l恒过定点（1，0）B．直线l斜率必定存在C．m＝时，直线l的倾斜角为60°D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为【分析】由题意求出直线的斜率和倾斜角，求直线和坐标轴的交点坐标，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：对于直线l：x＝my+1，令y＝0，求得x＝1，可得它恒过定点（1，0），故A正确；当m＝0时，它的斜率不存在，故B错误；m＝时，直线l的斜率为＝，故它的倾斜角为30°，故C错误；m＝2时，直线l即x﹣2y﹣1＝0，它与坐标轴的交点为（1，0）、（0，﹣），故该直线与两坐标轴围成的三角形面积为×1×＝，故D正确，故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A．B．BD⊥平面ACC1C．向量与的夹角是60°D．直线BD1与AC所成角的余弦值为【分析】直接在平行六面体中，利用向量的线性运算，向量的模，向量的夹角，向量的数量积，线面垂直和线线垂直之间的转换判断A、B、C、D的结论．解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以：，故：＝+2＝36+36+36+3×2×6×6×cos60°＝216；整理得：，故A错误；对于B：由于底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，由于，所以AC1⊥BD，故BD⊥平面ACC1，故B正确；对于C：由于，△AA1D为等边三角形，所以和的夹角为120°，故向量与的夹角是120°，故C错误；对于D：，，利用：，解得：，，由于，所以，故D正确．故选：AC．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在线段AC上移动，点M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的有（）A．D1O∥平面A1BC1B．∠D1OM的大小可以为90°C．异面直线D1O与A1C1的距离为定值D．存在实数λ∈[0，1]，使得成立【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，设正方体的棱长为2，通过求解，转化判断A的正误；通过证明OD1⊥平面MAC，判断B的正误；利用空间向量法求出异面直线的距离，从而判断C的正误，通过A，O，C三点共线，结合向量的模的关系，判断D的正误．解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，设正方体的棱长为2，设O（x，2﹣x，0），0⩽x⩽2，D1（0，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），所以．又DB1⊥平面A1BC1，所以平面A1BC1的法向量为．因为，所以OD1⊥DB1，所以D1O∥平面A1BC1，故A正确；对于B，当O为AC的中点时，O（1，1，0），M（2，2，1），A（2，0，0），C（0，2，0），所以，所以，，所以OD1⊥AC，OD1⊥AM，因为AC∩AM＝A，AC，AM⊂平面MAC，所以OD1⊥平面MAC，所以∠D1OM的大小可以为90°，故B正确；对于C，，设，所以，即，令a＝1，则b＝1，c＝1，所以，又，所以异面直线D1O与A1C1的距离，故C不正确，对于D，A，O，C三点共线，，，，所以，故D正确．故选：ABD．三、单空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13．若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x＝3．【分析】三点共线等价于以三点为起点终点的两个向量共线，利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量共线的充要条件列出方程求出x．解：三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，，，⇒1×（﹣10）＝﹣5（x﹣1）⇒x＝3故答案为314．已知四点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（1，1，1），则点P∉面ABC（填写“∈”或者“∉”中的一个）．【分析】设＝x+y，根据空间向量的坐标运算，可得关于x和y的方程组，解之即可．解：由题意知，＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，1），＝（0，1，1），设＝x+y，则（0，1，1）＝（﹣x﹣y，x，y），即，该方程无解，所以点P∉面ABC．故答案为：∉．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝A1B1＝A1C1＝4，点E是棱CC1上一点，且，则异面直线A1B与AE所成角的余弦值为．【分析】以点A1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A1﹣xyz，求出两直线的方向向量，利用向量法求异面直线所成的角的余弦值．解：以点A1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A1﹣xyz，则A1（0，0，0），B（4，0，4），A（0，0，4），E（0，4，），则＝（4，0，4），＝（0，4，﹣），cos＜，＞＝＝﹣，所以异面直线A1B与AE所成角的余弦值为，故答案为：．16．m∈R，动直线l1：x+my﹣1＝0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为2+2．【分析】求出直线l1：x+my﹣1＝0过定点A的坐标和直线l2：mx﹣y﹣2m+＝0过定点B的坐标，l1与l2交于点P，根据两条直线的斜率不难发现有则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝4．利用基本不等式的性质可得|PA|+|PB|的最大值，即可得到所求周长的最大值．解：直线l1：x+my﹣1＝0过定点A（1，0），直线l2：mx﹣y﹣2m+＝0即m（x﹣2）＝y﹣，可得过定点B（2，），由于1•m+m•（﹣1）＝0，则l1与l2始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝4．由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2，那么2（|PA|2+|PB|2）≥（|PA|+|PB|）2，即有|PA|+|PB|≤＝2，当且仅当|PA|＝|PB|＝时，上式取得等号，则△PAB周长的最大值为2+2．故答案为：2+2．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知直线l经过点P（1，2）．（1）求在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；（2）求与第（1）问中斜率小于零的直线l距离等于的直线l1的方程．【分析】（1）直线l经过原点时，利用点斜式可得方程；直线l不经过原点时，可设方程为：x+y＝a，把点P（1，2）代入可得a．（2）第（1）问中斜率小于零的直线l为：x+y﹣3＝0．设要求的直线l1的方程为：x+y+m ＝0，利用平行线之间的距离公式即可得出．解：（1）直线l经过原点时，可得方程为：y＝2x；直线l不经过原点时，可设方程为：x+y＝a，把点P（1，2）代入可得：a＝1+2＝3，此时直线l的方程为：x+y﹣3＝0．综上可得直线l的方程为：y＝2x；或x+y﹣3＝0．（2）第（1）问中斜率小于零的直线l为：x+y﹣3＝0．设要求的直线l1的方程为：x+y+m＝0，则＝2，解得m＝1，或﹣7．∴要求的直线l1的方程为：x+y+1＝0，或x+y﹣7＝0．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，点E，F分别为棱CC1，AA1的中点．（1）求证：D1F∥平面BDE；（2）求直线D1F到平面BDE的距离．【分析】（1）取BB1的中点G，连接FG，C1G，先证明四边形C1D1FG为平行四边形，从而得到D1F∥C1G，由中位线定理以及平行公理可得，D1F∥BE，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BDE的法向量，又直线D1F到平面BDE的距离，即为点D1到平面BDE的距离，由点到平面距离的向量公式求解即可．解：（1）证明：取BB1的中点G，连接FG，C1G，因为A1B1∥C1D1，且A1B1＝C1D1，又A1B1∥FG，且A1B1＝FG，所以FG∥C1D1，且FG＝C1D1，故四边形C1D1FG为平行四边形，则D1F∥C1G，在矩形BCC1B1中，因为E，G分别为CC1，BB1的中点，所以BE∥C1G，所以D1F∥BE，又D1F⊄平面BDE，BE⊂平面BDE，故D1F∥平面BDE；（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，1，1），D1（0，0，2），所以，，设平面BDE的法向量为，则，即，令y＝﹣1，则x＝z＝1，故，由（1）可知，D1F∥平面BDE，所以直线D1F到平面BDE的距离即为点D1到平面BDE的距离，又点D1到平面BDE的距离为＝，所以直线D1F到平面BDE的距离为．19．已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），且它的圆心在直线2x+y＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求圆D的标准方程．【分析】（1）先求得线段AB的垂直平分线方程，与2x+y＝0联立，求得圆心即可；（2）根据圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求得圆心C关于直线x﹣y+1＝0的对称点即可．解：（1）已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），则线段AB的垂直平分线方程为：y+1＝x﹣2，即x﹣y﹣3＝0，又圆心在直线2x+y＝0上，联立，解得，所以其圆心为C（1，﹣2），R＝|AC|＝2，所以圆C的标准方程（x﹣1）2+（y+2）2＝4；（2）设圆D的圆心为D（x，y），因为圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，所以，解得，所以圆D的标准方程是（x+3）2+（y﹣2）2＝4．20．在△ABC中，A（5，4），边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，边AB上的中线CM所在的直线方程为5x﹣2y﹣10＝0．（1）求点C坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）由边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，可设直线AC的方程为4x﹣3y+m＝0，把A（5，4）代入解得m．直线AC的方程与CM的方程联立即可得出C点的坐标．（2）设B（a，b），利用中点坐标公式可得M坐标，代入CM可得方程5×﹣2×﹣10＝0，把B坐标代入BE方程，联立即可得出．解：（1）由边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，可设直线AC的方程为4x﹣3y+m＝0，把A（5，4）代入可得：4×5﹣3×4+m＝0，解得m＝﹣8，∴直线AC的方程为4x﹣3y﹣8＝0，联立，解得C（2，0）．（2）设B（a，b），则5×﹣2×﹣10＝0，又3a+4b﹣7＝0，联立解得：a＝b＝1，∴B（1，1）．∴直线BC的方程为：y﹣0＝（x﹣2），化为：x+y﹣2＝0．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为2，PO⊥CD，PA＝PC，且∠ABC＝60°．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）当异面直线PB与CD所成的角为60°时，在线段CP上是否存在点M，使得直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，请求出线段CM的长，若不存在，请说明理由．【分析】（1）只要证明PO垂直于平面ABCD中两相交直线AC和CD即可；（2）用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值，列方程求解．【解答】（1）证明：因为ABCD为菱形，所以O为AC中点，又因为PA＝PC，所以PO⊥AC，又因为PO⊥CD，AC∩CD＝C，所以PO⊥平面ABCD．（2）解：因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，由（1）知OC、OD、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，B（0，﹣，0），C（1，0，0），D（0，，0），设P（0，0，t），t＞0，＝（0，，t），＝（﹣1，，0），因为异面直线PB与CD所成的角为60°，所以＝，解得t ＝，所以P（0，0，），PC＝＝，设，λ∈[0，1]，则M（λ，0，﹣），＝（λ，0，﹣），＝（﹣1，0，），设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），，令z＝1，＝（，，1），直线OM与平面PCD所成角的正弦值为＝，要使直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于，只要＝，解得，所以CM＝PC﹣PM＝PC﹣λPC＝（1﹣λ）PC＝＝．22．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2，CF＝1．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A'EFD'，使平面A'EFD'与平面BCFE垂直，若在线段EB上有动点H．（1）从以下两个条件中任选一个作为已知条件_____，以确定点的位置，①若四点A'，D'，C，H共面，②若三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的；（2）在第（1）问基础上，在线段A'D'上有一动点P，设二面角P﹣HF﹣E的平面角为θ，求cosθ的最大值．【分析】（1）选①，过点C作CM⊥平面BCFE，因为四边形ABCD是矩形，所以BC ⊥CF，因为四点A'，D'，C，H共面，所以存在一对实数λ，μ使＝λ+μ，设BH＝x，用坐标表示向量可求得x的值，选②，三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的，设BH＝x，表示体积可求得x的值；（2）设，表示出两平面的法向量，利用向量法求出两平面所成角的余弦值的绝对值，可求得余弦值的最大值，解：选①，（1）过点C作CM⊥平面BCFE，因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥CF，以C为原点，CF，CB，CM分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（0，0，0），A′（，，），D'（，，），设H（x，2，0），所以＝（x，2，0），＝（，，），＝（，，），因为四点A'，D'，C，H共面，所以存在一对实数λ，μ使＝λ+μ，所以（x，2，0）＝λ（，，）+μ（，，），则（x，2，0）＝（λ，λ，λ）+（μ，μ，μ）＝（λ+μ，λ+μ，λ+μ），解得x＝，当HB＝时，四点A'，D'，C，H共面，选②，点A'到面BCFE的距离为，设BH＝x，则S△EHF＝×（2﹣x）×2＝2﹣x；因为三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的，所以×（2﹣x）×＝×S△CEF××，所以2﹣x＝，解得x＝，（2）由（1）知A′（，，），D'（，，），H（，2，0），E （2，2，0），F（1，0，0）设＝（﹣，﹣，λ），所以点P（﹣+，﹣+，λ+），所以＝（﹣，﹣2，0），＝（﹣+﹣，﹣+﹣2，λ+），设平面HPF的一个法向量为＝（x，y，z），，令x＝6，则y＝﹣1，z＝，所以平面HPF的一个法向量为＝（6，﹣1，），因CM⊥平面BCFE，所以平面BCFE的一个法向量为＝（0，0，1）所以cosθ＝＝＝，所以当λ＝0时，cosθ的值最大，且cosθ＝，故答案为：．。
重庆市第一中学2021-2022高二数学上学期10月月考试题.doc
重庆市第一中学2021-2022高二数学上学期10月月考试题注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1． 若直线的倾斜角为 60，则直线的斜率为 ( ) A ．3 B ．3- C ．3 D ．3- 2． 在等差数列}{n a 中，3642=+a a ，则数列}{n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A ．108 B ．90 C ．72 D ．243． 经过点(2,5)A ,(3,6)B -的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2B ．3-C ．27-D ．274． 在ABC △中，3A π∠=，3BC =，6AB =，则C ∠的大小为（ ）A ．6πB ．4π C ．2π D ．23π 5．方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的范围是（ ） A ．2a <-或23a >B ．223a -<<C ．20a -<<D ．223a -<<6． 正方体1AC 中，,E F 分别是1,DD BD 的中点，则直线1AD 与EF 所成角的余弦值是（ ）A ．12B ．3 C ．6 D ．6 7． 已知数列}{n a 为等比数列，20,2272474=+=+a a a a ，则101a a 的值为（ ） A ．16 B ．8 C ．8- D ．16-8． 设21,F F 分别为椭圆1422=+y x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且，则=∠21PF F （ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 9． 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是（ ）A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=10． 已知点)3,7(P ，圆22:210250M x y x y +--+=，点Q 为在圆M 上一点，点S 在x 轴上，则SP SQ +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1011． 如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3π B ．3π C ．4πD ．34π 12． 在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的下顶点，M ,N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若]3,4[ππα∈，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．60,⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．30,⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．63,⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．622,⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
四川省雅安中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含答案
雅安中学2021-2022学年高二上期10月月考数学试题命题人： 审题人：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
全部试题均在答题卷相应位置上作答，答在试卷上一律不得分。
第Ⅰ卷（选择题：60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
）1.若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是（）A.1a <1b B .a 2>b 2 C.21ac +>21b c +D.a |c |>b |c |2.不等式0432<++-x x 的解集为 （ ）A ．{}41<<-x xB ．{}14-<>x x x 或C ．{}41-<>x x x 或 D ．{}14<<-x x3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.54．设x >0，y >0，则下列不等式中等号不成立的是( )A ．x ＋y ＋2xy≥4 B ．(x ＋y )(1x ＋1y )≥4C ．(x ＋1x )(y ＋1y)≥4D.x 2＋3x 2＋2≥2 5．已知某个几何体的三视图如右图（主视图中的弧线是半圆）， 依据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积 是( )3cm ．A .π+8 B.328π+C.π+12D.3212π+6.已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是（）A ．6：5 B ．5：4 C ．4：3 D ．3：27. 如图是正方体的平面开放图．在这个正方体中，①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角； ④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ． ①②③B ． ③④C ． ②④D ．②③④8、假如一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”。
江西省临川第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题 理(含解析)
江西省临川第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题 理（含解析）一､选择题1.若直线//l α，且l 的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为(1,1,2)-，则m 为（ ） A. -4 B. -2C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由题可得l 与平面α的法向量垂直,再利用垂直的数量积公式求解即可.【详解】由题有l 与平面α的法向量垂直,故(2,,1)(1,1,2)0220m m ⋅-=⇒-+=,所以4m =.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行得出线和法向量垂直的关系,同时也考查了空间向量垂直的计算,属于基础题.2.下列说法正确的是（ ）A. 若()p q ⌝∧为真命题，则p ，q 均为假命题；B. 命题“若2340x x --=，则1x =-”的逆否命题为真命题；C. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若“10a >”则“20192018S S >”的否命题为真命题；D. “平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<” 【答案】C 【解析】 【分析】根据逻辑连接词的性质判断A;根据逆否命题与原命题同真假判断B;根据逆否命题同真同假判断C;再根据数量积的公式判断D 即可.【详解】对A, 若()p q ⌝∧为真命题,则p q ∧为假命题,故p ,q 至少有一个假命题,故A 错误. 对B, 因为2340x x --=有1x =-或4x =,故命题“若2340x x --=,则1x =-”为假命题,故其逆否命题也为假命题.故B 错误.对C, 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“10a >”则“20192018S S >”的逆命题为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“20192018S S >”则“10a >”.又因为当20192018S S >时201920180S S ->即2018201911000a a q a >⇒>⇒>成立.而原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，故C 正确.对D, 当0a b ⋅<时, a 与b 也可能反向,此时夹角为π.故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查了命题的真假判定,包括四种命题之间的关系与充分必要条件的性质判定等.属于基础题.3.命题“[2,3]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. 0a ≤ B. 1a ≤C. 2a ≤D. 3a ≤【答案】D 【解析】 【分析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可.【详解】命题“[2,3]x ∀∈,220x a -≥”为真命题的充要条件：[2,3]x ∀∈,22x a ≥恒成立.即42a ≥,2a ≤.故其必要不充分条件为3a ≤. 故选：D【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进行判定.属于基础题.4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于2a 的是（ ）A. 2AB CA ⋅B. 2AC FG ⋅C. 2AD DC ⋅D.2EF DB ⋅【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积公式分析向量的夹角与模长逐个判断即可.【详解】对A, 2222cos 3AB CA AB CA a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对B, 222cos022aAC FG AC FG a a ⋅=⋅⋅︒=⨯=.满足对C, 2222cos 3AD DC AD DC a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对D, 222cos 22aEF DB EF DB a a π⋅=⋅⋅=-⨯=-.不满足故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积,需要根据几何关系判断向量的夹角与模长,属于基础题.5.命题p :函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数.命题q :直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0. 若p q ∨为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. 4a >B. 0a ≥C. 04a ≤<D.04a <≤【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴与区间的位置关系判断a 的取值范围,再求得直线0x y a +-=在y 轴上的截距令其小于0计算a 的取值范围.再根据p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题再分析即可. 【详解】当函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数时,对称轴满足242aa ≤⇒≤. 当直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0时有0a <.又p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题.故440a a a >⎧⇒>⎨≥⎩.故选：A【点睛】本题主要考查了利用命题间的关系求解参数的范围问题,需要根据题意先求出命题均为真命题时的参数范围,再根据复合命题的真假求取值范围即可.6.设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（ ）B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S︒=⨯=设P 点的纵坐标为h 则1221F F h h ⋅⋅=⇒=. 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积运用,属于中档题.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG m m =<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）C.3【答案】D 【解析】 分析】易得11//A B 平面1D EF ,故点G 到平面1D EF 的距离为点1A 到平面1D EF 的距离,再分析线面垂直的关系求解即可.【详解】作11A P ED⊥于P,因为,E F分别为棱1AA､1BB的中点,故11//EF A B,EF⊥平面11A ADD.故1EF A P⊥,又11A P ED⊥,1EF ED E⋂=.故11A P ED F⊥平面. 又11//EF A B所以点G到平面1D EF的距离为点1A到平面1D EF的距离1A P.又111111111212111152225112A E A DA P ED A E A D A PED⨯⋅⋅=⋅⇒===⎛⎫+⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了点到平面距离的计算,根据题意可直接找到11A P ED F⊥再根据等面积法计算1A P,属于中档题.8.我们把由半椭圆22221(0)x yxa b+=≥与半椭圆22221(0)y xxb c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222a b c=+，0a b c>>>).如图，设点0,F1,F2F是相应椭圆的焦点，1,A2A和1,B2B是“果圆”与,x y轴的交点，若012F F F△是等腰直角三角形，则ab的值为（）A.722 C.62D.54【答案】C【解析】【分析】根据题意分别利用椭圆中的基本量关系计算0,F2F对应的坐标,再根据012F F F△是等腰直角三角形可得02OF OF=计算即可.【详解】根据题意有(),0F c,()2220,bF c-,又根据012F F F△是等腰直角三角形的性质可得02OF OF=,即()22222222322ab c c b a bb-=⇒=-⇒=.故6ab=故选：C【点睛】本题主要考查了根据椭圆的基本量关系列式求解的方法,需要求出对应点的坐标,利用等腰直角三角形的性质列式化简求解.属于基础题.9.如图，直三棱柱111ABC A B C-中，侧棱长为4，2AC BC==，90ACB︒∠=，点D是11A B 的中点，F是侧面11AA B B(含边界)上的动点.要使1AB⊥平面1C DF，则线段1C F的长的最大值为（）5 B. 213 D. 25【答案】A【解析】【分析】分析可得当1AB⊥平面1C DF时1AB DF⊥,故F在边界1BB时1C F取最大值,再根据平面中的边角比例关系求解即可.【详解】由题,当1AB⊥平面1C DF时1AB DF⊥,故F在边界1BB时1C F取最大值,此时因为1AB DF⊥,故111111190FDB AB A B AA AB A∠+∠=∠+∠=︒.故111FDB B AA∠=∠.故111tan tanFDB B AA∠=∠即1111111111FB A B A B DBFBDB AA AA⋅=⇒==2411BB=<满足题意 .此时1C F===故选：A【点睛】本题主要考查了根据线面垂直计算边长的关系的方法.需要根据题意找到对应的角度等量关系,利用正切值相等进行列式求解.属于中档题.10.椭圆22143x y+=上有n个不同的点123,,,,nP P P P⋅⋅⋅，椭圆右焦点F，数列{}nP F是公差大于12019的等差数列，则n的最大值为（）A. 4036B. 4037C. 4038D. 4039 【答案】C【解析】【分析】根据题意分析最大最小的n P F的值,再利用等差数列的通项公式求解n的最大值即可. 【详解】根据题意有,当1P为椭圆的右顶点,n P为左顶点时n取得最大值.此时121PF==.23nP F==.又数列{}nP F是公差12019d>的等差数列,()2131112019n d dn=+-⇒=>-,所以140384039n n-<⇒<.故n的最大值为4038.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点的距离最值以及等差数列的基本量运用,属于中档题.11.已知正四棱锥S ABCD-，E是线段AB上的点且13AE AB=，设SE与BC所成的角为1θ，二面角S AB C--的平面角为2θ，SE与平面ABCD所成的角为3θ，则（）A.123θθθ<< B.321θθθ<< C.132θθθ<< D.231θθθ<<【答案】B【解析】 【分析】作出立体图形,分别构造关于123,,θθθ的直角三角形,利用正切值的大小判断即可. 【详解】如图,作SO ⊥平面ABCD 于O ,取AB 中点J ,在DC 上取F 使得13DF DC =,I 为EF 中点.连接各点如图所示.易得//EF BC ,故SE 与BC 所成的角1SEF θ=∠,二面角S AB C --的平面角2SJO θ=∠,SE 与平面ABCD 所成的角3SEO θ=∠. 又OJ AB ⊥,故EO JO >,所以32tan tan SO SO EO JOθθ=<=. 又12EI JO BC ==,SO OI ⊥,故SI SO >,21tan tan SO SI JO EIθθ=<=. 综上有321tan tan tan θθθ<<.又1230,,2πθθθ<<.故321θθθ<< 故选：B【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面角与线线角等之间的关系,需要找到对应的角度,利用正切函数的单调性进行大小的判断.属于中档题.12.在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的下顶点，,M N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A. ⎫⎪⎪⎝⎭B. 32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题四边形OPMN 为平行四边形可知,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,再代入椭圆方程可求得,M N 的坐标,再利用35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,根据斜率等于倾斜角的正切值求斜率的表达式再计算即可.【详解】∴,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即,M N 两点关于x 轴对称,MN OP a ==,可设,,,22a a M x N x ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,代入椭圆方程得：2x =,因为35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故0x <得2a N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, α为直线ON 的倾斜角,tan aα==,又35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan 1,3α⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭,即1133ba -<<-⇒<<.故0,3e ⎛= ⎝⎭∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的几何关系列出关于基本量的不等式求解离心率的问题,重点是根据题设找到对应的等量关系列式求解.属于中档题. 二､填空题13.正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若1AC 与底面ABCD 所成角为45︒，则11A C 和底面ABCD 的距离是________.【答案】2 【解析】 【分析】确定1AC 与底面ABCD 所成角,再利用直角三角形中的边角关系求解即可.【详解】连接1AC ,因为1CC ⊥平面ABCD ,故1AC 与底面ABCD 所成角为145C AC ∠=︒. 所以1C AC 为等腰直角三角形.所以11A C 和底面ABCD 的距离221112CC AC ==+=.2【点睛】本题主要考查了线面角的辨析与立体几何中的求解,属于基础题.14.给定两个命题，P :对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q :方程2213x ya a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆.如果P Q ∧⌝为真命题，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.再分别根据恒成立以及椭圆的标准方程性质求解即可.【详解】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题. 又对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立则显然0a ≥ ：①当0a =时10>恒成立满足题意,②当0a >时24004a a a ∆=-<⇒<<. 综上有04a ≤<又方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆有33032a a a >->⇒<<.又Q 为假命题故32a ≤或3a ≥. 故实数a 的取值范围是30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围问题.需要根据题意分析命题的真假,再求解对应的参数范围最后再求参数的交集.属于中档题.15.函数()1g x ax =+(0)a >，2()2f x x x =-，对1[1,2]x ∀∈-，0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立，则a 的取值范围是_________.【答案】(0,1] 【解析】 【分析】由题意可知()f x 的值域包含()g x 的值域,再分别根据定义域求对应函数的值域,再根据包含关系列不等式求解即可.【详解】由题,当[]11,2x ∈-时,因为0a >,故[]()11,21g x ax a a =+∈-++.又0[0,3]x ∈则[]2()21,3f x x x =-∈-.又1[1,2]x ∀∈-,0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立,所以()f x 的值域包含()g x 的值域.所以111213a a a -+≥-⎧⇒≤⎨+≤⎩,因为0a >,所以a 的取值范围是(0,1]. 故答案为：(0,1]【点睛】本题主要考查了根据函数恒成立与能成立的问题求解参数范围的问题,需要根据题意判定出函数值域满足的关系式,再分别列式求解.属于中档题.16.已知O 为坐标原点,平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：22221(0)x y a b a b+=>>,点E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ,OF 的斜率之积为12-,则椭圆Ω的离心率为______．【答案】2【解析】 【分析】设()11,C x y ,则()22,D x y ,由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --,由可得2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,相减可得：AB ，AD 斜率之积为()()()()2121221212.y y y y b x x x x a -+=--+由E ,F 分别为AB ,AD 的中点,可得OE ，OF 的斜率之积等于AB ,AD 斜率之积．即2212b a =,即可求得椭圆Ω的离心率．【详解】解：设()11,C x y ,则()22,D x y , 由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --， 可得2211221x y a b +=,2222221x y a b +=．相减可得：22221212220x x y y a b--+= AB ∴,AD 斜率之积为()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+． E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ，OF 的斜率之积为12-，则OE ,OF 的斜率之积等于AB ，AD 斜率之积．2212b a =∴,则椭圆Ω的离心率为2e ==,故答案为:2．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三､解答题17.已知集合{}2|320A x x x=-+≤，集合{}2|2B y y x x a==--，集合{}2|20C x x ax=+-≤，命题:p A B⋂≠∅，命题:q A C⊆.（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p q∧为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3a<-（2）31a-≤≤-【解析】【分析】(1)由题意A B=∅,再根据区间端点满足的关系式求解即可.【详解】由题, {}{}2|320|12A x x x x x=-+≤=≤≤,{}{}2|2|1B y y x x a y y a==--=≥--（1）由命题p是假命题,可得A B=∅,即得12,3a a--><-.（2）p q∧为真命题,,p q∴都为真命题,即A B⋂≠∅,且A C⊆.∴有121204220aaa--≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩,解得31a-≤≤-.【点睛】本题主要考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题,需要根据题意求出对应的区间端点满足的不等式再求解.属于中档题.18.如图，在几何体ABCDE中，//CD AE，90EAC︒∠=，平面EACD⊥平面ABC，22CD EA ==，2AB AC ==，23BC =，F 为BD 的中点.（1）证明://EF 平面ABC ； （2）求直线BC 与平面BDE 所成角. 【答案】（1）证明见解析（2）30°. 【解析】 【分析】(1)取BC 中点G ,连接FG ,AG ,再证明四边形AGFE 是平行四边形即可.(2) 以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再用空间向量求解直线BC 与平面BDE 所成角即可.【详解】（1）取BC 中点G ,连接FG ,AG ,又F 为BD 的中点,2CD EA =,//CD AE ,12FG CD EA ∴==,且//FG AE , ∴四边形AGFE 是平行四边形, //EF AG ∴,而且EF ⊄平面ABC ,AG ⊂平面ABC , //EF ∴平面ABC ；（2）90EAC ︒∠=,平面EACD ⊥平面ABC ,且交于AC , ∴平EA ⊥面ABC ,由（1）知//FG AE ,FG ∴⊥平面ABC ,又AB AC =,G 为BC 中点, AG BC ∴⊥,如图,以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则3,0)B ,(0,3,0)C ,(0,3,2)D -,(1,0,1)E ,(0,23,0)BC ∴=-,(0,23,2)BD =-,(1,3,1)BE =,设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =,则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即3030z x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,令1y =,得(0,1,3)n =, ∴直线BC 与平面BDE 所成角的正弦值为12||||BC n BC n ⋅=.∴直线BC 与平面BDE 所成角为30°.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的问题,需要找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再求面的法向量与直线的向量,进而求得线面所成角的正弦求解.属于中档题. 19.已知21:()4P f x ax ax =-+R ，:q x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，关于x 的不等式(1)(2)0x m x m -+-≤的解集记为B . （1）若p q ∧为真，求实数a 的取值集合A ；（2）在（1）的条件下，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）10,4⎡⎫=⎪⎢⎣⎭A ；（2）1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）先确定p ，q 为真的等价条件，若p q ∧为真则p 真q 真，求交集即可；（2）利用x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，即A ⊊B ，确定条件关系，即可求实数m 的取值范围．【详解】（1）:p 真 f （x ）214ax ax =-+的定义域为R ，则ax 2﹣ax +14≥0对任意实数x都成立，当a ＝0时显然满足，当a ≠0时，有2()0a a a ⎧⎨--≤⎩＞，解得0＜a ≤1． 综上： []a 0,1∈:q 真 x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，∴14a 0=->即a 1,4⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭p q ∧为真，即p 真，q 真，∴ 10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭（2）①12m m -<，即1m >-，此时[]1,2B m m =-x A ∈是x B ∈的充分不必要条件∴ 10124m m -≤⎧⎪⎨≥⎪⎩1,18⎡⎤⇒⎢⎥⎣⎦； ②12m m -=，即1m =-，此时{}2B =- 不符合题意． ③①12m m ->，即1m <-，此时[]2,1B m m =-10,4A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为[]2,1B m m =-的充分不必要条件 ∴ 11420m m ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 无解；综上所述：1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查且命题、交集运算、不等式解法、充分条件和必要条件的应用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.长方形ABCD中，2=AB AD M 是DC 中点（图1）.将ADM 沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中:（1）求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --5，说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明BM ⊥平面ADM 即可.(2) 以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系. 设(01)BE BD λλ=<<,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.【详解】（1）在长方形ABCD 中,连结BM ,因为2AB AD =,M 是DC 中点, 所以2AM BM AD ==,从而222AM BM AB +=,所以AM BM ⊥ 因为AD BM ⊥,ADAM A =,所以BM ⊥平面ADM . 因为BM ⊂平面ABCM ,所以平面ADM ⊥平面ABCM .（2）因为平面ADM ⊥平面ABCM ,交线是AM ,所以在面ADM 过M 垂直于AM 的直线必然垂直平面ABCM .以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴, 建立空间直角坐标系.则()2,0,0A ,()0,2,0B ,()1,0,1D ,(1,2,1)BD =-.设(01)BE BD λλ=<<,则(),22,ME MB BE λλλ=+=-.设1(,,)x y z =n 是平面AME 的法向量,则1100n ME n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即(22)020x y z x λλλ+-+=⎧⎨=⎩,取()10,,22n λλ=-,平取面AMD 的一个法向量是()20,1,0n =. 依题意122cos ,2n n =, ()222525λλ=+-,解方程得12λ=, 因此在线段BD 上存点E ,使得二面角E AM D --5. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定与利用空间直角坐标系求解是否存在点满足条件的问题.一般做法是先假设存在,再设对应的向量的参数,再根据二面角的余弦列出关于参数的表达式最后进行求解即可.属于中档题.21.已知动点G(x,y)2222(1)(1)4x y x y ++-+= （1）求动点G 的轨迹C 的方程；（2）过点Q(1,1)作直线L 与曲线C 交于不同的两点,A B ,且线段AB 中点恰好为Q.求OAB ∆的面积；【答案】（1）22143x y +=；（2）1056【解析】 【分析】（1）先由椭圆的定义得知轨迹C 为椭圆，并利用椭圆定义求出a ，从已知条件中得出c ，并求出b 值，结合椭圆焦点位置得出椭圆C 的标准方程；（2）由已知条件得知直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为()11y k x -=-，将直线L 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由Q 为AB 的中点求出k 的值，从而得出直线L 的方程，再利用弦长公式求出AB ，由点到直线的距离公式计算出原点O 到直线L 的距离，再利用三角形的面积公式可求出OAB ∆的面积．【详解】（1）由动点(),G x y4=可知，动点G 的轨迹是以()1,0-和()1,0为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为22143x y +=；（2）由于直线L 与曲线C 相交所得线段AB 中点恰好为()1,1Q 可知， 直线L 的斜率一定存在，设直线L 的方程为()11y k x -=-，联立221431(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y 可得2222(43)(88)(488)0k x k k x k k +--+--=， 所以21222122884348843k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩， 又线段AB 中点的横坐标为1，∴212288243k kx x k -+==+，解得34k =-， 12122121x x x x +=⎧⎪∴⎨=⎪⎩， 直线L 的方程为3470x y +-=，弦长21AB ==L 的距离为75d =，1725ABC S ∆∴==． 【点睛】本题考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，韦达定理的应用，以及弦长、三角形面积的计算，对于直线与圆锥曲线的综合问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，应用韦达定理进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好地考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题解决问题的能力等．22.已知F 1，F 2分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F 1的最大距离等于4，离心率等于13，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形F 2MN ；（1）求椭圆的标准方程 （2）求圆E 半径的最大值 【答案】（1）22198x y ；（2）max 89r =【解析】 【分析】（1）根据椭圆上点与1F 的最大距离和离心率列方程组，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用与三角形内切圆有关的三角形面积公式列式，求得内切圆半径的表达式，利用换元法结合基本不等式求得圆半径的最大值.【详解】由条件知13314c a a c a c ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩ ，所以2228b a c =-=.故椭圆的标准方程为22198x y +=；（2）由条件l 不为x 轴，设1l x my =-：交椭圆于()()1122,,,M x y N x y ，设圆E 的半径为r ，由221198x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()228916640m y my +--=，1212221664,8989m y y y y m m -+==++ 22221(2F MN F MN F MN S C r C F MN ∆∆∆=⨯∆为的周长）2121166F MN r S y y ∴==-重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 21 - 即r ==令21t m =+，（1t ≥），则r ==当1,0t m ==即时，max 89r =. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆位置关系，考查三角形内切圆半径有关计算，考查换元法和基本不等式求最值，属于中档题.。
2021-2022年高二数学上学期第三次月考试题
2021年高二数学上学期第三次月考试题一、选择题：（共12小题，每小题5分，共12×5=60分. 将正确答案的字母填在答题卡内）1．已知集合A=，B= ，则=A． B． C． D．2．命题“如果，那么”的逆否命题是A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么3．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=A．– B． C．– D．4. 对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为A．＝ B．＝C．＝ D．＝5．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是A．“p∨q”为真，“非q”为假B．“p∨q”为真，“非p”为真C．“p∧q”为假，“非p”为真D．“p∧q”为假，“非p”为假6. 执行右图的程序框图. 若输入, 则输出的值为 A ． B ． C ． D ．7．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与底面ABCD 所成的角的正切等于A ．1B ．C ．D ． 8．在△中，若，则等于A ．30°或60°B ．45°或60°C ．120°或60°D ．30°或150°9．某四棱锥的三视图如右图, 则该四棱锥的表面积是 A ．32 B ．16+32 C ．48 D ．16+1610. 直线x+y-1=0被圆032222=-+++y x y x 截得的弦长为 A ． B ． C ． D ． 11．已知两个平面互相垂直，下列命题中正确的个数是① 一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线 ③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一平面 ④ 过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 12. 经过三点、、的圆的一般方程为A ．0202422=---+y x y x B ．0202422=-+++y x y x C ．020*******2=-+++y x y x D ．02072071322=---+y x y x 二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中横线上。
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2021年高二上学期10月月考数学（理）试题（学生用）
考生须知1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．本试卷共4页，分为两部分。
第一部分选择题，8个小题（共32分）；第二部分非选择题（共68分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可用2B铅笔。
4．考试结束后，将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。
规定要求填涂在机读卡
．．．第1～8题的相应位置上。
（每小题4分，选对一项得4分，多选则
该小题不得分。
）
一、选择
1．垂直于同一条直线的两条直线一定（）
A．平行B．相交 C．异面 D．以上都有可能
2．已知两条相交直线，，平面，则与的位置关系是（）
A．平面B．平面
C．平面D．与平面相交，或平面
3．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均
为2，且侧棱AA1底面A1B1C1，主视图是边长为2的
正方形，该三棱柱的左视图面积为（）
A． B． C． D．
4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线AD与BD1所成角的余弦值为（）A．B．
C． D．
5．已知满足则的最大值是（）
A.1
B. 1
C. 2
D.3
6．已知直线、与平面、，下列命题正确的是（）
A．且，则 B．且，则
C．且，则 D．且，则
7．如图，四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面，
使平面平面，则下列结论正确的是( )
A
B D B D
A ．
B ．
C ．与平面所成的角为
D ．四面体的体积为1/3 8．如图，正方体中，，
分别为棱，的中点，在平面 内且与平面平行的直线（ ）
A ．有无数条
B ．有2条
C ．有1条
D ．不存在
二、填空（5分/每题）
9．在等比数列中,则
10．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线AC 与BD 1所 成角为
11．直线被曲线截得的弦长等于 .
12．若不等式恒成立，则实数a 的取值范围为 。
13．如图，BC 是Rt △ABC 的斜边，AP ⊥平面ABC ， 连结PB 、PC ， 作PD ⊥BC 于D ，连结AD ， 则图中 共有直角三角形_________个.
14．已知直线，给出下列四个命题 ①若；②若；③若；④若
其中正确命题的序号是__________。
三、解答题（共38分） 15．（10分）设函数． （1）求的最小正周期；
名
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1
E
F
P C
A D
（2）当时，求函数的最大值和最小值． 16．（10分）如图2.12：四面体A －BCD 被一平面所截，截面EFHG 是一个矩形，（1）求证：AB//FH ；
（2）求异面直线AB 、CD 所成的角.
17．（10分）已知正方形ABCD 的边长为1，．将正方形ABCD 沿对角线折起，使，得到三棱锥A —BCD ，如图所示．
（I ）若点M 是棱AB 的中点，求证：OM ∥平面ACD ； （II ）求证：；
（III ）求二面角的余弦值．
18．（8分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且 （Ⅰ）求证：数列为等差数列； （Ⅱ）求满足的自然数n 的集合。
B
C
D
E
F
G
H
图2.12
北京市第十八中学2011-x x 学年第一学期高二年级期中考试 班级___________ 考号 ___________ 姓名 ___________
装 订 线 内 请 勿 答 题
北京市第十八中学2011-xx 学年第一学期高二年级期中
考试 数学试卷答题纸
二、填空（5分/每题） 9． ； 10. ； 11． ； 12. ； 13． ； 14. .
三、解答题（共38分） 15．
16． 17．
请在各题目的答题区域内作答，超出限定区域的答案无效
A
B
D
E F
G
H
图2.12
18．。